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文檔簡介
2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《二次函數(shù)中菱形的存在性問題》專項檢測
卷附答案
學(xué)校:姓名:班級:考號:
1.如圖,已知拋物線、=加+云+3(叱0)經(jīng)過點A(LO)和點8(3,0),與y軸
交于點C,
(1)求此拋物線的解析式;
(2)若點尸是直線8C下方的拋物線上一動點(不點5、。重合),過點
尸作y軸的平行線交直線BC于點D,設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m;
①用含m的代數(shù)式表示線段P。的長.
②連接尸3、PC,求△PBC的面積最大時點尸的坐標(biāo);
⑶設(shè)拋物線的對稱軸與BC交于點E,點M是拋物線的對稱軸上一點,
N為y軸上一點,是否存在這樣的點"和點N,使得以點。、E、M、
N為頂點的四邊形是菱形?如果存在,請直接寫出點”的坐標(biāo);如果
不存在,請說明理由.
2.如圖,拋物線y=-—+bx+c交直線y=r+4于坐標(biāo)軸上氏c兩點,交x
軸于另一點A,連接AC.
⑵點。為線段3c上一點,過點。作直線〃/AC,交x軸于點E.連接
求VADE面積的最大值;
⑶若在直線/上存在點乙使得以點AC2P為頂點的四邊形為菱形,
求點尸的坐標(biāo).
3.如圖,一次函數(shù)y=f+3的圖象與x軸和y軸分別交于點8和點c,
二次函數(shù)y=-Y+笈+c的圖象經(jīng)過3,c兩點,并與X軸交于點A點
知(九。)是線段。8上一個動點(不與點。、B重合),過點”作X軸的垂
線,分別與二次函數(shù)圖象和直線3C相交于點。和點E,連接8.
⑴求這個二次函數(shù)的解析式.
⑵①求上、CE的值(用含機的代數(shù)式表示).
②當(dāng)以C,D,E為頂點的三角形與VABC相似時,求機的值.
(3)點廠是平面內(nèi)一點,是否存在以C,D,E,尸為頂點的四邊形為菱
形?若存在,請直接寫出點〃的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
4.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線>=加+區(qū)+2過點(1,3),且交工
軸于點A(T,。),5兩點,交y軸于點C
⑴求拋物線的表達(dá)式;
⑵點尸是直線BC上方拋物線上的一動點,過點尸作3c于點D,
過點尸作》軸的平行線交直線于點E,求APDE周長的最大值及此
時點尸的坐標(biāo);
⑶在(2)中APDE周長取得最大值的條件下,將該拋物線沿射線。方
向平移逐個單位長度,點”為平移后的拋物線的對稱軸上一點.在
平面內(nèi)確定一點M使得以點A,P,M,N為頂點的四邊形是菱形,
寫出所有符合條件的點N的坐標(biāo),并寫出求解點N的坐標(biāo)的其中一
種情況的過程.
5.如圖1,一段高架橋的兩墻43由拋物線一部分ACB連接,為確
保安全,在拋物線一部分AC5內(nèi)修建了一個菱形支架如CE,拋物線的
最高點。到A3的距離OC=4米,NODC=60。,點E在拋物線一部分
ACB上,以所在的直線為入軸,0。所在的直線為丁軸,建立平面
直角坐標(biāo)系xQv,確定一個單位長度為1米.
(1)求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.
(2)如圖2,現(xiàn)在將菱形ODCE做成廣告牌,且在菱形內(nèi)再做一個內(nèi)接
矩形MNPQ廣告牌,設(shè)邊EP長度為機米,試求內(nèi)接矩形MNPQ的面積
工(用含機的式子表示);
(3)若已知矩形MNPQ廣告牌的價格為80元/米2,廣告牌其余部分的價
格為160元/米2,試求完成菱形廣告牌所需的最低費用.
6.如圖,直線y=m+70).與拋物線y=*+bx+c交于A(-l,0),8(2,3)
(2)若點C在拋物線上,且VABC的面積為3,求點C的坐標(biāo);
(3)若點尸在拋物線上,PQLOA交直線AB于點。,點“在坐標(biāo)平面內(nèi),
當(dāng)以B,P,Q,M為頂點的四邊形是菱形時,請直接寫出點〃的坐標(biāo).
7.如圖,經(jīng)過AQ0),3(4,0)兩點的拋物線y=T-法+C與y軸交于點C.
(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及點。的坐標(biāo);
⑵若線段BC上有一動點M(不與5,。重合),過點M作軸交
拋物線于點N.
①當(dāng)線段的長度最大時,求此時點M的坐標(biāo);
②是否存在一點使得四邊形四為菱形?若存在,求出點”的
坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
8.已知如圖:拋物線交x軸于點網(wǎng)1,。)、點C(5,。),交丁軸于點4(0,5),
點3、點。關(guān)于y軸對稱.
(1)求拋物線解析式.
(2)點尸是拋物線上對稱軸右側(cè)一點,連接AD,AADP面積最大時,求
出AADP最大面積和此時點P的坐標(biāo).
(3)點M在對稱軸上,點。是第一象限內(nèi)一點,以點A、D、M、Q為
頂點的四邊形是菱形時,直接寫出點。的坐標(biāo).
9.在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=-Y+bx+c與%軸交于A(-3,0),3(1,0)
兩點,與y軸交于點。.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖甲,在y軸上找一點。,使AC。為等腰三角形,請直接寫出
點D的坐標(biāo);
(3)如圖乙,點尸為拋物線對稱軸上一點,是否存在尸、。兩點使以點
4C,P,。為頂點的四邊形是菱形?若存在,求出P、。兩點的坐
標(biāo),若不存在,請說明理由.
10.如圖,拋物線產(chǎn)加+法+c過點4(-1⑼,3(3,0),C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)設(shè)點p是直線3C上方拋物線上一點,求出P3C的最大面積及此時
點尸的坐標(biāo);
(3)若點M是拋物線對稱軸上一動點,點N為坐標(biāo)平面內(nèi)一點,是否存
在以為邊,點氏GM、N為頂點的四邊形是菱形,若存在,請直接
寫出點N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
11.如圖,拋物線股加+弧+c與X軸交于A,B(TO)兩點,與y軸交
備用圖
(1)求拋物線的解析式;
(2)已知人為正數(shù),當(dāng)。<x<i+左時,y的最大值和最小值分別為加,n,
且=求人的值;
(3)點尸是平面內(nèi)任意一點,在拋物線對稱軸上是否存在點。,使得
以點A,C,P,。為頂點的四邊形是菱形?若存在,求出點。的坐
標(biāo);若不存在,請說明理由.
12.如圖,拋物線、=4尤2+云+°與%軸負(fù)半軸交于點4與%軸正半軸
交于點8與y軸負(fù)半軸交于點CA(T,O),3(1,0),ZACB=90°.
備用圖
(1)點。的坐標(biāo)為;拋物線的函數(shù)表達(dá)式為;
⑵點。是0A上一點(不與點A、。重合),過點。作入軸的垂線,交
拋物線于點E,交AC于點尸,當(dāng)〃=/時,求點E的坐標(biāo);
⑶設(shè)拋物線的對稱軸/交入軸于點G,在(2)的條件下,點又是拋
物線對稱軸上一點,點N是坐標(biāo)平面內(nèi)一點,是否存在點V、N,使
以A、E、M.N為頂點的四邊形是菱形.若存在,直接寫出點N的
坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
13.如圖,拋物線y=#+bx+c與x軸交于A、3兩點(點A在點3左邊),
與y軸交于點c.直線y=gx-2經(jīng)過8、C兩點,點尸是拋物線上一動點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)拋物線上的點尸的在BC下方運動時,求BCP面積的最大值.
(3)連接OP,把△OCP沿著y軸翻折,使點P落在P的位置,四邊形CPOPC
能否構(gòu)成菱形,若能,求出點尸的坐標(biāo),如不能,請說明理由;
14.如圖,拋物線y=Y+bx+c與X軸交于A、3兩點,與>軸交于c點,
OA=2,0c=6,連接AC和BC.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線對稱軸上是否存在一點。使得ACD的周長最小,若存在,
請求出,點坐標(biāo),若不存在,請說明理由;
⑶若點“是y軸上的動點,在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點N,使以點A、C、
M.N為頂點的四邊形是菱形?若存在,請直接寫出點N的坐標(biāo);
若不存在,請說明理由.
15.如圖,拋物線y=*+bx+c交y軸于點A(0,2),交X軸于點8(4,0)、C
兩點,點。為線段。B上的一個動點(不與0、B重合),過點。作DMA
(1)求拋物線的解析式;
⑵連接3和BN,當(dāng)?shù)拿娣e最大時,求出點。的坐標(biāo)及.ABN的最
大面積;
(3)在平面內(nèi)是否存在一點尸,使得以點A,M,N,尸為頂點,以AM為
邊的四邊形是菱形?若存在,請求出點尸的坐標(biāo);若不存在,請說明
理由.
參考答案
1.⑴y=/-4x+3
(2)①一療+3相;②g-j
(3)存在,點M的坐標(biāo)為M(2,3)或以(2,1+2忘)或黑(2,1-2忘).
【分析】本題是二次函數(shù)綜合題,考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),待
定系數(shù)法求函數(shù)解析式,菱形的性質(zhì)等知識,利用數(shù)形結(jié)合和分類討
論的思想解決問題是關(guān)鍵.
(1)利用待定系數(shù)法,將點41,。)和點陽,。)代入拋物線解析式,求出
a、6的值,即可求解;
(2)①先確定直線BC解析式,根據(jù)過點尸作》軸的平行線交直線BC
于點。,可用含根的式子表示出尸和。的坐標(biāo),即可求解;
②用含m的代數(shù)式表示出△MC的面積,得到S關(guān)于機的二次函數(shù),
即可求解;
(3)先求出拋物線的對稱軸,進(jìn)而得到點£的坐標(biāo),過點£作跖八軸
于點乙得到CF=2=£F,CE=2后,根據(jù)菱形的性質(zhì),分兩種情況討
論:①當(dāng)CE為菱形的對角線時,CM=EF=2.②當(dāng)CE為菱形的邊時,
ME=CE=2梃,即可得出點〃的坐標(biāo).
【詳解】⑴解:拋物線1加+8+3(叱0)經(jīng)過點41,0)和點3(3,0),
解得;二,
拋物線解析式為V=V-4X+3;
(2)解:如圖:
①在拋物線y=#-4x+3中,令x=0,則產(chǎn)3,即C(0,3),
設(shè)直線BC的解析式為"入+〃,將將點8(3,0)、C(0,3)代入得:
,解得:
6=3
二直線8C的解析式為:y=-x+3,
設(shè)網(wǎng)機,]-4/〃+3),貝|Z)(m,—wi+3),
PD=—m+3——4m+3)=—m2+3m
故用含機的代數(shù)式表示線段口的長為-病+而;
223丫27
②S.PBC=S”+SBPD=^-PDOB=1(-^+3=-^m+^-m=-^
m
乙乙乙乙乙~2J+至,
點P(m,nr-4祖+3)是直線BC下方的拋物線上一動點,
/.0<m<3,
3
,當(dāng)力=5時,S有最大值,此時%=療_4〃?+3=-
4
3_3
:.P
2,-4
故△P3C的面積最大時點P的坐標(biāo)為(I,3
4)9
(3)解:存在這樣的點加和點N,使得以點。、E、M.N為頂點的
四邊形是菱形,理由如下:
y=X2—4x+3=^x—2)2—1,
二拋物線的對稱軸為直線尤=2,
當(dāng)x=2時,y=-x+3=l,
過點E作砂D軸于點/,則跖=2,OF=1,
:.CF=2=EF,
:.CE=VCF2+EF2=2A/2,
以點C、E、M、N為頂點的四邊形是菱形,
①當(dāng)CE為菱形的對角線時,此時點能與點尸重合,CM=EF=2,
,M(2,3);
②當(dāng)CE為菱形的邊時,此時ME=CE=2拒,
以(2,1+20),M(2,1-2點),
故使得以點C、E、M、N為頂點的四邊形是菱形,點〃的坐標(biāo)為必(2,3)
或私(2,1+2夜)或
2.(1)y=-x2+3x+4
(2)|
(3)(孚-1,-半)或(4,5)
【分析】(1)根據(jù)直線y=f+4,求出3(4,0),C(0,4),再代入二次函數(shù)
解析式即可.
(2)根據(jù)二次函數(shù)解析式,得到4T。),從而得出口=好+4,再根據(jù)
直線/〃AC,設(shè)為E=4X+〃,將。(%,-帆+4)代入得“=_5:〃+4,得出
yDE=4x-5m+4,則與"一1,0),從而得出現(xiàn)皿=-,所2)2+[,得出面積最
4o2
大值.
(3)根據(jù)菱形的性質(zhì)進(jìn)行分類討論,①AC=CD,根據(jù)以私-利+4),C(0,4)
得出CZ)="w=&7,求出機的值從而求解;②AC=M),。(租,-加+4),A(-l,0),
得出AD=J2療-6帆+17=江,求出機的值從而求解.
【詳解】(1)直線尸-+4于坐標(biāo)軸上氏C兩點,
..B(4,0),C(0,4),
拋物線y=-Y+bx+c的圖象過8,c兩點,代入得,
f0=—16+4Z?+c
[4=c'
解得仁:’
二拋物線的解析式為:y=7+3x+4;
(2)如圖,
拋物線的解析式為:y=7+3x+4,
當(dāng)y=o時,-爐+3%+4=0,
解得:X,=-1,X2=4,
4T0),
C(0,4),
;?%C=4X+4,
直線/〃AC,
設(shè)為14x+w,
點。為線段BC上一點,設(shè)。(%,-加+4),代入得,〃=-5%+4,
/.yDE=4x-5m+4,
AE=—m,
4
m_m+22
SvADE=^-g|(4)=-1^+|-m=—|(m-2)+-|,
Z4o2oZ
當(dāng)機=2時,5^有最大值:.
(3)存在,理由如下:
4T0),C(0,4),
-AC=A/12+42=V17,
以點ACRP為頂點的四邊形為菱形,
①AC=CD,
£)(m,—m+4),C(0,4),
?.CD=y/n^+m2=,2/=-717,
??m=土--?
2
點。為線段BC上一點,
直線/〃AC,以點AC。,P為頂點的四邊形為菱形,
??.AC=DP,
D(m,—m+4),
/.P(m-1,—m)
@AC=AD
D(m,—m+4),A(-l,0),
AD=7(m+l)2+(m-4)2=j2"-6m+17=歷,
叫=0,牝=3,
當(dāng)機=0時,。(0,4)與點C(0,4)重合,不符合題意,舍去,
當(dāng)〃2=3時,0(3,1),
直線/〃AC,以點AC。,尸為頂點的四邊形為菱形,
AC=DP,
D(jn,—m+4),
/.P(m+l,-m+8)
AP(4,5)
綜上所述:尸的坐標(biāo)為(華-1,-孚)或(4,5)
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、面積最值、平面
直角坐標(biāo)系中兩點之間的距離等相關(guān)知識點,知曉兩直線平行,斜率
相等是解決本題的關(guān)鍵.
3.(1)>=--+2彳+3;
(2)①。+3”?,CE=yfim;②|■或g;
(3)存在,點”的坐標(biāo)為(1,0)或(2,0)或(3一也0).
【分析】(1)利用直線求出點3、C的坐標(biāo),代入二次函數(shù)丁=-/+心+°,
利用待定系數(shù)法求解;
(2)①由點M(〃z,0),可得點£>(〃?,-療+2"?+3),點/也一m+3),利用兩點
的距離公式即可求解;
②分情況討論。?當(dāng)△皿CSADEC時,6.當(dāng)△ABCs^CED時,利用相似三
角形的性質(zhì)即可求解;
(3)當(dāng)以C,D,E,尸為頂點的四邊形為菱形時,討論畫出所有的
情況,再利用菱形的四邊相等,求解對應(yīng)機的值,從而得到點”的坐
標(biāo).
【詳解】(1)解:將x=。代入一次函數(shù)y=f+3得:尸3,
???點c坐標(biāo)(0,3),
將尸。代入一次函數(shù)y=-x+3得:X=3,
二點B坐標(biāo)(3,0),
將點C、8代入拋物線>=-/+6尤+。得,
f-9+3Z?+c=0
[c=3,
解得
?二拋物線>=*+2%+3.
(2)解:①設(shè)點M(見0),
點D\m,—m1+2根+3),點E(m,—m+3),
二.DE=-m2+2m+3-(-m+3)=-nr+3m,
CE=+(3+m—3)2=\/2m,
DE=-m2+3m,CE=6m;
②。OB=OC=3,
?**NOBC=45°,BC=V32+32=372,
將y=。代入拋物線y=7+2%+3,
解得再=-1,9=3,
「?點A坐標(biāo)(TO),
.\AB=49
軸,
ZDEC=ZMEB=ZOBC=45°,
。.當(dāng)△ABCsADEC時,緇窄,
DEEC
即「^=兆,解得機=?,
—m+3m721n5
6.當(dāng)△ABCsMED時,—,
即六=解得加=|,
72nl-m+3m2
綜合上述,當(dāng)以C,D,E為頂點的三角形與VABC相似時,機的值為g
或:
(3)解:存在,
以C,D,E,尸為頂點的四邊形為菱形時,需滿足以下三種情況:
由(2)可得,點C(0,3),D(/n,-m2+2m+3),E(m,-m+3),
CD2=m2+(-m2+2m+3-3)2=m2+(-m2+2m)2,
CE2=2m2,DE2=(-m2+3m)2,
①當(dāng)CD=CE時,m2+(-m2+2m)2=2m2,
解得叫=1,供=3(舍去),
此時點M的坐標(biāo)為。,0);
②當(dāng)C£>=£>E時,m2+(-m2+2iri)2={-m2+3m)2,
解得利=2或0(。舍去),
此時點”的坐標(biāo)為(2,。);
③當(dāng)CE=DE時,2m2=(-m2+3m)2,
解得叫=3+0(舍去),㈣=3-及,/=0(舍去),
此時點”的坐標(biāo)為(3-①。);
綜合上述,存在,點”的坐標(biāo)為(1,。)或(2,。)或(3-也0).
【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題,主要考查了待定系數(shù)法,一次函
數(shù)上點的坐標(biāo)特點,二次函數(shù)上點的坐標(biāo)特點,菱形的性質(zhì),三角形
相似的性質(zhì),本題的解題關(guān)鍵是分情況討論,做到不重不漏.
Ia
4.(l)y=--^2+-^+2
(2)APDE周長的最大值哼2,止匕時點尸(2,3)
(3)以點A,P,M,N為頂點的四邊形是菱形時?之(或,,?或
2’2
1乙乙)
【分析】(1)把。,3)、A(TO)代入嚴(yán)加+=+2計算即可;
(2)延長尸E交X軸于,可得/DEP=/BC。,進(jìn)而得到DPEOBC,
蓍黑者,求出所的最大值即可;
(3)先求出平移后的解析式,再設(shè)出V,N的坐標(biāo),最后根據(jù)菱形
的性質(zhì)和判定計算即可.
【詳解】(1)把(1,3)、A(TO)代入尸加+及+2得,
11
a=——
解得「,
b=-
I2
拋物線的表達(dá)式為y=-32+1+2;
(2)延長尸E交X軸于F,
,過點尸作于點。,過點尸作》軸的平行線交直線8C于點E,
I.ZDEP=ZBCO,ZPDE=ZCOB=90°,
DPEOBC,
.DPE周長PE
''08C周長―BC,
pp
DPE周長=——OBC周長,
BC
J當(dāng)尸E最大時APDE周長的最大
拋物線的表達(dá)式為v=-;/+1+2,
8(4,0),
?二直線BC解析式為y=-gx+2,BC=-JOC2+OB2=275
設(shè)尸(機,-;病+|帆+2),則《根,_g根+2]
PE=--m~+—m+2-\~—m+2\=--m2+2m=--(m-2\'+2,
22I2J22、,,
.?.當(dāng)帆=2時尸E=2最大,此時尸(2,3)
8OC周長為OC+O8+BC=6+26,
???△PDE周長的最大值為4、(6+2")="旦此時尸⑵3),
即APDE周長的最大值哼2,此時點尸(2,3);
(3)?..將該拋物線沿射線。方向平移百個單位長度,可以看成是向
右平移2個單位長度再向下平移一個單位長度,
???平移后的解析式為>=-*-2)2+*一2)+2一1=一#+1一4,此拋物線對
稱軸為直線x=g
設(shè),N(s,r)
;尸(2,3),A(-1,O)
22
("-3)2=;+72812
PA2=18,PM?--2I+(M-3)2,AM2—+1I+(n-0)=----Fn,
224
當(dāng)以為對角線時,此時以點A,P,M,N為頂點的四邊形是菱形
,必與肱V互相平分,^PM=AM
?g+("3『='+"2,解得〃=_1
(7、
一+s
2-13+02_n+t
PAMN中點坐標(biāo)為
2222
7
5
7-s=——
2
2,解得<
9
n+t=3
2
此時N[,|];
當(dāng)PA為邊長且AM和PN是對角線時,此時以點A,P,M,N為頂點
的四邊形是菱形
AM與PN互相平分,且正”=出
?9((〃-3):18,解得〃=3土平
-4+
(7.、
----1
2+s3+/2_n+0
PN,切中點坐標(biāo)為
2222
7
1
2+s=-1心力/口2
2,解得
3+1=〃+0t=士近'
2
此時或N:,-乎卜
同理,當(dāng)以為邊長且AN和尸河是對角線時,此時以點A,P,M,N
為頂點的四邊形是菱形
AN和互相平分,且=
,+"2=18,此方程無解;
綜上所述,以點4P,M,N為頂點的四邊形是菱形時或
【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題,考查了待定系數(shù)法,相似三角形
的性質(zhì)與判定,菱形的性質(zhì)及應(yīng)用,中點坐標(biāo)公式等知識,解題的關(guān)
鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點的坐標(biāo)及相關(guān)線段的長度.
5.⑴)=_:尤2+4
(2)S=-V3m2+4^/7i
⑶960石元
【分析】(1)過點。作軸于點作DV_Ly軸于點N,在RtODN
中,OV_Ly軸,ZODN=300,勾股定理得出ND的長,進(jìn)而得出。RG,2),
根據(jù)。C=4得出點。的坐標(biāo),進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式;
(2)待定系數(shù)法求出直線8的解析式,直線8的解析式,設(shè)矩形
MNPQ中,QM=PN=x米,則與f=「代入》=冬和一冬+4,得
/f,4-^-,由軸對稱得DN=EP=m,得出MN=DN=m,根據(jù)
"N的長度列得4-¥x=m,求出-石”,得到PN=46-6m,再根
據(jù)S=W.PN求出函數(shù)解析式;
(3)根據(jù)(1)可得5*「¥"2=4百,求出菱形ODCE的面積,再求
出總費用卬與機的函數(shù)關(guān)系式,利用函數(shù)的性質(zhì)解答即可.
【詳解】(1)解:如圖,過點。作軸于點“,作DNLy軸于點
N,
圖I
;四邊形8CE是菱形,
I.CD=OD,
':/ODC=60。,
。8是等邊三角形,
.,.OD=OC=4,ZODN=-ZODC=30°,
2
在RtODN中,ON_Ly軸,ZODN=30°,
ON=^OD=2,DN=Jor>2_ON?=抬-聽=2』,
:.。(2后2),
,?OC=4,
AC(0,4),
設(shè)拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=加+c(a關(guān)。),
將C(0,4),。(262)代入得
c=4,解得"有
12a+c=2
c=4
???拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=2尤2+4;
(2)設(shè)直線的解析式為y=履,將。(2后2)代入,
得2瓶=2,解得“=£,
直線OD的解析式為y=;
設(shè)直線CD的解析式為了=如+〃,將點。(0,4),“2百,2)代入得
「〃一46
2國+T,解得[3,
直線CD的解析式為y=-^x+4;
設(shè)矩形MNPQ中,加=PN=x米,則為=/=3,
代入y=#x和y=-^-x+4,
得咕⑦電4一空;
?srV3Xy/ix^3
??MN=44-------------=4--x,
663
由軸對稱得DN=EP=%
?.?MN〃y軸,
/.ZMND=ZOCD=60°,ZNMD=ZCOD=60°,
*?-MN。是等邊三角形,
/.MN=DN=m,
:.4一叵x=m,
3
解得x=46一百加,
/.PN=46—6m,
/.內(nèi)接矩形MNPQ的面積S=AW.PN=M4百-圓)=_?2+4?,
由(1)可得Sg,=4"2=4百,
???菱形ODCE的面積=2S雙=2x4百=8后,
總費用卬=80卜后》2+4國)+160[8殍卜&2+4后川=80+加-2)2+960否,
,當(dāng)機=2時,W最小,最小值為9606,
???完成菱形廣告牌所需的最低費用為960石元.
【點睛】此題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用,菱形的性質(zhì),矩形的性質(zhì),
正確掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
6.(1)y=-%2+2x+3
(2)點C的坐標(biāo)為(0,3)或(1,4)或[耳I^^或[葉產(chǎn),三姮1
(3)點M的坐標(biāo)為(2,1)或(0,3)或(2,3戊+1)或(2,-3夜+力
【分析】(1)將A(T。)、以2,3)代入二次函數(shù)解析式,利用待定系數(shù)法
即可解答;
(2)根據(jù)題意分當(dāng)點C在直線上方時和點C在的下方兩種情況
即可解答;
(3)設(shè)點尸(。,-6+2“+3)根據(jù)菱形的性質(zhì)分情況討論即可解答.
【詳解】(1)解:???拋物線產(chǎn)T+6x+c經(jīng)過點A(TO),5(2,3)兩點,
—1—Z?+c=0
—4+2Z?+c=3
???解得仁,
.,.拋物線的解析式為,="+2工+3;
(2)解:設(shè)點c的坐標(biāo)為(x,y),
如圖1,當(dāng)點C在直線上方時,過點3作軸,垂足為£),連接
CD,
???點。(2,。),
A(-l,0),3(2,3),
AD=3,BD=3,
x
??ABC~S4;+SBDC—SADC——3xj;+—x3x(2—x)——x3x3=3,
y=%+3,
???點c在直線y=x+3上,
???點c在拋物線上,
.?.點c是直線y=x+3與拋物線的交點,
??x+3=—f+2x+3,
解得:石=。,%2=1,
???點c的坐標(biāo)(0,3)或(1,4);
設(shè)直線AB的解析式為:y=kx+b(k^O),
貝叱露,解得:憶:
y=x+i,
???直線"X+3是直線AB向上平移2個單位得到的,
將直線A3向下平移2個單位,得到直線y=x-i,與拋物線的交點與
點組成的三角形的面積也為3,
即:當(dāng)點C在直線48下方時,為直線y=xT與拋物線的交點,
??x~l=—f+2x+3,
(3)解:由(2)知:直線"為y=x+i,設(shè)直線與y軸的交點為E,
當(dāng)x=o時,y=i,
,直線AB與y軸的交點為:£(0,1),
OE=OA,
ZOAE=ZOEA=45°,
設(shè)點尸(凡"+2。+3),則:點Q(a,a+1),
?.?以氏為頂點的四邊形是菱形,
當(dāng)也為邊,則:BMPQ,即:點”的橫坐標(biāo)為:2,
點尸在點。上方時:①如圖,當(dāng)PQ=8P時,
PQ1OA,
NPQB=45。,
ZMQB=45°,
ZPQM=90°,
:.NBPQ=90。,
;.PBx軸,
8(2,3),
.??點網(wǎng)。,3),
BM=BP=2,
???點/(2,1);
②當(dāng)PQ=BQ時,如圖,過點3作^^p。,則:BF=2-a,
?/ZPQB=45°,
BQ=C(2-"),
PQ=—a2+Q+2,
??\/^(2—〃)=—a?+a+2,
解得:%=2(舍),%=0-1,
BM=BQ=3及-2,
(2,3忘+1);
當(dāng)點P在點。下方時:如圖:
同上②法可得:近(2-a)=h,
解得:%=2(舍),%=-夜T,
I.BM=BQ=3皈+2,
M(2,-3A/2+1);
當(dāng)PQ為對角線時,如圖,則:BM±PQ,
3加〃了軸,即點河的縱坐標(biāo)為3,
設(shè)相交與點G,
?/ZPQB=45°,
ZBQM=90°9
:./PBQ=90。,
JPQ=2BG,
艮°:2(2_a)=-〃2+〃+2,
解得:。=1或4=2(舍去);
BM=2,
A/(O,3);
綜上所述,點M的坐標(biāo)為(2,1)或(0,3)或(2,3點+1)或(2,-3&+1).
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用.熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì),
利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解,是解題的關(guān)鍵.
7.(1)拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=-尤2+5》-4,點。的坐標(biāo)為(0,-4)
⑵①點”的坐標(biāo)為(2,-2);②不存在點"使得四邊形OCMN為菱形.理
由見解析
【分析】(1)利用待定系數(shù)法解答,即可求解;
(2)①先求出直線BC對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式,可點M的坐標(biāo)為(列加-4),
則點N(〃d5〃L4),從而得到M7=(_W+5W_4)_(加-4),再根據(jù)二次函
數(shù)的性質(zhì),即可求解;②假設(shè)存在點又使得四邊形OC肱V是菱形,則
MN=CO=NO=4,可得根=2,從而得到點N的坐標(biāo)為⑵2),進(jìn)而得到
ON手CO,即可.
【詳解】(1)解:將點41,。),3(4,。)代入〉=-/-云+。,
得,—l—b+c=Ob=-5
—16-4Z?+c=0,解得c=-4
???拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=-丁+5x-4.
當(dāng)x=0時,y=-4,即點。的坐標(biāo)為(0,-4).
(2)解:①設(shè)直線8C對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為產(chǎn)爪-4,
將點3(4,0)代入,得4左-4=0,解得左=1,
???直線BC對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=X-4.
設(shè)點M的坐標(biāo)為(〃?,〃7-4),則點N(祖,-蘇+5%一4),
MN=(-府+5〃z-4)-(〃z-4)=-nV+4m=-(^m-2y+4.
V-l<0,
當(dāng)利=2時,MN取得最大值,
此時點M的坐標(biāo)為(2,-2).
②不存在.
理由:假設(shè)存在點又使得四邊形是菱形,則肱V=CO=NO=4,
+4=4,解得m=2,
???點N的坐標(biāo)為⑵2).
ON=V22+22=2"牛CO,
.?.不存在點M使得四邊形OCMN為菱形.
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用,線段最值問題,菱形的性質(zhì),
熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
8.⑴y=Y-6x+5
(2)當(dāng)點尸的坐標(biāo)為生]時,AAP尸面積最大為g
⑶Q(4,5+啊,0(4,5-啊.
【分析】(1)由已知條件,設(shè)拋物線解析式為:y=(T)(x-5),將點
4(0,5)代入得:〃(。-1)(。-5)=5,求出。的值,最終得到拋物線解析式;
(2)根據(jù)題意,點尸是拋物線上對稱軸右側(cè)一點,設(shè)可租,>-6租+5),
加>3,連接AP,DP,設(shè)過,尸的直線解析式為股質(zhì)+M求出直線的
加解析式為:y="‘、6";+為+--6〃:+5,設(shè)與y軸交于點4,則
A]O,病片+5;分兩種情況,點A,在x軸上方時,S△皿,=gxA4,x(x右?)
=求出最大面積,此時的點p坐標(biāo);點A在X軸下方時,
s△曲=g(蘇-M7+10),即便加=5時,S△的=15<£,從而得到當(dāng)點尸的坐
標(biāo)為冷時,A4DP面積最大為g
(3)由題意知,點A、。、M、。為頂點的四邊形是菱形,分兩種情
況討論:當(dāng)點”在x軸下方,利用菱形的性質(zhì),可以證明
△AO/汪△QHM(AAS),求出。(4,5-M);當(dāng)點M在x軸上方,同理可證
△AOD=△Q/nr(AAS),求出Q,(4,5+M).
【詳解】(1)解:拋物線交%軸于點,拗)、點*0),
???設(shè)拋物線解析式為:y=<x-i)(%-5)
將點4(0,5)代入得:?(0-1)(0-5)=5
a=l,
二拋物線解析式為:y=(xT(7)
艮[Jy=/—6x+5.
(2)?點。與點即。)關(guān)于y軸對稱,
.-.D(-l,0)
y=x2-6x+5=(x-3)~-4
對稱軸為x=3,
點尸是拋物線上對稱軸右側(cè)一點,
設(shè)「(/〃,病-6〃z+5),m>3,
連接AP,DP,
設(shè)過,尸的直線解析式為尸代+6,
0(-1,0)
>'.—k+b=0,艮左=6,
mk+b=m2—6m+5,
?,-mb+b=m2—6m+5
.77m2-6m+5
…b=k=------
m+1
m2-6m+5m2-6m+5
即過,尸的直線解析式為y=---------xH-----------
m+1m+1
y
設(shè)倏與軸交于點則Im+1
如圖,點A在x軸上方,
r
?e-S/\ADPA4x(xp-xp)
1-m2+1Im
一_y__________x(m+l)
-2m+1
121
+——
8
..當(dāng)租=》時,
SAW有最大值弁,此時點尸的坐標(biāo)為
O
如圖,點A在x軸下方,
1m2-m+10
^/\ADP一_y______x__(m__+l)
~2m+1
=;(療-m+10),
,i____,171
此時3>。,當(dāng)機>3時,S“p面積取值較大,即便m=5時,5AAPP=15<--,
故當(dāng)點尸的坐標(biāo)為仔。時,S△四面積最大為
(3)由題意知:
點加在對稱軸x=3上,點。是第一象限內(nèi)一點,
在RtAOD,
AD=yjAD2+OD2=A/52+12=A/26,
若以點A、。、“、。為頂點的四邊形是菱形,
貝UAD=DM=V26,
如圖,當(dāng)點”在X軸下方,過點“,作M2//AZ),過點“作X軸平行線,
過點。作y軸平行線,交于點不?!敖籜軸于點F,對稱軸交X軸于點E,
EM=YIDM2-DE2=A/10,
四邊形尸為矩形,
FH=EM=回,
由四邊形ADMQ是菱形知,
AD=QM,且ZAOD=ZQHM=90°,ZADO=ZQMH,
AAOD^AQHM(AAS),
.-.MH=DO=1,2H=AO=5,
2F=5-V1O,
e(4,5-710);
如圖,當(dāng)點M在x軸上方,同理AD=DVT=每,
在RtADEM'中,
EM'=y/DM'2-DE2=710,
作MQ//AD,過點”作x軸平行線,過點。作V軸平行線,交于點W,
可證/\AOD^/\QH'M'(AAS),
:.M'H=DO=1,Q'H'=AO=5,
由四邊形EM'H'F為矩形,
FH'=EM'=y/io,
0(4,5+啊,
綜上Q(4,5+W)或Q(4,5-W).
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式,二次函數(shù)的最值問
題,三角形的性質(zhì),菱形的性質(zhì),全等三角形的判定及性質(zhì),利用二
次函數(shù)的圖像與性質(zhì),掌握菱形的性質(zhì),分類討論所有情況,是解答
本題的關(guān)鍵.
9.⑴,=一-一2%+3;
(2)(0,0)或(0,-3)或(0,3-3匈或(0,3+3市);
⑶存在,P(-l,3-a),0卜4,_板)或P(T3+而),0/4,而)或尸(T1),
0(一2,2)或尸卜1,9),Q(2,3+g)或尸卜1,一婦),2(2,3-714)
【分析】(1)將A(-3,0),網(wǎng)1,。)代入y=*+法+c,求出友c,即可得出答
案;
(2)分別以點。為頂點、以點A為頂點、當(dāng)以點C為頂點,計算即可;
(3)拋物線y=-x2-2x+3的對稱軸為直線X=-1,設(shè)尸(-M),。(租,“),求
出AC?=18,AP2=t2+4,PC2^t2-6t+W,分三種情況:以AP為對角線或
以AC為對角線或以CP為對角線.
【詳解】(1)解:⑴???4(-3,0),B(LO)兩點在拋物線上,
.1O=-(-3)2-3/7+C
*'I0=-l2+Z?+c
解得,r二之,
,拋物線的解析式為:y=T-2x+3;
(2)令尤=。,y=3,
c(o,3),
由ACD為等腰三角形,如圖甲,
當(dāng)以點。為頂點時,DA=DC,點。與原點。重合,
0(0,0);
當(dāng)以點A為頂點時,AC=AD,AO是等腰AC。中線,
,OC=OD,
:.r?(o,-3);
當(dāng)以點C為頂點時,AC=CD=7tM2+OC2=V32+32=3A/2
???點D的縱坐標(biāo)為3-30或3&+3,
???綜上所述,點D的坐標(biāo)為(0,。)或(0,-3)或(0,3-3?或(0,3+3?.
(3)存在,理由如下:
拋物線>=一一2》+3的對稱軸為:直線》=-1,
設(shè)尸(-1,二),
':A(-3,0),C(0,3),
則AC?=(-3)2+32=18,
AP2=(-1+3)2+『=r+4,
PC2=(-l)2+(r-3)2=t2-6t+10,
?.■以4c、尸、。為頂點的四邊形是菱形,
.0?分三種情況:以AP為對角線或以AC為對角線或以CP為對角線,
當(dāng)以釬為對角線時,則”=CA,如圖1,
解得:r=3±&7,
4T,3_g)或?(_1,3+煙
?.?四邊形ACPQ是菱形,
AP與CQ互相垂直平分,即AP與C0的中點重合,
當(dāng)川-1,3-歷)時,
?m+0-3-1n+30+3-A/17
??—,―,
2222
解得:m=-4,n=-V17,
AQ(-4-V17)
當(dāng)弘-1,3+a)時,
?m+0-3-1n+30+3+-J17
2222
解得:m=-4,n=V17,
/.Q2s而)
以AC為對角線時,則PC=",如圖2,
t~-6r+10=r2+4,
解得:r=l,
?—
???四邊形APCQ是菱形,
與尸?;ハ啻怪逼椒?,即AC與CQ中點重合,
?HI—1—3+0n+10+3
2222
解得:m=-2,n=2,
???2(-2,2);
當(dāng)以CP為對角線時,則AP=AC,如圖3,
圖3
/+4=18,
解得:f=±g,
2卜1,硝£卜1,-佝,
?.?四邊形ACQP是菱形,
,AQ與CP互相垂直平分,即狼與CP的中點重合,
?-3+m0-1H+03±V14
??—,—,
2222
解得:m=2,n=3±A/14
Ae4(2,3+^),e5(2,3-^),
綜上所述,符合條件的點p、Q的坐標(biāo)為:「卜1,3-后),。卜4,-g)或
P(-1,3+Vi7),。卜4,府)或「(—1,1),。(一2,2)或尸卜1,9),。(2,3+9)或
P(-l,-714),2(2,3-714)
【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題,考查了解析式的求法、等腰三角形
的判定、菱形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、分類討論等知識,熟練掌
握菱形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
10.(1)y=一九2+2尤+3
(2)P3C的最大面積為1,
(3)存在,(4,后)或(4,-后)或卜2,黃+3),卜2,々1?+3),見解析
【分析】(1)利用待定系數(shù)法代入求解即可;
(2)利用待定系數(shù)法先確定直線BC的解析式為廣T+3,設(shè)點
尸3T2+2尤+3)(0<X<3),過點尸作尸??谳S于點O,交BC于點、E,得出
PE=-^+3X,然后得出三角形面積的函數(shù)即可得出結(jié)果;
(3)分兩種情況進(jìn)行分析:若BC為菱形的邊長,利用菱形的性質(zhì)求
解即可.
【詳解】(1)解:將點4(-1,0),以3,0),?0,3)代入解析式得:
a-b+c=O
<9。+3。+c=0,
c=3
a=-1
解得:,b=2,
c=3
拋物線的解析式為k與+2x+3;
(2)設(shè)直線BC的解析式為廣質(zhì)+6,將點5、。代入得:
f3k+b=0
jb=3'
解得:仁:,
直線BC的解析式為y=-尤+3,
3(3,0),
03=3,
設(shè)點P(元,3+2x+3)(0<x<3),過點尸作軸于點0,交BC于點E,
如圖所示:
E(x,-x+3),
二.PE-—爐+2%+3-(-x+3)-—爐+3x,
5"RC=-xPExOB=+3x)x3=-—x2—x=x-^-\+—,
"B
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