2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《二次函數(shù)中新定義型存在性問題》專項檢測卷（附答案）

2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《二次函數(shù)中新定義型存在性問題》專項檢測卷附答案

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一、選擇題

1-已知y是以X為自變量的函數(shù)，當(dāng)％=m時，函數(shù)值為若存在實數(shù)使得M=3m-3,則稱點（m,M）

是函數(shù)y的“奇妙點”，以下函數(shù)存在兩個“奇妙點”的是（）

A.y=--B.y=5x2—xC.y=2x+1D.y=%2—3%+1

2.新定義：若一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍，則稱這個點為二倍點.若二次函數(shù)y=K2一%+。1為常

數(shù)）在-2<%<4的圖象上存在兩個二倍點，則c的取值范圍是（）

1919

B4<C<C4<C<-D1O<C<

A.4-4-4-4-

二'填空題

3.對于一個二次函數(shù)y=a（%-m）2+k（a大0）中存在一點P（x',y'）,使得%,一m=）/-k00,則稱2|x'-

列為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線y=-#+卜+3“開口大小”為.

三、解答題

4.定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“琦點”.例如，

點（L—1）是函數(shù)y=%-2的圖象的“琦點

（1）分別判斷函數(shù)y=-%+4,y=，-2x的圖象上是否存在“琦點”？如果存在，求出“琦點”的坐標(biāo)；

（2）若拋物線y=ax2+2ax+b（a>0）有兩個“琦點”為點—n）,過點A作x軸的平行線

與拋物線交于點C（不與A點重合）.當(dāng)^ABC的面積為10時，求拋物線解析式；

（3）若函數(shù)y=--+6的圖象記為Wi，將其繞點（0,血）旋轉(zhuǎn)180。后的圖象記為勿2，當(dāng)W1，加2兩部分

組成的圖象上恰有3個“琦點”時，求m的值.

5.定義：對于兩個關(guān)于x的函數(shù)，如果存在x取某一值時，兩個函數(shù)的函數(shù)值相等，那么稱兩個函數(shù)互

為“明盟函數(shù)”，其中x的值叫做這兩個函數(shù)的“明盟點”，相等的函數(shù)值叫做“明盟值”.例如：對于函數(shù)》

=2x與"=-x+3,當(dāng)尤=1時，yi=y2=2,因止匕與、力互為''明盟函數(shù)"，尤=1是這兩個函數(shù)的“明盟點”，

“明盟值”為2.

（1）下列函數(shù)中是y=-2元的“明盟函數(shù)”的有（填序號）；

①尸尤-2；②y=［；③y=N+l.

x—3（x>3）

_,二、，若yi與”只存在一個“明盟點”，求相的

{3—x（x<3）

值或取值范圍;

（3）若無論〃取何值，y=3久一n（n+[+2w）（w為常數(shù)）與函數(shù)y=/-（2”-3）x+4〃-1（"為常

數(shù)，-1<心4）始終是“明盟函數(shù)”，且只有一個“明盟點”，求w的值以及“明盟值”的范圍.

6.我們不妨約定：在平面直角坐標(biāo)系中，若某函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點關(guān)于y軸對稱，則把該函

數(shù)稱之為“T函數(shù)”，其圖象上關(guān)于y軸對稱的不同兩點叫做一對“T點”.根據(jù)該約定，完成下列各題.

（1）若關(guān)于x的函數(shù)y=（〃?+l）x2+（加M）4是“T函數(shù)”，求加的值；

'4

（2）若點A（1,r）與點B（s,4）是關(guān)于x的叮函數(shù)“y=—其無<°）的圖象上的

tx2（x>0,CWO,t是常數(shù)）

一對“T點”,求r,s,%的值；

（3）若關(guān)于x的"T函數(shù)。=〃%2+陵+。（〃>0,且〃，b,c是常數(shù)）經(jīng)過坐標(biāo)原點0,且與直線/：y=

mx+n（m^O,n>0,且加，〃是常數(shù)）交于M（xi,yi）,N（必”）兩點，當(dāng)%2滿足為+%2=%m2時，

直線,是否總經(jīng)過某一定點？若經(jīng)過某一定點，求出該定點的坐標(biāo)；否則，請說明理由.

7.我們不妨稱P（皿租+2）為“長梅點”，例如（0.2）就是“長梅點”.請根據(jù)約定回答下列問題.

（1）下列函數(shù)圖象中存在“長梅點”的是.

①y=%—2；②y=弓；③y=%2+2%+3.

⑵在反比例函數(shù)y=《（l<久〈16）的圖象上存在三點4（有、8卜1）、C（r1）,滿足（t,s）、（s,r）都

是“長梅點”且SMBC=p求a的取值范圍.

（3）設(shè)Q是二次函數(shù)y=/圖象上的“長梅點”,一次函數(shù)y=kx+b與二次函數(shù)y=產(chǎn)相交于點M、N（不

妨設(shè)M在N的左邊），如果始終保持MQ1NQ,那么這樣的一次函數(shù)是否經(jīng)過某個定點，如果存在這樣的

定點，請直接寫出它的坐標(biāo)；如果不存在這樣的定點，請說明理由.

2

8.新定義：對于拋物線y=a%+bx+c,若廬=ac,則稱該拋物線是黃金拋物線，若拋物線y=/一2久+

zn是黃金拋物線，與y軸交于點A,頂點為D.

%

1■

--lO-1x

-1■

(1)求：此黃金拋物線的表達(dá)式及D點坐標(biāo)；

(2)點B(2,k)在這個黃金拋物線上.

①點C(c,-當(dāng)在這個黃金拋物線的對稱軸上，求：NOBC的正切值.

②在射線4B上找一點P,使以點P、A、D所組成的三角形與A4。。相似，求：P點坐標(biāo).

9.定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“等值點”.例如，點(1,1)

是函數(shù)y=*久+*的圖象的“等值點

(1)分別判斷函數(shù)y=久+2/=/—X的圖象上是否存在“等值點”？如果存在，求出“等值點”的坐標(biāo)；

如果不存在，說明理由；

(2)設(shè)函數(shù)丫=|(久〉0),丫=一支+郵勺圖象的“等值點''分別為點人，B,過點B作BC1久軸，垂足為

C.當(dāng)AZBC的面積為3時，求b的值；

(3)若函數(shù)y=/—2(K之m)的圖象記為Wi，將其沿直線％=血翻折后的圖象記為勿2.當(dāng)勿1，/2兩

部分組成的圖象上恰有2個“等值點”時，直接寫出m的取值范圍.

10.定義：如果兩個函數(shù)》,丁2存在X取同一個值，使得了1=丁2,那么稱％,丁2互為“等值函數(shù)”，對應(yīng)的X

值為V，及的“等值根

(1)函數(shù)yi=%+b與y,=-是否互為“等值函數(shù)”？如果是，求出當(dāng)6=1時，兩函數(shù)的“等值根”；

ZJ2X

如果不是，請說明理由.

(2)如圖所示的是y=-彥+2川的圖象，它是由二次函數(shù)＞=-%2-2x的圖象x軸上方的部分沿x軸翻

折到x軸下方，圖象的其余部分保持不變得到的.若yi=分+6與以=-*+2尤|互為，，等值函數(shù)，，，且有兩

個“等值根”，求6的取值范圍.

11.規(guī)定：如果兩個函數(shù)圖象上至少存在一對點是關(guān)于原點對稱的，我們則稱這兩個函數(shù)互為“守望函數(shù)”，

這對點稱為“守望點”.例如：點P(2,4)在函數(shù)y=/上，點Q(-2,-4)在函數(shù)y=—2久—8上，點

P與點Q關(guān)于原點對稱，此時函數(shù)y=久2和y=-2%-8互為“守望函數(shù)”，點P與點Q則為一對“守望點”.

(1)函數(shù)y=—2%-1和函數(shù)y=4%是否互為“守望函數(shù)”？若是，求出它們的“守望點”，若不是，請說

明理由；

(2)已知函數(shù)y=/+2%和y=4x+n-2022互為"守望函數(shù)”，求n的最大值并寫出取最大值時對應(yīng)

的“守望點”；

(3)已知二次函數(shù)y=?！?+布+。5>0)與)/=2法+1互為“守望函數(shù)”，有且僅有一對“守望點”，

若二次函數(shù)的頂點為M,與x軸交于4(%i，0),B(X2,0),其中0<久1<尤2,AB=2,又。=g*正，過

頂點M作x軸的平行線1交y軸于點N,直線y=2bx+l與y軸交點為點Q,動點E在x軸上運動，求

拋物線y=ax2+bx+c(a>0)上的一點F的坐標(biāo)，使得四邊形FQEN為平行四邊形.

12.我們把函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的點定義為這個函數(shù)圖象上的“互反點”.例如在二次函數(shù)

y=x2的圖象上，存在一點p(-l,1),則點P為二次函數(shù)y=x2圖象上的“互反點”.

(1)求一次函數(shù)y=-2x-3的“互反點”.

(2)若二次函數(shù)y=x2-(2a+l)x+a只有一個“互反點”，且與y軸交于正半軸，求當(dāng)1WXW3時，y的

取值范圍.

(3)若對于任意的實數(shù)n,在二次函數(shù)y=(m+1)x2+nx+n-1的圖象上，恒有兩個相異的“互反點”,

求m的取值范圍.

13.新定義：已知y是x的函數(shù)，若函數(shù)圖象上存在一點P(a,a+2),則稱點P為函數(shù)圖象上的“樸實點”.例

如：直線y=2x+l上存在的“樸實點”是P(1,3).

(1)判斷直線y=:x+4上是否有“樸實點”？若有，直接寫出其坐標(biāo)；若沒有，請說明理由；

(2)若拋物線y=x2+3x+2-k上存在兩個“樸實點”，兩個“樸實點”之間的距離為2或，求k的值；

(3)若二次函數(shù)y=#+(m-t+1)x+2n+2t-2的圖象上存在唯一的“樸實點”，且當(dāng)-2勺叱3時，n的最

小值為t+4,求t的值.

四、實踐探究題

14.新定義：若函數(shù)圖象一定過點On,n),我們稱(m,冗)為該函數(shù)的"永固點如：一次函數(shù)y=k(x-2)(k片

0),無論k值如何變化，該函數(shù)圖象一定過點(2,0),則點(2,0)稱為這個函數(shù)的“永固點”.

【初步理解】一次函數(shù)%=-mx+3m(m>0)的“永固點”的坐標(biāo)是；

【理解應(yīng)用】二次函數(shù)%=-mx2+2mx+3m(m>0)落在x軸負(fù)半軸的“永固點”A的坐標(biāo)是,

落在x軸正半軸的“永固點”B的坐標(biāo)是；

【知識遷移】點P為拋物線丫2=-血/+2血久+3m(m>0)的頂點，設(shè)點A到直線％=-加久+

3m(m>0)的距離為心，點P到直線%=-mx+3m(m>0)的距離為d2,請問*是否為定值？如果是，

請求出事的值；如果不是，請說明理由.

15.小亮同學(xué)喜歡研究數(shù)學(xué)問題.他在一本資料中看到一個新的數(shù)學(xué)概念“對角線互相垂直且相等的四邊

形叫做垂等四邊形”，并對垂等四邊形進(jìn)行了研究.具體內(nèi)容如下：

【理解應(yīng)用】

(1)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，已知四邊形0ABe是垂等四邊形，點4的坐標(biāo)為(4,0),點C的

坐標(biāo)為(0,3),求點B的坐標(biāo)；

【規(guī)律初探】

(2)如圖2,正方形力BCD的邊長為a,點E在邊4B上，點F在邊BC上，點G在邊CD上，點H在邊4。上，

若四邊形滿足EG=FH,請直接寫出四邊形EFGH面積S的取值范圍；

【綜合探究】

(3)如圖3,已知拋物線y=—/+2%+3與％軸交于M、N兩點，點M在點N的左側(cè)，P、Q兩點在該

拋物線上.若以M、N、P、Q為頂點的四邊形是垂等四邊形且MN||PQ.設(shè)點P的橫坐標(biāo)為小，點Q的橫坐

標(biāo)為九，且血>九，求m的值.

參考答案

L【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】4

4.【答案】(1)函數(shù)y=-久+4的圖象上不存在“琦點”；函數(shù)y=/—2x的圖象上存在“琦點”為(0,0)和

(1,-1)；

(2)y=x2+2x—4；

(3)血=等或2或—3.

5.【答案】(1)①③

(2)解：當(dāng)直線yi=m(x+2)-3與y=x-3平行時，yi與y2只存在一個交點，

此時m=l,

???m兇時,yi與y2只存在一個“明盟點”；

當(dāng)yi=m(x+2)-3經(jīng)過點(3,0)時，m=|,此時yi與y2只存在一個交點；

當(dāng)直線yi=m(x+2)-3與y=3-x平行時，yi與y2不存在交點，

此時m=-1,

時，yi與y2只存在一個交點；

綜上所述：mNl或m=|或mV-1時，yi與y2只存在一個“明盟點”；

(3)解：由題可得3x-n(n+°+2w)=x2-(2n-3)x+4n-1,

n

整理得，x2-2nx+4n+2nw+n2=0,

???只有一個“明盟點”,

/.A=0,即16n+8nw=0,

??,無論n取何值都成立，

w=-2,

當(dāng)w=-2時，x2-2nx+n2=0,詢軍得x=n,

7

12

--n2-1---+45

+77n24

6.【答案】(1)解：依題意：m2-l-0,且m+IWO,得m=l；

(2)解：：A,B關(guān)于y軸對稱，.，.s=-1,r=4,；.A的坐標(biāo)為(1,4),

把A(1,4)代入是關(guān)于x的“T函數(shù)”中，得：t=4,

故答案為r=4,s=-1,t=4；

(3)解:,.,y=ax2+bx+c過原點，/.c=O,

Vy=ax2+bx+c是“T函數(shù)"，.\b=0,二y=ax2,

=ax2

聯(lián)立直線1和拋物線得：［y',gp:ax-mx-n=0,

(y=mx+n

.,m—n

??％l+%2=萬，xlx2=

T7..,.771—71口口

乂?xi+x2=xiX2,??—=―,即m=-n,

/.y=mx+n=mx-m,

當(dāng)x=l時，y=0,

J直線1必過定點(1,0).

7.【答案】(1)②

m2/?16

⑵15-a~~5

(3)一次函數(shù)y=kx+b過定點(1,2)或(1,0)或(-2,3)或(-2,5)

8.【答案】(1)y=x2-2x+4,QQ3)

(2)①/②(J4)或(4,4).

9.【答案】(1)函數(shù)y=x+2沒有“等值點”；函數(shù)y=/一久的“等值點”為(0,0),(2,2)；(2)b=48或

—2V3;(3)m<-,或-1<m<2..

10.【答案】⑴解:Jx+b，,

2x

/.x2-2bx-8=0,

△=(2b)2+32=4b2+32>0,

???方程總有兩個不相等的實數(shù)根，

函數(shù)yi=1x+b與y2=1是互為“等值函數(shù)”；

當(dāng)b=l時，貝！J有x2-2x-8=0,

(x-4)(x+2)=0,

x=4或-2；

(2)解：如圖，當(dāng)直線在點A與點O之間運動時，與y=-M+2x|的圖象有兩個等值根，

解得x=-2或0,

.?.點A(-2,0),點O(0,0),

當(dāng)yi=1x+b過點A時，1x(-2)+b=0,

解得b=l,

當(dāng)yi=；x+b過點O時,ix0+b=0,

解得b=0,

/.0<b<l,yi=3x+b與y2=Tx?+2x|互為“等值函數(shù)”，

當(dāng)-2<x<0,二次函數(shù)y=x?+2x,當(dāng)yi=；x+b與y2=x?+2x有一個等值根時，即x2+2x=：x+b,

整理得：△=x2+|x-b=0,

cQ

△=b2-4ac=-y+4b=0,

4

解得b=4

???當(dāng)bv-2yi=1x+b與y2=-*+2x|互為“等值函數(shù)”，且有兩個“等值根”，

Bb

?*.當(dāng)0<b<l或b<*,yi=1x+b與y2=-|x2+2x|互為“等值函數(shù)

11.【答案】(1)解：設(shè)P(a,b)在y=—2%—1上，則Q(—a,—b)在y=4%,?'｛工，

1

-

6

2

-

3

：.y=-2%-1與y=4久互為“守望函數(shù)”，“守望點”為(―與

(2)解：設(shè)P(s,t)在y=/+2%上，則Q(—s,—t)在y=4K+n—2022上，/.[?：+2s

I—t=-4s+n—2022

二消去t得s2-2s+n-2022=0,

?.,是“守望函數(shù)”，

.*.A=4-4(n-2022)>0,

：.n<2023,即n有最大值2023,

當(dāng)n=2023時,s2-2s+l=0,

解得：s=l,

/.t=3,

，此時“守望點”為(L3)與(-1,-3).

(3)解：設(shè)P?y)在y=+人工+的貝—y)在y=2b、+1上，.竽，

整理得a/—b%+c+i=。，

，,有且僅有存在一對“守望點”，

〃72

.△=爐_4a(c+1)=0,即4ac—1_

4a

.頂點M的縱坐標(biāo)為一1,

?由二次函數(shù)y=a/+6久+c與x軸交于2(%i，0),fi(x2l0),即久1，%2為0產(chǎn)+b%+c=0兩個根，

b_c

?11+外=一丁?12—不，

________________2

-AB=J(汽1+-4汽1久2二赤，

'AB=2,

?CL—19

._4c

ac2—c+6?

.c2—5c+6=0,

?c=2或c=3,

當(dāng)c=2時，b=±2遮,

*/0<<%2，

：.b<0,

?*-b——2V3?

AF(V3±1,0),

當(dāng)c=3時,b—±4,

0<刈<冷，

：.b<0,

:?b=-4,

???尸。0)或尸(3,0).

綜上，F(xiàn)(上士1,0)或尸(1,0),尸(3,0).

12?【答案】(1)解：設(shè)一次函數(shù)y=-2x-3的“互反點”為(x,-2x-3),

貝U：-2x-3+x=0,

解得：x=-3,

.??-2x-3=3.

???一次函數(shù)y=-2x-3的“互反點”為(-3,3)；

(2)解：設(shè)二次函數(shù)y=x2-(2a+l)x+a的“互反點”為(x,x2-(2a+l)x+a),

貝U：x2-(2a+l)x+a+x=0.

x2-2ax+a=0.

??,二次函數(shù)y=x2-(2a+l)x+a只有一個“互反點”，

A=(-2a)2-4a=0.

即：4a2-4a=0.

解得:ai=0,a2=l.

令x=0,貝！Jy=a,

，拋物線y=x2-(2a+l)x+a與y軸交于點(0,a).

'?,二次函數(shù)y=x?-(2a+l)x+a與y軸交于正半軸，

Aa>0.

/.a=l.

Ay=x2-3x+l.

當(dāng)x=l時，y=-1,

當(dāng)x=3時，y=l.

???10x33時，y的取值范圍為：-l<y<l.

(3)解：二次函數(shù)丫=(m+1)x2+nx+n-1的圖象上的“互反點”為(x,(m+1)x2+nx+n-1),

貝(m+1)x2+nx+n-l+x=O.

即:(m+1)x2+(n+1)x+n-1=0.

??,二次函數(shù)y=(m+1)x2+nx+n-1的圖象上，恒有兩個相異的“互反點”，

/.Ai=(n+1)2