2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)特殊平行四邊形存在性問題

二次函數(shù)特殊平行四邊形存在性問題

1在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-+.+c交x軸于A(-3,0),B(4,0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.

⑴求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖，直線y=江+:與拋物線交于A,D兩點(diǎn)，與直線BC交于點(diǎn)E.若M(m,0)是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，

44

過點(diǎn)M作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F,交直線AD于點(diǎn)G,交直線BC于點(diǎn)H.

①當(dāng)點(diǎn)F在直線AD上方的拋物線上，且S^EFC=：SA°EG時(shí)，求m的值；

②在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使四邊形EFHP為正方形?若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理

2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2x+c(a豐0)與x軸交于點(diǎn)A、B與y軸交于點(diǎn)C,連接B

C,OA=1,對(duì)稱軸為直線x=2，點(diǎn)D為此拋物線的頂點(diǎn).

⑴求拋物線的解析式；

(2)拋物線上C、D兩點(diǎn)之間的距離是；

(3)點(diǎn)E是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接BE和CE,求△8CE面積的最大值；

⑷點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，平面內(nèi)存在點(diǎn)Q,使以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q

的坐標(biāo).

3如圖，拋物線y=a/++c與x軸交于點(diǎn)2(—1，0),點(diǎn)3(—3,0),且OB=OC.

⑴求拋物線的解析式；

⑵點(diǎn)P在拋物線上，且乙POB=乙4CB,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)拋物線上兩點(diǎn)M,N,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為m+4.點(diǎn)D是拋物線上M,N之間的動(dòng)點(diǎn)，

過點(diǎn)D作y軸的平行線交MN于點(diǎn)E.

①求DE的最大值；

②點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)為F,當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形MDNF為矩形.

4如圖，已知直線y=-2x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B,拋物線過A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，

過點(diǎn)P作PCJ_x軸于點(diǎn)C,交拋物線于點(diǎn)D.

(1)若拋物線的解析式為y=-2x2+2%+4,設(shè)其頂點(diǎn)為M,其對(duì)稱軸交AB于點(diǎn)N.

①求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；

②是否存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形?并說明理由；

⑵當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1時(shí)，是否存在這樣的拋物線，使得以B、P、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似?若存在,

求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由.

5如圖，拋物線y=7+2久-8與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于，彈習(xí)筆記：

(1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)連接AC,直線x=m(-4<m<0)與該拋物線交于點(diǎn)E,與AC交于點(diǎn)D,連接OD.當(dāng)(0。回力C時(shí)，求

線段DE的長；

(3)點(diǎn)M在y軸上，點(diǎn)N在直線AC上，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，使得以C、M、N、P為

頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

6如圖，拋物線y=[/+2%-6與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,BC.

⑴求A、B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)并直接寫出直線AC,BC的函數(shù)表達(dá)式.

(2)點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的平行線1,交線段AC于點(diǎn)D.

①試探究：在直線1上是否存在點(diǎn)E，使得以點(diǎn)D,C,B,E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，求出點(diǎn)E的坐

標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；

②設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線1交于點(diǎn)M,與直線AC交于點(diǎn)N.當(dāng)SKDMN=S“oc時(shí)，請(qǐng)直接寫出DM的長.

2_如圖在平面直角坐標(biāo)系中RtAABC的邊BC在x軸上，N4BC=90。,以A為頂點(diǎn)的拋物線y=-x2+bx

+c經(jīng)過點(diǎn)C(3,0),交y軸于點(diǎn)E(0,3),動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸上.

⑴求拋物線解析式；

(2)若點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),沿A-B方向以1個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，過點(diǎn)P

作PDLAB交AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D平行于y軸的直線1交拋物線于點(diǎn)Q,連接AQ,CQ,當(dāng)t為何值時(shí)，△ACQ的

面積最大?最大值是多少？

(3)若點(diǎn)M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，在x軸上方是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P,M,E,C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，

若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

8已知拋物線F：y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且與x軸另一交點(diǎn)為(-日，0

⑴求拋物線F的解析式；

(2)如圖1,直線1:y=g比+MM0)與拋物線F相交于點(diǎn)A(X13)和點(diǎn)B(x?,y2)(點(diǎn)A在第二象限)，

求：y-i-%的值(用含m的式子表示)；

(3)在⑵中，若爪=1設(shè)點(diǎn)A是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，如圖2.

①判斷△AA'B的形狀，并說明理由；

②平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)A、B、A，、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說明理由.

9如圖，二次函數(shù)y^x2+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A(-3,0),B(1,0),交y軸于點(diǎn)C.點(diǎn)P(m,0)是x軸

上的一動(dòng)點(diǎn)，PM回%軸，交直線AC于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)N.

⑴求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)①若點(diǎn)P僅在線段AO上運(yùn)動(dòng)，如圖，求線段MN的最大值；

②若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，則在y軸上是否存在點(diǎn)Q,使以M,N,C,Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形.若存在，請(qǐng)直

接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

x

10.如圖，一次函數(shù)y=Y~8圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B,二次函數(shù)y=孚/+bx+c圖象過A、B兩點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)解析式；

(2)點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C,點(diǎn)P是對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使得以B、C、

P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

1解：⑴：拋物線y=—"2+6%+c交x軸于A(-3,0),B(4,0)兩點(diǎn)

y=—|(x+3)(%—4)=—1x2+1x+4;

(2)①如圖1,VB(4,0),C(0,4),

設(shè)BC的解析式為:y=kx+n,則｛4fe+n=°解得產(chǎn)=三

n=4n=4

**?BC的解析式為：y=-x+4,—x+4=

，44

解得:x=l,AE(1,3),VM(m,0),且MH_Lx軸,

???G(m＞：m+[),F(mf—|m2+|m+4^

???FG=--m2+-m+4—f-md--")

33\44/

12517

3124

???SAEFG=1^OEG,AEFG^OEG的水平寬度相同，

125759

???FG=2,——-----m+-=-x-

312494

解得：m=|,m=-2;

142

②存在，由①知：E(1,3),且ZCBM=45°

過點(diǎn)E作AB的平行線，與拋物線的交點(diǎn)就是正方形EFHP的頂點(diǎn)F.

；.FH=EF,ZEFH=ZFHP=ZHPE=90°,

VM(m,0),且MH_Lx軸，

--m2+-m+4

33,

分兩種情況：

第一種情況：當(dāng)-3Wm<l時(shí),如圖1,點(diǎn)F在EP的左側(cè),

222

???FH=(―m+4)—|m+1m+4^=|m—|mA|m—|m=1—解得：mr="尸(舍),m2=

1-V13.

第二種情況：當(dāng)l<m<4時(shí)，點(diǎn)F在PE的右邊，如圖2,同理得-：爪2+［爪=m一1,解得：叫=號(hào)!，

蛆=上/(舍)，同理得P。，上尹)；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(1，上/)或(1,7-V23).

2.解：⑴VOA=1,.-.A(-l,0)，又??.對(duì)稱軸為x=2,；.B(5,0),將A,B代入解析式得：｛八°；「二2，解

0=25a+1。+c

得｛_5之,y=-步+2x+1；

⑵由⑴得:C(o,|),D(2,..由兩點(diǎn)距離公式可得：CD=2Vx故答案為2魚;⑶VB(5,0),C(0,j),

2

.??直線BC的解析式為：y=-1%+j,igF(%--|x+2x+|),n0<x<5,

如圖，作EFLx軸交BC于點(diǎn)F,則F(x<-|x+|),

EF=——/+2%4-----

S^BCE=-xEFxBO=-x(--%2+-%)x5

當(dāng)x=2時(shí)，SABCE有最大值為哈;

⑷設(shè)P(2,y),Q(m,n),由⑴知B(5,0),C(0,|),分三種情況討論：

①若BC為矩形的對(duì)角線，

5+0=2+mm=3

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：｛o+§=v+Q解得：-V，

XVZBPC=90°,.*.PC2+PB2=BC2,

即:22+(|-y)2+32+y2?52+(|)2,

解得y=4或y=-1,二n=-1或n=4,

.?《(3，-|)或03,4),

m=7

5+2=0+m_

②若BP為矩形的對(duì)角線，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得｛n*”_5，解得：”=y'

又：NBCP=90。，BC2+CP2=Bp2

即：52+(|丫+22+(—)2=32+/,

解得y=p.,?Q(7,4),

③.若BQ為矩形的對(duì)角線，

m=-3

5+m=2+05?

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：+5解得："=、+：

又,/ZBCQ=90°,BC2+CQ2=BQ2,

即：52+(|)+Hi?+(|—ri)=(5—m)2+n2,

解得n=—|Q(-3,一9，

綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3，一|)或(3,4),或(7,4)或(-3，-q

解法二，也可以構(gòu)造利用一線三等角三角形相似來解決。

3.解：(1):拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)B(-3,0)...設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x+l)(x+3)

；OC=OB=3,點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸，...C(0,-3)

把點(diǎn)C代入拋物線解析式得：3a=-3,.\a=-l

???拋物線解析式為y=-(x+1)(x+3)=-x2-4x-3

⑵如圖1,過點(diǎn)A作AGLBC于點(diǎn)G,過點(diǎn)P作P，x軸于點(diǎn)H,AZAGB=ZAGC=ZPHO=90°

ZACB=ZPOB,.\AACG^APOH,.'.AG/PH=CG/OH,

OB=0C=3/BOC=90"

CGOH

：.AABC=45°,BC=Vos2+OC2=3/

AABG是等腰直角三角形，二AG=BG-^AB=

V2,CG=BC-BG=3V2-V2=2V2

PHAG1c-

——=—=一,OH=2PH,

OHCG2

設(shè)P(p—p?—4p—3)

①當(dāng)p<-3或-l<p<0時(shí).點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)或在AC之間，橫縱坐標(biāo)均為負(fù)數(shù)，

OH=-p,PH=—(一p?—4p-3)=p2+4p+3

-p=2(p2+4p+3)解得：Pl=19二運(yùn),

4

P2二三空RY1，菅多或(可空若今

②當(dāng)-3<p《l或p>0時(shí)，點(diǎn)P在AB之間或在點(diǎn)C右側(cè)，橫縱坐標(biāo)異號(hào)

P=2(p2+4p+3),解得：pi=-2,「2=一|

???P(-2,1)或(-|，|).

-m2-4m-3),N(m+4,-m2-12m-35)

設(shè)直線MN解析式為y=kx+n

2

解得：｛〃￡］丁,km+n=-m—4m-3

+4)+〃=-m2-12m-35

直線MN:y=(—2m—8)%+m2+4m—3

設(shè)D(d,-d2-4d-3)(m<d<m+4)

?.,DE〃y軸，，E(d,(-2m-8)d+m2+4m-3)

DE=-d2—4d—3—[(—2m—8)d+m2+4m—3]

H=—d2+(2m+4)d—m2—4m

=—[d-(m+2)]2+4

???當(dāng)€1=111+2時(shí)，DE的最大值為4.

/r尸圖3Z

②如圖3,：D、F關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，，DE=EF,

四邊形MDNF是矩形，

；.MN=DF,且MN與DF互相平分

DE=jwyV,E為MN中點(diǎn)，

m+m+4,日

???XD=XE=——-——=TH+2

由①得當(dāng)d=m+2時(shí)，DE=4,；.MN=2DE=8

(m+4—m)2+[—m2-12m—35—(—m2—4m-3)]2=82,解

得：mi=-4-y,m2=-4+y,

...m=-4-yng-4+?時(shí),四邊形MDNF為矩形.

4.解：⑴①y=-2x2+2x+4=-2(x—1)+

..?頂點(diǎn)為M的坐標(biāo)為

當(dāng)x時(shí)，y=-2x|+4=3,則點(diǎn)N坐標(biāo)為(|,3)；

②不存在.理由如下：MN=|-3=|,

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,-2m+4),貝!].D(mf—2m2+2m+4),?,.PD=-2m2+2m+4-(—2m+4)=—2m2+4mV

PD〃MN,

2

當(dāng)PD=MN時(shí)，四邊形MNPD為平行四邊形，即-2m+4m=|,解得m1=3舍去)，m2=|,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)

為(”),

由兩點(diǎn)距離公式可得：PN=右，；.PN￥MN,

，平行四邊形MNPD不為菱形，

，不存在點(diǎn)P,使四邊形MNPD為菱形；

(2)存在.由題意知：A(2,0),B(0,4)

OB=4,OA=2,則.AB=2年

當(dāng)x=l時(shí)，y=-2x+4=2,則P(1,2)由兩點(diǎn)距離公式可得：PB=有,設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+4

把A(2,0)代入得44a+2b+4=0,解得b=-2a-2,；.拋物線的解析式為y=ax2-2(a+l)x+4,當(dāng)x=l時(shí)，y=ax2-2

(a+l)x+4=a—2a—2+4=2—a則D(1,2-a),/.PD=2-a-2=-a,

*.?DC〃OB,ZDPB=ZOBA,

如上圖，分兩種情況討論：

①?當(dāng)S=部立△PDB^ABOA,即？=磊解得a=-2,此時(shí)拋物線解析式為y=-2/+2x+4;

②?當(dāng)券=言時(shí)，△PDB-ABAO,即急=號(hào)解得a=，此時(shí)拋物線解析式為y=―#+3x+4;綜上

所述，滿足條件的拋物線的解析式為：

y——2x2+2%+4或y=—|x2+3%+4.

22

5解：⑴在y=x+2x—8中,令y=0,得x+2%-8=0,解得:Xi=-4,x2=2,A(-4,0),B(2,0),令x=0,

得y=-8,???C(0,?8);

(2)如圖1,設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

.J-4k+b=0

TA(-4,0),C(0,-8),"U=-8

解得：｛k=-2b=-8,J直線AC的解析式為y=-2x-8,

??,直線x=m(-4<m<0)與該拋物線交于點(diǎn)E,與AC

交于點(diǎn)D,.??E(m,m2+2m-8),D(m,-2m-8),

.?.DE=—2m—8—(m2+2m—8)=—m2—4m,

設(shè)DE交x軸于點(diǎn)F,則F(m,0),.\OF-m,

AF=m-(-4)=m+4,DF=2m+8,

VOD±AC,EF±OA,

AZODA=ZOFD=ZDFA=ZAOC=90°,

：.ZDOF+ZCOD=ZOCD+ZCOD=90°,

.\ZDOF=ZOCD,AAACO^ADOF,

nADF

A—=OC?DF=0A-OF,

OCOF

8(2m+8)=4(-m),解得m—

DE=-m2—4m=—(—y)—4x(一?)=||;

(3)存在，N點(diǎn)為直線AC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，即N(―1，—6),?.?y=/+2x—8=(x+1/—9,拋物線對(duì)

稱軸為直線x=-l,

?.?以C、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，

.??分三種情況：CM對(duì)角線，或CN為對(duì)角線，或CP為對(duì)角線，

①如圖2,當(dāng)CP為對(duì)角線時(shí)(CP1,CP2為對(duì)角線)，CM\\PN,CM=PNCN,

；.N點(diǎn)為直線AC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，即N(-l,-6),由兩點(diǎn)距離公式可得：CN=?.CM=PN=V5,

Mt(0--8+V5),M2(0--8-V5);

②如圖3,當(dāng)CN為對(duì)角線時(shí)，CM\\PN,CM=PN=CP,CP2=CM2

設(shè)CM=a,則M(0--8+a),P(-l--6-a),

CP2=(-1-0)2+(—6—a+8)2CM2=a2

???(-1-0)2+(-6-a+8)2=a2,

解得：a=h%(0'-3，

③.如圖4,當(dāng)CM對(duì)角線(CM4)時(shí)，PN與CM互相垂直平分，設(shè)P(—1，6),則N(l,b),M(0,2b+8),：N(1,b)在

直線y=-2%-8上,

fa=-2x1-8=-10,.-.M4(0--12),

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：％(0,—8+V5),M2(0,-8-V5),M3(0,—芝),M4(0)-12).

6.解：⑴當(dāng)y=0時(shí)，|%2+2%-6=0,

解得xi=-6,x2=2,.\A(-6,0),B(2,0),當(dāng)x=0時(shí)，y=6,...CQ-6),

VA(-6,0),C(0,-6),

..?直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=-x-6,

0),C(0,-6),

，直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=3x-6;

(2)①存在：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,-m-6),其中：B(2,0),C(0,-6),

BD2=(m-2/+(m+6)2,BC2=22+62=40,DC2=m2+(—m—6+6)2=2m2,

1?DE〃BC,.?.當(dāng)DE=BC時(shí).以點(diǎn)D,C,B,E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，現(xiàn)在分分兩種情況討論：

第一種情況：如圖1中的E1,當(dāng)BD=BC時(shí)，四邊形BDEC為菱形,，BD?=BC2,(m-2)2+(m+6)2=40,解得:

mi=-4,m2=0(舍去)，

點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-4,-2),

???點(diǎn)B點(diǎn)向左移動(dòng)2各單位長度，向下移動(dòng)6個(gè)單位長度得到點(diǎn)C

點(diǎn)D向左移動(dòng)2各單位長度，向下移動(dòng)6個(gè)單位長度得到點(diǎn)E,.?.點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-6,-8);

第二種情況，如圖2,當(dāng)CD=CB時(shí)，四邊形CBED為菱形，CD2=CB2,2m2=40,

解得：叫=-2低叫=2曲(舍去)”

點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2遍，2遍-6),

?.?點(diǎn)C向右移動(dòng)2個(gè)單位長度，向上移動(dòng)6個(gè)單位長度得到點(diǎn)B,

.?.點(diǎn)D向右移動(dòng)2個(gè)單位長度，向上移動(dòng)6個(gè)單位長度得到點(diǎn)E,

點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2—24，2班)；

綜上，使得以點(diǎn)D,C,B,E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-6,-8)或(2-2遙，2遍)；

②.如圖3,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,-m-6),其中-6<m<0,：A(-6,0),B(2,0),

拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-2,

;直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=3x-6,直線1//BC,

設(shè)直線1的解析式為y=3x+b,

:點(diǎn)D的坐標(biāo)(m,-m-6),

*"-b=-4m-6,直線1的解析式為y=3x-4m-6,

???當(dāng)x=-2時(shí),y=-4m-12M(-2,-4m-12),

??,拋物線的對(duì)稱軸與直線AC交于點(diǎn)N.

AN(-2,-4),.*.MN=-4m-12+4=-4m-8,

S^DMN=S^AOC，

???|(—4m—8)(—2—m)=1x6x6,

整理得:m2+4m-5=0,解得:=5皿2=1(舍去)，，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-5,-1)，,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2,8),

???由兩點(diǎn)距離公式得：DM=故DM的長為3V10.

7.解：(1)將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：「9+/321c=0解得：

故拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3,則點(diǎn)A(1,4);

⑵設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+h,由題意可得：｛以上=3,解得：｛￡=?，???直線AC的表達(dá)式為：

y=-2x+6,點(diǎn)P(1,4-t),則點(diǎn)D(等，4—t),設(shè)點(diǎn)Q~

Iio

S^ACQ=5xDQxBC=--t+t,

???一：＜0,故SAACQ有最大值，

當(dāng)t=2時(shí)，其最大值為1;

(3)設(shè)點(diǎn)P(1,m),點(diǎn)M(x,y),分兩種情況討論：

①當(dāng)EC是菱形一條邊時(shí),當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)P右方時(shí)，如圖1中的Ml.

點(diǎn)E向右平移3個(gè)單位、向下平移3個(gè)單位得到C,則點(diǎn)P向右平移3個(gè)單位、向下平移3個(gè)單位得到M,

則l+3=x=4,m-3=y,即M(4,m-3)

而MP=EP得：11+(zn-3)2=(x-I)2+(y-小尸解得：丫=爪一3=舊,故點(diǎn)M(4-V17);

當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)P左方時(shí)，如圖1中的M2.

同理可得：點(diǎn)M(—2,3+V14);

②如圖2,當(dāng)EC是菱形一對(duì)角線時(shí)，則EC中點(diǎn)即為PM中點(diǎn)，則x+l=3,y+m=3,

而PE=PC,即1+(m—3)2=4+nt?,解得:m=l,故x=2,y=3-m=3-l=2,故點(diǎn)M(2,2);

2

8-解：⑴：拋物線y=x+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,0)和r-c=0斛得：b=漁,,拋

(--,0),A,{3，

3i--Z>+c=Oc=0

33

物線F的解析式為”_/+型％

y人I人■

173

(2)將y=yx+爪和y=x2+fx聯(lián)立方程組，解得：｛%]=一標(biāo)，%=-|V3m+m],

卜2=而，為=|后+?。?二月一乃=Q73m+zn)—|V3m+=|V3m(m)0).

⑶???m=》?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-芋，|)點(diǎn)B的坐標(biāo)為第，2)二?點(diǎn)A是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，，點(diǎn)A

，的坐標(biāo)為(爭(zhēng)-1).

①AAAB為等邊三角形，理由如下：

???4(-2|),8(爭(zhēng)2),4(挈?.分別有兩點(diǎn)距離公式可得:

AA，8.J-)8Afn8

AAf=-,AB=-A'B=-

33t3

.\AA'=AB=A'B./.AAA'B為等邊三角形.

②為等邊三角形，，存在符合題意的點(diǎn)P,且以點(diǎn)A、B、A，、P為頂點(diǎn)的菱形

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y).現(xiàn)在分三種情況討論：

第一種情況：當(dāng)A'B為對(duì)角線時(shí)，

｛"一手=^x2y=|,解得：

533V——

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2點(diǎn)|)；

2\[3

X——―-----

第二種情況：當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，有｛223

y—=-+

J33

2百

x=--------

3

解得：匕_丁10.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-竽/);

2A/3

X----------

3

第三種情況：當(dāng)AA，為對(duì)角線時(shí)，有｛2

y+2=--

：3

_2V3

解得：｛久=一亍，.??點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-*2

y=-2/

綜上所述:平面內(nèi)存在點(diǎn)P使得以點(diǎn)A、B、A；P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形點(diǎn)P的坐標(biāo)為白百，|)、(-竽爭(zhēng)

和(一斗一2)

9.解：(1)把人(-3,0),8(1,0)代入)/=/+6無+(;中，得：｛9—3b+c=01+b+c=0,解

｛：:3，二尸冉"3.

得

⑵①設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=kx+b，,把A(-3,0),C(0,-3)代入y=kx+，得｛

解得：1，i3-

:?點(diǎn)P(m,0)是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，目PMLx軸.

-m-3),N(m,m2+2m-3),

???MN=(—zn—3)—(m2+2m-3)=—m2—3m

=一+1)+3,a=-1<0,I..此函數(shù)有最大值.

又：點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)，且-3<一|<0,

當(dāng)爪=—m寸,MN有最大值：

(3).存在,分三種情況討論：

①.如圖1中，當(dāng)點(diǎn)M在線段AC上，MN=MC,四邊形MNQC是菱形時(shí).；MN=-m2-3m,MC=一近m

—m2—3m=解得m-—3+V2或0(舍棄)

MN=3V2-2,.-.CQ=MN=3V2-2,

OQ=3V2+1,.-.Q(0,-3V2-1).

②.如圖2中，當(dāng)MC是菱形的對(duì)角線時(shí)，四邊形MNCQ是正方形，此時(shí)CN=MN=CQ=2,可得Q（0,-1）.

③.如圖3中.當(dāng)點(diǎn)M在CA延長線上時(shí)，MN=CM