2025中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)復(fù)習(xí)專練：圓相關(guān)解答題（含答案解析）

重難點(diǎn)03圓相關(guān)解答題

明考情.知方向

從2021年至2024年，北京中考數(shù)學(xué)的圓綜合題逐漸趨于復(fù)雜化和多樣化。例如，2021年的圓綜合題注重

基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，而2024年的題目則更加注重創(chuàng)新和綜合性。未來，考生需關(guān)注新定義題型和幾何壓軸

題的變化趨勢(shì)，提前做好針對(duì)性準(zhǔn)備。北京中考數(shù)學(xué)2021年至2024年的圓解答題特點(diǎn)主要體現(xiàn)在難度提

升、知識(shí)點(diǎn)綜合性和解題技巧的多樣化上?？忌柙趥淇贾凶⒅鼗A(chǔ)知識(shí)的鞏固、解題技巧的靈活運(yùn)用以

及綜合能力的培養(yǎng)，以應(yīng)對(duì)逐年增加的考試難度和復(fù)雜性。

熱點(diǎn)題型解讀

zT題型1垂徑定理

【題型1垂徑定理】

考查了垂徑定理，同弧或等弧所對(duì)的弦長相等，直徑所對(duì)的圓周角為直角，相似三角形的判定與性質(zhì)，

勾股定理等知識(shí).熟練掌握垂徑定理，同弧或等弧所對(duì)的弦長相等，直徑所對(duì)的圓周角為直角，相似三

角形的判定與性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

1.（2024年北京市北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)分校中考二模）如圖，為。。的直徑，弦CDLAB于點(diǎn)

。。的切線CE與54的延長線交于點(diǎn)￡,AF//CE,AF與。。的交點(diǎn)為足

（1）求證：AF=CD；

（2）若。。的半徑為6,AH=2OH,求AE的長.

2.（北京市人民大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期月考）如圖，A3是0。的直徑，點(diǎn)E是02的

中點(diǎn)，過點(diǎn)E作弦連接AC,AD.

⑴求證：1CD是等邊三角形；

（2）若點(diǎn)尸是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CGLA尸，垂足為點(diǎn)G.若。。的半徑為2,求CG的長.

3.（北京市海淀區(qū)十一學(xué)校2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期開學(xué)）如圖，是。。的直徑，。是。。的弦,

儀），回于點(diǎn)￡,點(diǎn)歹在0。上且C尸=CA,連接AF.

A

（1）求證：AF=CD；

（2）連接8尸，BD.若AE=2,BF=6,求的長.

4.（2024?北京通州,一模）如圖，為。。的直徑，過點(diǎn)A作。。的切線A4,C是半圓A3上一點(diǎn)（不

與點(diǎn)A、8重合），連結(jié)AC,過點(diǎn)C作CD1.A3于點(diǎn)E,連接并延長交AM于點(diǎn)E

⑴求證：NCAB=ZAFB；

⑵若。。的半徑為5,AC=8,求Ob的長.

5.（北京市首都師范大學(xué)第二附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中）如圖，A3為0。的直徑，CD

為弦，。。，45于點(diǎn)￡,連接。。并延長交。。于點(diǎn)R連接轉(zhuǎn)交C。于點(diǎn)G,CG=AG,連接AC.

(2)若AB=12,求AC和GO的長.

【題型2切線的判定與性質(zhì)】

考查切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角

形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、切線長定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用，熟練掌握相

關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

6.（2022?北京海淀?模擬預(yù)測(cè)）如圖，AD是。。的切線，切點(diǎn)為A,AB是。。的弦.過點(diǎn)8作BC〃AD,

交0。于點(diǎn)C,連接AC,過點(diǎn)C作CD〃AB,交AO于點(diǎn)。.連接4?并延長交8c于點(diǎn)M,交過點(diǎn)C的

直線于點(diǎn)P,且NBCP=NACD.

⑴判斷直線PC與。。的位置關(guān)系，并說明理由;

(2)若AB=9,BC=6,求PC的長.

7.(2022?北京海淀?模擬預(yù)測(cè))如圖，在中，ZC=90°,以AC為直徑的。。交A3于點(diǎn)。，點(diǎn)Q

為C4延長線上一點(diǎn)，延長。。交BC于點(diǎn)尸，連接OD,ZADQ=^ZDOQ.

(1)求證：PO是。。的切線；

(2)若AQ=AC,AD=6時(shí)，求3尸的長.

8.(2023年北京二中教育集團(tuán)中考模擬)如圖，48為。。的直徑，BC為弦，射線A0與0。相切于點(diǎn)A,

過點(diǎn)。作8〃3c交A”于點(diǎn)。，連接。C.

(1)求證：0c是。。的切線；

(2)過點(diǎn)8作交OC的延長線于點(diǎn)E,連接AC交OD于點(diǎn)尸.若AB=12,BE=4,求AF的長.

9.(2022?北京海淀?三模)如圖，VABC中AB=AC,AD平分，BAC交BC于￡),以AD為直徑的0。交

于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)

(1)求證：80是。。切線；

(2)連接成交與G、連接80交EF于尸，連接尸C,若0。的半徑為5,OG=3,求GE和尸C的長.

10.(2022?北京石景山?一模)如圖，AB為回。的直徑，C,。為回。上兩點(diǎn)，BD=AD，連接AC,BC,AD,

BD,過點(diǎn)D作DE//AB交CB的延長線于點(diǎn)E.

c

⑴求證：直線DE是回。的切線；

⑵若AB=10,BC=6,求A。，BE的長.

【題型3圓的內(nèi)接四邊形】

考查圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，同弧所對(duì)圓周角性質(zhì)，垂徑定理，弧弦圓周角關(guān)系，弦等弦心距相等，三角形

全等判定與性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，線段和差，本題難

度大，涉及知識(shí)多，圖形復(fù)雜，利用輔助線畫出準(zhǔn)確圖形，以及將條件轉(zhuǎn)移是解題關(guān)鍵.

11.（北京市清華大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期月考）已知，四邊形ABC。為。。的內(nèi)接四邊

形，BD、AC相交于點(diǎn)E,AB=AC.

(1)如圖1,求證：2NAD3+NCDg=180。；

(2)如圖2,過點(diǎn)。作6，/15于點(diǎn)尸，交BD于點(diǎn)G,當(dāng)"BC=45。時(shí)，求證：CE=CG；

(3)如圖3,在（2）的條件下，連接49并延長交8。于點(diǎn)當(dāng)AE=CE,”G=3時(shí)，求。/的長.

12.（北京市第八中學(xué)2020-2021學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中）已知四邊形ABC。內(nèi)接于O。，ZZMB=90°.

圖1圖2

⑴如圖1,連接80,若。。的半徑為6,AD=AB,求AB的長；

(2)如圖2,連接AC,若AD=5,AB=3,對(duì)角線AC平分1/MB,求AC的長.

13.(北京市燕山區(qū)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末)已知四邊形A3CD內(nèi)接于以BC為直徑的。。，A

為弧中點(diǎn)，延長CB,D4交于點(diǎn)P.

⑶過點(diǎn)C作的垂線交的延長線于點(diǎn)E,當(dāng)PB=BO,CD=18時(shí)，求DE的長.

14.(北京市H—學(xué)校2023~2024學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期月考)如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD交

(1)求證：DB平分NADC,并求4AD的大??；

(2)過點(diǎn)A作A/〃C。交CB的延長線于點(diǎn)G若AC=AD,BF=3,求此圓半徑的長.

15.(北京二中教育集團(tuán)2022—2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中)如圖，四邊形A3。內(nèi)接于。。，ZC=2ZA,

OE是0。的直徑，連接RD.

(2)若。。直徑為4,求80的長.

【題型4圓與三角形函數(shù)綜合】

考查了圓周角定理，垂徑定理，三角函數(shù)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是正確的

作出輔助線；部分題目除需掌握三角函數(shù)定義外還需掌握特殊三角函數(shù)值。

16.(北京首都師范大學(xué)附屬中學(xué)2024—2025學(xué)年下學(xué)期九年級(jí)開學(xué))如圖，是0。的直徑，點(diǎn)C在0。

上，/A4c的平分線交。。于點(diǎn)Q,交BC于點(diǎn)、H,過點(diǎn)。的直線跖〃3C,分別交AB,AC的延長線于

點(diǎn)E,F.

(1)求證：直線族是0。的切線；

310

(2)若sin/A2C=M，BE=3,求和AH的長.

17.(2024年北京市燕山地區(qū)中考二模)如圖，為四邊形ABCD的外接圓，8。平分，ABC,OC±BD

于點(diǎn)E.

C

⑴求證：AD=BC；

3

(2)延長CO交。。于點(diǎn)E連接AF,若AT>=5,sinZCBD=-,求AF的長.

18.(24-25九年級(jí)上?北京平谷?期末)如圖，已知VABC中，=點(diǎn)。是3C邊上一點(diǎn)，連接AD,

以AD為直徑畫。。，與邊交于點(diǎn)E,與AC邊交于點(diǎn)EEF=AF，連接OE.

A

3

（2）若BC=10,cosZAFE=-,求AC的長.

19.（24-25九年級(jí)上?北京石景山?期末）如圖，尸為。。外一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作。。的切線，切點(diǎn)為A,連接。尸

20.（24-25九年級(jí)上?北京順義?期末）如圖，點(diǎn)P為。。外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作。。的切線上4和PB,切點(diǎn)分別

是點(diǎn)A和點(diǎn)8,連接直線尸。與0。交于點(diǎn)C和點(diǎn)E,交于點(diǎn)￡>,連接AE,BE.

⑵若tan/AEP=g,BE=5求CD的長.

【題型5圓與相似綜合】

考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確的作出輔助線是

解題的關(guān)鍵.

21.(2025?北京?模擬預(yù)測(cè))在VABC中，。為AC上一點(diǎn)，以為直徑的。。與4B相切于點(diǎn)E,與相

交于點(diǎn)F連結(jié)EF,DF//AB.

(2)如圖2,過點(diǎn)。作Z3G〃所交43于點(diǎn)G,若BF=CF,且AG=#,求。。的半徑.

22.(北京市第一六一中學(xué)2024-2025學(xué)年下學(xué)期九年級(jí)開學(xué))如圖，為。。的直徑，C為班延長線上

一點(diǎn)，。為。。上一點(diǎn)，連接CD,AD,ZADC=ZAOF,。尸，AD于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)R

(1)求證：8是。。的切線;

(2)若AC=2OA,族=2,求8。的長.

23.(24-25九年級(jí)下?北京海淀?開學(xué)考試)如圖，VABC中，ZC=90°,ABAC<45°,0。是VABC的外

接圓，。在AC上，滿足3D=AC,8。與AC交于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作0。的切線，交的延長線于點(diǎn)E

⑴求證：AE=EF；

(2)若3C=4,AF=2A/5,求BE的長.

24.(24-25九年級(jí)上?北京大興?期末)如圖，等腰VABC內(nèi)接于。。，AB^BC,AO為。。直徑，連接

交AC于點(diǎn)E,延長￡)3至點(diǎn)P,使得AP=A￡,連接AP.

飛

(1)求證：P4是O。的切線；

⑵若AB=4,PE=6,求OE的長.

25.(北京市首都師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)12月)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。。,

30為直徑，過點(diǎn)A作AE垂直CO交其延長線于點(diǎn)E,DA平分NBDE.

EA

\\

(1)求證：AE是。。的切線；

(2)若4￡)=26，BC=8,求A3的長.

限時(shí)提升練

(建議用時(shí)：30分鐘)

1.如圖，四邊形ABC。，"=NC=90°,點(diǎn)￡是邊BC上一點(diǎn)，且DE平分/AEC,作AABE的外接圓。。,

點(diǎn)。在。。上.

⑴求證：OC是。。的切線.

⑵若。。的半徑為6,CE=2,求DE的長.

2.如圖，AB,AC分別與。。相切于B,C兩點(diǎn)，80的延長線交弦C￡＞于點(diǎn)E,CE=DE,連接00.

⑴求證：ZA=ZDOE；

⑵若0D〃AC,。。的半徑為2,求的長.

3.如圖，已知Rt^ABC,NA4c=90。，點(diǎn)。是BC中點(diǎn)，AD=AC,3c=4出，過A，。兩點(diǎn)作。。，交AB

于點(diǎn)E.

⑵如圖1,當(dāng)圓心。在A2上且點(diǎn)M是。。上一動(dòng)點(diǎn)，連接。暇交AB于點(diǎn)N,求當(dāng)QV等于多少時(shí)，三點(diǎn)。、

E、M組成的三角形是等腰三角形？

(3)如圖2,當(dāng)圓心。不在AB上且動(dòng)圓。。與￡)2相交于點(diǎn)。時(shí)，過。作￡歸，A6(垂足為H)并交。。于

點(diǎn)P,問：當(dāng)。。變動(dòng)時(shí)，OP-DQ的值變不變？若不變，請(qǐng)求出其值；若變化，請(qǐng)說明理由.

重難點(diǎn)03圓相關(guān)解答題

明考情.知方向

從2021年至2024年，北京中考數(shù)學(xué)的圓綜合題逐漸趨于復(fù)雜化和多樣化。例如，2021年的圓綜合題注重

基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，而2024年的題目則更加注重創(chuàng)新和綜合性。未來，考生需關(guān)注新定義題型和幾何壓軸

題的變化趨勢(shì)，提前做好針對(duì)性準(zhǔn)備。北京中考數(shù)學(xué)2021年至2024年的圓解答題特點(diǎn)主要體現(xiàn)在難度提

升、知識(shí)點(diǎn)綜合性和解題技巧的多樣化上?？忌柙趥淇贾凶⒅鼗A(chǔ)知識(shí)的鞏固、解題技巧的靈活運(yùn)用以

及綜合能力的培養(yǎng)，以應(yīng)對(duì)逐年增加的考試難度和復(fù)雜性。

熱點(diǎn)題型解讀

zT題型1垂徑定理

【題型1垂徑定理】

考查了垂徑定理，同弧或等弧所對(duì)的弦長相等，直徑所對(duì)的圓周角為直角，相似三角形的判定與性質(zhì)，

勾股定理等知識(shí).熟練掌握垂徑定理，同弧或等弧所對(duì)的弦長相等，直徑所對(duì)的圓周角為直角，相似三

角形的判定與性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

1.（2024年北京市北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)分校中考二模）如圖，為。。的直徑，弦CDLAB于點(diǎn)

。。的切線CE與54的延長線交于點(diǎn)￡,AF//CE,AF與。。的交點(diǎn)為足

（1）求證：AF=CD；

（2）若。。的半徑為6,AH=2OH,求AE的長.

【答案】（1）證明見解析；

⑵AE的長為12.

【詳解】（1）解：連接AC、OC、BC,則OC=04,

12AB為。。的直徑，

回/OCE=NAC8=90°,

SZACE+ZOCA=90°,ZB+ZOAC=90°,

^ZOCA^ZOAC,

^ZACE=Z.B,

S\AF//CE,

SZCAF^ZACE=ZB,

^\CF=AC,

團(tuán)AO=AC，

^CF=AD^

AF=CF+AC=AD+AC=CD

0AF=CD.

(2)解：團(tuán)的半徑為6,AH=2OH,

^\OC=OA=2OH+OH=6,

回OH=2,

E1NOHC=NOCE=90°,

OHOCi廠

團(tuán)-----cos/COE,

OCOE

OC262

回OE=——=18,

OH2

0AE=OE-O4=18-6=12,

EIAE的長為12.

2.(北京市人民大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期月考)如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)E是。2的

中點(diǎn)，過點(diǎn)E作弦CD_LAB,連接AC,AD.

G

(1)求證：AACD是等邊三角形;

(2)若點(diǎn)尸是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CGLA尸，垂足為點(diǎn)G.若0。的半徑為2,求CG的長.

【答案】(1)見解析

(2)73.

【詳解】(1)證明：如圖，連接OC,

G

?.?延是。。的直徑，且CDLAB,

:.CE=DE,BC=BD，

，NBAC=NBAD,

AB是。。的垂直平分線，

/.AC=AD,

QOC=O5,點(diǎn)E是OB的中點(diǎn)，

???點(diǎn)C在線段OB的垂直平分線上，OE=BE=goB=：OC,

OE1

Rt/kCOfi1中，cos/COE==一,

OC2

即NCOE=60°,

BC=BD，

ZBAD=ABAC=-NCOE=30°,

2

即ACAD=ZBAC+ABAD=60°

.?.△ACD是等邊三角形.

(2)解：由(1)得，△ACD是等邊三角形，

ZADC=60°,

???尸是AC的中點(diǎn),

CF=-AC,

2

/.ZFAC=-ZADC=30°=ABAC,

2

\-CD±AB,CG±AF,

:.ZAEC=ZAGC=90°,

在△AEC和^AGC中，

ZAEC=ZAGC

<ZGAC=ZEACf

AC=AC

.-.△AEC^AAGC(AAS),

:.CG=CE,

半徑為2,且點(diǎn)石是05中點(diǎn)，

OC=OB=2,OE=1,

???RACOE中，CE=yj0C2-0E2=打=V3，

:.CG=CE=6.

3.(北京市海淀區(qū)H—學(xué)校2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期開學(xué))如圖，A3是。。的直徑，C￡>是。。的弦,

CD_LAB于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在0。上且CF=CA,連接AF.

(2)連接BF,BD.若AE=2,BF=6,求的長.

【答案】⑴詳見解析

(2)475

【詳解】(1)證明：回A8是。。的直徑，

HAD=AC.

X0CF=AC,

^\CF=AC=AD.

^\AF=CD.

回AF=CD.

(2)解：如圖，連接OC,連接。方，

設(shè)。。的半徑為工,

團(tuán)是。。的直徑,

0ZAFB=9O°,

^CF=CA,

0OC1AF,

^\OC//BF,

0Z1=Z2,

又回ZCEO=ZAFB=90°,

^\/\CEO^/\AFB,

_COOExx-2

回一=—，BRPn—=----.

ABBF2x6

解得x=5,

^\OE=OA-AE=3fBE=AB-AE=8,

由勾股定理得，CE=yj0C2-OE2=4>

回AB是。。的直徑，CDLAB,

0DE=CE=4,

由勾股定理得，BD=1DE。+BE2=4#,

回BO的長為4遙.

4.（2024?北京通州?一模）如圖，48為。。的直徑，過點(diǎn)A作。。的切線A",C是半圓48上一點(diǎn)（不

與點(diǎn)A、2重合），連結(jié)AC,過點(diǎn)C作0），至于點(diǎn)￡,連接3D并延長交AM于點(diǎn)?

F

M

⑴求證：ZCAB^ZAFB；

⑵若0。的半徑為5,AC=8,求DF的長.

【答案】（1）證明見解析

32

（2）DF=—

【詳解】(1)證明：???AM是。。的切線,

/.NR4M=90°,

?.,8_1至于點(diǎn)石，

/.NCEA=90°,

S.CD//AF,

:./CDB=ZAFB,

?//CDB=/CAB,

,\ZCAB=ZAFB.

(2)解：連結(jié)AD,

8al/

于點(diǎn)E,AB是。。的直徑,

CE=DE，

.:AB是CD的垂直平分線,

:.AC=AD=8,

???OO的半徑為5,

:.AB=10,

：.BD=6,

?「AB是。。的直徑,

:.ZBDA=90°,

:.ZBAD=ZAFB,

/.tan/BAD=tanAAFB,

AD_BD

DF-AD'

:.Alf=DFBD，

32

:.DF=——

3

5.（北京市首都師范大學(xué)第二附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中）如圖，回為。。的直徑，CD

為弦，SLAB于點(diǎn)E,連接。。并延長交。。于點(diǎn)尸，連接"交CD于點(diǎn)G,CG=AG,連接AC.

A

⑴求證：AC//DF；

⑵若45=12,求AC和GO的長.

【答案】⑴證明見解析

(2)AC=6,GO=4百

【詳解】(1)證明：團(tuán)CG=AG,

團(tuán)NC4G=NACG,

回NAFD=NACD,

^ZAFD=ZCAGf

回AC〃。尸；

(2)解：團(tuán)AB=12,

^\OD=OA=-AB=6DF=12,

2f

0CD1AB,

團(tuán)CE=DE,

團(tuán)AC〃。尸，

⑦ZACE=NODE,

在aACE和△ODE1中，

/ACE=/ODE

CE=DE

ZAEC=ZOED=90°

^^ACE^ODE(ASA)，

^\AC=OD=6,AE=OE=-OA=3

2f

根據(jù)勾股定理可得：CE=Y/AC2-AE2=3A/3，

貝!JCD=66，

團(tuán)ZACG=/GFD,ZCAG=ZGDF,

團(tuán)△ACGSAD尸G,

AGAC61

UDG~DF~U~I"

團(tuán)CG=AG,

AGCG1

團(tuán)-------——,BRJnDG=2CG,

DGDF2

0DG=-DC=4A/3.

3

【題型2切線的判定與性質(zhì)】

考查切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角

形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、切線長定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用，熟練掌握相

關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

6.（2022?北京海淀?模擬預(yù)測(cè)）如圖，AD是0。的切線，切點(diǎn)為A,A3是。。的弦.過點(diǎn)8作3C〃AD,

交。。于點(diǎn)C,連接AC,過點(diǎn)C作CZ）〃AB,交AD于點(diǎn)。.連接AO并延長交3c于點(diǎn)M,交過點(diǎn)C的

直線于點(diǎn)P,S.ZBCP=ZACD.

⑴判斷直線PC與。。的位置關(guān)系，并說明理由;

(2)若A5=9,BC=6,求PC的長.

【答案】⑴相切，理由見解析

(2)PC=-

【詳解】(1)解：相切；理由如下：

連接OC,

回AD為切線，

^APLAD

^\BC//AD,

0AP1BC,即"垂直平分5C,

團(tuán)AP平分/BAC,即NBAC=2NQ4C,

回。4=OC,

0ZOAC=ZOC4,

0ZPOC=2Z(MC,

國NBAC=NPOC,

^CD//AB,

由NBAC=NACD,

國NBCP=NACD,NBAC=NPOC,

國NBCP=/POC,

^ZPOC+ZOCM=90°f

^ZBCP+ZOCM=90°,

即(9C±PC,

回直線尸。與O。相切；

(2)解：團(tuán)"垂直平分5C,

0AC=AB=9,CM=-BC=3,

2

在Rt^AMC中，由勾股定理得：AM=ylAC2-CM2=A/81-9=6A/2；

設(shè)圓半徑為「，貝=—。4=6直—r，

在Rt.QWC中，由勾股定理得：(6V2-r)2+32=r2,

解得：廠=亞1,

8

回0M=6立一r=」一；

8

^ZOMC=ZOCP=90°,ZMOC=ZCOP,

0AOMC^AOCP,

OMCM

E-----=-----,

OCPC

“CMOC27

OM7

&>D

Pc

7.（2022?北京海淀?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt^ABC中，/4c=90。，以AC為直徑的。。交AB于點(diǎn)。，點(diǎn)Q

為C4延長線上一點(diǎn)，延長。。交BC于點(diǎn)P,連接O。，ZADQ=^ZDOQ.

B

QXo?

（1）求證：是0。的切線；

（2）若AQ=AC,AD=6時(shí)，求3P的長.

【答案】（1）見解析

Q）BP=3娓

【詳解】（1）證明：連接。C,

B

QXoJ

??AD=AD

：.ZDCA=-ZDOA,

2

??,ZADQ=g/DOQ,

：.ZDCA=ZADQ,

???直徑AC,

ZADC=90°,

/.Z￡>C4+Z2MC=90°,

.?ZADQ+ZDAC=90°fZADO=ZDACf

：.ZAT>Q+ZADO=90。，

二?。尸是。。的切線；

(2)解：???NC=90。,OC為半徑,

二.PC是O。的切線，

APD=PC,

連接OP,

B

ZDPO=ACPO9

??OP±CD,

OP//AD,

AQ=AC=2OAf

.QA_2

??瓦一獲W，

AD=6,

OP=9,

??,OP是的中位線，

AB=18,BD=AB-AD=12,

?/CD±AB,ZC=90°,

???BC2=BDAB=216

?，.BC=6y[6

?，.BP=376

8.(2023年北京二中教育集團(tuán)中考模擬)如圖，A8為。。的直徑，BC為弦，射線AM與。。相切于點(diǎn)A,

過點(diǎn)。作8〃3c交AM于點(diǎn)。，連接DC.

(1)求證：DC是。。的切線；

(2)過點(diǎn)B作5E_L帥交。C的延長線于點(diǎn)E,連接AC交OD于點(diǎn)?若AB=12,BE=4,求AF的長.

【答案】(1)見解析

【詳解】(I)解：連接OC,

回射線40與。。相切于點(diǎn)4,

0ZZMO=9O°,

SOC=OB,

^\ZOCB=ZOBC,

SOD//BC,

SZAOD=ZOBC,ZCOD=ZOCB,

SZAOD^ZCOD,又。4=0C,OD=OD,

回AAODZACOD(SAS),

3ZDCO=ZDAO=90°,又OC為。。的半徑,

回DC是。。的切線；

(2)解：如圖，過E作于"，則/EH4==/ABE=90。,

回四邊形ABEH是矩形，

0EH=AB=12AH=BE=4,

設(shè)AD=x,貝=4

國BELAB,

團(tuán)旗與00相切，又射線AM與0。相切于點(diǎn)4OC是O。的切線，

團(tuán)CD=AD=x,CE=BE=4,

團(tuán)。石1=犬+4,

在RtADHE中,由勾股定理得(X-4『+122=(X+4)2,

解得x=9,即AD=9,

在RUAOD,由勾股定理得OD=y/AD^OA2=府/=3713，

EZACB=90°,OD//BC,

BZAFO=ZACB=ZOAD=90°,又NA0b="0A,

回AAOFSADOA,

AFOAAF6

國罰=而‘即nn丁=麗’

解得4尸=身姮.

13

9.(2022?北京海淀?三模)如圖，VA3C中AB=AC,A￡＞平分/BAC交8C于。，以4。為直徑的。。交

AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)

⑴求證：30是0。切線；

⑵連接交OD與G、連接80交于尸，連接PC,若。。的半徑為5,0G=3,求GE和尸C的長.

【答案】⑴見解析

(2)4,2y/17

【詳解】(1)證明：?.?AB=AC,A￡＞平分，A4c交2C于Z),

:.AD±BC,

?.?AD是。。的直徑，

，8。是0。切線；

(2)解：連接OE、DE、DF,過P作尸H_L應(yīng))于H,如下圖，

???AZ）是0。的直徑,

.\ZAED=ZAFD=90°f

?/AT)平分2A4C,

:.ZEAD=ZFAD,

：.DE=DF,

AD=AD>

「.RtziAZ)后回R^AT>尸(HL),

:.AE=AF,

:.AD±EF,

的半徑為5,OG=3,

:.EG=y152-32=4,

vADlBC,

^\EF//BC,

「.△MG回△ABO,

EGAG目口45+3

/.——=——，即——=----，

BDADBD10

/.BD=5,

:.BC=2BD=\0,

?.?ZPGD=ZHDG=ZDHP=90°,

???四邊形PGOH是矩形，

:.PH=DG=5-3=2,PH//GD,

：,/BPH=/BOD,

?;OD=BD=5,

:.ZBOD=ZOBD=45°9

:.ZBPH=ZOBD=45°,

:.BH=PH=2,

.\CH=BC-BH=8,

在RtzkP/ZC中，由勾股定理得pc=JcH?+PH?=2萬?

10.（2022?北京石景山?一模）如圖，AB為回。的直徑，C,。為國。上兩點(diǎn)，BD=AD，連接AC，BC,AD,

BD,過點(diǎn)D作DE//AB交CB的延長線于點(diǎn)E.

⑴求證：直線。E是回。的切線；

⑵若42=10,BC=6,求A。，BE的長.

【答案】（1）見解析

25

（2）AD=5y/2，BE=—.

【詳解】（1）證明：連接OD,

0AB為團(tuán)O的直徑，點(diǎn)。是半圓的中點(diǎn),

m\OD=-SAOB=90°,

2

0￡>￡EL4B,

aao￡）E=9o°,

SODIDE,

國直線QE是回。的切線；

（2）解：連接CD,

0AB為團(tuán)。的直徑,

函4。8=園4圓=90°,

^BD=AD^

WB=ADf

國是等腰直角三角形,

[MB=10,

￥=5近,

[?L4D=10sin[?L4BD=10sin45o=10x

0A8=10,BC=6,

a4C-7102-62=8,

回四邊形ACBO是圓內(nèi)接四邊形,

^\CAD+^CBD=180°,

團(tuán)回D3E+團(tuán)C3D=180°,

團(tuán)團(tuán)CAO二團(tuán)O3E,

由（1）知她00=90°,0OBD=45°,

甌A8=45°,

回0KMB,

團(tuán)團(tuán)3。打二團(tuán)05。=45°,

團(tuán)媯CD二團(tuán)3OE,

^\ACD^\BDE,

ACAD

0--=--

BDBE

回壺F57'2

25

解得：

【題型3圓的內(nèi)接四邊形】

考查圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，同弧所對(duì)圓周角性質(zhì)，垂徑定理，弧弦圓周角關(guān)系，弦等弦心距相等，三角形

全等判定與性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，線段和差，本題難

度大，涉及知識(shí)多，圖形復(fù)雜，利用輔助線畫出準(zhǔn)確圖形，以及將條件轉(zhuǎn)移是解題關(guān)鍵.

11.(北京市清華大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期月考)已知，四邊形ABC。為。。的內(nèi)接四邊

形，BD、AC相交于點(diǎn)E,AB=AC.

(1)如圖1,求證：2NAZ)8+NCDB=180。；

(2)如圖2,過點(diǎn)C作CFLAB于點(diǎn)凡交8。于點(diǎn)G,當(dāng)/DFC=45。時(shí)，求證：CE=CG；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接A。并延長交3。于點(diǎn)〃，當(dāng)AE=CE,"G=3時(shí)，求OH的長.

【答案】

（1）證明見詳解；（2）見詳解；（3）OH=72.

【詳解】（1）證明：BAB=AC,

酮4c3=

團(tuán)四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，

0[?1A￡）C+[?]ABC=18OO,

^\ADB=BACBf

^\ADB=^\ABCf

miDC=^CDB+^ADB,

^\ADC+^ABC=^CDB+^ADB+^ADB=^\CDB+2^ADB=180o,

02AADB+ACDB=180°；

（2）證明：過點(diǎn)。作CNU。'交BD于N,交。。于M,

國NDBC=45。

^MCB=180°-^CNB-^DBC=45°,

團(tuán)IWC8=回。5C=45°,

^MB=DC

^\AB=AC,

回汕=今。

^AD=AM

團(tuán)團(tuán)ACM二團(tuán)DBA

麗CNG二團(tuán)GF5,帆GC二團(tuán)/G3,

^\NCG=180°-^CNG-^NGC=180°-^GFB-^FGB=^GBF=^ECN9

在aCEN和aCGN中

ZENC=ZGNC

<CN=CN

ZECN=ZGCN

^CEN^^CGN(ASA),

0CE=CG;

(3)解：過。作。尸〃A”交于尸，連結(jié)AP,連結(jié)0區(qū)連結(jié)C",延長AO交8。于Q,過。作0MM3

于M,

團(tuán)E為AC中點(diǎn)，OE為弦心距，

0OE0AC,

0AB=AC,

^\OE=OMf

她。平分團(tuán)CA3,

朋。勖C,

團(tuán)。。二3。，點(diǎn)”在A。上，

國CH=BH,

團(tuán)團(tuán)。3。=45°,

^HCB=^DBC=45°f

^\CHB=180°-^HCB-BDBC=90°,

團(tuán)CH犯。，

0CE=CG,

回EH=GH=3,

⑦CP//AH,

^\PCE=WAE,

在△PCE和AHAE中，

ZPCE=ZHAE

<ZPEC=ZHEA,

CE=AE

團(tuán)△PCESZk/ME(A4S),

由PE=HE=3,

國PE=HE,CE=AE9

團(tuán)四邊形B4HC為平行四邊形，

胤4尸二CH,^APH=^\CHP=90°,

團(tuán)團(tuán)”5。=45°,BHQB=90°f

團(tuán)團(tuán)。"8=180°-團(tuán)H3。-回HQ8=180°-90°-45°=45°,

加PH4二回?！?=45°,

00APH=9OO,

團(tuán)團(tuán)B4H=90°-回產(chǎn)HA=90°-45°=45°,

甌B4H二團(tuán)尸H4=45°,

^APH為等腰直角三角形，

國PH=PE+EH=6,

^\AP=PH=6,

在RtAB4H中，AH=ylAF^+PH2=府+6,=672

0HB=CH=6,0CHB=9O°,BC=Jc/+=府+6?=60，

SCQ=BQ=372，

在REEHC中EC=,]CH2+EH2==3也，

EIAC=2CE=66，AE=CE=3非,

在RtAACQ中AQ=yjA^-CQ2=^(675-(3應(yīng)了=9夜，

ffilEAO=EIQAC,EAEO=0AQC=9O°

EHAE0E0AQC,

^EAO3A/5AO

n回而二法，即礪=礪’

解得40=5應(yīng)，

OH=AH-AO=6后-5^2=0.

12.（北京市第八中學(xué)2020-2021學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中）已知四邊形ASCD內(nèi)接于。O,ZDAB=90°.

⑴如圖1,連接瓦〉若。。的半徑為6,AD=AB,求AB的長；

(2)如圖2,連接AC,若4)=5,AB=3,對(duì)角線AC平分ZZMB,求AC的長.

【答案】⑴6加

(2)AC=4A/2

【詳解】(1)解：vZZMB=90°,

.?.3D是直徑，

回。。的半徑為6,

:.BD=12.

在中，由勾股定理，得4。2+432=班)2,

SAD=AB

AB2=144，

AB=6夜；

(2)解：如圖2,連接30,作皿，AC于H,

仞=5,AB=3,

BD=y/AD2+AB2=>/34.

?/AC平分ZZMB,

:.ZDAC=ZCAB=45°,

DC=BC>

DC=CB.

???四邊形ABC。內(nèi)接于。。，ZDAB=9Q0,

:.ZDCB=9Q0,

在RtZkDBC中，由根據(jù)勾股定理，得CD'BC?=B。,

回28c2=34,

0BC=V17.

ZCAB=45°,

回AA/iB是等腰直角三角形,

3L

同理可得==

在RtABCH中，CH7BO-BH2=三垃,

:.AC=AH+CH=4y/2.

13.（北京市燕山區(qū)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末）己知四邊形A2CD內(nèi)接于以2C為直徑的0。，A

為弧BO中點(diǎn)，延長CB,DA交于點(diǎn)P.

⑵求證：PAPD=PBPC-,

⑶過點(diǎn)C作尸。的垂線交PO的延長線于點(diǎn)E,當(dāng)PB=BO,CD=18時(shí)，求DE的長.

【答案】①見解析

⑵見解析

⑶還

2

【詳解】（1）證明：連接5。，交Q4于點(diǎn)?

???A為弧中點(diǎn)，，

AB=AD?

:.OA1BD,

..OA//CD；

（2）證明：???四邊形ABC。內(nèi)接于以3c為直徑的。O,

AZABC+ZP￡>C=180°,

ZABC+ZABP=180°,

.,.ZABP=NPDC,

???ZP=ZP,

.△ABPSACDP,

.PAPB

'~PC~~PD'

:.PAPD=PBPC；

(3)解：-.OF//CD,

.?.△BQ/sABCD,

：.AAPOS4DPC,

???PB=BO=OC,

.OAOP_2

,CD-CP-3?

.-.04=12,

AF=0A-0F=3；

BC=2OA=24,

.BD=yjBC2-DC2=65/7,

:.DF=、BD=3幣,

2

???AD=y/DF2+AF2=672；

?.?ZAFD=ZDEC=90°,

?.-OA\\DC,

:.ZFAD=ZCDE,

:.^AFDs^DEC,

DEAFDE3

??=,即Rn——尸

DCAD186A/2

.nc,9V2

2

14.(北京市H—學(xué)校2023~2024學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期月考)如圖，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線AC,BD交

于點(diǎn)E,30平分/ABC,ZBAC=ZADB.

(1)求證：08平分NADC,并求154。的大??；

(2)過點(diǎn)A作AB〃CD交CB的延長線于點(diǎn)月若AC=AD,BF=3,求此圓半徑的長.

【答案】(1)見解析，90°

(2)6

【詳解】(1)證明：^ZBAC=ZADB,

^AB=BC>

^ZADB=ZCDB,即。B平分NADC.

回平分/ABC,

SZABD^ZCBD,

0ZABD,ZCBD所對(duì)弧對(duì)的圓心角相等,

則有AD=CD，

SiAB+AD=BC+CD>BPBAD=BCD，

回BD是圓的直徑，

回440=90。.

(2)解：SZBAD=90°,AF//CD,

0ZF+ZBCD=180°,

回BD是圓的直徑，

回/BCD=90°

0ZF=90°.

^AD=CD，

0AD=Z)C.

0AC=AD,

0AC=AD=CD,

團(tuán)八位）。是等邊三角形,

0ZADC=6O°.

團(tuán)DB平分NADC,

團(tuán)ZCDB=-ZADC=30°.

2

回是圓的直徑，

^\BC=-BD.

2

團(tuán)四邊形ABCO是圓內(nèi)接四邊形，

0ZADC+ZABC=180。，

0Zz4BC=12O°,

0ZFR4=6O°,

0Z/^4B=9O°-6OO=3O°,

^\FB=-AC.

2

團(tuán)BF=39

團(tuán)AB=6,

團(tuán)BD=26C=2AB=12.

團(tuán)5。是圓的直徑，

團(tuán)半徑的長為,8。=6.

2

15.（北京二中教育集團(tuán)2022—2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中）如圖，四邊形內(nèi)接于。。，ZC=2ZA,

是。。的直徑，連接80.

⑴求—A的度數(shù);

(2)若。。直徑為4,求80的長.

【答案】(l)NA=60°

(2)2月

【詳解】(1)回四邊形ABC。內(nèi)接于。O,

0ZC+ZA=180°,

0ZC=2ZA,

0ZA=6O°；

(2)連接BE,

由圓周角定理得：ZBED=ZA=60°,

EIDE是。。的直徑，

0Z￡Br>=9O°,

0ZBDE=9O°-6O°=3O°,

0BE=-￡>E=-x4=2

22

^BD=>]DE2-BE2=2A/3-

【題型4圓與三角形函數(shù)綜合】

00O

考查了圓周角定理，垂徑定理，三角函數(shù)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是正確的

作出輔助線；部分題目除需掌握三角函數(shù)定義外還需掌握特殊三角函數(shù)值。

16.(北京首都師范大學(xué)附屬中學(xué)2024—2025學(xué)年下學(xué)期九年級(jí)開學(xué))如圖，是。。的直徑，點(diǎn)C在。。

上，-54C的平分線交0。于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)、H,過點(diǎn)。的直線跖〃BC,分別交AB,AC的延長線于

點(diǎn)、E,F.

A

D

⑴求證：直線石尸是O。的切線;

310

(2)若sin/A3C=《，BE’,求5c和A7J的長.

【答案】⑴證明見解析

(2)BC=8,AH=3非

【詳解】(1)證明：如圖，連接OD,

團(tuán)。4=0。，

^\ZOAD=ZODA.

團(tuán)AD平分NA4C,

0?OAD?DAC,

^1ZODA=ZDAC,

團(tuán)AC〃QD,

回/ODE=/F.

團(tuán)AB是。。的直徑，

^ZACB=90°.

^\EF//BC,

^\ZF=ZACB=ZODE=90°,

即QD_L￡F,

團(tuán)直線EF是。。的切線；

設(shè)O。的半徑為「，貝ljO￡=r+§.

0EF//BC,

田NABC=NE.

3

團(tuán)sin/A3C=—

5

在RtVOED中，sinZE=—3

OE5

r3

即-105，

3

解得r=5,

25

團(tuán)00=5,0石=——，AB=10,

3

回=根據(jù)勾股定理，得DE=JOE2-OD2=g

.//ACAF3

團(tuán)sinZABC=----

ABAE5

團(tuán)AC=6,AF=8.

根據(jù)勾股定理，WBC=VAB2-AC2=8,￡F=y/AE2-AF2=y

出DF=EF—DE=4,

根據(jù)勾股定理，得AD=1Ap2+DF2=4布.

回CH方，

AHAC

團(tuán)----=-----

ADAF

AH6

即口

解得AH=36.

17.（2024年北京市燕山地區(qū)中考二模）如圖，0。為四邊形A3CD的外接圓，5。平分/ABC,OCVBD

于點(diǎn)E.

⑴求證：AD=BC；

3

⑵延長CO交0。于點(diǎn)R連接AF,若4)=5,sinZCBD=-,求AF的長.

【答案】①見解析

⑵二

3

【詳解】(1)證明：團(tuán)BD平分/ABC,

國NABD=/CBD,

^AD=CD，

NOC±BD,

BC-CD，

團(tuán)存。=初，

國AD=BC；

(2)解：如圖，連接AC,BF,

團(tuán)C廠是。。的直徑，

0ZCBF=ZG4F=9OO,

國OC上BD,

aBD=2BE,/BEC=90。,

CF3

在RtABEC中，BC=AD=5,sinZCBE=—=-,

BC5

CE=3,

/.BE=^BC2-CE2=4,

:.BD=2BE=8,

???BC=AD，

AC=BD9

,,AC=BD=Sf

aZBEC=NFBC=90。，/ECB=/FCB,

團(tuán)ABECS△萬eg

CEBC

0BC-CF*

.?“金=竺，

CE3

25

在RtZ\C4尸中，ZCAF=90°,CF=y,AC=8,

:.AF=yjCF2-AC2=-；

3

18.（24-25九年級(jí)上?北京平谷?期末）如圖，已知VABC中，AB=3C,點(diǎn)。是BC邊上一點(diǎn)，連接相）,

以AD為直徑畫。。，與AB邊交于點(diǎn)E,與AC邊交于點(diǎn)EEF=AF,連接DE.

(1)求證：BC是0。的切線；

(2)若3C=10,cosZAFE=-,求AC的長.

【答案】⑴見解析

(2)AC=4^

【詳解】(1)證明：回AO為。。的直徑，

團(tuán)Z4￡?=90。

MBA=BC

也/BAC=NBCA

^\EF=AF

^\ZBAC=ZFEA

^\ZBCA=ZFEA

田/DEF=NDAC

團(tuán)NDAC+NBC4=NDEA+NAEF=90。

aADJ.BC

團(tuán)BC為。。的切線

(2)團(tuán)5c為O。的切線

^ZADE+ZBDE=90°

^ZB+ZBDE=90°

^ZB=ZADE

3

團(tuán)cosZAFE=—

5

3

團(tuán)cosNB=—

5

0BD=6

由勾股定理得，AD=8

0BC=1O

團(tuán)。。=10-6=4

由勾股定理得，AC=46

19.(24-25九年級(jí)上?北京石景山?期末)如圖，尸為。。外一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作。。的切線，切點(diǎn)為A,連接OP

【答案】⑴證明見解析

⑵6旅

【詳解】(1)證明：回點(diǎn)A,B,。在。。上,

^\ZAOB=2ZACB.

團(tuán)C4〃OP,

國ZACB=NCBO.

⑦OC=OB,

回NCBO=/BCO.

BZACB=ZBCO.

^1ZAOB=2ZBCO.

(2)解：過點(diǎn)。作OE,AC于點(diǎn)區(qū)AC=2,

2

團(tuán)過點(diǎn)尸作O。的切線，切點(diǎn)為4

團(tuán)NQ4P=90。.

0cAlIOP,

^\ZCAO=ZAOB.

團(tuán)cosZ-CAO=cosZAOB=—.

3

^EAOA1

團(tuán)--=---=—.

OAOP3

回。4=3K4=3,OP=