2025年中考數(shù)學(xué)二輪壓軸題訓(xùn)練：四邊形綜合（含解析）

2025年中考數(shù)學(xué)二輪壓軸題訓(xùn)練：四邊形綜合

1.如圖，點(diǎn)。為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連接。O交線段于點(diǎn)E,過點(diǎn)。的直線與線段AD、BC分

別交于點(diǎn)尸、H.

AFDAFDAD

1匚

BH°BHCBC

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,若DE=HF.

①求證：DEYHF；

②求證：EF+DH>y[2DE\

⑵如圖2,若FH所在直線繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使得ZFOD=45°,正方形的邊長(zhǎng)AB=3,FH=J10,

求DE的長(zhǎng).

2.綜合與探究

如圖1,在邊長(zhǎng)為12的正方形ABCD中,E是正方形內(nèi)一點(diǎn),連接DE,將DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,

得到。尸，連接AE,CF.

BCBGCBGC

ADADAD

圖1圖2備用圖

⑴求證：AE=CF.

(2)若點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，連接GE,且GE=26.

①如圖2,當(dāng)A、E、G三點(diǎn)共線時(shí)，連接GF,求線段G尸的長(zhǎng)；

②連接￡F,在E運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)。E最小時(shí)，直接寫出四邊形AEFD的面積.

3.問題發(fā)現(xiàn)

（1）小明在解決問題“如圖（1）,VABC中，ZB=2NC,E為2C的中點(diǎn)，AD工于點(diǎn)Z）.求證：

AB=2OE.”時(shí)，由E為BC的中點(diǎn)聯(lián)想到構(gòu)造三角形的中位線.如圖（2）,取AC的中點(diǎn)R連接

EF,DF,則族是VABC的中位線，HEF//ABS.EF^-AB,從而可得AB=2EF.要證=

2

只需證DE=EF即可.請(qǐng)你幫助小明完成證明過程.

圖⑴圖⑵

深入探究

（2）如圖（3）,VABC中，AB=2,AC=3,E為的中點(diǎn)，AD平分NBAC,W_LAD交AD的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡求EF的長(zhǎng).

拓展應(yīng)用

（3）如圖（4）,VABC中，ZACB=9Q°,AC=3C=4,將AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0。<a<360。）

得到AC,連接3C',E為3c的中點(diǎn)，連接CE,請(qǐng)直接寫出CE長(zhǎng)度的取值范圍.

4.綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們結(jié)合“全等與相似”開展數(shù)學(xué)活動(dòng).

【初步探究】

(1)如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E,尸分別在線段AB,BC上，且3E=CF,則CE與D歹的位

置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是;

【知識(shí)遷移】

(2)如圖2,在矩形ABCD中，BC=2CD,點(diǎn)、E,尸分別為直線A3,3C上的動(dòng)點(diǎn)，且BE=2CF,

連接CE,DF.探究CE與。尸存在的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

【深入研究】

(3)如圖3在(2)的條件下，若點(diǎn)E,歹分別在邊A3,BC的延長(zhǎng)線上，EC的延長(zhǎng)線與。廠交于

點(diǎn)H.點(diǎn)G為E”上的點(diǎn)，且HG=2HD,請(qǐng)用等式表示線段BG與HC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

5.如圖，點(diǎn)。在菱形ABCD的對(duì)角線3D上，。。與邊2C相切，切點(diǎn)為點(diǎn)E,點(diǎn)尸在邊54的延長(zhǎng)

線上，且=將射線網(wǎng)繞著點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度以aV/BPD)后與邊相＞,直線2C分別

交于F,G兩點(diǎn).

圖2

(1)當(dāng)打=/3P。時(shí)，NBFG等于.

(2)若尸G與。。相切于點(diǎn)連接。尸,如圖2.

①求證:0P平分NBPG；

②求證:E,M,。三點(diǎn)共線.

6.(1)如圖1,正方形ABCD與正方形ECGb，點(diǎn)。在EC邊上，連接BE、DG,同學(xué)們通過觀察

可以得到如下解決辦法：EC=GC,NECB=NGCD,CB=CD,證得“△EC3之△GCD”.探究得

出GD與BE的位置關(guān)系；

(2)如圖2,正方形ECG尸繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)BE經(jīng)過點(diǎn)。時(shí)，NCDG的度數(shù)是°；

(3)正方形ECG尸繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置，8E與OG相交于點(diǎn)連接MC.求證：

y/2MC+ME=MG.

7.綜合與探究

問題情境

在“數(shù)學(xué)活動(dòng)”課上，老師提出如下問題：將圖1中兩個(gè)全等的直角三角形紙板VA3C和重合放

置，其中=—ED3=90。，AC=￡D=4,BC=BD=3.將△ED3繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為

?(0°<?<360°).如圖2,當(dāng)V瓦比的直角頂點(diǎn)。剛好落在邊AB上時(shí)，ED的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)產(chǎn)，

試判斷。尸與FC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

數(shù)學(xué)思考

(1)請(qǐng)你解答老師提出的問題.

深入探究

(2)老師將△ED3繼續(xù)繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖3位置，作射線C。交AE于點(diǎn)N.此時(shí)“善思小組”

的同學(xué)認(rèn)為點(diǎn)N是AE的中點(diǎn).請(qǐng)判斷“善思小組”的觀點(diǎn)是否正確，并說明理由.

(3)在△ED3繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中，連接AD,AE,是否存在某一時(shí)刻，使得VADE是一個(gè)

以AE為直角邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)AD的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

8.如圖1,在四邊形ABCD中，E是的中點(diǎn)，AEA.BD,垂足為P,ZCBD=90°,AB//CF.

⑴求證：AD=CF；

⑵如圖2,〃為AB的中點(diǎn)，MF交CD于氤N,若AM=ND,求大的值;

FN

⑶在(2)的條件下，連接Affi,若EN=3,求ME的值.

9.如圖①，在矩形ABCD中，AD=~AB,E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，以AE為邊向AE上方作正方形

AEFG,EF交AD于點(diǎn)H,過點(diǎn)E作于點(diǎn)P.延長(zhǎng)EP交G尸于點(diǎn)Q.

M

⑵求"的值.

(3)如圖②，延長(zhǎng)AG到點(diǎn)M,使得MG=gAG,連接MP,猜想A"與MP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

10.【中考新考法】綜合與探究

【問題情境】“綜合與實(shí)踐”課上，老師讓同學(xué)們準(zhǔn)備了菱形紙片ABCO,并提出如下問題：將圖1中

的菱形紙片沿對(duì)角線剪開，得到兩個(gè)全等的三角形紙片，表示為VABC和ACDE,將ACDE繞點(diǎn)C按

順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)N4CE=/54C時(shí)，延長(zhǎng)DE交54的延長(zhǎng)線于下，如圖2,試判斷四邊形ACEF

的形狀，并說明理由.

【數(shù)學(xué)思考】（1）請(qǐng)你解答老師提出的問題.

【深入探究】（2）在完成老師提出的問題后，同學(xué)們進(jìn)行了進(jìn)一步的探究：

①“善思小組”在準(zhǔn)備的菱形紙片中，將ACDE繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖3,當(dāng)點(diǎn)E落在邊上

時(shí)，B,E,A,。四點(diǎn)共線，ZACB=2/BCE.若EC=2,請(qǐng)求出54的長(zhǎng)度.

②“智慧小組”準(zhǔn)備的菱形紙片的對(duì)角線EC=12,3。=16,他們也將ACDE繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),

其點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為。夕，并過點(diǎn)M作。交直線于點(diǎn)當(dāng)EC〃Afi時(shí)，請(qǐng)直接寫出DM

的長(zhǎng)度.

D

圖1圖2圖3備用圖

11.綜合與實(shí)踐

綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).

在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形AE/G,其中點(diǎn)E,F

分別是點(diǎn)8,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E恰好落在邊上，連接3G交AE于點(diǎn)0,連接3E,

①DE的長(zhǎng)度為.

②求證：OG=OB,

⑶若直線EB,0G交于點(diǎn)4,當(dāng)BE=8時(shí)，請(qǐng)直接寫出由/的長(zhǎng).

12.探究發(fā)現(xiàn)

(1)如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)尸，。分別在邊AD,0c上，連接AQ,8尸.若A。，8尸若

則線段8P和AQ的數(shù)量關(guān)系是二線段AP和DQ的數(shù)量關(guān)系是一.

類比延伸

(2)如圖2,在正方形A3C￡＞中，點(diǎn)尸是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接5P,作3P的垂直平分線分別

交AB,CD于點(diǎn)E,F,過點(diǎn)尸作尸(9,交CD于點(diǎn)。，猜想線段AE,DQ,CF的數(shù)量關(guān)系，并

證明.

拓展應(yīng)用

(3)在(2)的條件下，若設(shè)AP的長(zhǎng)為x,。。的長(zhǎng)為%°,CT的長(zhǎng)為汽-測(cè)量數(shù)據(jù)后畫出的函

數(shù)圖象如圖3所示，其中點(diǎn)M是圖象力。的最高點(diǎn).

①直接寫出正方形ABCD的邊長(zhǎng)；

②在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)=B時(shí)，直接寫出線段跖的長(zhǎng).

圖1圖2圖3

13.【問題提出】

⑴如圖①，已知點(diǎn)A是直線/外一點(diǎn)，點(diǎn)B,C均在直線/上，于點(diǎn)。且AO=4,N3AC=45。.求

BC的最小值；

【問題探究】

(2)如圖②，在四邊形ABCD中，乙4=45。,48=/。=9。。,8=。=2,點(diǎn)E,尸分別為AB,AD上

的點(diǎn)，且CELCF,求四邊形AECF面積的最大值；

【問題解決】

(3)如圖③，某園林對(duì)一塊矩形花圃458進(jìn)行區(qū)域劃分，點(diǎn)K為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別為AB,DC

上的點(diǎn)，且NMKN=120。,MK,KN將花圃分為三個(gè)區(qū)域.已知A3=7m,BC=12m,現(xiàn)計(jì)劃在'A公

和中種植甲花，在其余區(qū)域種植乙花，試求種植乙花面積的最大值.

圖①圖③

14.綜合與探究

在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題展開探究.如圖1,在矩形A3CD中，AB=8,BC=10,

點(diǎn)E,歹分別是AB,AO邊上的點(diǎn)，連接防，將矩形沿歷折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A.

【初步探究】

(1)如圖2,若點(diǎn)E與點(diǎn)8重合，點(diǎn)A，恰好落在BC邊上，求證：四邊形是正方形.

【深入探究】

(2)如圖3,若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，改變點(diǎn)尸的位置，延長(zhǎng)E4'交3C于點(diǎn)猜想A及與的數(shù)

量關(guān)系，并說明理由.

(3)如圖4,若點(diǎn)尸是AD的中點(diǎn)，改變點(diǎn)E的位置，在折疊的過程中，若以A',D,C為頂點(diǎn)的三

角形是等腰三角形,直接寫出線段AE的長(zhǎng).

圖2

15.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們將兩個(gè)全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個(gè)頂點(diǎn)，然后將其中一個(gè)

紙片繞這個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，來探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).已知三角形紙片ABC和中，

NACB=/BDE=90°,BC=BD=6,AC=DE=8,旋轉(zhuǎn)角為a(0°<?<360°).

圖1圖2備用圖

【初步感知】

(1)如圖1,將三角形紙片BDE繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)，連接AE,CD,求而的值；

【深入探究】

(2)如圖2,在三角形紙片BDE繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)。恰好落在AABC的中線C尸的延長(zhǎng)線上

時(shí)，延長(zhǎng)即交AC于點(diǎn)G,求AG的長(zhǎng)；

【拓展延伸】

(3)在三角形紙片瓦組繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)過程中，試探究A,D,E三點(diǎn)，能否構(gòu)成以AE為直角邊的直角

三角形.若能，求線段AD的長(zhǎng)度；若不能，請(qǐng)說明理由.

16.在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，同學(xué)們以折疊正方形紙片展開數(shù)學(xué)探究活動(dòng).

圖①圖②圖③

【操作判斷】

操作一：如圖①，對(duì)折正方形紙片A3a>,得到折痕AC,把紙片展平；

操作二：如圖②，在邊AO上選一點(diǎn)E,沿3E折疊，使點(diǎn)A落在正方形內(nèi)部，得到折痕助；

操作三：如圖③，在邊8上選一點(diǎn)歹，沿所折疊，使邊與邊54重合，得到折痕即把正方形紙

片展平，得圖④，折痕BE刀/與AC的交點(diǎn)分別為G,H.根據(jù)以上操作，得NEBF=_.

【探究證明】

(1)如圖⑤，連接G尸，試判斷△物G的形狀并證明.

(2)如圖⑥，連接跖，過點(diǎn)G作CD的垂線，分別交AB,C￡>,￡F于點(diǎn)P,Q,V.求證：EM=MF.

【深入研究】若EM=2,直接寫出GH的值.

17.某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在學(xué)習(xí)了圖形的相似后，進(jìn)行了深入研究.

A

ADAD

(1)如圖1,在VA3C中，。為48上一點(diǎn)，ZACD^ZB.求證：AC2=ADAB.

【拓展探究】

(2)如圖2,在菱形ABCD中，E,尸分別為BC,DC上的點(diǎn)，S.ZEAF=^ZBAD,射線AE交DC的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)射線AF交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.若AF=2,CF=1.求CW的長(zhǎng)；

【學(xué)以致用】

(3)如圖3,在菱形ABCD中，AB=6,ZB=60°,以點(diǎn)2為圓心作半徑為3的圓，其中點(diǎn)尸是圓

上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出PD+；PC的最小值.

18.如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)M,N分別是AB,上的點(diǎn)，MN//BC,點(diǎn)E是BC上一點(diǎn),

將AABE沿AE折疊，使點(diǎn)8落在N上的點(diǎn)F處.

圖2

⑴若NE鉆=60。，證明：點(diǎn)M是AB上的中點(diǎn).

(2)如圖2,延長(zhǎng)所與AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,EG交CD于點(diǎn)、H,延長(zhǎng)A尸交C。于點(diǎn)P.

①求證：AFHP=APHF；

②當(dāng)點(diǎn)E是8C的中點(diǎn)時(shí)，探究PN與ON的數(shù)量關(guān)系，并證明.

19.在正方形ABCO中，點(diǎn)E是BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)2,C重合)，連接AE,將AE繞點(diǎn)E在平面

內(nèi)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。至砂位置，連接AF,交CD于點(diǎn)G.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)G為CO的中點(diǎn)時(shí)，若正方形的邊長(zhǎng)為4,求8E的長(zhǎng).

(2)如圖2,過點(diǎn)E作石尸,詼于點(diǎn)P,其延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q.

①連接DP,求證：DP平分/yWC；

②當(dāng)整=”時(shí)，求坐的值.

DCJPE

《2025年中考數(shù)學(xué)二輪壓軸題訓(xùn)練：四邊形綜合》參考答案

1.(1)①見解析；②見解析；

⑵述.

2

【分析】⑴①作證明R3R4E絲RtA〃G尸(HL),進(jìn)而推出ZFOD=90。，即可得證；②

平移線段FH,使得F與E重合，H與H重合,得到四邊形EH'HF為平行四邊形,進(jìn)而得到EF=H'H,

連接DH',易得為等腰直角三角形，得到?！?，=忘￡)￡，連接HH',D”，根據(jù)三角形的三

邊關(guān)系即可得證；

(2)平移線段9至得至4FH〃DM,FH=DM,進(jìn)而推出一￡DA/=NFOD=45。，將“ZDC

繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得AAmA,得到再證明AMDE絲AMDE(SAS),得到

ME=ME,設(shè)4石=無，在RSEBM中，勾股定理求出x的值，再利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)即可.

【詳解】(1)①證明：如圖，作HGJ_AD.

:正方形ABC。，

AAB=BC=CD=DA,ZA=ZB=ZC=ZCDA=90°,

四邊形GHCD為矩形，

:.HG=CD,

：.HG=DA,

又：DE=FH,

：.在RUZME與RtAHGF中,

jDA=HG

[DE=HF'

RtAZME^RtA//GF(HL)

，NDEA=NDFO；

又；ZDEA+ZEDA=9O°,

：.ZDFO+ZEDA=90°,

：.ZFOD=90°,

，DE±HF；

②證明：平移線段加，使得歹與E重合，H與印重合,

由平移的性質(zhì)，F(xiàn)H〃EH'且FH=EH',

，四邊形EHHF為平行四邊形，

EF=H'H,

連接DH',

由①知，DE=HF,DEVHF,

DE=EH',DE±EH',

為等腰直角三角形，

DH'=42DE，

連接印r,DH,

在△1汨H中,由三角形的三邊關(guān)系，得：

DH+HH'>DH',

EF+DH>亞DE;

當(dāng)。、H、攵三點(diǎn)共線時(shí)，EF+DH=6DE，

EF+DH>y/2DE;

(2)證明：平移線段加至DM,

AFH//DM,FH=DM,

：./EDM=ZFOD=45°,

'：ZADC=90°,

：.ZADE+ZMDC=45°

將AMDC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得^M'DA，

AMDC^M'DA,

AZMDC=ZM'DA,MD=MT）,ZM'AD=ZC^90°,

：.ZADE+ZM'DA=45°,M、A、E三點(diǎn)共線，

在△/￡>￡與△MOE中，

'MD=MD

<NMDE=NMDE,

DE=DE

：.△MDE^AA/DE（SAS）,

M'E=ME,

VAB=CD=?>,FH=DM=M,

MC=-JDM2-CD2=V10-9=1>

，BM=2,

設(shè)AE=x,貝1|加片=〃￡=1+%,

BE=3—九，

在RGEW中，

（3-尤）2+2?=（1+X）2,

3

解得，x=2

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定

理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線構(gòu)造特殊圖形和全等三角形，是解

題的關(guān)鍵.

2.(1)見解析

(2)①2屈，②88.

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用SAS可證明VADE絲VCDF即可證明結(jié)論；

(2)①由(1)可知VADE史CDF,則/E4￡>=/FCD,結(jié)合正方形的性質(zhì)及勾股定理得

AE=CF=AG-GE=q1方+6-2小=4小，過點(diǎn)尸作延長(zhǎng)線于X，可證△&4G^A//CF,

利用相似三角形的性質(zhì)可得C4=8,FH=4,再利用勾股定理求解即可；②如圖：連接GO,求得

GD=675,由三角形三邊關(guān)系可知。E2GO-GE=4?,當(dāng)點(diǎn)E在G￡>上時(shí)取等號(hào)，即：當(dāng)DE最

小時(shí)，DE=DF=4A/5,進(jìn)而可得ADEF的面積，過點(diǎn)E作EM_L8,則EN〃3c得ADEM^ADGC,

進(jìn)而求得DM=8,可得VADE的面積，進(jìn)而求得AEFD即可.

【詳解】(1)證明：在正方形ABCD中，AD=CD,ZADC=90。，

由旋轉(zhuǎn)可知，DE=DF,ZEDF=90°,

：.ZADE+ZCDE=ZCDE+ZCDF,

：.ZADE=ZCDF,

：.AADE^ACDF(SAS),

AE=CF.

(2)解：①由(1)可知，AADE^ACDF(SAS),則/E4D=/FCZ),

在正方形ABC。中，AB=BC=CD=AD=12,ZB=ZBAD=90°,貝!|ZS4G+ZEW=90。，

:點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，

,,BG=CG=6,則AG=VAB2+BG2=V122+62=&J5，

AE=CF=AG-GE=4y/5,

如圖：過點(diǎn)/作HF_LBC延長(zhǎng)線于X,則/戶CD+NFCH=90。，

/.ABAG^/\HCF,

.AGABBGm645126

??==,BJ,

CFCHFH475CHFH

；.CH=8,FH=4,

：.GH=CG+CH^6+8=14,

GF=>]GH2+FH2=2A/53；

②如圖：連接GD,則GD=JCG?+CD。=66，

由三角形三邊關(guān)系可知，DE>GD-GE=4s/5,

當(dāng)點(diǎn)E在GD上時(shí)取等號(hào)，即：當(dāng)。E最小時(shí)，DE=DF=4#,

：.S*DEF=；DE.DF=gx4乖X4#=4Q,

如圖：過點(diǎn)E作EMLCD,則硒〃3C,

ADEMs^DGC，

.DMDE??DM475

??=~，

DCDG1266

DM=8,

??-5皿=口》。河=卜2乂8=48,

四邊形AEFD的面積為ShADE+%跖=40+48=88.

【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，

正確添加輔助線、構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

3.(1)見解析；(2)J；(3)2^2-2<CE<242+2

【分析】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)以及三角形中位線定理，三角形三邊關(guān)系，勾股

定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

(1)取AC的中點(diǎn)尸，連接EF,DF,則所是VA3C的中位線，推出EF〃AB且石尸=；,再由

直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得正=CF,進(jìn)而得到/皮汨=NEED,據(jù)此求解即可；

(2)延長(zhǎng)交于點(diǎn)H,證明/絲AC4尸(ASA),推出A4=AC=3,班'=FC,再由三角形

中位線定理求解即可；

(3)取的中點(diǎn)尸，連接CF,EF,由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)以及三角形中位線定理結(jié)合三

角形三邊關(guān)系即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖(2),取AC的中點(diǎn)/，連接ERD尸，

,?*E是BC的中點(diǎn)，

/.EF是7ABe的中位線，

/.跖“至且所;工人臺(tái)，

2

/.AB=2EF,ZFEC=ZB,

ZB=2ZC,

，NFEC=2NC,

VAD1BC,尸為AC的中點(diǎn),

???NEDF=/C,

'：NFEC=/EDF+/EFD=2/C,

：.ZEDF=ZEFD,

:.DE=EF,

AB=2EF,

:.AB=2DE；

(2)如圖，延長(zhǎng)。尸交于點(diǎn)”，

A

/\vAFICF,AD平分/B4C,

/

H------------------------—

F

ZHAF=ZCAF,ZAFH=ZAFC=90",又AF=AF,

.?△Hwaaw(ASA),

：.AH=AC=3,HF=FC,

■.■AB=2,

；.BH=AH-AB=1，

：E為BC的中點(diǎn)，HF=FC,

:.EF=-BH=~-

22

(3)2yf2-2<CE<2y/2+2,

如圖(3),由題意知點(diǎn)C'在以A為圓心，AC為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),取A8的中點(diǎn)連接CF,EF,

，一/一一、、

?Z、、

/Z、\

//XX

//\\

//\\

1/1\

14\?

1ZACB=90°,AC=BC=4,

CB

AB=40，

:.CF=-AB=2>/2,

2

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AC=4.

E為BC'的中點(diǎn)，尸為AB的中點(diǎn)，

:.EF=-AC'=2,

2

CF-EF<CE<CF+EF,

2A/2-2<CE<2A/2+2，

當(dāng)E在CP上時(shí)，CE最小，為2&-2;當(dāng)E在CF的延長(zhǎng)線上時(shí)，CE最大,為2&+2,

272-2<CE<272+2.

4.(1)CE±DF,CE=DF；(2)CE=2DF；(3)BG=-^CH,理由見解析

【分析】(1)設(shè)DECE交于T,證明ACBE/ADCF(SAS),得到CE=DR/BCE=/CDF,再

導(dǎo)角證明ZCTD=90°即可得到答案；

(2)證明MBESADCF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式求解即可；

(3)過點(diǎn)B作創(chuàng)1_LCE于M,證明ACBESADCF,得到Z.BCE=NCDF,導(dǎo)角證明ZCHD=90°,

則可證明△。/。/△即(，推出，CM=2HD,=則可證明MG=CH,由勾股定理得

BG=JMG2+BM?=辰H-

【詳解】(1)解：設(shè)OFCE交于T,

?/四邊形ABC。是正方形，

ACD=BC,NCBE=NDCF=90。,

又：BE=CF,

：.ACBE/ADCF(SAS),

ACE=DF,NBCE=/CDF,

?/ZBCE+ZDCE=90°,

：.NCDF+NDCE=90。,

：.ZCTD=90°,

CE±DF；

CD

L

BEA

(2)解：CE=2DF,證明如下:

:四邊形ABCD是矩形，

NCBE=NDCF=90°,

,:BC=2CD,BE=2CF,

.BCBE

>?——z,

CDCF

：.ACBEsADCF,

CEBF

-=2,^CE=2DF；

DFCF

(3)解:BG=辰口,理由如下;

如圖所示,過點(diǎn)8作3MLCE于

：.ZBCD=ZCBA=90°,

：.ZCBE=ZDCF=180°-90°=90°,

BC=2CD,BE=2CF,

BCBEc

而，二2,

△CBEsADCF,

/BCE=/CDF,

ZBCE+ZHCD=180?！猌BCD=90°,

ZHCD+ZHDC=90。,

NCHD=90。，

/CHD=/BMC=90。,

△CHDsABMC,

CMBMBC2

HD~~CH~CD~'

CM=2HD,BM=2CH

■:GH=2DH,

GH=CM,

：.MG=CH,

在RaBMG中，由勾股定理得BG=JMG?+BM?=辰H.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，矩形得性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三

角形的性質(zhì)與判定等待，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵.

5.(1)90°

⑵①見解析；②見解析

【分析】⑴由菱形的性質(zhì)可得：AB=AD,AD//BC,3。平分/ABC,根據(jù)尸A=AB得到AD=,

推出=由可得NADP=N3GP,推出=結(jié)合3D平分,ABC,

可得/BDG=90。，即可求解；

(2)①點(diǎn)。作于點(diǎn)連接OE、OM,由與。。相切于點(diǎn)M和。。與邊3c相切，切

點(diǎn)為點(diǎn)E,可推出OM=OE,OMLPG,OEYBC,根據(jù)3。平分/ABC,可得OH=OE,推出

O"=OAf,即可證明；②連接并延長(zhǎng)交直線A。于點(diǎn)力,由①得：3P為。。的切線，結(jié)合PG,

3G均為的切線，可得GE=GM,BE=BH,PM=PH,設(shè)BG=a,PB=b,PG=c,GE=GM=x,

x+y=a

BE=BH=y,PM=PH=Z,貝lby+z=b,得到工=空|於，即GE=GM=a+7,根據(jù)菱形的

z+x=c

性質(zhì)和題意可得：AF為△PBG的中位線，kZGEM=ZD',得到人尸=色，F(xiàn)G=~,推出

22

FM=FG-MG=一,根據(jù)等腰三角形的額判定與性質(zhì)可推出A。=g=AO,得到。與點(diǎn)M重合，

即可證明.

【詳解】(1)解：當(dāng)c=時(shí)，點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合，如圖，

AB=AD,AD//BC,3Z）平分/ABC,

PA^AB,

AD=PA,

ZAPD=ZADP,

??,AD//BC,

，ZADP=ZBGP,

丁./BPG=NBGP,

:.BP=BG,

???3。平分N7RC,

?.BD上PG,即ZBDG=90,

NBFG=90。,

故答案為:90°；

(2)①如圖，過點(diǎn)。作OH,AB于點(diǎn)連接OE、OM,

???。。與邊2C相切，切點(diǎn)為點(diǎn)E,

OELBC,

又:3D平分/ABC,

OH=OE,

???PG與。。相切于點(diǎn)M,

OM=OE,OMLPG,

OH=OM,

又,；OH，AB,OMLPG,

OP平分NBPG；

圖2

②由①得：8尸為。。的切線，

PG,3G均為的切線，

GE=GM,BE=BH,PM=PH,

設(shè)BG=a,PB=b,PG=c,GE=GM=x,BE=BH=y,PM=PH=z,

x+y=a

則＜y+z=b,

z+x=c

解得：一

連接并延長(zhǎng)EM交直線AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M

AD//BC,PA=AB,

PAPF1

/.——=——=l,

ABFG

為尸G的中點(diǎn),

，AF為APBG的中位線，

AF=-BG=-,FG=-PG=-,AF\\BG,

2222

:.ZGEM=ZD',

e,"-ca+c-bb-a

FM=FG-MG=--------------=------,

222

?「GE=GM,

NGEM=NGME,

??/GME=/D'MF,

ff

ZD=ZDMFf

"MF甘

，點(diǎn)。與點(diǎn)。夕重合,

E,M,。三點(diǎn)共線.

圖2

【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理，切線的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，等腰三角形的判定與性

質(zhì)，角平分線的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)正確添加輔助線.

6.(I)垂直(或GDLBE)；(2)45；(3)見解析.

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)并

結(jié)合條件作出輔助線構(gòu)造合理的全等三角形是解題的關(guān)鍵.

(1)延長(zhǎng)GD交BE于點(diǎn)打，得出NBEC=NDGC,進(jìn)而利用/￡>GC+/￡BC=/3EC+/EBC=90。,

即可得出答案；

(2)由ZBCD+ZDCE=NGCE+ZDCE得出ZBCE=NGCD,進(jìn)而證明ABCE絲△■DCG(SAS)即可求

得答案；

(3)可分別證明ABCE%DCG(SAS)以及ANCE絲AMCG(ASA),然后結(jié)合。V，MC,NC=MC,

可得MN=6MC，進(jìn)一步即可得證.

【詳解】解：(1)延長(zhǎng)G。交BE于點(diǎn)如圖：

ZBEC=NDGC,

,??四邊形ABCD和ECGF是正方形，

ZDGC+ZEBC=ZBEC+Z.EBC=90°,

；./GHB=90。,即GD_LBE；

故答案為：垂直(或GDL3E)；

(2)1■?ZBCD+Z.DCE=Z.GCE+ZDCE,

ZBCE=ZGCD,

在ABCE和△OCG中，

BC=DC

■ZBCE=ZGCD,

EC=CG

：.△BCE^AZ)CG(SAS),

ZCDG=ZCBE=45°；

故答案為:45；

(3)過C作C7VLMC,交BE于點(diǎn)、N,如圖:

圖3

由（2）知在ABCE和ADCG中，

BC=DC

-ZBCE=NGCD,

EC=CG

：.ABCE均DCG（SAS）,

ZMGC=ZNEC,

-：CN±MC,ZNCM+ZMCE=Z.GCE+ZMCE,

：.ZNCE=ZMCG,

在ANCE和AMCG中,

ZMGC=ZNEC

<CE=GC,

ZNCE=ZMCG

ANCE絲AMCG（ASA）,

NC=MC,NE=MG,

VCN±MC,NC=MC,

MN=yjNC2+MC2=-J1MC，

母MC+ME=MN+ME=NE=MG，sflMC+ME=MG.

7.（1）DF=CF,見解析；（2）正確，見解析（3）與叵或2萬

13

【分析】（1）解法1連接BF,證明RtAr>BF^RtACBF（HL）即可；

解法2根據(jù)勾股定理，得鉆=3￡=存百=5,得至=BD=2,利用三角函數(shù)求得ORC尸

的長(zhǎng)度，比較解答即可.

（2）過點(diǎn)￡作EG〃AC,交CN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,則NG=NACN,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形

的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，證明即可.

（3）當(dāng)NE4D=90。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得BA=BE,取E4的中點(diǎn)N,連接BN,交ED于點(diǎn)P,利

用等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線定理，平行線分線段成比例定理，三角函數(shù)的應(yīng)用

解答即可；當(dāng)NAED=90°,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得BA=BE,取E4的中點(diǎn)連接3M,交AD于點(diǎn)

Q,貝胡，根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線定理，平

行線分線段成比例定理解答即可.

【詳解】（1）解：解法1：連接班，

??ZBDF=ZBCF=90°

E

\為，產(chǎn)=BO

Q\/\1BF=BF

A~FC

：.RtADBF^RtACBF(HL),

：.DF=CF.

解法2：根據(jù)題意，得AB=5￡=J32+42=5,

?人BC3AC4

??AD=AB—BDx=2,tanA==—,cosA==一,

AC4AB5

??人DF3AD4

?tanA==—,cosA==4—,

AD4AF5

3345

???DF=2義_=_,AF=2+—=_,

4252

3

CF=AC-AF=-

2f

：.DF=CF.

(2)解：過點(diǎn)E作￡G〃AC,交CN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

則NG=NAQV,

,/△瓦坦繼續(xù)繞點(diǎn)5順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖位置，作射線CD交A￡于點(diǎn)N.

；.BC=BD,ED=AC,ZEDB=ZACB=90°,

：?/BDC=/BCD,/BDC+NEDG=90。,ZBCD+ZACN=90°,

：.ZEDG=ZACN9

：.ZEDG=ZACN=ZEGD,

：.EG=ED=AC,

'/ANC=ZENG

?.?\ZACN=ZG,

CA=GE

???△G/VE名△OVA(AAS),

，點(diǎn)N是AE的中點(diǎn).

(3)解：當(dāng)NE4D=90。，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得BA=BE,

取E4的中點(diǎn)N,連接BN,交ED于點(diǎn)P,

則3N_LE4,

ABN//AD,NENP=90°,

：.——=——=1,ZPEN=90°-ZEPN=90°-ZBPD=ZDBP,

NAPD

：.EP=PD=-ED=2,

2

PB=y]PD2+BD2=V13，

4npr\

：.sin/PEN=sinZDBP=——=——

EDPB

AD_2

解得AO=嘈；

13

當(dāng)ZAED=90。，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得BA=BE,

取的中點(diǎn)連接交A￡＞于點(diǎn)

則BM±EA,

：.BM//DE,四邊形3MED是矩形,

.AM_AQ_

}BD=ME=AM=3,

'ME~QD~

：.MQ=^ED^2,

?*-AQ=y)QM2+AM2=>/13,

AD=2AQ=2^/13,

綜上所述，AD的長(zhǎng)為紅叵或2相.

13

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理的

應(yīng)用，三角函數(shù)的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線分線段

成比例定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵.

8.(1)見解析

⑵空

FN4

⑶ME=3而

【分析】(1)證明四邊形為平行四邊形，AB=CF.證明AF垂直平分得至!!鉆=">,

即可得到結(jié)論；

EN12

(2)證明一=—,FN=-AM,由=即可得到結(jié)論；

ND23

(3)過點(diǎn)M作MGLAE,垂足為G.求出GE=201,MG=；BF=A,即可求出ME的值.

【詳解】(1)證明：I,AE_LBD,NCBD=90°,

:.AE//BC.

又,；ABUCF,

四邊形ABb為平行四邊形，

AB=CF.

E為C。的中點(diǎn)，

尸為5Q的中點(diǎn),

???AF垂直平分8。，

AB=AD，

/.CF=AD.

(2)解：???M為A5的中點(diǎn)，尸為5。的中點(diǎn)，

，MF//AD,

.ENEF

,ND~FA'

由(1)可知，AF=BC,

EF_EF_1

.?而一瓦―5'

EN_1

.麗~29

FN1…1…

=-,EN=-ND

,AD32

FN1FN_2

,AB―3'AM~3

FN=-AM

3

?;ND=AM,

.EN2ND__3

3

(3)解：如圖，過點(diǎn)M作MGLAE,垂足為G.

：.MG//BF

.AGAM

'*GF-

AG=FG=-AF

2

由（2）可知，當(dāng)EN=3時(shí)，F(xiàn)N=4,

AD^12,ND=6,AB=3FN=n

：.DE=EN+DN=9

:.CD=2CE=2DE=18.

設(shè)跖=x,貝i]Ab=2x,FD=>]AD2-AF2=A/122-4X2?

在Rt?E五。中，F(xiàn)D=y]DE2-EF2=A/92-X2-

122—4/=92-/,解得x=?,

GE=AG+EF=2AG=2EF=2^/21,MG=3BF=AB°-AF。=g,12?_（20I『=A/15,

ME=yjGE^MG2=3而-

【點(diǎn)睛】此考查了平行線分線段成比例定理、勾股定理、三角形中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)等知

識(shí)，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵.

9.(1)證明見解析

⑵』

12

(3)①=理由見解析

【分析】本題考查了四邊形與相似、三角函數(shù)結(jié)合，三角形全等的判定，熟練掌握正方形、矩形中的

角度相等證相似是解題的關(guān)鍵.

(1)利用直角與直角三角形的角度關(guān)系得出角度相等，再證明即可；

(2)證明即可；

(3)過點(diǎn)M作于點(diǎn)N,設(shè)AG=5x,利用相似或三角函數(shù)分別得出AN和AP,再利用線

段垂直平分線性質(zhì)得出結(jié)論.

【詳解】⑴解：:?在正方形AEFG中，AE=EF,ZAEH=NEFQ=90。,

：.ZAEP+ZQEF=90°,

,/EPLAD,

：.ZAEP+ZHAE=90°,

：.ZQEF=ZHAE,

；AE=EF,ZAEH=ZEFQ=90°,

：.△AEHZAEFQ；

12

(2)解：???矩形ABCD中，？。90?,AB=CD,AD=—ABf

.CD5

??而F'

VZAEF=ZD=90°fZEAH=ZDAC,

:?小AEHs^ADC,

.EHCD5

**AE-AB-12?

?；AE=EF,

.EH_5

**EF-12；

(3)解：猜想：AM=MP,理由如下:

過點(diǎn)M作于點(diǎn)N,

,：MG=AG,AG^AE,

MG-x,AM=6x,AE=5x,

..CD

—,?D90?,

AD12

設(shè)CD=5y,AD=12y,

AC=yjAD2+CD2=13y，

VZCAE=90°,?D90?,ZAPE=90°,

ZCAP=ZCAE-ZEAP^900-ZEAP=ZAEP=ZACD,

..12APAP..5ANAN

,?sinZAEP=sinZACD=—==,cos/.CAPn=cosZACD=—=-----=-----,

13AE5x13AM6x

60x,.30x

AP=——,ANA7=——

1313

AN=-AP,

2

'：MN±AP,

：.AM=MP.

10.(1)四邊形ACE〃是菱形，理由見解析；(2)①84=1+上；②17.6或1.6

【分析】(1)由題意得AR〃CE,再由菱形的性質(zhì)得到AC〃。廠，則先證明四邊形ACEF為平行

四邊形，由菱形得到鄰邊相等，即可證明為菱形；

Ar1AF?m-2

(2)①導(dǎo)角證明AAECSAACB,則一土=—,設(shè)=根，而EC=AC=2,則一=——，解方程

ABACm2

即可；

②可得AC13D,OA=-AC=6,OB=OD=-DB=8,貝|鉆=10,設(shè)A3邊上的高為〃，由面積法

22

求得〃=9.6,當(dāng)時(shí)，而菱形ABCD中，8〃AB,故點(diǎn)E,2C共線，而9，EC//AB,

則DM，EC,即。'KLEC,由旋轉(zhuǎn)得，DO=D'K=8,再分兩種情況討論即可求解.

【詳解】(1)解：四邊形AC跖為菱形，理由：

??ZACE=ZBAC,

???AF//CE,

???四邊形ABC。是菱形，

：?/BAC=/DEC,

：.ZDEC=ZACE,

：.AC//DF,

???四邊形ACEb為平行四邊形

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AC=CE,

???平行四邊形ACE尸為菱形；

(2)①解：由題意得可得，CA=CE,

???ZEAC=ZAEC,

^：ZEAC=ZAEC=x,

「菱形ABC。，

:.BA=BC

???在VABC中，ZACB=ZBAC=x,

AZB=180°-2x,

???/AEC是的外角，

???ZECB=x-(180°-2x)=3x-180°,

,:ZACB=2ZBCE,

x=2(3x-180°),

解得：x=72。