2025年中考數(shù)學二輪總復習：幾何最值問題

微專題42幾何最值問題

類型一利用“垂線段最短”解決最值問題

方法解讀

類型一定一動型一定兩動型

P是直線/外的定點，H是直線/上的動M是NR4c內部的定點，N,P分別是A3,

條件

點AC上的動點

BB

?Pf

圖示―

1ACAP\~C

-------H-------'M，

結論線段PH是點、P到直線1的最短距離PM+PN的最小值為M'N的長

1.（人教八上練習改編）如圖，在等邊AABC中，A3=4,點。是邊上的動點，則線段

AD的最小值是.

A

Rnc

第1題圖

2.（2024東莞模擬）如圖，在等邊AABC中，AB=6,點P是邊上的動點，將△A3P繞

點A逆時針旋轉60°得到△ACQ,點。是AC邊的中點，連接則DQ的最小值是.

第2題圖

3.如圖，在AABC中，ZABC=35°,。是邊AC上一點，E,R分別是射線A4,3c上異

于點3的動點，連接DB,DE,EF,若/CBD=10°,BD=6,則DE+EF的最小值為.

第3題圖

第1頁共19頁

4.（2024中山模擬）如圖，在RtZkABC中，ZA=90°,〃為3c的中點，H為AB上一點,

過點C作CG〃A3,交H0的延長線于點G,若AC=8,AB=6,則四邊形ACG"周長的最小

值是.

第4題圖

5.（2024梅州模擬）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)丁=九+6的圖象與x軸交于點A,

與y軸交于點3,點尸在線段A3上，PC,尤軸于點C,則△PC。周長的最小值為.

6.如圖，在等腰AABC中，NB4c=45°,AB=AC,點、P,Q,R分別為邊BC,AB,AC

上（均不與端點重合）的動點，當^PQR的周長最小時，則NPQR+NPRQ的度數(shù)為.

第6題圖

類型二利用“兩點之間線段最短”解決最值問題

方法解讀

類型「兩定點不二動點型一定點十兩動點型兩定點+定長型一

異側同側P是NA03內部的定

A,B是定點,M,N分別是

條件A,3是定點，尸是直線/上的點，M,N分別是

h,/2上的動點，且MNL/1

動點03上的動點

第2頁共19頁

PA+PB的最PA+PB的最

△PMN周長的最小值AM+MN+BN的最小值為

結論小值為A3的小值為A*的

為尸尸”的長A5+MN的長

長長

1.7北師九上隨堂練習改編）如圖，在邊長為4的正方形A3。中，E為邊A3上一點，且

AE=1,R為對角線3。上一動點，連接ERCF,則EF+CT的最小值為.

第1題圖

2.如圖，在等腰AABC中，AB=BC,AC=3,的垂直平分線DE分別交A3,3c邊于點

D,E,R為AC邊的中點，尸為線段DE上一動點，若AABC的面積是9,則PC+PR的最小

值為.

第2題圖

3.如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=%+fec+c與x軸交于點A,B（4,0）,與

y軸交于點C（0,—3）.點P是拋物線對稱軸上一點，連接AP、CP,當AP+CP的值最小時,

點P的坐標為.

4.如圖，在矩形A3CD中，AB=3,AD=2,E,R分別是A3,CD上的動點，EF//BC,則

AF+EF+CE的最小值為.

第3頁共19頁

5.（2024香洲區(qū)二模）如圖，點A（1,m）和3（n,2）在反比例函數(shù)y=3的圖象上，點C,

X

。分別是X軸正半軸和y軸正半軸上的動點，連接A3,BC,CD,DA,則四邊形A3CD周長

的最小值為.

類型三與圓有關的最值問題（6年5考）

考向1點圓、線圓最值問題

方法一點圓最值問題

方法解讀

條件：如圖，平面內一定點。和E是。。上的動點，連接DE.

結論：當圓心。在線段DE上時，DE取得最大值（圖①），當圓心。在DE的延長線上時，

DE取得最小值（圖②）.

1.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,。。的半徑為1,若圓心。在矩形ABCD的邊

上運動，則點C到。。上的點的距離的最大值為.

第1題圖

第4頁共19頁

2.（2024珠海模擬）如圖，?！ǖ陌霃綖?,圓心”的坐標為（6,8）,點P是OM上的

任意一點，PALPB,且PA,P3與x軸分別交于A,3兩點.若點A,點3關于原點。對稱,

則當AB取最小值時，點A的坐標為.

第2題圖

3.（2024東莞一模）如圖，拋物線產(chǎn)￥—4與x軸交于A，5兩點，P是以點C（0,3）為

圓心，2為半徑的圓上的動點，連接P4,點Q是線段PA的中點，連接。。，則線段OQ的最

大值是.

第3題圖

方法二線圓最值問題

方法解讀

圖①圖②

條件：如圖，。。與直線/相離，設O。的半徑為「，圓心。到直線/的距離為d,尸是。。上

的動點.

結論：點尸到直線/的最小距離為d—r（圖①），最大距離為d+r（圖②）.

4.如圖，在矩形A3CD中，AB=4,BC=3,以點3為圓心，1為半徑作圓，P是。3上一

動點，。是對角線AC上一動點，則PQ的最小值為.

第4題圖

第5頁共19頁

5.如圖，在矩形A3CD中，AB=3,BC=4,。為矩形A3CD的中心，以點。為圓心，1為

半徑作OD,P為。。上的一個動點，連接AP,OP,0A,則AA。尸面積的最大值為.

第5題圖

6.如圖，在RtZkABC中，AB=4,BC=2,ZABC=9Q°,半徑為1的。。在斜邊AC上滾

動，點。是。。上一點，則四邊形ABCD的最大面積為.

考向2利用輔助圓求最值（6年4考）

方法一定點定長作圓（2021.10）

方法解讀

原理：圓的定義：圓是所有到定點的距離等于定長的點的集合.

情形：在平面內，點A為定點，點3為動點，且A3長度固定.

動點軌跡：動點3的軌跡是以點A為圓心，A3長為半徑的圓或圓弧的一部分.

1.（2020廣東17題4分）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于

梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉.把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平

面內的線或點，模型如圖，NA3C=90°,點M,N分別在射線A4,BC±.,長度始終保

持不變，MN=4,E為MN的中點，點。到B4,的距離分別為4和2.在此滑動過程中，

貓與老鼠的距離DE的最小值為.

第6頁共19頁

2.（2024煙臺）如圖，在口A3CD中，ZC=120°,AB=8,3C=10.E為邊CD的中點，F(xiàn)

為邊AD上的一動點，將△DER沿ER翻折得△DEF連接AD,則△A3。面積的最小

值為.

第2題圖

3.如圖，在菱形A3CD中，AB=6,ZABC=60°,E為BC上一動點,連接DE,作點C

關于直線DE的對稱點R連接3F則3R的最小值為.

第3題圖

方法二定弦定角作圓（6年2考：2021.10、17）

方法解讀

情形：如圖，在AABC中，ZC（?）為定角，所對的弦A3長度固定.

動點軌跡：（1）當0<a<90°時，點C的軌跡如圖①所示，即Q；（2）當a=90°時，

點C的軌跡如圖②所示，即。。（不含A,3兩點）；（3）當90°<a<180°時，點C的軌

1

2LAOB+/LACB=\SOC

第7頁共19頁

第4題圖

4.（2024梅州市一模）在直角AABC中，ZACB=90°,AC=4,3c=6,點P是△ABC內

一點，滿足NC3P=NACP,則P4的最小值為.

5.（2021廣東17題4分）在AABC中，NA3C=90°,A3=2,3C=3.點。為平面上一個

動點，ZADB=45°,則線段CD長度的最小值為.

6.（2021廣東10題改編）設。為坐標原點，點43為拋物線y=%2上的兩個動點，且。4，。丘

連接點A,B,過點。作0CLA3于點C,則點C到y(tǒng)軸距離的最大值為.

方法三四點共圓（6年2考：2024.22,2023.23）

方法解讀

情況一（同側型）：如圖①②，線段A3長度為情況二（異側型）：如圖③，由點A,

條件定值，點C,。為A3同側兩動點，且NAC3=B,C,。構成的四邊形中，ZADC

ZADB+ZABC=180°

D萬DCD，—、、

類型、0'

、、一J'、、R

圖①圖②圖③

結論A,B,C,。四點共圓

7.（人教八上練習改編）如圖，在△ABC和△ACD中，ZABC=ZADC=45°,AC=6,則

AD的最大值為.

第7題圖

8.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,。是斜邊A3上一動點，連接CD,

將線段CD繞點。逆時針旋轉90°得到CE,連接BE,DE,。是DE的中點，連接。C,OA,

則AO的最小值為.

C

第8題圖

第8頁共19頁

9.如圖，在菱形A5CD中，ZABC=60°,AB=6,點石，尸分別是邊BC,A5上的點，且

AF=BE,連接。廠與A片交于點G,連接。G,則。G的最大值為.

AD

第9題圖

幾何畫板動態(tài)演示

四點共圓求最值

類型四利用二次函數(shù)性質解決最值問題

[6年2考：2022.23(2),2021.9]

方法解讀

要求y=a/+法+c(aWO)的最值，可將解析式化為頂點式，確定其對稱軸是否在自變量x

的取值范圍內，再畫出圖象，利用數(shù)形結合思想及所給端點與對稱軸的距離，依據(jù)二次函數(shù)增

減性求最值.

1.(2021廣東9題3分)我國南宋時期數(shù)學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，

此公式與古希臘幾何學家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a,b,c,記p

=￡±|±￡,則其面積S=Jp(p-a)(p-bXp-c).這個公式也被稱為海倫一秦九韶公式.若p

=5,c=4,則此三角形面積的最大值為()

A.V5B.4C.2V5D.5

2.如圖，二次函數(shù)尸一#—3+2的圖象與x軸交于A,3兩點，與y軸交于點C,且。

Cm,n')是第二象限內拋物線上一點，則四邊形。CD4的面積的最大值為.

3.如圖，Rt^ABC中，ZC=90°,AC=3C=4,點。是AC的中點，點E是A3上一動點,

點R是3c上一動點，且點E不與端點重合，ZDEF=45°,則3R的最大值為.

C

第9頁共19頁

第3題圖

類型一利用“垂線段最短”解決最值問題

1.2V3【解析】如解圖，過點A作于點￡＞，，根據(jù)垂線段最短可知，當點。與點

。重合時，的值最小.,.?△ABC為等邊三角形，."。二人"％?,.3?=8=抑7=2,.?.AD

=JAB2—BD'2=2W,：.線段AD的最小值是2倔

A

A

BITDC

第1題解圖

2.學【解析】,.?△ABC是等邊三角形，.?.NJB=NAC3=60°,AB=AC=6,如解圖，過

點。作DQUCQ于點Q，，由旋轉可得NACQ=NB=60°,??.點Q為射線CQ上的動點，又

VZACB=60°,AZBCQ=120°,..?點。是AC邊的中點，：.CD=^AC=3,當DQLCQ

時，DQ的長最小，止匕時，點。與。重合，ZCDQ'=30°,：.CQ'=lCD=l，：,DQ'=JDC2~CQ'

=第，的最小值是手.

A

RPC

第2題解圖

3.3V3【解析】如解圖，作點。關于B4的對稱點。'，連接DD',BD',過點。作的垂

線交B4于點E,交BC于點F,由對稱的性質得。E=DE,：.DE+EF=D'E+EF=D'F,止匕

時DE+ER的值最小，最小值為線段。戶的長.?.,NABC=35°,ZCBD=10°,BD=6,

：.ZDBA=ZD'BA=AABC-ZCBD=25°,BD'=BD=6,：.ZCBD'=35+25°=60°,

：.D'F=BD'sin60°=6X^=3A/3,...DE+ER的最小值為3g.

第10頁共19頁

第3題解圖

4.22【解析】\'CG//AB,：.ZB=ZMCG,是的中點，：.BM=CM,在和

(回BFMCG

BM=CM,注△CMG(ASA),：.HM=GM,BH=CG,'：AB=6,

^\BMHFCMG

AC=8,四邊形ACGH的周長=AC+CG+GH+AH=A3+AC+GH=14+GH,如解圖，當

GH最小時，即GHLAB時，四邊形ACGH的周長有最小值，?.?NA=90°，GH〃AC,

四邊形ACGH為矩形，...GH=AC=8,...四邊形ACGH周長的最小值為14+8=22.

第4題解圖

5.3V2+6【解析】由直線丁=尤+6的解析式得，當x=0時，尸無+6=6,當y=0時，x+6

=0,解得x=—6,,一次函數(shù)y=x+6的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點3,...Al—6,

0),3(0,6),則04=03=6,.?.△A3。是等腰直角三角形，由題意，可設點尸的坐標為(a,

a+6)(-6<o<0),軸，：.OC=~a,PC=a+6,，△PC。的周長為OC+PC+OP

=~a+a+6+OP=6+OP,則求△PC。周長的最小值只要求出OP的最小值即可，如解圖，

過點0作OD±AB于點D,則OP的最小值為OD的長，即此時點P與點D重合，?.,0D，A5,

：.AD=BD,.*.OD=|AB=|XJ62+62=3V2,二△PC。周長的最小值為6+。。=3e+6.

4cc

第5題解圖

6.90°【解析】如解圖，作點尸關于A3的對稱點P,關于AC的對稱點尸〃，連接PP",

分別交A3,AC于點Q,R,連接AP,4P".貝I]PQ=PQ,P"R=PR,AP=AP'=AP",ZP'AQ

=ZPAQ,ZP"AR=ZPAR,：.C^PQR=PQ+QR+PR=P'Q+QR+P"R=P'P",ZP'AP"=

第11頁共19頁

ZP'AQ+ZPAQ+ZP"AR+ZPAR=2ZBAC=2X45°=90°,，△4P尸”為等腰直角三角形,

AP=AP'=AP",：.P'P"=V2AP,當AP,3c時，AP最短，即周長最小，止匕時NAPQ

=ZAPQ=45°,ZAP"R=ZAPR=45°,：.ZQPR=90°,：.ZPQR+ZPRQ=9Q°.

第6題解圖

類型二利用“兩點之間線段最短”解決最值問題

1.5【解析】如解圖，連接CE交3。于點/，.?.ER+CENCE,.?.當點R與點尸重合，即

C,RE三點共線時,ER+CT有最小值，最小值為CE的長.四邊形A3CD為正方形，...NABC

=90°,AB=BC=4,'：AE=1,：,BE=3,在RtZkBCE中，由勾股定理，得CE=JBE2+BC2

=5,.?.Ef'+CT的最小值為5.

AD

RC

第1題解圖

2.6【解析】如解圖，連接BP.????！晔蔷€段BC的垂直平分線，，點5與C關于。石對稱,

BP=CP,：.PC+PF=BP+PF^BF,當B,P,廠三點共線時，PC+P廠最小.???尸為AC邊的

中點，AB=BC,：.BF±AC,ASAABC=|ACBF=9.VAC=3,：.BF=6,/.PC+P/的最小值

為6.

A

REC

第2題解圖

3.(|,一?)【解析】如解圖，連接3C交拋物線對稱軸于點P,此時AP+CP的值最小，：

9

17-1-4/?+r=0

-,解得：,???拋物線表達式為y=%2

(c=-3

-4—3,???拋物線對稱軸為直線元=2,設直線3c的表達式為機W0),將8(4,0),

42

第12頁共19頁

7?——3TTL—

，解得'4,直線3C的表達式為丁=%一3,

(4m+n-0(n=—3'4

當時，y=：.點P的坐標為G，一3.

2828

/中

P/

第3題解圖

4.7【解析】由題意知ER=3C=AD=2,如解圖，過點R作R7〃。石，交3c延長線于點G,

連接AG,'.,EF//BC,四邊形ERGC為平行四邊形，：.CE=GF,CG=EF=2,貝UAR+CE

=AF+R7NAG,.?.當A,F,G三點共線時，AP+CE取得最小值，最小值為AG的長，?..BG

=BC+CG=4,.,.在Rt^ABG中，AG=JAB2+BG2=5,：.AG+EF=7,.?.AR+ER+CE的

最小值為7.

ArR

第4題解圖

5.4V5【解析】?.?點A(l,附和3(〃，2)在反比例函數(shù)y=￡的圖象上，.?.m=4,n=2,：.A(1,

4),BQ,2),：.AB=V5,如解圖，分別作點A關于y軸的對稱點A，，作點3關于x軸的對稱

點4，連接AR交y軸于點。，交x軸于點C,此時四邊形A3CD的周長最小，最小值為AB

+AB的值.根據(jù)對稱的性質，得4(—1,4),B'(2,—2),.,.4皮=3西，...四邊形43。周長

的最小值為3A/5+V5=4V5.

y

伏-??

飛

R'

第5題解圖

類型三與圓有關的最值問題

第13頁共19頁

考向1點圓'線圓最值問題

1.6【解析】如解圖，在。。上任取一點E，，連接OE，、CE',則CEWCO+OE，，當C、。、

E三點共線時，CE取得最大值，即當點E與E重合時，CE取最大值，要求CE的最大值，即

求C。的最大值.連接AC,：COWAC,?,.當點。與點A重合時,C。取得最大值時.在RtAABC

中，'：AB=3,BC=4,：.AC=5,二。。最大=5,二CE最大=0C最大+0E=6..?.點C到。。上的

點的距離的最大值為6.

第1題解圖

2.(-6,0)【解析】如解圖，連接P。，?.?PALPB,??.NAPB=90°,?點A、點3關于原

點。對稱，...49=3。=2。，.?.A3=2P。，若要使A3取得最小值，則尸。需取得最小值，連

接。M交OM于點P,當點P位于P位置時，OP取得最小值，過點M作"Q，x軸于點。，

VM(6,8),則OQ=6,MQ=8,：.OM=10,又?.,MP'=r=4,/.OP'=MO-MP'=10-4=6,

：.OA=OP'=6,?'.點A坐標為(一6,0).

3.1【解析】如解圖，連接3尸，當y=0時，%2—4=0,解得xi=4,&=—4,則A(—4,

0),3(4,0),：.OB=4,?。是線段P4的中點，.二。。為AABP的中位線，AOQ=^BP,當

3P最大時，。。最大，當3尸過圓心C時，PB最大,如解圖，當點尸運動到P位置時，BP

最大，此時，OQ取得最大值，最大值為沙3),：.OC=3,：.BC=JOB2+OC2=5,

.,.叱=5+2=7,.,.線段OQ的最大值是最

第14頁共19頁

4.1【解析】如解圖，過點3作3QLAC于點Q,交。3于點P,此時PQ的值最小...?在

矩形A3CD中，AB=4,BC=3,。3的半徑為1,，AC=^AB2+BC2=j42+32=5,BP=1,

.,.sinNACB=*=饕=g解得3Q=若.，加=如一族=7一1=].'PQ的最小值為1

/IC*DC?ooooo

第4題解圖

5.9【解析】如解圖，連接”當點尸到AC的距離最大時，少°尸的面積最大，過點。

作AC的垂線，與。。在矩形ABCD外交于點P,交AC于點此時△A。尸的面積最大.：

在矩形A3。中,A5=3,BC=4,：,AC=\AB-+BC^=5,AD=4,.?.O4=|,^AD-DC=

lACDM,：,DM=^/.PM=PD+DM=1+△AOP面積的最大值為，）APM=

lv517_17

—z\—z\--------------

2254

第5題解圖

22

6.4+2遙【解析】?.23=4,BC=2,ZABC=90°,：.AC=^AB+BC=2V5."：S四邊形ABC。

=5AABC+5AACD,SAABC=2AB,BC=4,???當SAACO取得最大值時，S四邊形ABCD有最大值.如解圖，

過點。作DELAC于點E,過點。作。fUAC于點E連接。。，'：DE^OD+OF,.?.當

O,R三點共線，即當點E與點口重合時，DE取得最大值，最大值即為。。+。/的值.：。。

在AC上滾動，...DE最大=。。+。尸=2,...SAACD最大最大=^X2而乂2=2瓶，

S四邊形A3CZ）最大=SaABC~\~SAAC。最大=4+2V5.

第6題解圖

考向2利用輔助圓求最值

第15頁共19頁

1.2V5-2【解析】如解圖，連接BE,3D由題意得J22+42=2V5,'：ZMBN=9Q°,

MN=4,E為MN的中點，?,.點E的運動軌跡是以點3為圓心，2為半徑的

弧，.?.當點E落在線段3。上時，DE的值最小，.'.DE的最小值為2遙一2.

BNc

第1題解圖

2.20g—16【解析】如解圖，以點E為圓心，EC長為半徑作圓，過點E作EGLAB交A4

的延長線于點G,交OE于點此時的面積最小，?在口A3CD中，ZC=120°,

：.ZABC=6Q°,'：BC=W,易得A3與CD間的距離為5百，：.EG=5^3,為邊CD的

中點，：.DE=D'E=^CD=4,/.GD,=5V3-4,.?.SAABD的最小值為?X8X(5V5—4)=208一

第2題解圖

3.6V3-6【解析】如解圖，連接DR根據(jù)對稱性質可知DR=CD,：四邊形A3CD為菱

形，??.A5=AD=CD=JDR=6,??.點R的運動軌跡為以點。為圓心，CD長為半徑的泥，連接

BD交廢于點G,當B,F,。三點共線，即點R與點G重合時，3R的值最小，最小值為BG

的長，過點A作于點M,?在菱形A3CD中，ZABC=60°,AZABD=3Q°,在

RtAA3M中，3M=ABcos30°=3y/3,：.BD=643,"：DG=AD=6,：.BG=BD-DG=6y[3~

6,即3R的最小值為6g—6.

第3題解圖

4.2【解析】如解圖，取3c的中點。，以3c為直徑作O。，與A3交于點E,連接。P,

AO,"：ZACB=90°,：.ZACP+ZBCP=90°,,：ZCBP=ZACP,：.ZCBP+ZBCP=90°,

：.ZCPB=9Q°,??.點P在以BC為直徑的圓弧CE上運動，AP^AO-OP,當點P,A,O

第16頁共19頁

三點共線時，PA有最小值，?點。是的中點，BC=6,ZBPC=9Q°,：.PO=CO=1BC

=3,在RtAAC。中，VAC=4,：.A0=JoC2+AC2=^32+42=5,，己4的最小值=5—3

=2.

第4題解圖

5.V5-V2【解析】如解圖，根據(jù)定弦定角，確定△A3。的外接圓O。，點。在。。的優(yōu)弧

加上運動，連接A。，BO,DO,CD,0C,過點。作OfUBC于點EVZADB=45°,

AZAOB=90°,"：OA=OB,A3=2,△043是等腰直角三角形，,。4=。3=多3=e,

ZABO=45°,AZOBF=ZABC-ZABO=45°,，△03R是等腰直角三角形，：.OF=BF

=%B=1,,:BC=3,：.FC=BC-BF=2,：.0C=JoF2+FC2=V5,,：OD+CD^OC,：.

當點。運動到OC與。。的交點E時，CD的值最小，最小值為。C—0E,即逐一VI

第5題解圖

6.1【解析】設A(a,a2),B(b,廿)，則直線。4的解析式為y=ax,...左OA?左OB

=-1,左OB=一.,.直線。3的解析式為y=—%,將點3(6,/)代入y=一%中，得/=

a=ma+n

一：b：.b=一+：.B(一亍,2),設直線AB的解析式為(mWO),

與=m-(--)+n，

解得jm=a—土...直線AB的解析式為y=(q—3%+1,如解圖，設A3與y軸交于點。，當x

In=1a

=0時，y=l,：.D(0,1),即。。=1,'：OC±AB,.?.點C在以。。為直徑的圓上，當點C

在半圓0D的中點處時，點C到y(tǒng)軸的距離最大，止匕時OC=CD,過點C作CE，。。于點E,

是直徑，：.ZOCD=90°,：.CE=DE=-OD=~.

22

第17頁共19頁

第6題解圖

7.6V2【解析】?.,NA3C=NADC=45°,B,C,。四點共圓，AC為O。的弦，如

解圖，當AD為。。的直徑時，取得最大值，此時NACD=90°,V