2025年中考數(shù)學二輪總復習：矩形

微專題25矩形

考點精講

構(gòu)建知識體系

-邊

■?角

-?D—-對角線

［平行四邊形］特殊化

矩形-I對稱性

「角

1判定）—

i對角線

4?^

考點梳理

1.矩形的性質(zhì)與判定（6年5考，常在幾何題中涉及考查）

⑴定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形

（2）矩形的性質(zhì)

邊對邊平行且相等

角四個角都是直角

對角線矩形的對角線互相平分且相等

既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，有①.條對稱軸,

對稱性

對稱中心為兩條②的交點

⑶矩形的判定

①有一個角是③的平行四邊形是矩形;

角

②有三個角是④的四邊形是矩形

對角線對角線⑤的平行四邊形是矩形

有一個角是直角

2.矩形面積

面積計算公式：S=ab（a,6表示邊長）.

練考點

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1.如圖，在矩形A3CD中，。為對角線AC,3。的交點，AEL3。于點E

(1)若對角線3。長為4,ZAOB=60°,則A3的長為,3C的長為

⑵若ND4E=2NA4E,則NE4c的度數(shù)為；

⑶若BE:ED=1：3,AB=2,則AD的長為.

第1題圖

2.如圖，要使平行四邊形A3CD成為矩形，需添加的條件是()

第2題圖

A.AB=BCB.AC1BD

C.AC=BDD.Z1=Z2

3.已知矩形的一邊長為6cm,一條對角線的長為10cm,則矩形的面積為cm2.

高頻考點

考點與矩形有關(guān)的證明及計算(6年5考，常在幾何題中涉及考查)

例如圖①，在口A3CD中，ZACB=90°,過點。作DE,3c交3C的延長線于點E.

⑴求證：四邊形ACED是矩形；

(2)若A3=13,AC=12,求四邊形ADE3的面積;

(3)如圖②，連接3D,若tanNA3C=2,求證3。=2日豆)；

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AD

RCF

例題圖②

(4)如圖③，過點A作CD的垂線，交DE于點G,在(3)的條件下，試判斷A3與AG的數(shù)量關(guān)

系，并說明理由.

AD

RCE

例題圖③

真題及變式

命題點與矩形性質(zhì)有關(guān)的計算(6年5考，常在幾何題中涉及考查)

拓展訓練

1.(北師八下習題改編)如圖，在矩形A3CD中，對角線AC,3。相交于點。，M,N分別是

BC,0c的中點.若MN=2,則AC的長為________.

2.如圖①，在矩形紙片A3CD中，AB=5,BC=3,先按圖②操作，將矩形紙片A3CD沿過

點A的直線折疊，使點。落在邊A3上的點E處，折痕為AR；再按圖③操作，沿過點R的直

線折疊，使點C落在ER上的點“處，折痕為RG,則A,4兩點間的距離為_________.

B節(jié)

圖②圖③

第2題圖

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3.（2024廣東黑白卷）北宋數(shù)學家賈憲提出一個定理“從長方形對角線上任一點作兩條分別平

行于兩鄰邊的直線，則所得兩長方形面積相等（如圖①中S矩形AEOM=S矩形CFON）”.問題解決：如

圖②，舷是矩形ABCD的對角線AC上一點，過點M作分別交A3,CD于點、E,F,

連接DM.若CT=4,則MF

圖②

第3題圖

4.如圖，矩形A3CD中，以對角線3。為一邊構(gòu)造一個矩形使得另一邊ER過原矩形

的頂點C.

⑴設RtACBD的面積為Si,RtABFC的面積為S,RtADCE的面積為S3,則Si$2+83（用

>”“=”或填空）;

（2）寫出圖中的三對相似三角形，并選擇其中一對進行證明.

第4題圖

新考法

5.［代數(shù)推理］（人教八下習題改編）如圖所示，在矩形A3CD中，AB=12,AC=20,兩條對角

線相交于點O.以OB,0c為鄰邊作第1個平行四邊形OBBC對角線相交于點Ai,再以ALBI,

4c為鄰邊作第2個平行四邊形ALBICC,對角線相交于點。1；再以OS,01cl為鄰邊作第

3個平行四邊形OLBLB2cl…依此類推.則第6個平行四邊形的面積為（）

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第5題圖

A.6B.3

C.15D.12

6.［條件開放］(2024貴州)如圖，四邊形A3CD的對角線AC與3。相交于點O,AD//BC,ZABC

=90°,有下列條件：

@AB//CD,?AD=BC.

⑴請從以上①②中任選1個作為條件，求證：四邊形A3。是矩形;

(2)在(1)的條件下，若A3=3,AC=5,求四邊形A3CD的面積.

第6題圖

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考點精講

①2②對角線③90°(或直角)④90°(或直角)⑤相等

教材改編題練考點

1.(1)2,2V3；(2)30°；(3)273

2.C

3.48

高頻考點

例⑴證明：,?,NAC3=90°,

：.ACLBC,

'JDELBC,

：.AC//DE,

???四邊形ABC。是平行四邊形，點E在3c的延長線上，

.,.AD//CE,

???四邊形ACED是平行四邊形，

VZACE=9Q°,

四邊形ACED是矩形；

(2)解：VZACB=90°,AB=13,AC=12,

.,.在RtABCD中，BC=JAB2-AC2=J132-122=5,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,：.ZCAD=ZACB=9Q°,

■:DE1BE,：.ZE=90°,AZCAD=ZACB=ZE=9Q°,

，四邊形ADEC是矩形，

：.BC=AD=CE=5,

：.BE=2BC=10,

'：AD//BE,ACLBE,

s四邊形=|x(5+10)X12=90,

四邊形ADEB的面積為90；

⑶證明：???四邊形ACED是矩形，四邊形ABCD是平行四邊形,

：.AC=DE,AD=BC=CE.

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在RtAABC中，

AC

：

,tanZABC=—BC,

A—BC=2,gpAC=2BC.

設AD=3C=a,貝l)AC=DE=2a,BE=2BC=2a,

又,：DELBE,

??.△BDE是等腰直角三角形，

：.BD=V2BE=2yj2a,

.AD_a_V2

*'BD2y/2a4'

：.BD=2y/2AD；

(4)解：AB=2AG,理由如下：

'JAGLCD,

：.ZAGD+ZCDE=ZDCE+ZCDE=9Q°,/.ZAGD=ZDCE,：.AADG^ADEC,

.AG_AD

''DCDE'

?.?四邊形ABC。是平行四邊形，四邊形ACED是矩形，

：.AB=DC,AD=CE,ZDCE=ZABC,

：即

.tanZABC=tanZECE=—CE=2,DE=2CE,

.AG_AD_CE_1

*'DCDE2CE2'

：.AB=2AG.

真題及變式

1.8【解析】,：M,N分別是BC,0c的中點，.?.MN=303,?.?MN=2,，。^二%..?四邊

形A3CD是矩形，：.AC=BD,BD=20B,：.AC=BD=2OB=8.

2.V10【解析】如解圖，連接AH.由折疊性質(zhì)可知，CF=HF,AE=AD=3,'：AB=5,：.BE

=CF=HF=2,在RtAAEH中，AE=AD=3,EH=EF-HF=3-2=1,：.AH=^AE2+EH2=

32+l2=V10.

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第2題解圖

3.6【解析】如解圖，過點“作GH〃A3分別交A。，3c于點G,H,.,.四邊形3EMH與

四邊形。6”方均為矩形，由定理知S矩形_BEA〃/=S矩形DGMF,:?SXBEM=SADFM,：?]BE，EM=

±1DFMF.?:BE=CF=4,EM=3,DF=2,：.MF=RP^.P^/V-f=—4XR=6.

2DF2

9

4.解：⑴=；【解法提示】：Si=^BDED,S矩形BDEF=BD-ED,.??SI=]S矩形BDEF,.'.52+S3

=]S矩形BDEF，??Si=S2+S3.

（2）答案不唯一，如：△BCDsACFBsADEC.

選擇△BCDs^DEC.

證明：,??四邊形A3CD和3DER均為矩形，.?.NEDC+N3DC=90°,NC3D+N3DC=90°,

/.ZEDC=ZCBD,

又,：NBCD=NDEC=90°,

.,.△BC