2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之二次函數(shù)

2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之二次函數(shù)

選擇題（共10小題）

1.（2025?永壽縣校級一模）已知拋物線y=ar2+bx+c上部分點的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如表：

x-10123

y???30-1m3…

①拋物線開口向下；②2a+b=0；③式的值為0；④圖象不經(jīng)過第三象限；⑤拋物線在y軸左側(cè)的部分y

隨x的增大而減小.其中正確的結(jié)論有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

2.（2025?石家莊模擬）如圖，已知拋物線y=-/+px+q的對稱軸為x=-3,過其頂點M的一條直線y=

日+6與該拋物線的另一個交點為N（-1,1）.要在坐標(biāo)軸上找一點P,使得△PMN的周長最小，則點

尸的坐標(biāo)為（）

4

A.（0,2）B.0）

C.（0,2）或（＜,0）D.（2,0）或（0,一多

3.（2025?浙江一模）在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之和為零的點稱為“和美點”，下列函數(shù)的圖

象中不存在“和美點”的是（）

20

A.y=-2x-1B.y=x+2C.y=-D.y=JC-2

4.（2025?烏魯木齊一模）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=ox-（〃70）和y=W0）的大致圖象如

圖所示，則函數(shù)了=〃%2+云+。（〃#0）的圖象大致為（）

y

5.（2025?徐匯區(qū)一模）“數(shù)形結(jié)合”是研究函數(shù)的重要思想方法，如果拋物線y=W+2x+m+5只經(jīng)過兩個

象限，那么M的取值范圍是（）

A.-4B.m<-4C.m<-5D.m2-5

6.（2025?茄子河區(qū)一模）若函數(shù)y=（a-Dx2-4x+2a的圖象與x軸有且只有一個交點，則a的值為（）

A.-1B.2C.-1或2D.-1或2或1

7.（2025?滿橋區(qū)校級四模）在同一平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線y=（2zn+l-3x-幾-5與y=-7/+3%+M

-2幾關(guān)于x軸對稱，則加，〃的值為（）

A.m=-4,n=-3B.m=3,〃=8C.m=3,n=D.m=-4,n=1

8.（2025?四川模擬）如圖，已知開口向上的拋物線y=o?+bx+c與無軸交于點（-1,。），對稱軸為直線

x=l.下列結(jié)論：①a6c>0；②2a+b=0；③若關(guān)于x的方程以2+a+C+1=0一定有兩個不相等的實數(shù)

根；@a>|.其中正確的個數(shù)有（）

9.（2025?雁塔區(qū)校級二模）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線G；y=/+2x+c（c為常數(shù)）向右平移2

個單位長度得到拋物線C2,若點ACm+3,yi）、B1,絲）都在拋物線C2上，且位于拋物線C2

的對稱軸兩側(cè)，yiW”，則，"的取值范圍是（）

A.0<m<lB.-2<m<0C.l<m<2D.-3<m<-2

10.（2025?陜西模擬）已知二次函數(shù)（a,b,c為常數(shù)，且aWO）的自變量x與函數(shù)y的幾組

對應(yīng)值如下表:

X...-3-1015

y???-15-135-7

則下列關(guān)于這個二次函數(shù)的結(jié)論正確的是（）

A.圖象的開口向上

B.當(dāng)％>2時，y的值隨尤值的增大而減小

C.圖象的對稱軸是直線x=l

D.圖象不經(jīng)過第二象限

二.填空題（共5小題）

11.（2025?武漢模擬）如圖，拋物線與x軸交于點（3,0）,頂點坐標(biāo)為（1,3）,拋物線與y軸交于一點,

則該點坐標(biāo)是.

12.（2025?武漢模擬）實數(shù)a和b,若aNb,我們定義Afar（a,b）=a,比如Max（1,3）=3.已知關(guān)

于x的函數(shù)（-/+4x,kx）,下列結(jié)論：①函數(shù)圖象經(jīng)過原點；②若上<0,則方程y=4有三個

不等實根；③若k=l,則時，y有最小值3；④若G0時，y的值隨x的值增大而增大，則左?2.其

中正確的結(jié)論是（填寫序號）.

13.（2025?越秀區(qū)校級一模）將二次函數(shù)y=-x2+2x+3的圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折后，所得新函

數(shù)的圖象如圖所示.當(dāng)直線y=x+b與新函數(shù)的圖象恰有3個公共點時，b的值

為

14.（2025?閔行區(qū)一模）如圖，在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°，點A、8在拋物線y=/上,

點C在y軸上，A、8兩點的橫坐標(biāo)分別為1和6（b>l）,b的值為.

15.（2025?和平區(qū)模擬）定義：若一個函數(shù)的圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相同的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象

的“橫縱相同點”.若將函數(shù)y=/-2x+2的圖象繞龍軸上一點A旋轉(zhuǎn)180。，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后的圖象上有且只

有1個“橫縱相同點”時，則點A的坐標(biāo)為.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?新鄉(xiāng)模擬）夏天，為了防止蚊蟲污染飯菜，小明的爺爺用細(xì)竹蔑編了一個罩子保護飯菜（如圖

1）.它的橫截面可以看成一個拋物線的形狀.小明看到后很喜歡，問爺爺菜罩的尺寸，爺爺告訴他，最

寬處直徑為80厘米，最高處高度為40厘米，隨后小明利用拋物線的知識以菜罩左邊緣為原點建立平面

直角坐標(biāo)系（如圖2）.

（1）請你幫小明求出拋物線的解析式.

（2）如果菜罩緊貼桌面蓋上，菜罩內(nèi)盤子放成一排，那么爺爺編的菜罩內(nèi)能橫著放下三個直徑為24

厘米，高度為3厘米的盤子嗎？

圖1圖2

17.（2025?碑林區(qū)校級二模）如圖，拋物線y=義/+bx—4與x軸交于A、C兩點（點A在點C的右側(cè)）,

與y軸交于點8，MOA=OB.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點P在拋物線上，當(dāng)NPBA+NCBO=45°時，求點P的橫坐標(biāo).

18.(2025?秦都區(qū)校級模擬)中醫(yī)常用碾藥工具一一藥碾子(如圖1)起源于東漢時期，它不僅是一種工

具，更是一種文化的象征，代表了古代醫(yī)者的智慧和對中藥炮制的精益求精.圖1中碾槽外輪廓的上沿

和下沿可分別近似地看成兩條拋物線的一部分，如圖2,上沿和下沿的兩個交點分別為點。和點A,點

。與點A到水平地面的距離相等.上沿拋物線的頂點為H,下沿拋物線的頂點為P,以O(shè)A所在直線為

x軸，過點。且垂直于OA的豎直線為y軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，上沿拋物線滿足關(guān)系式

113

y=22(%—4)—PH=?dm.

(1)求下沿拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點8與點C是兩個支撐架與下沿拋物線的交點，若點8與點C到x軸的距離均為|dm,求點B

與點C之間的距離.

圖I圖2

19.(2025?烏魯木齊一模)某商場銷售一批進(jìn)價為10元/件的日用品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每月銷售件數(shù)y(件)

與銷售價格x(元/件)之間的關(guān)系如圖所示，每月銷售該商品獲得的利潤為W(元).

(1)分別求出y與尤，卬與x的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)商場每月銷售該商品的利潤為4000元時，求該商品的定價；

(3)為了獲得最大的利潤，該商品的銷售價應(yīng)定為多少？最大利潤是多少？

y

20.（2025?烏魯木齊一模）設(shè)二次函數(shù)y=/+2/"x-2%+3（加為常數(shù)）的圖象為

【特例感悟】

（1）當(dāng)機=2,-3WxW0時，二次函數(shù)y=/+2mx-2〃計3（機為常數(shù)）的最小值是、最大

值是;

【類比探索】

（2）當(dāng)直線y=與圖象/在第一象限內(nèi)交A、B兩點（點A在點8的左邊），A點橫坐標(biāo)a,

點B的橫坐標(biāo)6,1a=b,求在aWxWb范圍內(nèi)二次函數(shù)2優(yōu)+3（機為常數(shù)）的最大值與最

小值的差；

【縱深拓展】

（3）①不論相為何實數(shù)時，圖象/一定會經(jīng)過一個定點，求出這個定點坐標(biāo)；

②當(dāng)0WxW2時，二次函數(shù)y=f+2ffu-2m+3（相為常數(shù)）的最大值為9,那么圖象/的對稱軸與x軸

的交點橫坐標(biāo)會大于0小于2嗎？試說明你的理由，并指出滿足條件的對稱軸與定點之間的距離.

2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之二次函數(shù)

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號12345678910

答案CACAADCDBB

選擇題（共10小題）

1.（2025?永壽縣校級一模）已知拋物線y=/+bx+c上部分點的橫坐標(biāo)X與縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如表：

x???-10123

y30-1m3

①拋物線開口向下；②2a+6=0；③機的值為0；④圖象不經(jīng)過第三象限；⑤拋物線在y軸左側(cè)的部分y

隨x的增大而減小.其中正確的結(jié)論有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和表格中的數(shù)據(jù)，可以判斷各個小題中的結(jié)論是否成立，本題得以解決.

【解答】解：由表格可知，拋物線的對稱軸是直線％=二*=1,

；.一事=1,

2a

2a+b=0,故②正確；

拋物線的頂點坐標(biāo)是（1,-1）,有最小值，故拋物線y=/+6x+c的開口向上，故①錯誤；

當(dāng)y=0時，x=0或x=2,故機的值為0,故③正確；

???拋物線開口向上，頂點在第四象限，拋物線與x軸的交點為（0,0）和（2,0）,

...拋物線不經(jīng)過第三象限，故④正確；

:拋物線>=以2+法+。的開口向上，對稱軸是直線X=l,

當(dāng)尤<1時，拋物線呈下降趨勢

拋物線在y軸左側(cè)的部分y隨尤的增大而減小，故⑤正確.

故選：C.

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用

二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

2.(2025?石家莊模擬)如圖，已知拋物線y=-/+px+q的對稱軸為x=-3,過其頂點〃的一條直線y=

區(qū)+6與該拋物線的另一個交點為N(-I,1).要在坐標(biāo)軸上找一點P,使得△PMN的周長最小，則點

P的坐標(biāo)為()

4

A.(0,2)B.(§,0)

4.4

C.(0,2)或(一10)D.(2,0)或(0,-|)

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；軸對稱-最短路線問題；兩點間的距離公式；

一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運算能力.

【答案】A

【分析】先由對稱軸和點N坐標(biāo)求得拋物線的解析式，根據(jù)拋物線解析式求得M的坐標(biāo)；欲使△PMN

的周長最小,的長度一定，所以只需PM+PN取最小值即可.然后，過點M作關(guān)于y軸對稱的點M',

連接N,M'N與y軸的交點即為所求的點P(如圖1)；過點M作關(guān)于x軸對稱的點,連接

N,M'N與x軸的交點即為所求的點P(如圖2)；分別計算兩種情況下的周長再取最小值即可.

【解答】解：如圖，:?拋物線的對稱軸為x=-3,點N(-1,1)是拋物線上的一點，

(1=-1-p+q

解得仁」

；.y=-x2-6%-4=-(x+3)2+5,

：.M(-3,5),

的周長=MN+PM+PN,且MN是定值，所以只需PM+PN最小.

如圖1,過點M(-3,5)作關(guān)于y軸對稱的點(3,5),連接N,M'N與y軸的交點即為所

求的點p.

設(shè)直線A/'N的解析式為：y=ax+t(〃W0),

由條件可得：=

解得

故該直線的解析式為y=x+2,

當(dāng)x=0時，y=2,即P(0,2),

■:PM+PN=M'N,M'(3,5),N(-l,1),

：.MzN=7[3-(-l)]2+(5-l)2=4V2,

此時三角形PMN的周長=4V2+MN；

同理，如圖2,過點M(-3,5)作關(guān)于x軸對稱的點M'(-3,-5),連接“N,M'N與x軸的

交點即為所求的點P,

設(shè)直線N的解析式為：y=ax+t(a#0),

由條件可得：5”一汽+。

解得

5=4

故該直線的解析式為y=3x+4,

44

--

當(dāng)y=0時，x=-33

■:PM+PN=M'N,M'(-3,-5),N(-l,1),

:.M'N=7[-3-(-1)]2+(-5-I)2=2V10,

此時三角形PMN的周長=+MN；

V4V2=V32，2710=V40.

：.4y/2+MN＜2410+MN,

點尸在y軸上時，三角形PAW的周長最小，即點尸的坐標(biāo)是(0,2).

故選：A.

【點評】本題考查了軸對稱-最短路線問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，平面

直角坐標(biāo)系中兩點距離公式；在求點P的坐標(biāo)時，一定要注意題目要求是“要在坐標(biāo)軸上找一點P”，

所以應(yīng)該找x軸和y軸上符合條件的點P,不要漏解，這是同學(xué)們?nèi)菀缀雎缘牡胤?

3.(2025?浙江一模)在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之和為零的點稱為“和美點”，下列函數(shù)的圖

象中不存在“和美點”的是()

20

A.y=-2x-lB.y=x+2C.y=-D.y=x^-2

【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特

征.

【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；反比例函數(shù)及其應(yīng)用；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；應(yīng)用意識.

【答案】c

【分析】由“和差點”的定義可得點尸在直線＞=-X上，判斷出函數(shù)與直線y=-尤沒有交點即可..

【解答】解：由“和差點”的定義可得點P在直線y=-無上，

直線y=-2x-l,直線y=x+2,拋物線＞=/-2都與直線y=-尤都有交點，函數(shù)與直線y=-x

沒有交點，

故選項A,B,。不符合題意，

故選：C.

【點評】本題考查二次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)圖象

上的點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題.

4.(2025?烏魯木齊一模)在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=ax-6(°70)和y=；(c力0)的大致圖象如

圖所示，則函數(shù)(a#0)的圖象大致為()

%

ox

【考點】二次函數(shù)的圖象;

【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；反比例函數(shù)及其應(yīng)用；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；幾何直觀；推理能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系、一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)

行解答即可.

【解答】解：?..一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限,

..?反比例函數(shù)y=W（cK0）的圖象在第二、四象限,

b<0,c<0,

.,.函數(shù)了=辦2+公+。（。=0）圖象開口向下，對稱軸在y軸左側(cè)，與y軸交點在負(fù)半軸，選項D符合.

故選：A.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象、二次函數(shù)的圖象，熟練掌握相關(guān)函數(shù)圖象與

其系數(shù)的關(guān)系是關(guān)鍵.

5.（2025?徐匯區(qū)一模）“數(shù)形結(jié)合”是研究函數(shù)的重要思想方法，如果拋物線y=，+2x+m+5只經(jīng)過兩個

象限，那么m的取值范圍是（）

A.m，-4B.m<-4C.m<-5D.mN-5

【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；應(yīng)用意識.

【答案】A

【分析】根據(jù)拋物線拋物線y=/+2x+〃z+5只經(jīng)過兩個象限，且拋物線開口向上，得出最小值大于等于

0,得出結(jié)論.

【解答】解：y=x2+2x+m+5=(x+1)2+m+4,

拋物線開口向上，對稱軸為直線尤=-1,頂點坐標(biāo)為(-1,7"+4),

:拋物線yn/+Zr+m+S只經(jīng)過兩個象限，

...“7+420,

.,.m^-4,

故選：A.

【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

6.(2025?茄子河區(qū)一模)若函數(shù)y=(a-1)/-4x+2a的圖象與無軸有且只有一個交點，則a的值為()

A.-1B.2C.-1或2D.-1或2或1

【考點】拋物線與x軸的交點.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；應(yīng)用意識.

【答案】D

【分析】討論：當(dāng)a-1=0,即a=l,函數(shù)為一次函數(shù)，與x軸有一個交點；當(dāng)。-1力0時，利用判別

式的意義得到△=(-4)2-4(〃-1)X2〃=0,然后解兩個關(guān)于〃的方程即可.

【解答】解：當(dāng)“-1=0,即。=1,函數(shù)為一次函數(shù)y=-4x+2,它與x軸有一個交點；

當(dāng)a-1=0時，根據(jù)題意得△=(-4)2-4(〃-1)義2〃=0,解得a=-1或a=2,

綜上所述，〃的值為-1或2或1.

故選：D.

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax1+bx+c(mb,c是常數(shù)，與x

軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程；A=廬-4碇決定拋物線與x軸的交點個數(shù).

7.(2025?海橋區(qū)校級四模)在同一平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線y=(2m+l)x2-3x-及-5與y=-7了+3%+機

-2孔關(guān)于x軸對稱，則相，〃的值為()

A.m=-4,n=-3B.m=3,〃=8C.m=3,n=D.m=-4,n=l

【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換；解二元一次方程組.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運算能力.

【答案】c

【分析】依據(jù)題意，由拋物線＞=（2〃z+l）/-3x-”-5與y=-7/+3x+〃z-2w關(guān)于x軸對稱，從而對

于y=-7/+3x+加-2n,取-y=-7/+3尤+m-2n,貝。y=1￡-3x-m+2n,故拋物線y=（2〃z+l）/-

3x-w-5與y=7/-3x-優(yōu)+2〃重合，可得2m+1=7,-m+2n=-n-5,進(jìn)而計算可以得解.

【解答】解：由題意，?..拋物線＞=（2優(yōu)+1）%2-3x-〃-5與y=-7x?+3x+機-2"關(guān)于x軸對稱，

對于y=-7X2+3X+/W-2n,取-y=-lx2+3x+m-2n,貝!]y=7x2-3x-m+2n.

；?拋物線y—（2m+l），-3尤-w-5與y=7x1-3x-m+2n重合.

2m+l—1,-m+2n--n-5.

.'.m—3,n——o.

故選：C.

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換、解二元一次方程組，解題時要熟練掌握并能靈活運

用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵.

8.（2025?四川模擬）如圖，已知開口向上的拋物線＞=0?+法+。與x軸交于點（-1,0）,對稱軸為直線

x=l.下列結(jié)論：①次?c＞0；②2a+b=0；③若關(guān)于x的方程a^+fcr+c+ln。一定有兩個不相等的實數(shù)

根；@a＞|.其中正確的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；拋物線與x軸的交點；根的判別式.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；幾何直觀；推理能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)拋物線的開口方向和對稱軸以及與y軸的交點即可判斷①；利用拋物線的對稱軸即可判斷

②；由拋物線與y軸的交點在（0,-1）的下方，即可判斷③；由對稱軸方程得到6=-2a,由尤=-1

時，y=0得到即a-b+c=0,貝!Ic=-3a,所以則可判斷③.

【解答】解：???拋物線開口向上，

???拋物線交y軸于負(fù)半軸，

c<0,

Z?<0,

abc>0,故①正確.

拋物線的對稱軸是直線x=l,

b

一而=1,

2a+b=0,故②正確.

拋物線y=Q?+foi+c與y軸的交點在(0,-1)的下方，

拋物線>方x+c與直線y=-1一定有兩個交點，

關(guān)于X的方程〃/+法+計1=0一定有兩個不相等的實數(shù)根，故③正確;

??b~~~2a,

時，y=0,艮|3〃-Z?+c=0,

a+2a+c=0,BPc=-3〃,

而eV-1,

-3〃V-1,

i

故④正確.

故選：D.

【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與x軸的交點問題，也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

9.(2025?雁塔區(qū)校級二模)在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線Cjy=x2+2x+c(c為常數(shù))向右平移2

個單位長度得到拋物線C2,若點A(m+3,yi)、B(m-1,y2)都在拋物線。2上，且位于拋物線Q

的對稱軸兩側(cè)，yiW”，則機的取值范圍是()

A.0<m<lB.-2<m<0C.l<m<2D.-3<m<-2

【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運算能力.

【答案】B

【分析】依據(jù)題意，根據(jù)平移規(guī)律得出，再根據(jù)點A(m+3,yi)、B(m-1,?)都在拋物線。上，

且位于拋物線C2的對稱軸兩側(cè)，確定點A在對稱軸右側(cè)，點3在對稱軸左側(cè)，而且由yiV”確定點A

(m+3,yi)到對稱軸的距離小于點B(m-1,>2)到對稱軸的距離，求解即可.

【解答】解：拋物線C1為yuf+Zx+cu(x+1)2+c-1,

...將拋物線Ci向右平移2個單位長度得到拋物線C2的解析式為：y=(x-1)2+c-1,

.?.其對稱軸為直線x=l.

???都在拋物線C2上，且位于拋物線C2的對稱軸兩側(cè)，yiW”，

m+3>m-1,點A(m+3,yi)、B(w-1,y2)位于拋物線C2的對稱軸兩側(cè)，

.(m+3>1

Im—1<1

：.-2<m<2,

又

...點A(優(yōu)+3,yi)到對稱軸的距離小于點B(機-1,”)到對稱軸的距離，即：m+3-1<1-(m-1),

.,.機<0.

綜上所述：-2<m<0,

故選：B.

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的圖象與幾何

變換，熟知”上加下減，左加右減”的平移法則是解題的關(guān)鍵.

10.(2025?陜西模擬)已知二次函數(shù)>=辦2+法+(;(a,b,c為常數(shù)，且°力0)的自變量x與函數(shù)y的幾組

B.當(dāng)x>2時，y的值隨尤值的增大而減小

C.圖象的對稱軸是直線x=l

D.圖象不經(jīng)過第二象限

【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；應(yīng)用意識.

【答案】B

【分析】利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，根據(jù)a=-1<0即可判斷選項A錯誤；根據(jù)二次函

數(shù)的增減性和對稱性即可判斷選項8正確、選項C錯誤；根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口向下，與y軸的交

點（0,3）位于y軸正半軸上，頂點坐標(biāo)為@，竽），位于第一象限即可判斷選項。錯誤.

CL—b+c=-1

【解答】解：將點（-1,-1）,（1,5）和（0,3）代入二次函數(shù)y=ax2+bx-^-c得：a+b+c=5，

c=3

a=—1

解得b=3，

c=3

二次函數(shù)的解析式為y=-x2+3x+3=-（x-1）2+

a=-KO,

，函數(shù)圖象的開口向下，故A選項錯誤，不符合題意；

對稱軸為直線x=

.?.當(dāng)x>|時，y的值隨x值的增大而減小，

當(dāng)尤>2時，y的值隨x值的增大而減小，故B選項正確，C選項錯誤；

???二次函數(shù)圖象的開口向下，與y軸的交點（0,3）位于y軸正半軸上，頂點坐標(biāo)為G，?），位于第

一象限，

,這個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三、四象限，故。選項錯誤，不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與系數(shù)的

關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

二.填空題（共5小題）

11.（2025?武漢模擬）如圖，拋物線與無軸交于點（3,0）,頂點坐標(biāo)為（1,3）,拋物線與y軸交于一點，

則該點坐標(biāo)是（。，，）.

【考點】拋物線與X軸的交點；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運算能力.

【答案】(0,

【分析】根據(jù)頂點坐標(biāo)設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(x-1)2+3QW0),運用待定系數(shù)法得到解析式，令

x=0解得函數(shù)值即可.

【解答】解：二.頂點坐標(biāo)為(1,3),

設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(x-1)2+3QW0),

把點(3,0)代入得，a(3-1)2+3=0,

解得,a=

+3,

QQ

當(dāng)x=0時，y=-[x(0-1)2+3=q,

q

該點坐標(biāo)是(0,[),

故答案為：(0,?).

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點的計算是

解題的關(guān)鍵.

12.(2025?武漢模擬)實數(shù)0和b,若我們定義Afa尤Ca,b)—a,比如Max(1,3)=3.已知關(guān)

于x的函數(shù)y=Max(-/+4x,kx),下列結(jié)論：①函數(shù)圖象經(jīng)過原點；②若k<0,則方程y=4有三個

不等實根；③若左=1,則x2l時，y有最小值3；④若時，y的值隨x的值增大而增大，貝U上22.其

中正確的結(jié)論是①③④(填寫序號).

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；根的判別式.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運算能力.

【答案】①③④.

【分析】①依據(jù)題意，當(dāng)尤=0時，-/+4x=0,依=0,從而可以判斷得解；

②在平面直角坐標(biāo)系中畫出yi=-d+4%與y2=Ax(左<0)的圖象，可確定函數(shù)M的圖象，M的圖象與

y=4這條直線交點的個數(shù)即為y=4的實數(shù)根的個數(shù)；

③在平面直角坐標(biāo)系中畫出盧=-d+標(biāo)與y2=履的圖象，可確定x'l時函數(shù)M的圖象，根據(jù)圖象可

求出尤時，M的最小值；

④在平面直角坐標(biāo)系中畫出yi=-?+4%與”=依(％=2,k>2,左<2)的圖象，根據(jù)圖象可確定左不

同取值的情況下"的圖象，根據(jù)圖象可判斷〃的增減性，以此反過來確定人的取值即可.

【解答】解：①由題意，當(dāng)x=0時，-/+4x=0,kx=O,

函數(shù)圖象經(jīng)過原點，故①正確.

②在平面直角坐標(biāo)系中畫yi=-x2+4x與*=丘（左＜0）的圖象如下，

由圖象可以發(fā)現(xiàn)，M的圖象與y=4這條直線只要兩個交點，

當(dāng)左＜0時，方程y=4有兩個不等的實根，

故②不正確.

③當(dāng)左=1時，yi—x,

在平面直角坐標(biāo)系中畫出yi=-X2+4X與?2=kx的圖象如下,

由題中M的定義可知，當(dāng)1WXW3時，M—yi,當(dāng)尤＞3時，M—yi,

當(dāng)x=l時，-12+4義1=3,當(dāng)x=3時，M=-32+4X3=3,

根據(jù)圖象可知，當(dāng)時，M最小值為3.

故③正確.

由圖可知，當(dāng)x20時，若左=2,M的值隨x的值增大而增大,

若左<2,M的值隨x的增大先增大再減小再增大，

若左>2,M的值隨x的值增大而增大，

當(dāng)x20時，M的值隨尤的值增大而增大，則心2.

故④正確.

故答案為：①③④.

【點評】本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，在平面直角坐標(biāo)系中畫出圖象確定新函數(shù)M

的圖象是解決此題的關(guān)鍵.

13.(2025?越秀區(qū)校級一模)將二次函數(shù)y=-7+2r+3的圖象在無軸上方的部分沿x軸翻折后，所得新函

數(shù)的圖象如圖所示.當(dāng)直線y=x+b與新函數(shù)的圖象恰有3個公共點時，6的值為一?或-3.

【考點】拋物線與x軸的交點；一次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)的性質(zhì)；二

次函數(shù)圖象與幾何變換.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運算能力.

【答案】-金或-3.

【分析】分兩種情形：如圖，當(dāng)直線y=x+6過點B時，直線>=尤+6與該新圖象恰好有三個公共點，當(dāng)

直線y=x+6與拋物線y=(x-1)2-4(-1WXW3)只有1個交點時，直線y=x+6與該新圖象恰好有

三個公共點，分別求解即可.

【解答】解：二次函數(shù)解析式為y=-/+2x+3=-(x-1)2+4,

拋物線y=-?+2A-+3的頂點坐標(biāo)為(1,4),

當(dāng)y=0時，x2-2%-3=0,

解得：xi=-2>X2—3,

則拋物線y=-d+2x+3與x軸的交點為A(-1,0),B(3,0),

把拋物線y=-？+2A-+3圖象龍軸上方的部分沿x軸翻折到無軸下方,

則翻折部分的拋物線解析式為尸(X-1)2-4頂點坐標(biāo)“(1,-4),

如圖，當(dāng)直線y=x+b過點5時，直線y=x+Z?與該新圖象恰好有三個公共點，

???3+b=0,

解得：b=-3；

當(dāng)直線丁=%+/?與拋物線丁=(x-1)2-4(-1?3)只有1個交點時，直線y=x+b與該新圖象恰好

有三個公共點，

即(x-1)2-4=1+匕有相等的實數(shù)解,

整理得：x2,-3x-b-3=0,A=32-4(-/?-3)=0,

解得：%=—%，

所以》的值為：-3或—孕，

故答案為：-竽或-3.

【點評】此題主要考查了拋物線與x軸交點的坐標(biāo)，掌握翻折的性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，二次

函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的方法是解本題的關(guān)鍵.

14.(2025?閔行區(qū)一模)如圖，在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°，點A、B在拋物線y=/上，

點C在y軸上，A、2兩點的橫坐標(biāo)分別為1和b(b>l),b的值為2.

【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；等腰直角三角形.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運算能力.

【答案】2.

【分析】利用“左型全等”求得B點的坐標(biāo)，代入y=V即可求解.

【解答】解：過B作軸于E,過A作AOLy軸于。，

在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,貝!JAC=BC,

VA>B兩點的橫坐標(biāo)分別為1和b

：.AD=1,BE=b,

:點A、8在拋物線y=d上，

AA（1,1）,B（b,廬），

VZACB=90°,

AZACD+ZBC￡=90°,

VZACD+ZCAD^90°,

：.ZBCE=ZCAD,

:.ABEC冬ACDA（AAS）,

：.CE=AD=1,CD=BE=b,

：.0E=OD+CD+CE=l+b+l=2+b,

:.序=2+b,

整理戶-%-2=0,

解得：b=2或-1（舍去），

的值為2,

故答案為：2.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，全等三角形

的判定與性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形解題是關(guān)鍵.

15.（2025?和平區(qū)模擬）定義：若一個函數(shù)的圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相同的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象

的“橫縱相同點若將函數(shù)y=/-2x+2的圖象繞龍軸上一點A旋轉(zhuǎn)180。，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后的圖象上有且只

有1個“橫縱相同點”時，則點A的坐標(biāo)為（；,0）.

8

【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運算能力.

1

【答案】(3o).

【分析】依據(jù)題意，由拋物線為y=/-2x+2=(尤-1)2+1,可得頂點為(1,1),又設(shè)A(a,0),繞

1+7711+71

A旋轉(zhuǎn)180°后的頂點為(m,”)，則——=a,——=0,從而相=2。-1,w=-1,可得旋轉(zhuǎn)后拋物線

22

的解析式為y=-(x-2?+l)2-1,又當(dāng)旋轉(zhuǎn)后的圖象上有且只有1個“橫縱相同點”，故可令-(x

-2A+1)2-1—x,此時A=(4a-3)2-4[(2a-1)2+1]=0,求出a后即可判斷得解.

【解答】解：由題意，???拋物線為y=7-2x+2=(x-1)2+1,

頂點為(1,1).

又設(shè)4(a,0),繞A旋轉(zhuǎn)180°后的頂點為(機，〃),

.1+m1+n

----=Q,---=0.

22

?*TYl~~2〃-1,Tl~~~1.

旋轉(zhuǎn)后拋物線的解析式為y=-(x-2a+l)2-1.

又???當(dāng)旋轉(zhuǎn)后的圖象上有且只有1個“橫縱相同點”，

.,.令-(%-2。+1)2-1—x,此時△=(4a-3)2-4[(2a-1)2+1]=0,

整理得-8a+l=0,

??d~~'Q.

1

.,.A(一，0).

8

1

故答案為：(30).

8

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題時要熟練掌握

并能靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵.

三.解答題(共5小題)

16.(2025?新鄉(xiāng)模擬)夏天，為了防止蚊蟲污染飯菜，小明的爺爺用細(xì)竹篋編了一個罩子保護飯菜(如圖

1).它的橫截面可以看成一個拋物線的形狀.小明看到后很喜歡，問爺爺菜罩的尺寸，爺爺告訴他，最

寬處直徑為80厘米，最高處高度為40厘米，隨后小明利用拋物線的知識以菜罩左邊緣為原點建立平面

直角坐標(biāo)系(如圖2).

(1)請你幫小明求出拋物線的解析式.

(2)如果菜罩緊貼桌面蓋上，菜罩內(nèi)盤子放成一排，那么爺爺編的菜罩內(nèi)能橫著放下三個直徑為24

厘米，高度為3厘米的盤子嗎？

圖1圖2

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；運算能力；應(yīng)用意識.

【答案】(1)y=^(x-40)2+40；(2)爺爺編的菜罩內(nèi)能橫著放下三個這樣的盤子，理由見解析.

【分析】(1)依據(jù)題意，設(shè)拋物線解析式為y=a(x-/i)2+k,結(jié)合頂點坐標(biāo)為(40,40),以及拋物線

過點(80,0),求出a后即可判斷得解；

(2)依據(jù)題意，由三個盤子放成一排，可得寬度為3X24=72(cm),又當(dāng)x=8°^X-=4時，尸—東

(4-40)2+40=7.6>3,故可判斷得解.

【解答】解：(1)由題意，設(shè)拋物線解析式為y=a(尤-/?)2+k,

又：頂點坐標(biāo)為(40,40),

...拋物線為y=a(x-40)2+40,

又：拋物線過點(80,0),

.?.0=(80-40)2a+40.

?,a—而?

，拋物線的解析式為y=焉(久—40)2+40.

(2)由題意得，能放下.理由如下：

???三個盤子放成一排，

二寬度為3X24=72(cm).

又：當(dāng)x=8。一失24=4時,尸—焉(4-40)2+40=7.6>3,

爺爺編的菜罩內(nèi)能橫著放下三個這樣的盤子.

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題時要能熟練掌握并能靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵.

17.(2025?碑林區(qū)校級二模)如圖，拋物線y=+bx—4與x軸交于A、C兩點(點A在點C的右側(cè))，

與y軸交于點8,且。4=08.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點尸在拋物線上，當(dāng)/P8A+/C8O=45°時，求點P的橫坐標(biāo).

【考點】二次函數(shù)綜合題.

【專題】壓軸題；運算能力.

【答案】⑴-4；

13

(2)點尸的橫坐標(biāo)為5或二.

4

【分析】(1)先求出A,5的坐標(biāo)，再將點A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可解答；

(2)令y=0可得。(-3,0),分兩種情況：①如圖1,在。4上取一點C,使OC=OC=3,作射線

交拋物線于點尸，根據(jù)直線3尸和拋物線的交點即可解答；②如圖2,當(dāng)BC，5P時，ZCBO+ZPBA

=90°-45°=45°,根據(jù)等角的三角函數(shù)即可解答.

【解答】解：(1)當(dāng)x=0時，y=-4,

???點B的坐標(biāo)為(0,-4),08=4,

9：OA=OB,

???OA=4,

.'.A(4,0),

將點A的坐標(biāo)(4,0)代入拋物線y巖/+一4中得：

16

一+4Z?-4=0,

3

拋物線的表達(dá)式為：尸#-g-4；

,,11

(2)當(dāng)y=0時，-x02-^-4=0,

解得：%i=4,X2=-3,

：.C(-3,0),

分兩種情況：

①如圖1,在OA上取一點C,使0c=。。=3,作射線交拋物線于點P,

：.ZCBO=ZCBO,

'：OA^OB,NAOB=90°,

AAOB是等腰直角三角形，

AZABO=45°,

AZPBA+ZCBO=ZCBO+ZPBA=45°,點P滿足條件，

:點8的坐標(biāo)為（0,-4）,

.?.設(shè)2尸的解析式為：y^kx-4,

把點。的坐標(biāo)為（3,0）代入得：3k-4=0,

.".k=

.,.8P的解析式為：y=%-4,

-x2—ix-4=-4,

333

解得：xi=0（舍），X2=5,

點尸的橫坐標(biāo)為5；

②如圖2,當(dāng)BC_LBP時，ZCBO+ZPBA=90°-45°=45°，點尸滿足條件,

過點尸作PM_L08于M,

；.NPBM+/CBO=NCB0+/BC0=9U°,

：.ZPBM=ZBCO,

tanZPBM—tanZBCO,

tPMOB4

??BM-OC-3’

11

設(shè)點尸的坐標(biāo)為（6丁-手-4）,

t4

n=o（舍），熱=彳，

13

點P的橫坐標(biāo)為一；

4

13

綜上，點P的橫坐標(biāo)為5或一.

4

【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查拋物線與x軸交點，三角函數(shù)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二

次函數(shù)的性質(zhì)等知識，第二問要注意運用分類討論的思想解決問題.

18.（2025?秦都區(qū)校級模擬）中醫(yī)常用碾藥工具一一藥碾子（如圖1）起源于東漢時期，它不僅是一種工

具，更是一種文化的象征，代表了古代醫(yī)者的智慧和對中藥炮制的精益求精.圖1