2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)難點與解題模型：三角形中七種?？挤椒ㄇ蠼嵌葐栴}（原卷版）

難點與解題模型09三角形中七種?？挤椒ㄇ蠼嵌葐栴}

題型一：方程法求角度問題

題型二：分類討論法求角度問題

題型三：A字模型

題型四：8字模型

題型五：飛鏢（燕尾）模型

題型六：三角形折疊模型

題型七：雙角平分線模型

精淮提分

題型一：方程法求角度問題

|SiS?Si#...............................

，方程法的解題步驟

；第一步：找出題中的已知角，常涉及的概念有垂直、余角、補(bǔ)角、對頂角、角平分線等

i

;第二步：根據(jù)題干中出現(xiàn)的角度和差、倍分關(guān)系或者角度比例關(guān)系，考慮設(shè)一個角為未知數(shù)

I

，第三步：用所設(shè)角度表示出其他角度

i

，第四步：通過列方程求解

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2023?河南信陽?二模）【閱讀理解】如圖1,小明把一副三角板直角頂點。重疊在一起?如圖2固

定三角板AO3,將三角板COO繞點0以每秒15。的速度順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為/秒，當(dāng)0。邊與08邊重

合時停止轉(zhuǎn)動.

【解決問題】

1

⑴在旋轉(zhuǎn)過程中，請?zhí)畛觥狝OC、N3C?之間的數(shù)量關(guān)系；

⑵當(dāng)運(yùn)動時間為9秒時，圖中有角平分線嗎？找出并說明理由；

⑶當(dāng)NAOC、ZAOB,/BOC中一個角的度數(shù)是另一個角的兩倍時，則稱射線OC是—AOB的"優(yōu)線"，請直

接寫出所有滿足條件的f值.

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式1-1］（23-24陜西西安）新定義：從一個角的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所

成的角等于這個角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內(nèi)半角.如圖L若射線OC、0。在

/AO3的內(nèi)部，且？COD；?AO8,貝！JNCOD是/AO3的內(nèi)半角，根據(jù)以上信息，解決下面的問題:

⑴如圖1,ZAOB=70°,ZAOC=25°,若NCOD是的內(nèi)半角，則NCOE>=，NBOD=

⑵如圖2,已知NAO8=60。，將NAO3繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度以0°<g<60。）至NCOD.若

NCOB是ZAOD的內(nèi)半角，求a的值.

⑶把一塊含有30。角的三角板COD按圖3方式放置，使0C邊與。4邊重合，邊與08邊重合，如圖4,

將三角板COD繞頂點。以4度/秒的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)時間為f秒,當(dāng)射線04OB、OC,OD

構(gòu)成內(nèi)半角時，請求出/的值.

2

【變式1-2］（23-24湖南長沙）定義：從一個角的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成

的角與這個角互余，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內(nèi)余角，如圖1,若射線OGOD在NAOB的

內(nèi)部，且NCOD+NAOB=90。，則NCOD是，的內(nèi)余角.

根據(jù)以上信息，解決下面的問題：

（1）如圖1,ZAOB=72°,ZAOC=20°,若NCC?是403的內(nèi)余角，貝!|/3?！?gt;=；

⑵如圖2.已知NAOB=60。將。4繞點。順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度a（0°<a<60。）得到OC.同時將08繞

點。順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度;a得到0。.若NCOB是NAOD的內(nèi)余角，求a的值；

⑶把一塊含有30。角的三角板COD按圖3方式放置，使OC邊與。4邊重合，0D邊與03邊重合，如圖4將

三角板CO。繞頂點。以6度/秒的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為/秒，在旋轉(zhuǎn)一周的時間內(nèi)，當(dāng)射線

OA,OB,OC,OD構(gòu)成內(nèi)余角時，請求出f的值.

3

【變式1-3](23-24河南焦作)一副三角板按如圖1所示放置，邊Q4,OC在直線上,

ZAOB=60°,ZCOD=45°.

圖3圖4

如圖2,將三角板CQD繞點。順時針旋轉(zhuǎn)到COD,轉(zhuǎn)速為每秒鐘轉(zhuǎn)動5。，當(dāng)OC旋轉(zhuǎn)一周回到射線QV上

時停止轉(zhuǎn)動，設(shè)轉(zhuǎn)動時間為/秒.

(1)當(dāng)OD與08重合時，直接寫出的值；

⑵①當(dāng)OD正好平分ZBQ4時，在圖1中畫出此時OD'的位置，并求出t的值；

②在旋轉(zhuǎn)過程中，作N3OD的角平分線0E,當(dāng)NAOE=15。時.直接寫出f的值.

題型二：分類討論法求角度問題

而餐D................................................................................................................................?

常考分類討論的情形

ii

1.若題中出現(xiàn)角度大小，但不明確角度邊的位置，需對角的位置進(jìn)行分情況討論,再根據(jù)角度大小分別求解：

2.若題中出現(xiàn)射線旋轉(zhuǎn)，并讓探究三條射線中某一條射線是另兩條射線夾角的平分線，需分別討論哪條射線是；

ii

1角平分線的情況；

4

3.若題中出現(xiàn)射線三等分角，但并未說明射線靠近角度的哪一邊,需對射線的位置進(jìn)行分情況討論.

【中考母題學(xué)方法】

【典例2］（22-23浙江）【問題提出】已知/BOC與ZAOC有共同的始邊0C,且滿足ABOC=2ZAOC,

若NAOC=28。，求,AOB的度數(shù).

【問題解決】圓圓首先畫出兩個符合題意的圖形，運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想，解決問題.

在圖①中，當(dāng)射線。4在130。的內(nèi)部時，由題意易得NAO3=28。；

在圖②中，當(dāng)射線Q4在—30c的外部時，由題意易得NAO8=84。.

【問題應(yīng)用】請仿照這種方法，解決下面兩個問題

⑴如圖③，已知點A,B,C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為T,2,1,請在數(shù)軸上標(biāo)出線段AC的中點。并寫

出。所表示的數(shù)；若數(shù)軸上存在點E,它到點C的距離恰好是線段A3的長，求線段DE的長.

⑵如果兩個角的差的絕對值等于90。，就稱這兩個角互為垂角，例如：Zl=120°,Z2=30°,|Zl-Z2|=90°,

則N1和N2互為垂角（本題中所有角都是指大于0°且小于180。的角）.

①若/夕=140。，求的垂角；

②如果一個角的垂角等于這個角的補(bǔ)角的：，求這個角的度數(shù).

5

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式2-1］（24-25?江蘇無錫）定義：從一個角的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成

的角等于這個角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內(nèi)半角.如圖①所示，若？COD^AOB,

則ZCOD是ZAOB的內(nèi)半角.

⑴如圖①所示，已知4408=70。，ZAOC=15°,NCOD是/AO3的內(nèi)半角，貝.

（2）如圖②，已知NAOB=63。，將NAC?繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度a（0<a<63。）至NCOD,當(dāng)旋

轉(zhuǎn)的角度a為何值時，NCOB是NA0D的內(nèi)半角？

⑶已知ZAO8=30。，把一塊含有30。角的三角板如圖③疊放，將三角板繞頂點。以3。/秒的速度按順時針方

向旋轉(zhuǎn)，如圖④，問：在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，且射線0。始終在/AO3的外部，射線。4,O3,OC,OD能否

構(gòu)成內(nèi)半角？若能，請直接寫出旋轉(zhuǎn)的時間；若不能，請說明理由.

6

【變式2-2](23-24?廣東廣州)(1)如圖，線段AB=20cm,C為A3的中點，點P從點A出發(fā)，以2cm/s的

速度沿線段A3向右運(yùn)動，到點B停止；點。從點8出發(fā)，以lcm/s的速度沿線段AB向左運(yùn)動，到點A停

止.若尸，。兩點同時出發(fā)，當(dāng)其中一點停止運(yùn)動時，另一點也隨之停止.設(shè)點尸的運(yùn)動時間為x(x>0)

s.

APCQB

(0)AC=cm.

(回)是否存在某一時刻，使得C,P,。這三點中，有一點恰為另外兩點所連線段的中點？若存在，求出

所有滿足條件的x的值；若不存在，請說明理由.

(2)一副三角板按左圖中的方式拼接在一起，其中邊0c與直線班上，ZAOB=45°,ZCOD=60°.

(El)NBOD=度.

(回)如圖，三角板COD固定不動，將三角板AO8繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)角a(即NAOE=c),在轉(zhuǎn)動

過程中兩個三角板一直處于直線EF的上方.

②在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一時刻滿足N3OC=2NAOD?若存在，求此時的角a；若不存在，請說明理

由.

7

【變式2-3］（24-25陜西西安）探究與實踐

將一副三角板按如圖方式拼接在一起，已知NAO3=90。，NCOD=60。，按如圖1所示擺放，將。4、OC邊

重合在直線MN上，OB、0。邊在直線的兩側(cè):

B

圖1圖2

【問題發(fā)現(xiàn)】

（1）保持三角板493不動，將三角板CQD繞點。旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則

?ZAOC+ZBOD=

@ZBOC-ZAOD=

【問題探究】

（2）若三角板COO按每分鐘6。的速度繞點。逆時針方向旋轉(zhuǎn)，三角板AOB按每分鐘4。的速度也繞點O

逆時針方向旋轉(zhuǎn)，0C旋轉(zhuǎn)到射線&V上時都停止運(yùn)動，設(shè)旋轉(zhuǎn)f分鐘，計算/MOC-NAOD（用含f的代數(shù)

式表示）.

【問題解決】

（3）保持三角板AOB不動，將三角板COD繞點。逆時針方向旋轉(zhuǎn)“。伽＜360）,若射線OE平分2OC,

射線OF平分/BOD,求/EO尸的大小.

8

題型三：A字模型

［指I點I迷I津

模型結(jié)論:NDBC+NECB=180°+ZA.

【中考母題學(xué)方法】

【典例3】（2024?貴州?模擬預(yù)測）教材回顧

我們知道，直角三角形的兩個銳角互余，你能對直角三角形的這一性質(zhì)進(jìn)行證明嗎？

A

圖I

性質(zhì)證明

（1）為了證明該性質(zhì)，小明同學(xué)畫出了圖形（如圖1）,并寫出了"已知"和"求證"，請你完成證明過程.

已知：在直角三角形ABC中，ZC=90°

求證：ZA+ZB=90°

性質(zhì)運(yùn)用

（2）如圖2,在中，AB=10,點C,。分別在AM上，且MC=4,AD=CD=5,/B=/MDC,

求證：ZA+ZB=90°.

拓展提升

（3）如圖3,在VABC中，AB=BC=20,AC=24,D,E分別為A3,AC的中點.M,N分別在AC,

BC上，且EM=2MC,CN=6,DM與BE相交于F,AE與DM相交于。求證：點。是的中點

9

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式3-1］如圖，ABC中，ZA=65°,直線DE交AB于點交AC于點E,則乙BOE+NCED=().

【變式3-2】如圖所示，ND4E的兩邊上各有一點民C,連接BC,求證/OBC+/ECS=18C)o+ZA.

【變式3-3］如圖1,直線/與一ABC的邊AC,A3分別相交于點。，E(都不與點A重合).

⑴若NA=64。，①求N1+N2的度數(shù)；②如圖2,直線機(jī)與邊A3,AC相交得至ljN3和N4,直接寫出N3+N4

的度數(shù).(2)如圖3,EO,分別平分N3￡D和NCDE,寫出/EOD和/A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖4,在四邊形3CDE中，點M,N分別是線段。C、線段BE上的點，NG,MG分別平分—3M0和

ZCMN,直接寫出NNGN與"的關(guān)系.

10

題型四：8字模型

指I點I迷I津

模型結(jié)論：NA+4=NC+/D2NP=/B+ND

【中考母題學(xué)方法】

【典例4】(2024?寧夏?中考真題)綜合與實踐

如圖1,在VA3C中，3D是NABC的平分線，的延長線交外角NCW的平分線于點E.

【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】

結(jié)論1：ZAEB=ZACB-,

結(jié)論2：當(dāng)圖1中NACB=90。時，如圖2所示，延長2c交AE于點尸，過點E作AF的垂線交所于點G,

交AC的延長線于點H.則AE與EG的數(shù)量關(guān)系是.

【應(yīng)用結(jié)論】

(1)求證：AH=GF；

(2)在圖2中連接FH,AG,延長AG交切于點N,補(bǔ)全圖形，求證：FN=NH+&AE.

圖1圖2

11

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式4-1］（2024?山東濰坊,模擬預(yù)測）濰坊紅木嵌銀漆器是山東濰坊特有的傳統(tǒng)手工藝品，最早可追溯到

戰(zhàn)國時代在一些銅器上鑲嵌金銀絲花紋；如圖為某嵌銀廠制作的傳統(tǒng)工藝紅木嵌銀靠背馬扎，其側(cè)面圖如

圖所示，ZDEF=115°,與地面平行，ZABD=55°,則“CE=（）

A.70°B.65°C.60°D.50°

【變式4-2］（2024?山西，三模）如圖1是一個可調(diào)節(jié)的電腦桌，它的工作原理是利用液體在封閉的管路中傳

遞力和能量.圖2是將其正面抽象成的圖形，其中桌面A8與底座平行，等長的支架AZ）,3c交于它們

的中點E.液壓桿尸G〃3C.若/應(yīng)場=53。，則/GED的度數(shù)為（）

圖I圖2

A.127°B.106°C.76°D.74°

【變式4-3］（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）如圖1,在平行四邊形ABCD中，AB=6,AD=4近,

ZB=60°,AE±AB,AE,3c的延長線交于點E

⑴求CP的長；

（2）如圖2,—的角平分線交3c于點P,點。在AF上;

12

①當(dāng)為等腰三角形時，求A。的長；

②如圖3,當(dāng)點。在線段所上，連接尸E,將-PEQ沿PE翻折得到點M恰好落在AD邊上，試

求線段A。的長.

題型五：飛鏢（燕尾）模型

A總k°

BADBDAT--------，

模型結(jié)論：ZBDC=ZA+ZB+ZC.ZO=i(ZA+ZC)oZO=-(ZD-ZB)o

22

【中考母題學(xué)方法】

【典例5](2024?河南?模擬預(yù)測)如圖,點A,B,C,D,E在同一平面內(nèi)，若NCED=98。,貝U

ZA小+ZB+ZC+ZD=()

A^D

A.268°B.178°C.2780D.272°

13

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式5-1］如圖，ZBDC=98°,ZC=38°,ZA=37°,的度數(shù)是()

A.33°B.23°C.27°D.37°

【變式5-2】請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：有趣的“飛鏢圖”.

如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱它為“飛鏢圖”.當(dāng)我們仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)，它實際上就是凹四邊

形.那么它具有哪些性質(zhì)呢？又將怎樣應(yīng)用呢?下面我們進(jìn)行認(rèn)識與探究：凹四邊形通俗地說，就是一個角

"凹’’逃去的四邊形，其性質(zhì)有：凹四邊形中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個內(nèi)角之和.

（即如圖1,ZADB=ZA+ZB+ZC）理由如下：

方法一：如圖2,連結(jié)則在AABC中，NC+NC4B+/CA4=180。，

即/l+/2+N3+/4+/C=180°,

又：在△A3。中，Zl+Z2+ZADB=180°,

ZADB=Z3+Z4+ZC,即ZADB=ZCAD+ZCBD+ZC.

方法二：如圖3,連結(jié)CO并延長至R

---N1和N3分別是△AC。和"⑺的一個外角，.........

大家在探究的過程中，還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結(jié)論.

任務(wù)：（1）填空：“方法一”主要依據(jù)的一個數(shù)學(xué)定理是;

（2）探索及應(yīng)用：根據(jù)“方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過程的剩余部分.

14

【變式5-3］（2024?江蘇?統(tǒng)考期中）【概念學(xué)習(xí)】在平面中，我們把大于180。且小于360。的角稱為優(yōu)角，如

果兩個角相加等于360。，那么稱這兩個角互為組角，簡稱互組.

U）若Nl、N2互為組角，且4=135。，則N2=°；

【理解運(yùn)用】習(xí)慣上，我們把有一個內(nèi)角大于180。的四邊形俗稱為鏢形.

（2）如圖①，在鏢形ABCD中，優(yōu)角NBCD與鈍角互為組角，試探索內(nèi)角—A、NB、/￡）與鈍角

之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【拓展延伸】（3）如圖②，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=；（用含a的代數(shù)式表示）

（4）如圖③，已知四邊形ABC。中，延長AD、8C交于點Q,延長AB、DC交于P,ZAPD,的

平分線交于點NA+NQCP=180。；①寫出圖中一對互組的角（兩個平角除外）；

②直接運(yùn)用（2）中的結(jié)論，試說明：PMLQM-

（5）如圖④,BO,、C。,分別為ZA3O,ZACO的2019等分線（7=1,2,3,…,2017,2018）.它們的交點從上

到下依次為Q,02,。3,…，O2018.已知=ZBAC=n°,則。.（用含機(jī)、

”的代數(shù)式表示）

A

圖④

15

題型六：三角形折疊模型

「藉TMTiiT承

i

【中考母題學(xué)方法】

【典例6-1】（2024?四川?中考真題）如圖，RtaABC中，NC=90。，AC=8,BC=4,折疊VABC,使點

A與點8重合，折痕上與AB交于點D,與AC交于點E,則CE的長為.

【典例6-2】（2024,江蘇常州?中考真題）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=4,。是邊AC

的中點,E是邊BC上一點，連接加、OE.將..CDE沿DE翻折，點C落在上的點尸處，則CE=.

【典例6-3】（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=9Q°,AC=6,BC=8,E是AB中

點，廠是BC上一點，沿著即折疊一若AB，=2,則CT=.

16

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式6-1］（2024?湖南?二模）如圖，ABE在四邊形ABC。內(nèi)部，若NC=78。,NO=66。，4=40。，則

A.36°B.76°C.140°D.176°

【變式6-2］（2024?江蘇徐州?模擬預(yù)測）如圖，在ABCD中，將AADC沿AC折疊后，點。恰好落在DC的

延長線上的點E處，若/3=60。，AB=3,貝?。軦BCD的周長為（）

D

A.12B.18C.15D.21

【變式6-3］（2024?廣東?模擬預(yù)測）如圖所示，在VABC中，將點A與點8分別沿肱V和跖折疊，使點A,

8都與點C重合，若ZNCF=20°,則ZACB的度數(shù)為（）

【變式6-4］（2024?貴州貴陽?二模）綜合與實踐

問題情境：在綜合與實踐課上，老師要求同學(xué)們以"折紙中的數(shù)學(xué)"為主題開展活動.

獨立思考：

（1）如圖①，將三角形紙片ABC沿DE折疊，使點A落在四邊形3CDE內(nèi)點A的位置，則/A與N1+N2

之間的數(shù)量關(guān)系為_，請說明理由；

17

深入探究：

(2)如圖②，若點4落在四邊形3CDE的邊C。下方時，試猜想此時ZA與N1,/2之間的數(shù)量關(guān)系，并

說明理由；

結(jié)論運(yùn)用：

(3)如圖③，在四邊形A3CD中，ZA=ZC=90°,E,尸分別是AB,C。邊上的一點，沿砂將四邊形

ABCD折疊，點A的對應(yīng)點G恰好落在邊上，且Nl=75。，Z2=15°.

圖①圖②圖③

①-3的度數(shù)為;

②若BE=26,AD=^AE,求點H到BC的距離.

題型七:雙角平分線模型

:指1點1迷1津

1.雙內(nèi)角平分線

A

D

B

iBC

模型結(jié)論：〃=9。。+：42ZP=ZA+ZDo

18

2.雙外角平分線

【中考母題學(xué)方法】

【典例7-1】（2024?四川達(dá)州?中考真題）如圖，在VABC中，AEt,8耳分別是內(nèi)角、外角NC3D的

三等分線，且NE|AO=gNCAB,=jzCBD,在AB耳中，AE2,BE2分別是內(nèi)角NRAB,外角ZEtBD

的三等分線.且ZE2AD=1N&AB,ZE2BD=|ZE^D,...,以此規(guī)律作下去.若NC=m°.則Z￡?=度.

【典例7-2】（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖，已知NAO3=50。，點尸為-403內(nèi)部一點，點M為射線

04、點N為射線03上的兩個動點，當(dāng)一尸的周長最小時，貝|NMPN=.

19

【典