百師聯(lián)盟2025屆高三二輪復習聯(lián)考（一）數(shù)學試題（含答案與解析）

機密★啟用前

2025屆高三二輪復習聯(lián)考試題（一）

數(shù)學

注意事項：

1.本試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘.

2.答卷前，考生務必將自己的姓名、班級、準考證號填寫在答題卡上.

3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫

在本試卷上無效.

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

Z

1.復數(shù)Z在復平面上對應的點位于第四象限，則復數(shù)1-i在復平面上對應的點位于（）

A.第一或二象限或虛軸的正半軸上B.第二或三象限或實軸的負半軸上

C.第三或四象限或虛軸的負半軸上D.第一或四象限或實軸的正半軸上

集合A=/—+

2.已知全集。=R,log2(l-x)kB={司0<%<3},貝1JA)c5二

Jx+2

)

A.|x|0<x<B.{%|1?X3}C.3<%<-2}D,同-2<%<。)

3.已知非零向量2,c滿足：B=。，a-b-c=Q則向量B與c的夾角為（）

7171兀2兀

A.-B.-C.一D.——

6433

4.目前新能源汽車越來越受到人們的關注與喜愛，其中新能源汽車所配備電池的充電量及正常使用年限是

人們購車時所要考慮的重要因素之一.某廠家生產的某一型號的新能源汽車配備了兩組電池，且兩組電池能

否正常使用相互獨立.電池的正常使用年限4（單位：年）服從正態(tài)分布，尸（4>10）=0.8,

尸（Jv30）=0.8,則這兩組電池在20年內都能正常使用的概率為（）

5.已知VABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且5」，a=20，b=2石，則AC邊上的

4

高h=（）

逑D.友

A.R6A/5「5后

25~6~8

r3

6.^^/(x)=ex-y(2〉0）在區(qū)間（1,3）上單調遞增,則實數(shù)2的取值范圍是（）

A.—,+coIB.[4e2,+co)C.I

1y2-5

7.已知x,y為正實數(shù)，x+y=3,則x+—+~丁的最小值為（

xy+3

i35

A.：B.-C.2D.

222

8.已知函數(shù)/（%）=1Qgi（一12+x）,若關于x的方程[/（X）+2-1][/（X）-42-1]+222+2=0有實

4

根，則實數(shù)％的取值范圍是（）

2

A(^o,-l]B.—,+co

9

4

c(-℃,o]U—,+coD.U[2,+⑹

17

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的（）

05

A.若o=log6；y,6=c=4-,則a<Z?<c

B.命題“Vx20,都有3，之一3九+6”的否定是“土：<0,使得3工<—3九+6”

4

C.“一<1”是“x>4”的必要不充分條件

x

D.若函數(shù)〃X)=3*+6?-3區(qū)間（口,12）上單調遞減，則ae（-co,-4]

10.如圖，已知底面為矩形的四棱錐P-A3CD的頂點P的位置不確定，點"在棱CD上，且

AMA.BM,平面B4M_L平面ABCD,則下列結論正確的是（）

A.PA±BM

B.平面平面

4

C.若AD=2，MD=2,PM=1,且平面平面ABCD,則三棱錐P—的體積為一

3

D,存在某個位置，使平面HU/與平面P3c的交線與底面ABCD平行

22

11.已知橢圓C：=+[=1（?！?〉0）的左、右焦點分別為6，F(xiàn)],直線y=Ax與橢圓C交于尸，Q

ab~

兩點，且耐電=0,A是橢圓C上與P,。不重合的點.下列說法正確的是（）

111-1+石

A.若布有+布/T=—（其中。2=。2-〃），則橢圓C的離心率口=1+

|PF1|\PF2\C2

B.若a=3,則歸娟忖閭的最大值為9

C.若a=3,b,則|?團J尸閭=4

D.若。=3,直線北，AQ的斜率之積為—g,則6=2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知函數(shù)/（x）=sin0x+gcos&a（0<<y<4）,且函數(shù)圖象過點則函數(shù)八%）在區(qū)間

兀兀

上的最小值為.

o3

13.如圖，已知圓C的方程為Ip+（y—1）2=2,且p是直線/：x+2y+2=0上的一個動點，過點

P作圓C的兩條切線上4,PB,切點分別為A,B,則線段A3長度的最小值為.

yt

卜

14.某班組織了國慶文藝晚會，從甲、乙、丙、丁等7個節(jié)目中選出5個節(jié)目進行演出，選出的5個節(jié)目

要求相鄰依次演出，且要求甲、乙、丙必選，且甲、乙相鄰，但甲、乙均不與丙相鄰，若丁被選中，丁必

須排在前兩位，則不同的演出順序種數(shù)為.(用數(shù)字作答)

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知等差數(shù)列｛%｝的公差d>0,其前〃項和為S.,且q,ab,2%8成等比數(shù)列，517=153.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵若4=a“+l,且也｝的前〃項和為T“，求證：2Tn>bnbn_^n>2).

16.已知函數(shù)/(x)=x[l+(lnx)[.

(1)判斷函數(shù)了(%)在(0,+。)上是否存在極值點.若存在極值點，求出極值；若不存在極值點，說明理

由.

2

(2)若函數(shù)g(x)=〃x)-會有三個極值點，求實數(shù)。的取值范圍.

17.某農科所正在試驗培育甲、乙兩個品種的雜交水稻，水稻成熟后對每一株的米粒稱重，重量達到規(guī)定

的標準后，則該株水稻達標.在水稻收獲后，通過科研人員的統(tǒng)計，甲品種的雜交水稻有工不達標，乙品種

3

的雜交水稻有[不達標.

4

(1)若假設甲、乙兩個品種的雜交水稻株數(shù)相等，一科研人員隨機選取了一株水稻，稱重后發(fā)現(xiàn)不達

標，求該株水稻來自甲品種和乙品種的概率分別是多少；

(2)科研人員選取了8株水稻，其中甲品種5株，乙品種3株，再從中隨機選取3株進行分析研究，這3

株中來自乙品種水稻的有X株，求X的數(shù)學期望E(X).

18.如圖，正四棱柱ABC。-AgGD，其側棱長與底面邊長都為2,E,P分別為A。，AC中點,

平面班廠與4。交于點P.

(i)確定點尸在線段4。上的位置；

(2)求平面CEP與平面3EP戶夾角的余弦值.

19.已知平行四邊形0LD5(。為坐標原點)的面積S=l,其中08所在直線為y=2光，Q4所在直線

為y=-2x,動點。的軌跡為雙曲線C,且雙曲線C與丁軸沒有交點.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)設點P(l,0)，2(0,2),￡(0,4-2),直線尸2,與雙曲線C分別交于點M,N(其中M,N不

與點尸重合)，G為直線"N上一點，且PGLVN,求|OG|最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

Z

1.復數(shù)Z在復平面上對應的點位于第四象限，則復數(shù)1-i在復平面上對應的點位于()

A.第一或二象限或虛軸的正半軸上B.第二或三象限或實軸的負半軸上

C.第三或四象限或虛軸的負半軸上D.第一或四象限或實軸的正半軸上

【答案】D

【解析】

【分析】設復數(shù)成標準式，由題意可得實虛部的大小，利用除法，結合復數(shù)的幾何意義，可得答案.

【詳解】設2=。+歷，a,b^R.

???復數(shù)z在復平面上對應的點位于第四象限，六。〉。，b<0.

「za+bi1z,x1z，八,

又---=-----——\d-b)-\—(a+Z?)i,a—b>0,a+Z?wR,

1-i1-i2V72V7

z

故復數(shù)一r在復平面上對應的點位于第一或四象限或實軸的正半軸上.

1-1

故選：D.

2.已知全集。=R,集合A=<xy=12+1。820-，B

)

A.1x|0<x<31B.{x|l?X3}C.1x|—3<%<-2}D.1x|-2<x<01

【答案】B

【解析】

【分析】利用對數(shù)函數(shù)、分式型函數(shù)的定義域計算A,再利用補集與交集的概念計算即可.

【詳解】丁二甘方+1。82(1一力有意義，即有解得—2〈尤vl,

yI乙一“一

故A={x|-2vxvl},則2八二{兄,<一2或％21}.

fi=|x|0<x<31,

@4)cB={x[l<%<3}.

故選：B

3.已知非零向量〃，B，c滿足：B=Q，a—b—c-0＞則向量Z?與c的夾角為(

兀乃兀2兀

A.—B.一C.一D.——

6433

【答案】C

【解析】

【分析】通過已知條件對向量等式進行變形，利用向量模長關系求出向量點積，再根據(jù)向量夾角公式求出夾

角.

【詳解】由2—1—2=。，可得W=兩邊平方得@2=(5+4,即藍=片+7+2月-

IT

向量石與"的夾角為

故選：c

4.目前新能源汽車越來越受到人們的關注與喜愛，其中新能源汽車所配備電池的充電量及正常使用年限是

人們購車時所要考慮的重要因素之一.某廠家生產的某一型號的新能源汽車配備了兩組電池，且兩組電池能

否正常使用相互獨立.電池的正常使用年限4（單位：年）服從正態(tài)分布，P（^>10）=0.8,

P（^<30）=0.8,則這兩組電池在20年內都能正常使用的概率為（）

4311

A.—B.-C.-D.一

9424

【答案】D

【解析】

【分析】利用正態(tài)分布的對稱性確定對稱軸占=20,再利用相互獨立事件的概率公式計算即可.

【詳解】VP（^>10）=0.8,P（^<30）=0.8,P（^<10）=l-0.8=0.2=P（^>30）,

/.正態(tài)曲線的對稱軸為^=20,則P楂>20）=1,

即一組電池在20年內能正常使用的概率為1,

這兩組電池在20年內都能正常使用的概率為-x-=-.

224

故選：D

5.已知VA3C的內角4B,C的對邊分別為a,b,c,且3=a=20，b=2逐，則AC邊上的

高h=（）

A3后口6君「5囪N7A/6

2568

【答案】B

【解析】

【分析】由余弦定理求得邊，利用三角形面積公式，可得答案.

【詳解】=:,a=2點，b=2下,

,由余弦定理得cosB=，即41=J.）+°2一倒6）,

2ac22x2后xc

解得c=6或c=—2(舍去)，又3=巴，sinB=走,

42

由三角形的面積公式可得L〃2=LacsinB,即丸acsmB6A/5

22b5

故答案為：述

5

3

6.函數(shù)/(x)=e，-土(4〉0)在區(qū)間(L3)上單調遞增，則實數(shù)2的取值范圍是(

12235

A.B.[4e,+oo)-00,—eD._oo，F(xiàn)

e4e

【答案】A

【解析】

【分析】將問題轉化為;l?3%2er在區(qū)間(L3)上恒成立，構造函數(shù)g(x)=3der,利用導數(shù)求解函數(shù)的

單調性，進而求解最值得解.

V331

【詳解】???/(力=]一亍，???r(x)=e'—券

由題意可知/'(x)=e，—以20在區(qū)間(1,3)上恒成立，且2>0,

A

A2>3/片,在區(qū)間。,3)上恒成立.

設g(x)=3x2e-r,則g'(x)=6xe-l-3x2e-x=3x(2-x)e~x,

令g'(九)>0,得0<尤<2；

令/(x)<0,得x<0或x>2,

，g(x)在(-8,0)上單調遞減，在(0,2)上單調遞增，在(2,+“)上單調遞減.

又當尤-—8時，g(x)f+op；

當Xf+co時，g(x)-O,作出g(x)的大致圖象如圖所示,

19

g（X）在區(qū)間（1,3）上的最大值為g（2）=不，

e

12

...要使函數(shù)“X）在區(qū)間（1,3）上單調遞增，則需22F,

e

故實數(shù)X的取值范圍是—,+℃

e

故選：A

1y2-5

7.已知x,y為正實數(shù)，x+y=3,則x+-+-~丁的最小值為（）

xy+3

5

C.2D.

2

【答案】B

【解析】

【分析】由已知等式，對代數(shù)式整理，然后借助基本不等式確定代數(shù)式的最小值.

【詳解】V為正實數(shù)，.?.尤>0,y+3>3,

又x+y=3,

1/-5

XH------F…Li’…Li-

Xy+3xy+3xy+3

/

W+/rh（y+3）］（14）y+3?4x、

—+------=-5+

1%y+3j6lxy+3j

>-fs+2y+34x、3

61.X2,

y+34x

當且僅當丁y+3,即y+3=2x,即x=2,y=l時取等號,

/-53

故當x=2,y=l時，x+-+取得最小值一.

xy+32

故選：B

8.已知函數(shù)，(x)=logj(一/+%),若關于x的方程[/(x)+2——42—l]+2/e+/l=0有實

4

根，則實數(shù)幾的取值范圍是()

2

A.(fT]B.—,+00

9

C.(-oo,0]U2，+0°]2

D.-^―U[2,+co)

【答案】C

【解析】

【分析】先求出"％)的值域，再令/="x)-1,則問題轉化為關于，的一元二次方程的根的問題，進而通

過討論研究一元二次函數(shù)的△分類求出即可.

【詳解】-x2+x>0>0<x<l,而一/+x=—1%一4]+—,

I2J4

.?.當x=!時，—無2+x取到最大值

24

/(x)=logj-一+%”啥；=1.

設/=/(X)-1,t>0,

則問題轉化為關于t的方程(f+2)(r-42)+222+2=0,

即/—32/—2；!?+4=0在[0,+8)上存在根的問題.

設g(f)=廣—32，-22一+X,z>0,

則g(。的圖象為開口向上的拋物線在y軸右側部分(含y軸)，

方程g(/)=0的判別式△=(—3/)2—4(—2彳2+2)=1742—4；1之0,

432

①當△=17^2—44=0時，2=—或;1=0,此時對稱軸。=—>0,

172

則函數(shù)g在[0,+8)有唯一零點；

②當A>0且g(。在[0,+8)有唯一零點時,

g（0）=—2A~+2=0

^（0）=-222+2<0

或<A>0

A>0

32<0

解得4<0或彳>—；

2

③當A>0且g（。在[0,+8）有兩個零點時，設這兩個零點分別為％,t2,

\=1722-42>0,

41

則<4+，2=3X〉0,解得—<X<—

=-222+2>0,172

4

綜上可知：4V0或X?—.

17

故選：C

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的（）

A.若o=log61,6=c=4°s,則a<b<c

B.命題“VxNO,都有3工2—3x+6”的否定是“去<0,使得3*<—3尤+6”

4

C.“一<1”是“無>4”的必要不充分條件

x

D.若函數(shù)/（%）=3『+6鵬在區(qū)間（_^/2）上單調遞減，則ae（—,-4]

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調性確定4。的范圍可得選項A正確；根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題

4

可得選項B錯誤；解不等式一<1,結合充分條件、必要條件的概念可得選項C正確；根據(jù)復合函數(shù)的單調

x

性可得選項D正確.

【詳解】A.；a=log6；<log61=0,o<Z?=QJ=bc=40-5>4°=b

:.a<b〈c,故A正確；

B.命題“X/xNO,都有3*2—3x+6”的否定是使得3%<—3%+6"，故B錯誤；

C.當a<1時，士三<0,等價于%(%—4)>0,解得％<0或無>4,

XX

4

???“一<1”是“％>4”的必要不充分條件,故C正確；

x

D.設g(x)=%2+6ta—3,則/(%)=3以“),

V函數(shù)/(尤)=3冉6k3在區(qū)間(一刃,12)上單調遞減，y=3,在R上單調遞增，

g(x)(Y/2)上單調遞減，

???8(力=三+6依—3為二次函數(shù)，圖象開口向上，對稱軸為直線x=—3a,

/.g(x)在(-℃,-3a)上單調遞減,

，(fo/2)￡(fo,-3a),故-3a之12,解得aW-4,即aw(-s,-4],故D正確.

故選：ACD.

10.如圖，已知底面為矩形的四棱錐P-A3CE>的頂點P的位置不確定，點河在棱。上，且

AM±BM,平面A4M_L平面A3CD,則下列結論正確的是()

A.PA±BM

B.平面B4M，平面QfiM

4

C.若人。=2，MD=2,PM=1,且平面平面ABCD,則三棱錐P—A6N的體積為一

3

D,存在某個位置，使平面HU/與平面P3c的交線與底面ABCD平行

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)面面垂直的性質可得5A/_L平面Q4M,即可求解AB,根據(jù)面面垂直的性質可得AMJ_平面

PBM,進而可得？ML平面AMB,即可利用體積公式求解C,根據(jù)線面平行的性質即可求解D.

【詳解】對于A,：平面平面ABCD,平面PAMc平面=,AM±BM,BMu

平面ABC。，5W平面Q4M，

又P4u平面R4"，故A正確；

對于B,由人知打加，平面HU/,又3M'u平面。BM，；?平面B4M，平面P3M,故B正確;

ITTTTT

對于C,在RtZ^ADAf中，AD=2，MD=2,NMAD=—,^.BAM=NMAD=—,

424

AM=BM=2-\/2,SAAMB=5x2V2x2-\/2=4,

?平面QBMJ_平面A5CD,平面2BMc平面ABCD=5M,AM±BM,AMu平面AfiCD,

平面PBM，

又尸Mu平面PRW，AM，PW，同理可證4以口3河=四,3,氏以匚平面

AMB,；.平面AMB,

14

而?M=l,.?.三棱錐p—ASM的體積為一xlx4=—,故C正確；

33

對于D,設平面A4Mc平面PBC=/,假設///底面AfiCD,

：平面488口平面20/=4^,平面ABCE>n平面PBC=3C,

/.I//AM,1//BC,：.AM//BC,則“與。重合，則ADLBD,顯然不成立，則假設不成立，故

D錯誤.

故選：ABC.

22

11.已知橢圓C：鼻+==1（?！?〉0）的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,直線y=Ax與橢圓C交于尸，Q

ab

兩點，且居.困=0,A是橢圓C上與尸，。不重合的點.下列說法正確的是（）

111-1+若

A.若而有+而十=一（其中。2=合一〃），則橢圓C的離心率口=1+

|PF1|\PF2\C2

1?.若0=3,則歸娟忖閭的最大值為9

C.若a=3,b=應,則|?￡|忖閭=4

口.若。=3,直線北，AQ的斜率之積為—g,則6=2

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用垂直和橢圓的定義可求離心率判斷A,利用定義和基本不等式可判斷B,利用定義可判斷C,

利用點差法可判斷D.

2

【詳解】VP^-P^=O,S.PF^PF^.\\pFf+\PF2f=\F}F2^=4c.

忸凰+/閭IIII

對于人:西1+而1=島鬲=加2a何=「1.?附H*=2呢.

又回.|明=三如，

?**2a2-2c之=2ac，e2+e-1=0

解得e=7+逐（負值舍去），故A正確.

2

對于B,；a=3,.?“24Hp鳥區(qū)也為竺}=/=9，

當且僅當歸耳|=|尸閭=3時等號成立，故B正確.

222

對于C,*.*（1=3Jb=^2，?*-c=a—b=1

???1"J|"2|」即+M：（M2+M）

4M_4r2

=-----------=26—2°2=18—14=4,故C正確

2

對于D,設直線AP,AQ的斜率分別為腐尸，⑥°，則您PKO=-g，

設A（x,y）,P（x0,y0）,則。

2222

Va=3,+^-=1,

9b2

兩式相減二二芯.二_2二

2

9b??y_焉一9，

y-\y+y_y2-yj￡1

而^AP^AQ0

X+XX2-Xg~9

x-x0o3

Z?2=3>即6=^3，故D錯誤.

故選：ABC

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知函數(shù)/（X）=sintwx+J5cos6yx（0<°<4）,且函數(shù)圖象過點,1,則函數(shù)“力在區(qū)間

兀兀

上的最小值為

63

【答案】Y

【解析】

【分析】利用輔助角公式結合題目條件可得函數(shù)/（X）的解析式，根據(jù)X的范圍可得了（X）的最小值.

【詳解】由題意得，/（x）=sin（yx+Gcosox=2sin

?函數(shù)圖象過點sin

2

7C兀7C

***0<69<4,一<-CD-\--<兀，

363

兀兀

.一①T--=---，解得①=3,

3

/(x)=2sin0x+]J.

兀71

—<X<—，型W3x+C?色

63633

5兀4幾

結合y=sinx在—單調遞減,

o3

二函數(shù)/（X）在區(qū)間?上的最小值為2sin/=-G

故答案為：-6.

13.如圖，已知圓C的方程為（九——1『=2,且尸是直線/：x+2y+2=0上的一個動點，過點

尸作圓C的兩條切線上4,PB,切點分別為4B,則線段A6長度的最小值為.

【答案】等

【解析】

【分析】利用切線的性質確定P,A,C,8四點共圓，設尸坐標表示該圓心坐標，從而寫出圓的標準方程，

根據(jù)兩圓公共弦方程得出A3方程，由點到直線的距離公式及二次函數(shù)的性質計算最值即可.

【詳解】顯然P,A,C,8四點共圓，且PC為該圓的一條直徑.設這四點所在圓的圓心為0,而P在直線

I：x+2y+2=0上,

2t+1/+1)

設P（—2f—2J）,由可知?！?/p>

2)

,則圓Q的方程為+[y——]+（一]，

即x2+y2+(2f+l)x—(f+l)y—t—2=0①,

又圓C的半徑r=應，圓C的方程可化為好+產―2x—2y=0②,

由①一②可得圓C與圓Q的公共弦AB所在直線的方程（2f+3）x+（lT）yT—2=0,

________22

點C到直線AB的距離d=

J(2f+3)2+(1—)2，5/+10f+10

2卜一42

2后1-

V5r+101+105/+10/+10

=2721---------—,

N5（/+1）-+5

；"=-1時，線段A3的長度取得最小值觀.

5

故答案為：亞

5

14.某班組織了國慶文藝晚會，從甲、乙、丙、丁等7個節(jié)目中選出5個節(jié)目進行演出，選出的5個節(jié)目

要求相鄰依次演出，且要求甲、乙、丙必選，且甲、乙相鄰，但甲、乙均不與丙相鄰，若丁被選中，丁必

須排在前兩位，則不同的演出順序種數(shù)為.（用數(shù)字作答）

【答案】96

【解析】

【分析】由分類加法原理，利用捆綁法與插空法，可得答案.

【詳解】當丁沒有被選中時，不同演出順序種數(shù)為C；A；A：C；=72；

當丁被選中且排在第一位時，不同的演出順序種數(shù)為C；A；A；=12；

當丁被選中且排在第二位時，不同的演出順序種數(shù)為C；A；A；=12.

綜上，不同的演出順序種數(shù)為72+12+12=96.

故答案為：96.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

已知等差數(shù)列的公差其前〃項和為且成等比數(shù)列，

15.｛4｝d>0,S”，q,a6,2%8517=153.

（1）求數(shù)列｛g｝的通項公式；

⑵若且也｝的前〃項和為求證：

，=a“+l,T“，2Tn>bltbn^n>2）.

【答案】（1）a“=n

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）利用等差數(shù)列求和公式的性質先得為=9,再利用等比中項計算公差，求通項公式即可；

T1

（2）先根據(jù)等差數(shù)列求和公式得北，作商計算得力J>7即可.

b“bn_i2

【小問1詳解】

由題意，得S"Jx,+L"）=[7a9=]53,解得為=9.

又成等比數(shù)列，

???q,a6,248

色=%?2%，即（9—3d）?=2（9—8d）（9+9d）,

9

解得4=1或。=----（舍去，d>0）,

17

??Q]—1,

故數(shù)列｛叫的通項公式為冊=n.

【小問2詳解】

由（1）知4=〃，又2=?！?1,則々="+1,則包_]=小22）工=〃（2；+1）,

.與=n（"+3）=n+3=12\>1

bnbn_12n（n+l）2（n+l）2\n+1/2,

?：bn=n+l>Q,：.2Tn>bnbn_1（n>2y

16.已知函數(shù)〃x）=x[l+（lnx）].

（1）判斷函數(shù)/（%）在（0,+。）上是否存在極值點.若存在極值點，求出極值；若不存在極值點，說明理

由.

（2）若函數(shù)g（x）=〃x）—程有三個極值點，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】（1）不存在，理由見解析

⑵心

【解析】

【分析】（1）求導，根據(jù)導數(shù)確定函數(shù)的單調性，即可求解，

（2）將問題轉化為y=。與葉》）=（山*+1）的圖象有三個交點,求導，確定函數(shù)以司的單調性即可求

解.

【小問1詳解】

/'(%)=(in%)2+21nx+l=(ln%+l)2,

：./'(%”0在(0,+8)上恒成立，當且僅當x=g時，取得等號,

/(%)在(o,+8)上單調遞增，故函數(shù)/(尤)在(0,+。)上不存在極值點.

【小問2詳解】

,/g'(x)=(lnx+l)2—6，函數(shù)g(九)有三個極值點,

g'(x)=0有三個互不相等的正實數(shù)根.

由g'(x)=0,得a=0nx+l),令〃q)=(lnx+l)(%〉。),

則問題轉化為y=。與可力=(lnx+1)的圖象有三個交點，而袱力=1-(乎.

令"(x)=0,得了=/或％=e,則當x《0口時，〃(x)<0,/z(x)單調遞減;

<1A,、

當xe-,e時，可龍)單調遞增;

當xe(e,+oo)時,7z,(x)<0,〃⑺單調遞減,

4

又：當X-0時，+30;當Xf+CO時，且丸0,/z(e)=—,

.?.0<a<3,即實數(shù)。的取值范圍為0,3

eIe

17.某農科所正在試驗培育甲、乙兩個品種的雜交水稻，水稻成熟后對每一株的米粒稱重，重量達到規(guī)定

的標準后，則該株水稻達標.在水稻收獲后，通過科研人員的統(tǒng)計，甲品種的雜交水稻有:不達標，乙品種

的雜交水稻有1不達標.

(1)若假設甲、乙兩個品種的雜交水稻株數(shù)相等，一科研人員隨機選取了一株水稻，稱重后發(fā)現(xiàn)不達

標，求該株水稻來自甲品種和乙品種的概率分別是多少；

(2)科研人員選取了8株水稻，其中甲品種5株，乙品種3株，再從中隨機選取3株進行分析研究，這3

株中來自乙品種水稻的有X株，求X的數(shù)學期望E(X).

43

【答案】(1)株水稻來自甲品種和乙品種的概率分別是一，一；

77

9

(2)

8

【解析】

【分析】(1)設事件A為“該株水稻來自甲品種”，事件B為“該株水稻不達標”，應用全概率公式求產(3),

再應用貝葉斯公式求該株水稻來自甲品種和乙品種的概率；

(2)根據(jù)已知分析隨機變量的可能取值，并求出對應概率值，進而求期望即可.

【小問1詳解】

從甲、乙兩個品種的雜交水稻中任取一株，

設事件A為“該株水稻來自甲品種”，事件B為“該株水稻不達標”，

則P(A)\，網可=；，尸(叫4)］，網同司=：，

.?.P(B)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=|X1+1X1=^.

44⑻-P(')MRP(叫A)，X,4pa⑻一。(而)P(RP(平)

3

(I卜P(B)-P(B)一工一7’(?卜P(B)-P(B)

77

2424

43

該株水稻來自甲品種和乙品種的概率分別是一，一.

77

【小問2詳解】

依題意X的所有可能取值為0,1,2,3,則

p(X=0)=^-=—,p(x=i)=y15

'，C：28'C；28

1

PX=2)=^^=—,PX=3)=^^

、7C56v7C56

oo

X的數(shù)學期望E(X)=0x9+l義竺+2x"+3乂上=史=2

v728285656568

18.如圖，正四棱柱ABC。-44GA，其側棱長與底面邊長都為2,E,尸分別為A。，的中點,

平面班廠與4。交于點尸.

（i）確定點尸在線段4。上的位置；

（2）求平面CEP與平面3EP戶夾角的余弦值.

【答案】（1）點P為線段4。上靠近點。的三等分點

⑵2

3

【解析】

【分析】（1）由線面平行的判定與性質可得線線平行，根據(jù)三角形重心的性質，可得答案；

（2）由題意建立空間直角坐標系，求得平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案.

【小問1詳解】

如圖，設3C的中點為〃，連接記AMn3F=N,連接A?,NP.

由題意知四邊形A3CD為正方形，又E為AD的中點，.?.BM/ADE,BM=DE,

四邊形為平行四邊形，，地）〃鹿.

又：加它平面巫P尸，BEu平面8￡所，.?."0//平面8E所.

"Du平面4〃。，平面4加。八平面5￡7/=貓，NP//MD,

?AA=AN

"PD~NM'

又：尸為4。的中點，4Mn3E=N,.?.點N為AABC的重心,

&2?必-2

NMPD

即點尸為線段4。上靠近點。的三等分點.

【小問2詳解】

以A為坐標原點，分別以直線46，AD,AA為X,y,Z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

則4(0,0,0),5(2,0,0),￡>(0,2,0),4(0,0,2),網1,1,1),￡(0,1,0)，C(2,2,0),

=(-1,1,1),BE=(-2,1,0),麗=(0,2,-2),CE=(-2,-l,0),=(-2,-2,2).

設平面BEPF的法向量為n=(x,y,z),

BF-n=0—x+y+z=0,jy=2x

則一，即

BEn=