安徽省合肥市某中學(xué)2025屆高三年級下冊數(shù)學(xué)素質(zhì)拓展試卷（四）（含答案與解析）

機密★啟用前

合肥一中2025屆高三下學(xué)期素質(zhì)拓展（四）

數(shù)學(xué)

（考試時間：120分鐘滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，務(wù)必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡和試卷上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需

改動，務(wù)必擦凈后再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試

卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1,已知集合44隧2彳<2},"I，、},則Ag=（）

A.{1}B,{3}C.{1,3}D,{1,3,5}

2.已知平面向量點5滿足同=1,忸+囚=2,且+萬，則.=（）

A.2B.有C.72D.1

y=――>0）

3.四參數(shù)方程的擬合函數(shù)表達式為］+［二］/，常用于競爭系統(tǒng)和免疫檢測，它的圖象是

一個遞增（或遞減）的類似指數(shù)或?qū)?shù)曲線，或雙曲線（如y=x」），還可以是一條S形曲線，當a=4,

b--1,c=l,d=l時，該擬合函數(shù)圖象是（）

A.類似遞增的雙曲線B.類似遞增的對數(shù)曲線

C.類似遞減的指數(shù)曲線D.是一條S形曲線

已知sin（a一夕）=一；,且sinacosQ=g,

4.則cos(2a+2〃)=()

5114

A.一B.----C.-D.一

9999

5.在棱長為。的正方體.ABC?！?與。12中，尸為A3上任意一點，E,/為C。上兩個動點，且跖的

長為定值，則點尸到平面AEP的距離（）

A.和點E,尸的位置有關(guān)B.和斯的長度有關(guān)

C.和點P的位置有關(guān)D.等于也a

2

6.建設(shè)“書香校園”成為越來越多學(xué)校的辦學(xué)追求.在對某高中1000名高一年級學(xué)生的圖書館借閱量的調(diào)查

中，已知這1000名高一年級學(xué)生中男生有600人，采用分層隨機抽樣的方法抽取100人，抽取的樣本中男

生借閱量的平均數(shù)和方差分別為5和6,女生借閱量的平均數(shù)和方差分別為10和6,則估計該校學(xué)生借閱

量的總體方差是（）

A.7B.8C.12D.13

7.已知直線/:如+"'+?=0（眉+4#0）與圓+（y+3）2=8交于兩點，若加，八J成等差數(shù)

列，則/ACB的最小值為（）

兀兀2兀57i

A—B.—C.——D.——

3236

8.設(shè)實數(shù)2>0,若對任意不等式e"”—（X+l）x+lnx20恒成立，則2的取值范圍是（）

A.0<2<eB.2>eC.0<2<-D.2>-

ee

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.下列說法中，正確的命題是（）

A.在兩個隨機變量的線性相關(guān)關(guān)系中，若相關(guān)系數(shù)廠越大，則樣本的線性相關(guān)性越強

B.在具有線性相關(guān)關(guān)系兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)所得的回歸直線方程$=&+最中，

b=-2,x=l,y=3^則d=5

C.在回歸分析中，決定系數(shù)夫2的值越大，說明殘差平方和越小

D.以模型y=ceh去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)z=lny,將其變換后得到線性方程

z=0.3x+4,貝Ic,左的值分別是和。.3

10.已知拋物線C：V=8x焦點為F,過點廠的直線/與。交于兩點，。是。的準線與*軸的交

點，則下列說法正確的是（）

A.若忸刊=4|AE|,則直線/的斜率為±g

B,^^+4|^|>18

C.0。</4。8<90°（。為坐標原點）

\AF\,.

D.當勒取最小值時，AE=4

\AD\11

11.我們常用數(shù)是十進制數(shù)，2024=2-103+0-102+2-101+4.10%計算機用的是二進制數(shù)，只需

兩個數(shù)碼o,1.如二進制數(shù)：H01⑵=1?23+1?22+（）?21+1?2°=13.將十進制正整數(shù)n表示為二進制數(shù)，

其各位數(shù)字之和記為凡，即："=%"+%7+…+4-2°,其中4e｛0』｝,?=0,1,2,…%）,且

k

工匕=m,則根，如[3=1+1+。+1=3.則以下關(guān)于數(shù)列｛4,｝的結(jié)論正確的有（）

1=0

A.若q=根（7〃6N*）,則〃的最大值為2"'—1B.%“=an

a=

C.2n-l-1D.。2"+1=+1

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

-3+i_

12.己知復(fù)數(shù)2=k^,則z的虛部為.

2+1

22

13.已知廠是雙曲線C:]—（=1的右焦點，尸是C左支上一點，M是圓。：—+竹―2也>=2上一

點，貝HMP|+1尸尸|的最小值為.

7T7T

14.從球0外一點尸作球。表面的三條不同的切線，切點分別為A&C,NAPB=一,ZBPC=-,

33

71

ZCPA=-,若上4=2,則球。的表面積為.

2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在一個不透明的盒子中裝有除顏色外其余完全相同的若干個小球，其中有機個白球，機個黑球，2個

黑白相間的球，且從盒子中隨機摸出1個球，摸到黑白相間的球的概率為1.

（1）從盒子中隨機摸出1個球，求在摸出球上帶有黑色的條件下，摸出黑白相間的球的概率；

（2）從盒子中1次隨機取出1個球，取出后不放回，共取2次，設(shè)取出的黑球數(shù)量為X,求X的分布列與

期望.

16.已知在VABC中，ccosB—bcosC—a=0.

(1)判斷VA3C的形狀，并說明理由；

■JT

(2)若ZA=z，點。在AB邊上，且5D=2AD.若CD=2,求的面積.

OAACD

17.如圖，在四棱錐P—ABCO中，上4J_底面ABCD,PA=AB,E為線段PB的中點，咒為線段

5C上的動點.

(1)若BCLAB,平面AEF與平面P3c是否互相垂直？如果垂直，請證明；如果不垂直，請說明理由.

(2)若底面ABCD為正方形，當平面AEF與平面PCD夾角為'時，求變的值.

6BC

18.設(shè)函數(shù)/(x)=e*+i-三—田.

(1)當k=0時，求曲線y=/(x)在點(T/(—1))處的切線方程；

(2)若/(%)在區(qū)間［—1,”)上單調(diào)遞增，求左的取值范圍；

(3)當行—1時，/(x)>/(-1),求左的取值范圍.

19.己知橢圓E；:=+==1(?！?〉0)的離心率為點P(0,l)在片上.

ab2

(1)求用的方程；

(2)設(shè)橢圓4：、+/=加(加〉1).若過尸的直線/交片于另一點Q』交E2于兩點，且A在X軸

上方.

(i)證明：\AP\=\BQ\.

(ii)。為坐標原點.C為E2右頂點.設(shè)A在第一象限內(nèi)，BP=2PA，是否存在實數(shù)〃使得AOB尸的

面積與ACB1的面積相等？若存在，求加的值；若不存在，說明理由.

參考答案

一、單選題

1,已知集合/回夠％/,8={-1,1,3,5},則AC3=（）

A.{1}B,{3}C.{1,3}D,{1,3,5}

【答案】C

【解析】

【分析】由對數(shù)函數(shù)的定義域與單調(diào)性可求得集合4再結(jié)合交集的概念即可得答案.

【詳解】因為A={鄧og2%<2}=（0,4）,所以4口6={1,3}.

故選：C.

2.已知平面向量萬萬滿足同="2萬+.=2,且（萬+B）_L萬，則忖=（）

A.2B.白C.72D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運算律及垂直關(guān)系的向量表示列式計算即可.

【詳解】由5+5）_LZ,得3+石）2=萬？十萬.5=O,則萬.石=一,2=_],

由|24十5|=2,得4五2+$2+4].5=4，因此戶=4,

所以,|=2.

故選：A

了=_（1+]（*>0）

3.四參數(shù)方程的擬合函數(shù)表達式為1+（xj），常用于競爭系統(tǒng)和免疫檢測，它的圖象是

一個遞增（或遞減）的類似指數(shù)或?qū)?shù)曲線，或雙曲線（如y=/D,還可以是一條S形曲線，當。=4,

b=-l,c=l,d=l時，該擬合函數(shù)圖象是（）

A.類似遞增的雙曲線B.類似遞增的對數(shù)曲線

C.類似遞減的指數(shù)曲線D.是一條S形曲線

【答案】A

【解析】

3—3

【分析】依題意可得y=--+L(x>0),整理得y=--+4,(尤>0),再根據(jù)函數(shù)的變換規(guī)則

1+XX+1

判斷可得；

【詳解】解：依題意可得擬合函數(shù)為y=----r+1,(x>0),

1+x-

日n3x3(x+l)—3—3/\

即y=-----bl-----------bl-----F4,(%>n0j,

1+xx+1x+1

由y=?(x>l)向左平移1個單位，再向上平移4個單位得到丁=1\+4,(%>0),

因為y=口在(l,y)上單調(diào)遞增，

所以擬合函數(shù)圖象是類似遞增的雙曲線；

故選：A

4.已知sin(a—〃)=—，，且sinacos/=^,則cos(2a+20=()

36

5114

A.-B.一一C.-D.-

9999

【答案】C

【解析】

【分析】應(yīng)用兩角和差正弦公式計算，再結(jié)合二倍角余弦公式計算即可.

【詳解】E^sin(tz-/7)=sin(zcos/?—costzsin/?=—g,且sinacos〃=g,

12

則costzsin夕=—,所以sin(a+y?)=sin(zcos/?+costzsin/?=—,

則cos(2a+2/7)=1-2sin2(?+/?)=l-2x(g)=1—g=g.

故選：C.

5.在棱長為。的正方體.ABC?！狝4G2中，p為A8上任意一點，E,尸為CD上兩個動點，且EF的

長為定值，則點尸到平面4石歹的距離()

A.和點E,尸的位置有關(guān)B.和所的長度有關(guān)

C.和點尸的位置有關(guān)D.等于正〃

2

【答案】D

【解析】

【分析】利用線面平行的判定性質(zhì)、點到平面距離的定義推理計算即可.

【詳解】在棱長為。的正方體ABC。-A4G。中，由瓦E為。上兩個動點，得平面4所即平面

AB]CD,

由48//。,43<2平面44。￡）,。。匚平面4用8,得AB//平面4月。。,

而尸為上任意一點，則點P到平面4與。的距離即點B到平面4片。。的距離,

由CD,平面3CC]3i，BGu平面5CC[3],得CDLBG，又qCLBG，

B[CeCD=C,B[C,CDu平面AiBiCD,因此2?G-L平面A^CD,

所以點尸到平面A肢的距離為:3G=3。，

ABC錯誤，D正確.

6.建設(shè)“書香校園”成為越來越多學(xué)校的辦學(xué)追求.在對某高中1000名高一年級學(xué)生的圖書館借閱量的調(diào)查

中，已知這1000名高一年級學(xué)生中男生有600人，采用分層隨機抽樣的方法抽取100人，抽取的樣本中男

生借閱量的平均數(shù)和方差分別為5和6,女生借閱量的平均數(shù)和方差分別為10和6,則估計該校學(xué)生借閱

量的總體方差是（）

A.7B.8C.12D.13

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)分層抽樣計算出抽取100人中男生、女生的比例，然后根據(jù)總體方差的計算公式求得正確答

案.

【詳解】1000名高一學(xué)生，男生600人，則女生400人,

所以抽取的100人中，男生60人，女生40人，

總體平均數(shù)為—x5+—xl0=7,

100100

所以總體方差為闔6+(5-7)2]+菊6+(10-7月=12.

故選：C

7.已知直線/：7.+"丁+/=0(/+"2#0)與圓Ur2+('+3)2=8交于AB兩點，若加,成等差數(shù)

列，則/ACB的最小值為()

7T7T27t57T

A.-B.—C.—D.—

3236

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)數(shù)列加，〃/公差為亂結(jié)合等差數(shù)列通項公式分析可知直線過定點。(L-2),再根據(jù)圓的性質(zhì)可

知當CDLAB時，弦長|A卻最小，此時/ACfi最小，進而運算求解.

由題意可知：圓C:f+(y+3)2=8的圓心為C(0,—3),半徑r=2后，

因為772,八/成等差數(shù)列，所以設(shè)="+△,

則加x+〃y+f=0可化為(〃-d)x+盯+〃+d=0,

即(l-x)d+(x+y+l)〃=0,

l-x=0x—1/、

令＜__2,可知直線過定點。(L—2),

x+y+l=0、y

且F+(_2+3)2<8,所以。(1,—2)在圓C內(nèi)部,

當CDLAB時，弦長|AB|最短，此時/ACB最小，

又|C￡＞卜J(l-O.+(-3+2)2=氏,所以卜用=2“_g2=2逐=，=276，

所以2r2-AB2x8-(2")i

所以cosZACB=-----=------------——'

2r22x82

2冗

又NACBe(O,兀)，所以NAC3=石，

故選:C

【點睛】方法點睛：數(shù)形結(jié)合的重點是“以形助數(shù)”，在解題時要注意培養(yǎng)這種思想意識，做到心中有

圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維.使用數(shù)形結(jié)合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義，解題時要

準確把握條件、結(jié)論與幾何圖形的對應(yīng)關(guān)系，準確利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求解

8.設(shè)實數(shù)2>0,若對任意xe。,”)，不等式e"x—(X+l)x+hw之0恒成立，則幾的取值范圍是()

A.0<2<eB.2>eC.0<2<-D.2>-

ee

【答案】D

【解析】

【分析】依題意可得對任意xe(l,+8),不等式e"—/Ix'emx—Inx恒成立，令/(x)=e*—x,

xe(O,+。),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到九cNlnx對任意xe(l,+”)恒成立，參變分離可得22也對任意

X

xe(l,+”)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出生色，即可得解.

VX/max

【詳解】因為對任意xe(l,+”)，不等式l)x+lux20恒成立

即對任意xe(l,+oo),不等式e"x—/lxAx—Inx恒成立，

即對任意xe(l,+。)，不等式e加—In尤恒成立，

因為尤e(l,+oo),所以In尤>0,又2>0,所以Xx>0,

令/(x)=e"—%,xe(0,+8),貝1I/'(x)=e*—1>。,

所以"％)在(0,+“)上單調(diào)遞增，

由/(尢。》/(In%)對尤e(1,+8)恒成立，得到Ax>Inx對任意尤e(1,+")恒成立，

所以X2電」對任意xe(l,+oo)恒成立，

4g(x)=—,%e(l,+⑹，則g，(x)=J,

XX

所以當1(尤<e時，g'(九)>0,即g(x)在(Le)上單調(diào)遞增，

當％>e時，g'(x)<0,即g(x)在(e,+8)上單調(diào)遞減，

所以g(x)1mx=g(e)=}

故得2之工，即2的取值范圍是42

ee

故選：D

二、多選題

9.下列說法中，正確的命題是()

A.在兩個隨機變量的線性相關(guān)關(guān)系中，若相關(guān)系數(shù)「越大，則樣本的線性相關(guān)性越強

B.在具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)所得的回歸直線方程亍=6+晟中，

b=-2,x=l,y=3>則a=5

C.在回歸分析中，決定系數(shù)R2的值越大，說明殘差平方和越小

D.以模型y=ceh去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)z=lny,將其變換后得到線性方程

z=0.3x+4,則c,左的值分別是和。.3

【答案】BCD

【解析】

【分析】對選項A,根據(jù)相關(guān)系數(shù)廠的性質(zhì)即可判斷；對選項B,根據(jù)回歸直線方程9=6+最過點

(x,y),計算可得即可判斷；對選項C,根據(jù)R2的性質(zhì)即可判斷；對選項D,兩邊取對數(shù)，可得

z=lny=In(ce^)=Inc+Ax,又z=0.3x+4,求出c,左的值，即可判斷.

【詳解】對于A,相關(guān)系數(shù)「的絕對值越大，樣本的線性相關(guān)性越強，故A錯誤；

對于B,回歸直線方程亍=4+晟中，a=y-b-x=3-(-2)xl=5,故B正確；

對于C,在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)a2越大，殘差平方和越小，回歸效果就越好，故C正確；

對于D,y=cefa,兩邊取對數(shù)，可得Iny=111卜寸")=111。+111/=lnc+Ax,則z=lnc+Ax,

Qz=0.3x+4,；」nc=4,左=0.3,所以c=e\左=0.3,故D正確.

故選：BCD.

10.已知拋物線C:y2=8x的焦點為尸，過點廠的直線/與C交于A3兩點，。是C的準線與X軸的交

點，則下列說法正確的是（）

A.若忸E|=4|AE|,則直線/的斜率為±g

B.|AF|+4|BF|>18

c.0°</AOB<90°（。為坐標原點）

D.當取最小值時，|AE|=4

【答案】ABD

【解析】

分析】設(shè)出直線/：%=叼+2,4%],%）,6（%2，%），根據(jù)題意求出4d，一2；5（8,8）,得到斜率判定

A；運用拋物線定義轉(zhuǎn)化線段長度，結(jié)合基本不等式計算判定B；借助向量法計算判定C；運用拋物線定

義轉(zhuǎn)化長度，結(jié)合基本不等式計算判定D.

【詳解】依題意得/（2,0）,設(shè)直線/：x=r^+2,A（xl,y1）,B（x2,y2）,

x=my+2c

聯(lián)立《2得）-8my-16=0,則X+%=8根,

[y=8x

Ui或]K=-2

川包一皿二“解得

1為=-8=8則嗚4

5（8,—8）或2）3（8,8）,則直線/的斜率左=±g,故A項正確.

222

L

|AF|+4|JBF|=x1+4x2+10=^+^+10=^y+^+10>18,

82%2

當且僅當￡=8時等號成立，故B項正確

因為況?無=x/,―12<0，所以NAOB>90°，故C項錯誤.

64

D（-2,0）,F（2,0）,則弁=8%,%>0,由拋物線的定義可得

|AF\=%1+2,|AD|=?X]+2）2+（%-。）2=《x；+45+4+8須=Jx；+12再+4，

!

因為％>o,所以；—=/1=AT-----------!—=A1——------

士\ADJx；+g+4]x；+12玉+4Vx；+12X|+4

當且僅當玉=2時取等號，止匕時g同=4,故D項正確.

故選：ABD

11.我們常用的數(shù)是十進制數(shù)，2024=2-103+0-102+2-101+4-10%計算機用的是二進制數(shù)，只需

兩個數(shù)碼0,1.如二進制數(shù)：1101⑵=1?23+1.22+().2+1?2°=13.將十進制正整數(shù)n表示為二進制數(shù),

kk10

其各位數(shù)字之和記為%，即：n=bk-2+bk_l-2-+-..+b0-2,其中偽e{0,l},(i=0,l,2,..4),且

￡bj=m,則4=機，如&=1+1+0+1=3.則以下關(guān)于數(shù)列{4“}的結(jié)論正確的有()

i=0

A.若％=根N*）,則〃的最大值為2"'—1B.a2n=an

C1D.。2”+1=a2rl+1

【答案】BD

【解析】

【分析】舉反例由數(shù)列新定義可得A錯誤；設(shè)?！?加，由二進制數(shù)的轉(zhuǎn)換規(guī)則可得B正確；當〃=1時可

得4與B矛盾可判斷C錯誤；由數(shù)列新定義表示出2n+1和2H可得D正確.

【詳解】對于A,如?！?1,則〃=1⑵=1,或"=10⑵=2或〃=100(2)=4…無最大值，故A錯誤;

k

kk1

對于B,設(shè)。“=m，n=bk-2+bk_r-2~+---+b0-2°,且工人產(chǎn)機

i=0

i+1k1

則2n=bk-2+bk_x-24-----FZ?o-2+0-2°,a2n—bk+bkl4-----b0+0—an,B正確;

對于C,當〃=1時，由C得而由B,g二勾，矛盾，故C錯誤;

對于D,設(shè)2九+1=4?2上+為-/21+?一+$21+>2°

kk1kk11

2n=(bk-2+bk_i-2-+---+bl-?)+l-2°)-l=bk-2+bk_l-2-+---+bl-2+0-2°,

故。2“+i=%.+l，故D正確.

故選：BD

三、填空題

-3+i_

12.已知復(fù)數(shù)2=-----,則三的虛部為.

2+1

【答案】—1

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)的除法運算結(jié)合共輾復(fù)數(shù)的概念即可求解;

【詳解】

所以z——i'

所以［的虛部為-1,

故答案為：-1

13.已知E是雙曲線C:：—?=1的右焦點，P是C左支上一點，M是圓。：/+-2后=2上一

點，則||+1尸尸|的最小值為.

【答案】4應(yīng)

【解析】

【分析】利用雙曲線定義，將|MP|+|PF|轉(zhuǎn)化為|上研+|尸用+2a,結(jié)合圓的性質(zhì)求解即可.

【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點為耳，連接尸耳，PD.

由題知，實軸長2a=2后，網(wǎng)-面,0）,。（0,2君），

由雙曲線定義知，歸耳=2。+|防|=2虎+歸耳|,

則\MP\+\PF\>\PD\+\PF\-s/2=\PD\-42+242+戶耳|=|P￡>|+|尸制+JL

當尸，D,6三點共線時，|MP|+|PF|取得最小值，

且最小值為|。耳|=+|卬=,6+12+72=40.

故答案為：472

7171

14.從球0外一點尸作球。表面的三條不同的切線，切點分別為ASC,/APB=—,/BPC=—,

33

TV

ZCPA=-,若PA=2,則球。的表面積為.

2

【答案】1671

【解析】

【分析】據(jù)題意分析可知VA3C為直角三角形，進而可知點P在平面ABC內(nèi)的投影為VA3C的外心，則

。必在尸。的延長線上，結(jié)合切線性質(zhì)可得球的半徑，進而可得表面積.

【詳解】由圓的切線長定理得，PB=PC=PA=2,

因為ZAP3=工，ZBPC=~,ZCPA=-,則AB=5C=2,AC=20，

332

即AB?+,可知AB/AC,

所以VA3C為直角三角形，其外心。為C4的中點,

又因為尸5=PC=E4,可知點尸在平面ABC內(nèi)的投影為VA5C的外心,

即？DJ_平面ABC，所以。必在尸Z)的延長線上，

且A為切點，則Q4L上4,由射影定理得

且ZM=PL>=&，即2=后。。，可得OD=夜，

則OA=y/AD2+OD2=2，所以球。的表面積為47rx2?=16兀.

故答案為：1671.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)切線性質(zhì)分析可知VA3C為直角三角形，進而可知點尸在平面ABC內(nèi)的投影

為VA5C的外心，進而確定球心。的位置，即可運算求解.

四、解答題

15.在一個不透明的盒子中裝有除顏色外其余完全相同的若干個小球，其中有根個白球，根個黑球，2個

黑白相間的球，且從盒子中隨機摸出1個球，摸到黑白相間的球的概率為g.

(1)從盒子中隨機摸出1個球，求在摸出的球上帶有黑色的條件下，摸出黑白相間的球的概率；

(2)從盒子中1次隨機取出1個球，取出后不放回，共取2次，設(shè)取出的黑球數(shù)量為X,求X的分布列與

期望.

【答案】(1)

3

,4

(2)分布列見解析，—.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用縮小空間的方法求出條件概率.

(2)求出X的可能值及對應(yīng)的概率值，列出分布列并求出期望.

【小問1詳解】

121

由從盒子中隨機摸出1個球，摸到黑白相間的球的概率為一，得---------=解得加=4,

5m+m+25

盒子中帶有黑色的球有6個，其中黑白相間的球有2個，

所以在摸出的球上帶有黑色的條件下，摸出黑白相間的球的概率p=：=g.

63

【小問2詳解】

依題意，X的可能值為?！?2,

A21c1A1A18A2?

則P(X=0)=魯V，P(X=l)=Wa=2，P(X=2)=^=卷，

A,"3A-15A?n15

所以X的分布列為:

X012

182

P

31515

1o74

數(shù)學(xué)期望石(X)=Ox—+lx—+2x—=—.

315155

16.已知在VABC中，ccos5-Z?cosC-a=0.

（1）判斷VA3C的形狀，并說明理由；

（2）若NA=g點。在邊上，且瓦）=2AD.若CD=2,求AACD的面積.

6

【答案】（1）直角三角形，理由見解析

⑵她

13

【解析】

【分析】（1）由己知根據(jù)正弦定理化簡求解即可；

（2）由（1）可得3=—,設(shè)⑷3=2x,在AACD中，由余弦定理可得丁=一，再由面積公式求解即可.

313

【小問1詳解】

VA3C為直角三角形，理由如下：

因為ccosB-bcosC-a=0,

由正弦定理可得sinCcosB-sinBcosC-sinA=0,

又sinA=sin（5+C）,

所以sinCcosB-sinBcosC-sinBcosC-cosBsinC=0,

所以2sinBcosC=0,

因為5e（0,兀），所以sinB>0,所以cosC=0,所以C=],

所以VA3C為直角三角形；

【小問2詳解】

因為NA=￡,VA5C為以C為直角的直角三角形，所以3=/，

63

設(shè)AB=2x,則AC=A，BC=X,所以AD=-A3=一,

33

所以在AACD中，由余弦定理可得CD?=A02+AC2—zAp.ACcosA，

即4=（g]+（Gx『一2xgxGxx乎，解得f=!|,

1.12xn;1y/326也

以SARP）=—A。?AC,sinA=—x—x\3xx—=—x-------

“2232613

17.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABC。，PA=AB,E為線段PB的中點，E為線段

3C上的動點.

(1)若3CLA5,平面AEF與平面P3c是否互相垂直？如果垂直，請證明；如果不垂直，請說明理由.

(2)若底面ABCD為正方形，當平面AE『與平面PCD夾角為四時，求生的值.

6BC

【答案】(1)垂直，證明見解析.

⑵3

【解析】

【分析】(1)由上底面A3CD得進而由BC,AB得平面A45,進而得3CLAE,

又AE上PB,可得AEJ_平面P3C,進而可證；

(2)BC=2,BF=t,建立空間直角坐標系，利用空間向量法根據(jù)面面角可得f=l,進而可得.

【小問1詳解】

平面AEF_L平面P3C，證明如下：

因上4_1_平面ABCD,BCu平面ABCD,故。A_L3C,

又AB[}PA=A,AB,PAu平面故BC,平面已鉆，

因AEu平面B4B，所以3CLAE,

因E4=A3,E為線段PB的中點，故AELPB,

因BC,PBu平面P6C,

故AE,平面P3C，又AEu平面AEF，故平面AEFJ_平面P3c.

【小問2詳解】

如圖建立空間直角坐標系，設(shè)BC=2,BF=t,貝VG[0,2],

則A（O,O,O）,E（1,O,1）,尸（2/,0）,P（0,0,2）,C（2,2,0）,0（0,2,0）,

則心(1,0,1),通=(2/0),定=(2,2,_2),力=(0,2,-2),

設(shè)平面AEF的一個法向量為：=(%，K，zJ,

AEi=x,+z,=0一/、

則__?_，令再=，，則M=-2,Z]=T,則i=,

A尸?i=2玉+電=0

s設(shè)平面PCD的一個法向量為/=(%2，%"2),

PC-j=2x?+2y?-2z?=0一/、

則—.r，令％=1，則Z2=l,%2=。，則/=（。/,1），

PDj=2y2-2z2=0

-2-t71A/3

由題意N_=cos—=——

'r+（—2）2+（T）2J/+I262'

解得上1目0,2],故方=]

￡)0Z

18.設(shè)函數(shù)/(%)=e*+i-%之一區(qū).

(1)當k=0時，求曲線y=/(x)在點(一1,7(一1))處的切線方程;

(2)若〃龍)在區(qū)間[T”)上單調(diào)遞增，求左的取值范圍;

(3)當1時，/(%)>/(-1),求左的取值范圍.

【答案】(1)y=3x+3

(2)^<4-21n2

(3)k<e

【解析】

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；

(2)由條件轉(zhuǎn)化為1,+。),/'(力20恒成立.再轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的最小值大于等于0,即可求解；

x+1_2

(3)方法一：首先將不等式整理為e'M—左(x+1),再參變分離為e—x2，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)

'7x+1

產(chǎn)1_丫2

G(x)=-———,xe(-l,+cz))最小值；方法二：根據(jù)(2)的結(jié)果，由/'(5)的值，討論左的取值，判

x+1

斷不等式是否成立，即可求解；方法三：從命題成立的必要條件入手，再證明命題成立的充分條件，即可求

解左的取值范圍.

【小問1詳解】

當左=0時，/(%)=ex+1-x2,則/'(x)=ex+i—2%,

則曲線y=/(可在點(-1,/(—1))處的切線斜率為/(-1)=3,

又〃T)=0，

所以曲線y=/(x)在點(—1,7(-1))處的切線方程為y=3x+3.

【小問2詳解】

f(x)=ex+1-2x-k,

由題意得，工€[—1,+8),/'(%)?0恒成立.

令下(%)=/(%),則9(x)=e"+i-2,且/'(左)在[-1,長。)單調(diào)遞增,

令尸(x)=0,解得x=ln2-l>-l,

所以當XG(—l,ln2—1)時，F(xiàn)(x)<0,故以(x)單調(diào)遞減;

當xe(ln2-l,+8)時，F(xiàn)(x)>0,故網(wǎng)元)單調(diào)遞增;

所以尸(x).=F(ln2—1)=4—21n2—3

又/'(%)",當且僅當尸⑴血20，故左<4—21n2.

【小問3詳解】

解法一：因為/(—1)=%,所以題意等價于當x>—1時，f(x)>k.

即Vxe(-1,+co),ex+1-x2-kx>k,

整理，得e"i-x22Mx+1),

e?l-r2

因為X>—1,所以x+l>0,故題意等價于———>k.

x+1

ex+1-x2

設(shè)G(x)二-------,xe(—1,+。)，

x+1

(el+1-2x)(x+l)-(eA+1-x2

G(x)的導(dǎo)函數(shù)G[X)=

(x+1)2

化簡得G'(x)=3尸(b]-%-2),

考察函數(shù)g(x)=eX—%—l,xe(-oo,+8),其導(dǎo)函數(shù)為g'(尤)=e、-l,

當尤<0,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當x>0,g'(x)>0,g(力單調(diào)遞增；

故在x=0時，g(x)取到最小值,即g(x)之g(0)=0,

即e"N%+1，

所以e>iNx+2oeAi—%—2N0，

所以當l,0),G'(x)<0,G(x)單調(diào)遞減；

當x?0,+。),G'(%)>0,G(x)單調(diào)遞增；

所以G(x)的最小值為G(0)=e,

故左<e.

解法二：先考察/'(x)=e*M—2x,由(2)分析可得/'(xLn=/'(%)，

情況1：當尸(X)而「20，即左<4—21n2,

此時了(%)在區(qū)間[-1,”)單調(diào)遞增，

故/(%)皿=/(—1)，即〃力之二(—1)，符合題意；

情況2：若左>4—21n2,則/'(總述=/'(/)<。，

注意到2<4—21n2<3,且/'(—1)=3—左，故對左進一步討論.

①當左23時，即/'(—1)=3—左<0

且由(2)分析知:當xe(—1,飛)，/'(x)單調(diào)遞減,

故當xe(—1)40,即〃力單調(diào)遞減，

故恒有/(X)</(-1)=氏，不符合題意，舍去；

②當4—21n2(左<3時，

注意到在區(qū)間(—1,%),/'(%)單調(diào)遞減,且/'(—1)=3—左>0,又/'(毛)<0,

故在區(qū)間(—1,%)存在唯一的/滿足/'(%)=0；

同理在區(qū)間(1，+8),f(%)單調(diào)遞增，且埋伉乂0,廣⑴=e?一2-司0,

故在區(qū)間(％,+")存在唯一的馬滿足/'(%)=0；故可得

(%,%2)

X5%

/'(x)+0-0+

極大極小

/(x)//

值值

所以當xe(—1,玉)/(x)>/(—1),符合題意；

故題意等價于/(々)之/(一1)，即/(動之子

又因/'(%)=0，即e.Yi-Z%—左=0，化簡，得小+1=2%+左

所以氏02%+%一考一立,Nk,整理得無2[々一(2-左)]<0.

注意到2<4—21n2(左，所以2—左<0,

故解得％e[2-Z:,0],

f'(2-k)<Q,e3-k>4-k,

由之前分析得<即《

r(o)>o,k<e,

考察函數(shù)g(x)=e*-x—l,xe(—oo,+oo),其導(dǎo)函數(shù)gf(x)=e'-1,

當x<0,g[x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當x〉0,g'⑺>0,g(X)單調(diào)遞增；

故在尤=0時，g(x)取到最小值,即g(x)之g(0)=0,

即e—x+l，所以e3“24—女恒成立，

&324_左

故〈-'=左《e,又注意到情況(2)討論范圍為4—21n2〈左<3,

kSe,

所以4—21n2<k<e也符合題意.

綜上①②本題所求k的取值范圍為(f,e],

方法三：先探究必要性，由題意知當行-1時，/(-1)是〃力的最小值，

則必要地/(—1)</(0),即得到必要條件為kWe；

下證ZWe的充分性，即證：當左We時,xG[-1,+a?),/(X)>/(-1).

證明：由⑵可知當左<4—21n2時，/(%)在[—L”)單調(diào)遞增，

故/(%)的最小值為/(-1),/(%)>/(-1),符合題意；

故只需要證明4—2