2025版高中數(shù)學(xué)第二講證明不等式的基本方法2.3反證法與放縮法練習(xí)含解析新人教A版選修4-5

PAGEPAGE1三反證法與放縮法基礎(chǔ)鞏固1用反證法證明命題“a,b,c全為0”時(shí),應(yīng)假設(shè)()A.a,b,c全不為0B.a,b,c至少有一個(gè)為0C.a,b,c至少有一個(gè)不為0D.a,b,c至多有一個(gè)不為0解析：“a,b,c全為0”的反面應(yīng)為“a,b,c至少有一個(gè)不為0”.故選C.答案：C2用放縮法證明不等式時(shí),下列各式正確的是()A.BC.x2+x+3>x2+3 D.|a+1|≥|a|-1解析：由肯定值不等式知|a+1|≥|a|-1.故選D.答案：D3P=aA.P≥3 B.P=3C.P<3 D.P>3解析：∵a,b,c均為正數(shù),∴P=aa+1+b答案：C4設(shè)x>0,y>0,A=xA.A≥B B.A=BC.A>B D.A<B解析：∵x>0,y>0,∴A=答案：D5lg9·lg11與1的大小關(guān)系是.

解析：∵lg9>0,lg11>0,∴∴l(xiāng)g9·lg11<1.答案：lg9·lg11<16用反證法證明命題“若ax2-(a+b)x+ab≠0,則x≠a且x≠b”時(shí)應(yīng)假設(shè).

解析：用反證法證明時(shí)要對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定,即x=a或x=b.答案：x=a或x=b7已知a∈R+,則1解析：因?yàn)樗?所以答案：18若|a|<1,|b|<1,求證:a分析：本題由已知條件不易入手證明,而結(jié)論也不易變形,即干脆證明有困難,因而可聯(lián)想反證法.證明：假設(shè)a+b1+ab≥1,則|a+b|∴a2+b2+2ab≥1+2ab+a2b2.∴a2+b2-a2b2-1≥0.∴a2-1-b2(a2-1)≥0.∴(a2-1)(1-b2)≥0.∴即a∴9若0<a<2,0<b<2,0<c<2,求證:a(2-b),b(2-c),c(2-a)不行能都大于1.證明：假設(shè)a(2-b),b(2-c),c(2-a)都大于1.∵0<a<2,0<b<2,0<c<2,∴2-b>0,2-c>0,2-a>0.∵a(2-b)>1,b(2-c)>1,c(2-a)>1,三式相乘,得a(2-b)·b(2-c)·c(2-a)>1.①又0<a(2-a)≤a0<b(2-b)≤b0<c(2-c)≤c∴a(2-a)·b(2-b)·c(2-c)≤1.②由于①②式相沖突,故原命題成立.實(shí)力提升1設(shè)x,y,z都是正實(shí)數(shù),a=x+1A.至少有一個(gè)不大于2 B.都小于2C.至少有一個(gè)不小于2 D.都大于2解析：∵a+b+c=x+1x+y+1y+z+1z≥2∴a,b,c三者中至少有一個(gè)不小于2.答案：C2對(duì)“a,b,c是不全相等的正數(shù)”,給出下列推斷:①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0;②a>b與a<b及a≠c中至少有一個(gè)成立;③a≠c,b≠c,a≠b不能同時(shí)成立.其中推斷正確的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.3解析：對(duì)于①,假設(shè)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,這時(shí)a=b=c,與已知沖突,故(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0,①正確.對(duì)于②,假設(shè)a>b與a<b及a≠c都不成立,這時(shí)a=b=c,與已知沖突,故a>b與a<b及a≠c中至少有一個(gè)成立,②正確.對(duì)于③,明顯不正確.答案：C3已知a>0,b>0,c>0,且a2+b2=c2,則an+bn與cn的大小關(guān)系為(n≥3,n∈N+)()A.an+bn>cn B.an+bn<cnC.an+bn≥cn D.an+bn=cn解析：∵a2+b2=c2,∴∴∴∴an+bn<cn.故選B.答案：B4用反證法證明“一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角”有三個(gè)步驟:①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,這與三角形內(nèi)角和為180°沖突,故假設(shè)錯(cuò)誤;②所以一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角;③假設(shè)△ABC中有兩個(gè)直角,不妨設(shè)∠A=90°,∠B=90°.上述步驟的正確依次為.

解析：由反證法的一般步驟可知,此題的正確依次是③①②.答案：③①②5某同學(xué)打算用反證法證明如下一個(gè)問(wèn)題:函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上有意義,且f(0)=f(1),假如對(duì)于不同的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,求證|f(x1)-f(x2)|<1答案：|f(x1)-f(x2)|≥16設(shè)a,b,c均為正數(shù),P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,則“PQR>0”是“P,Q,R同時(shí)大于零”的條件.

解析：必要性是明顯成立的;當(dāng)PQR>0時(shí),若P,Q,R不同時(shí)大于零,則其中兩個(gè)為負(fù),一個(gè)為正,不妨設(shè)P>0,Q<0,R<0,則Q+R=2c<0,這與c>0沖突,即充分性也成立.答案：充要★7若A=1解析：A=<答案：A<1★8已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=loga1+1bn(其中a>0,且a≠1),記Sn解:(1)設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d,由題意,得解得b1=1,d=3.故數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=3n-2.(2)當(dāng)a>1時(shí),Sn>13loga當(dāng)0<a<1時(shí),Sn<13logab證明如下:∵bn=3n-2,∴an