2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算學(xué)案新人教A版選修2-1

PAGEPAGE13．1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算1.駕馭空間向量的數(shù)乘運(yùn)算．2.理解共線向量定理及推論．3.理解共面對(duì)量定理及推論．[學(xué)生用書(shū)P50]1．向量的數(shù)乘運(yùn)算定義與平面對(duì)量一樣，實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍舊是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘幾何定義λ＞0λa與向量a方向相同λa的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的|λ|倍λ＜0λa與向量a方向相反λ＝0λa＝0，其方向是隨意的運(yùn)算律安排律λ(a＋b)＝λa＋λb結(jié)合律λ(μa)＝(λμ)aeq\a\vs4\al()(1)非零向量a與λa(λ≠0)的方向要么相同，要么相反．(2)由于向量a，b可平移到同一個(gè)平面內(nèi)，故a±b，λa，λb，λ(a±b)也都在這個(gè)平面內(nèi)，而平面對(duì)量滿意數(shù)乘運(yùn)算的安排律，所以空間向量也滿意數(shù)乘運(yùn)算的安排律．2．平行(共線)向量與共面對(duì)量平行(共線)向量共面對(duì)量定義位置關(guān)系表示空間向量的有向線段所在的直線的位置關(guān)系：相互平行或重合平行于同一個(gè)平面的向量特征方向相同或相反特例零向量與隨意向量共線充要條件對(duì)空間隨意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb推論對(duì)空間隨意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t滿意等式eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta，其中向量a為直線l的方向向量或在直線l上取向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))或?qū)臻g隨意一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))推斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)實(shí)數(shù)與向量之間可進(jìn)行加法、減法運(yùn)算．()(2)若表示兩向量的有向線段所在的直線為異面直線，則這兩個(gè)向量不是共面對(duì)量．()(3)若a∥b，則存在惟一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.()(4)空間中隨意三個(gè)向量肯定是共面對(duì)量．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×已知λ∈R，則下列命題正確的是()A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|aC．|λa|＝|λ||a| D.|λa|＞0答案：C若e1，e2不共線，則下列各組中的兩個(gè)向量a，b共線的是()A．a(chǎn)＝e1－e2，b＝eq\f(1,2)e1＋eq\f(1,2)e2B．a(chǎn)＝eq\f(1,2)e1－eq\f(1,3)e2，b＝2e1－3e2C．a(chǎn)＝eq\f(1,3)e1－eq\f(1,2)e2，b＝2e1－3e2D．a(chǎn)＝e1＋e2，b＝eq\f(1,2)e1－eq\f(1,2)e2答案：C空間的隨意三個(gè)向量a，b，3a－2b，它們肯定是()A．共線向量 B．共面對(duì)量C．不共面對(duì)量 D.既不共線也不共面對(duì)量答案：B3a＋2b－eq\f(1,2)(a－4b)＝________．答案：eq\f(5,2)a＋4b探究點(diǎn)1空間向量的數(shù)乘運(yùn)算[學(xué)生用書(shū)P51]如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up6(→))；(3)eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→)).【解】(1)因?yàn)镻是C1D1的中點(diǎn)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)因?yàn)镹是BC的中點(diǎn)，所以eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)因?yàn)镸是AA1的中點(diǎn)，所以eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋(a＋c＋eq\f(1,2)b)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.又eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c＋a，所以eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)c))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c.1.[變條件]若將本例中“P為C1D1的中點(diǎn)”改為“P在線段C1D1上，且eq\f(C1P,PD1)＝eq\f(1,2)”，其他條件不變，如何用a，b，c表示eq\o(AP,\s\up6(→))？解：因?yàn)閑q\f(C1P,PD1)＝eq\f(1,2)，所以eq\o(C1P,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(C1D1,\s\up6(→)).所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1P,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝a＋eq\f(2,3)b＋c.2．[變條件]本例中若O是B1D1的中點(diǎn)，其他條件不變，如何用a，b，c表示eq\o(AO,\s\up6(→))？解：因?yàn)镺為B1D1的中點(diǎn)．所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\a\vs4\al()利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合詳細(xì)圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量．(2)明確目標(biāo)：在化簡(jiǎn)過(guò)程中要有目標(biāo)意識(shí)，奇妙利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式．在空間四邊形ABCD中，G為△BCD的重心，E，F(xiàn)，H分別為邊CD，AD和BC的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各表達(dá)式．(1)eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))；(2)eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))．解：(1)因?yàn)镚是△BCD的重心，所以|eq\o(GE,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)|eq\o(BE,\s\up6(→))|，所以eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(GE,\s\up6(→)).又因?yàn)閑q\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))，所以由向量的加法法則，可知eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→)).從而eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→)).(2)如圖所示，分別取AB，AC的中點(diǎn)P，Q，連接PH，QH，則四邊形APHQ為平行四邊形，且有eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))，而eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))，eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，所以eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(FH,\s\up6(→)).探究點(diǎn)2空間向量的共線問(wèn)題[學(xué)生用書(shū)P52]如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是C1D1，AB的中點(diǎn)，E在AA1上且AE＝2EA1，F(xiàn)在CC1上且CF＝eq\f(1,2)FC1，推斷eq\o(ME,\s\up6(→))與eq\o(NF,\s\up6(→))是否共線．【解】由已知可得，eq\o(ME,\s\up6(→))＝eq\o(MD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1A1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(A1A,\s\up6(→))＝－eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(C1C,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(FN,\s\up6(→))＝－eq\o(NF,\s\up6(→)).所以eq\o(ME,\s\up6(→))＝－eq\o(NF,\s\up6(→))，故eq\o(ME,\s\up6(→))與eq\o(NF,\s\up6(→))共線．[變條件]在本例中，若M、N分別為AD1，BD的中點(diǎn)，證明eq\o(MN,\s\up6(→))與eq\o(D1C,\s\up6(→))共線．證明：連接AC，則N∈AC且N為AC的中點(diǎn)，所以eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，由已知得eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD1,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(D1C,\s\up6(→)).所以eq\o(MN,\s\up6(→))與eq\o(D1C,\s\up6(→))共線．eq\a\vs4\al()(1)推斷向量共線的方法推斷向量共線就是充分利用已知條件找到實(shí)數(shù)λ，使a＝λb(b≠0)成立，同時(shí)要充分運(yùn)用空間向量的運(yùn)算法則，結(jié)合空間圖形，化簡(jiǎn)得出a＝λb(b≠0)，從而得出a∥b.(2)證明空間三點(diǎn)共線的三種思路對(duì)于空間三點(diǎn)P，A，B可通過(guò)證明下列結(jié)論來(lái)證明三點(diǎn)共線．①存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))成立；②對(duì)空間任一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))(t∈R)；③對(duì)空間任一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＝1)．1.已知非零向量e1、e2不共線，則使ke1＋e2與e1＋ke2共線的k的值是________．解析：若ke1＋e2與e1＋ke2共線，則ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,λk＝1.))所以k＝±1.答案：±12.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up6(→))＝2eq\o(ED1,\s\up6(→))，F(xiàn)在對(duì)角線A1C上，且eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→)).求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線．證明：設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c.因?yàn)閑q\o(A1E,\s\up6(→))＝2eq\o(ED1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→))，所以eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(A1C,\s\up6(→)).所以eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,5)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c.所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(A1F,\s\up6(→))－eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15)b－eq\f(2,5)c＝eq\f(2,5)(a－eq\f(2,3)b－c)．又eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(EA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)b－c＋a＝a－eq\f(2,3)b－c，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(EB,\s\up6(→))，所以E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線．探究點(diǎn)3空間向量的共面問(wèn)題[學(xué)生用書(shū)P53]如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面相互垂直，點(diǎn)M，N分別在對(duì)角線BD，AE上，且BM＝eq\f(1,3)BD，AN＝eq\f(1,3)AE.求證：向量eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))共面．【證明】因?yàn)镸在BD上，且BM＝eq\f(1,3)BD，所以eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).同理eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up6(→)).所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(DA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(DE,\s\up6(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up6(→)).又eq\o(CD,\s\up6(→))與eq\o(DE,\s\up6(→))不共線，依據(jù)向量共面的充要條件可知eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))共面．eq\a\vs4\al()證明空間三向量共面或四點(diǎn)共面的方法(1)向量表示：設(shè)法證明其中一個(gè)向量可以表示成另兩個(gè)向量的線性組合，即若p＝xa＋yb，則向量p，a，b共面．(2)若存在有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)使得對(duì)于空間任一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，且x＋y＋z＝1成立，則P，A，B，C四點(diǎn)共面．已知非零向量e1，e2不共線，假如eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3e1－3e2，求證：A，B，C，D四點(diǎn)共面．證明：令eq\o(AB,\s\up6(→))＝xeq\o(AC,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，則e1＋e2＝x(2e1＋8e2)＋y(3e1－3e2)＝(2x＋3y)e1＋(8x－3y)e2.因?yàn)閑1和e2不共線，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝1，,8x－3y＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,5)，,y＝\f(1,5).))所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以A，B，C，D四點(diǎn)共面．1．已知兩非零向量e1，e2，且e1與e2不共線，設(shè)a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，則()A．a(chǎn)∥e1B．a(chǎn)∥e2C．a(chǎn)與e1、e2共面D．以上三種狀況均有可能解析：選C.假設(shè)a與e1共線，則a＝ke1，所以a＝λe1＋μe2可變?yōu)?k－λ)e1＝μe2，所以e1與e2共線，這與e1與e2不共線相沖突，故假設(shè)不成立，則A不正確，同理B不正確，則D也錯(cuò)誤．2．在平行六面體ABCD-EFGH中，若eq\o(AG,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))－2yeq\o(BC,\s\up6(→))＋3zeq\o(DH,\s\up6(→))，則x＋y＋z等于()A.eq\f(7,6) B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,6) D.eq\f(3,4)解析：選C.由于eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DH,\s\up6(→))，比照已知式子可得x＝1，－2y＝1，3z＝1，故x＝1，y＝－eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,3)，從而x＋y＋z＝eq\f(5,6).3．有下列命題：①若eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，則A，B，C，D四點(diǎn)共線；②若eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，則A，B，C三點(diǎn)共線；③若e1，e2為不共線的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋eq\f(1,4)e2，則a∥b；其中真命題是________(把全部真命題的序號(hào)都填上)．解析：依據(jù)共線向量的定義，知若eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，則AB∥CD或A，B，C，D四點(diǎn)共線，故①是假命題；若eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))且eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))有公共點(diǎn)A，則A，B，C三點(diǎn)共線，所以②是真命題；由于a＝4e1－e2＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－e1＋\f(1,4)e2))＝－4b，所以a∥b，故③是真命題．答案：②③4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是上底面A1C1的中心，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)后的向量．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))；(2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)).解：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→)).(2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(D1C1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→)).向量eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))如圖所示．

[學(xué)生用書(shū)P54]學(xué)問(wèn)結(jié)構(gòu)深化拓展兩個(gè)定理的再相識(shí)(1)直線的方向向量是指與直線平行或共線的向量．一條直線的方向向量有無(wú)限多個(gè)，它們的方向相同或相反．(2)證明(或推斷)三點(diǎn)A，B，C共線時(shí)，只需證明存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))(或eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→)))即可；也可用“對(duì)空間隨意一點(diǎn)O，有eq\o(OC,\s\up6(→))＝teq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－t)eq\o(OB,\s\up6(→))”來(lái)證明三點(diǎn)共線．(3)共面對(duì)量的充要條件給出了平面的向量表示式，說(shuō)明空間中隨意一個(gè)平面都可以由兩個(gè)不共線的平面對(duì)量表示出來(lái)．(4)空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→)).滿意這個(gè)關(guān)系式的點(diǎn)P都在平面MAB內(nèi)；反之，平面MAB內(nèi)的任一點(diǎn)P都滿意這個(gè)關(guān)系式.[學(xué)生用書(shū)P129(單獨(dú)成冊(cè))][A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．已知空間四邊形ABCD中，G為CD的中點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))等于()A.eq\o(AG,\s\up6(→)) B.eq\o(CG,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))解析：選A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)×(2eq\o(BG,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→)).2．設(shè)a，b是不共線的兩個(gè)向量，λ，μ∈R，且λa＋μb＝0，則()A．λ＝μ＝0 B．a(chǎn)＝b＝0C．λ＝0，b＝0 D.μ＝0，a＝0解析：選A.因?yàn)閍，b不共線，所以a，b均為非零向量，又因?yàn)棣薬＋μb＝0，所以λ＝μ＝0.3．已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，則肯定共線的三點(diǎn)是()A．A、B、D B．A、B、CC．B、C、D D.A、C、D解析：選A.因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b.eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(BD,\s\up6(→))，由于eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))有一個(gè)公共點(diǎn)B，所以A、B、D三點(diǎn)共線．4．在下列條件中，使M與A，B，C肯定共面的是()A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝3eq\o(OA,\s\up6(→))－2eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0C.eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))解析：選C.因?yàn)閑q\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，所以M與A，B，C必共面．5．給出下列命題：①若A，B，C，D是空間隨意四點(diǎn)，則有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件；③若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共線，則AB∥CD；④對(duì)空間隨意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A，B，C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x，y，z∈R)，則P，A，B，C四點(diǎn)共面．其中不正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4解析：選C.明顯①正確；若a，b共線，則|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故②錯(cuò)誤；若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共線，則直線AB，CD可能重合，故③錯(cuò)誤；只有當(dāng)x＋y＋z＝1時(shí)，P，A，B，C四點(diǎn)才共面，故④錯(cuò)誤．故選C.6．化簡(jiǎn)：eq\f(1,2)(a＋2b－3c)＋5(eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(2,3)c)－3(a－2b＋c)＝________．解析：原式＝(eq\f(1,2)＋5×eq\f(2,3)－3)a＋(eq\f(1,2)×2－5×eq\f(1,2)＋3×2)b＋(－3×eq\f(1,2)＋5×eq\f(2,3)－3)c＝eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c.答案：eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c7．在三棱錐A-BCD中，若△BCD是正三角形，E為其中心，則化簡(jiǎn)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))的結(jié)果為_(kāi)_______．解析：如圖，延長(zhǎng)DE交邊BC于點(diǎn)F，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，故eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝0.答案：08．已知A，B，C三點(diǎn)共線，則對(duì)空間任一點(diǎn)O，存在三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)λ，m，n，使λeq\o(OA,\s\up6(→))＋meq\o(OB,\s\up6(→))＋neq\o(OC,\s\up6(→))＝0，那么λ＋m＋n的值為_(kāi)_______．解析：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以存在惟一實(shí)數(shù)k使eq\o(AB,\s\up6(→))＝keq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝k(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，所以(k－1)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－keq\o(OC,\s\up6(→))＝0.又λeq\o(OA,\s\up6(→))＋meq\o(OB,\s\up6(→))＋neq\o(OC,\s\up6(→))＝0，令λ＝k－1，m＝1，n＝－k，則λ＋m＋n＝0.答案：09.如圖，設(shè)O為?ABCD所在平面外隨意一點(diǎn)，E為OC的中點(diǎn)，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))，求x，y的值．解：因?yàn)閑q\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝－eq\f(3,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(3,2).10．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P，Q分別為A1D1，D1C1，AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：M，N，P，Q四點(diǎn)共面．證明：令eq\o(D1A1,\s\up6(→))＝a，eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝b，eq\o(D1D,\s\up6(→))＝c.因?yàn)镸，N，P，Q均為棱的中點(diǎn)，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a，eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1P,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)c，eq\o(MQ,\s\up6(→))＝eq\o(MD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))＋eq\o(C1Q,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2)c.令eq\o(MQ,\s\up6(→))＝λeq\o(MN,\s\up6(→))＋μeq\o(MP,\s\up6(→))，則－eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2)c＝eq\f(1,2)(μ－λ)a＋eq\f(1,2)λb＋eq\f(1,2)μc，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（μ－λ）＝－\f(1,2)，,\f(1,2)λ＝1，,\f(1,2)μ＝\f(1,2).))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,μ＝1.))所以eq\o(MQ,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(MP,\s\up6(→))，所以向量eq\o(MQ,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(MP,\s\up6(→))共面，所以M，N，P，Q四點(diǎn)共面．[B實(shí)力提升]11．對(duì)于空間一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，有6eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))，則()A．O，A，B，C四點(diǎn)共面B．P，A，B，C四點(diǎn)共面C．O，P，B，C四點(diǎn)共面D．O，P，A，B，C五點(diǎn)共面解析：選B.由6eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))，得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝2(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＋3(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))，故eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))共面，又它們有公共點(diǎn)P，因此，P，A，B，C四點(diǎn)共面．12．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外隨意一點(diǎn)，若由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB