二次函數(shù)中特殊四邊形存在性90題（五大題型）學生版-2025年中考數(shù)學壓軸訓練

專題07二次函數(shù)中特殊四邊形存在性（五大題型）90專練

壓軸題密押

通用的解題思路:

解題策略：

1.直接計算法根據(jù)平行四邊形對邊平行且相等，按這條線段為邊或為對角線兩大類，分別計算

（適用于：已知兩點的連線就在坐標軸上或平行于坐標軸）

2.構造全等法過頂點作坐標軸的垂線，利用對邊所在的兩個三角形全等，把平行且相等的對邊

轉化為水平或者垂直方向的兩條對應邊相等

（適用于：已知兩點的連線，不與坐標軸平行，容易畫出草圖）

3.平移坐標法

利用平移的意義，根據(jù)已知兩點間橫、縱坐標的距離關系，得待定兩點也有同樣的數(shù)量關系。

（適用于：直接寫出答案的題）

題型二：菱形存在性

由于菱形是一組鄰邊相等的平行四邊形，因此解決菱形存在性問題需要綜合運用平行四邊形和等腰三

角形存在性問題的方法。

題型三：矩形存在性

由于矩形是含90度角的平行四邊形，因此解決矩形存在性問題需要綜合運用平行四邊形和直角三角形

存在性問題的方法。

題型四：正方形存在性

由于正方形即是矩形又是菱形，因此解決正方形存在性問題需要靈活選用所有存在性問題的方法。

題型五：梯形存在性

解梯形的存在性問題一般分三步：

第一步分類，第二步畫圖，第三步計算.

一般是已知三角形的三個頂點，在某個圖象上求第四個點，使得四個點圍成梯形.過三角形的每個頂點畫對邊的平行線，這

條直線與圖象的交點就是要探尋的梯形的頂點.

因為梯形有一組對邊平行，因此根據(jù)同位角或內(nèi)錯角，一定可以構造一組相等的角，然后根據(jù)相似比列方程，可以使得解題

簡便.

壓軸題預測

題型一：平行四邊形的存在性

1.（2024?甘肅武威?一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線>=辦2+加-5（。片0）交苫軸于4C兩點,

與了軸交于點B,且5CM=O2=OC.

⑴求此拋物線的表達式；

（2）已知拋物線的對稱軸上存在一點“，使得ANBW的周長最小，請求出點M的坐標；

⑶連接BC，點尸是線段上一點，過點尸作V軸的平行線交拋物線于點。，求當四邊形03。尸為平行四

邊形時點尸的坐標.

2.（2024?江蘇宿遷?一模）材料一；《見微知著》談到：從一個簡單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到一般，由簡

單到復雜，從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索題發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)

現(xiàn)新問題、新結論的重要方法，在數(shù)學學習和研究中，我們經(jīng)常會用到類比、轉化、從特殊到一般等思想

方法，請利用上述有關思想，解答下列問題.

材料二：分類討論是一種重要的數(shù)學思想，也是一種解題策略，在數(shù)學中的應用相當多，它能使許多看似

非常復雜的問題簡單化.因此在用分類討論解決數(shù)學問題時要遵循一定的規(guī)則，注意合理的分類，對全體

對象的分類必須做到不重復、不遺漏，每次分類必須保持在同一標準.

請閱讀上述材料，完成題目：

如圖，拋物線＞=-§X2+6X+C與x軸交于A、B兩點（點A在點8的左側），點A的坐標為（-1,0）,與y軸

交于點C（0,2）,直線CD：y=-x+2與x軸交于點。.動點”在拋物線上運動，過點/作MPLx軸，垂足

⑴求拋物線的解析式；

（2）當點P在線段OD上時，VCOM的面積是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理

由；

⑶點E是拋物線對稱軸與x軸的交點，點尸是無軸上一動點，點”在運動過程中，若以C、E、F、M為頂

點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點尸的坐標.

3.(2024?廣東珠海?一模)已知拋物線＞="2+加+4(。＞0)與苫軸交于點/(1,0)和8(4,0),與了軸交于點C

圖1圖2

(1)求拋物線的表達式；

⑵如圖1,點P是線段上的一個動點(不與點B,C重合)，過點尸作x軸的垂線交拋物線于點。，連接

OQ,當四邊形OCP。恰好是平行四邊形時，求點。的坐標；

(3)如圖2,在(2)的條件下，。是OC的中點，過點。的直線與拋物線交于點E,S.ZDQE=2ZODQ,在

直線0E上是否存在點尸，使得45所與△ADC相似？若存在，求點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

4.（2024?貴州?模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=x+6的圖象經(jīng)過點-2,0）,且

與二次函數(shù)了=公？+尤_1的圖象交于點3（3,。）.

（1）求一次函數(shù)與二次函數(shù)的表達式；

⑵設”是直線48上一點，過點”作〃了軸，交二次函數(shù)了=^2+x-l的圖象于點N,若以點。、C、

M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點M的坐標.

5.（2024?陜西渭南?二模）如圖，已知拋物線交x軸于45兩點，交了軸于C點，點8的坐標為

（3,0）,。。=2,48=4,點。為拋物線的頂點.

⑴求拋物線的函數(shù)表達式;

（2）若直線3C與拋物線的對稱軸交于點E,點尸是拋物線上的動點，點。是直線3C上的動點，是否存在以

D、E、P、。為頂點的四邊形是以。E為邊的平行四邊形，若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理

由.

6.（2024?甘肅武威?一模）如圖.拋物線了=-：/+機x+〃交x軸于點工（_4,0）和點5,交V軸于點。（0,2）,

點尸（x/）在第二象限的拋物線上.

（1）求拋物線的解析式；

⑵當點尸的坐標為（-2,3）時，求ABCP的面積；

⑶過點尸作軸，交直線ZC于點。，是否存在點P,使得四邊形P0OC是平行四邊形？如果存在,

求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

7.（2024?陜西寶雞?二模）如圖，拋物線y=x2+6x+c與了軸交于點A,與x軸交于點3（5,0）,C（-l,0）.

⑴求該拋物線的表達式；

（2）將拋物線沿x軸的正方向平移2個單位長度得到新拋物線了，Q是新拋物線V與x軸的交點（靠近了軸），

N是原拋物線對稱軸上一動點，在新拋物線上存在一點使得以8。為邊，且以W、N、B、0為頂點

的四邊形是平行四邊形，請求出所有滿足條件的點”的坐標.

8.（2024?四川南充?模擬預測）如圖1,拋物線y="_2ax+c（a>0）與x軸交于“（T，0）,3兩點（點/在

圖1圖2

（1）求拋物線的解析式；

⑵若點尸在拋物線上，點。在X軸上，是否存在以ac,P,0為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，

求點。的坐標，若不存在，請說明理由；

⑶如圖2,若點。是第四象限拋物線上的一個動點，直線與直線交于點E,連接8。，設A8DE的面

s

積為每，A/BE的面積為邑，求亍的最大值及此時點。的坐標.

9.(2024?山西大同?二模)綜合與探究

如圖，拋物線了="2+旅-2與》軸交于/(-2,0),5(4,0),與了軸交于點C.作直線8C,尸是拋物線上的

一個動點.

備用圖

(1)求拋物線的函數(shù)表達式并直接寫出直線8C的函數(shù)表達式.

S2

(2)當點尸在直線BC下方時，連接CP,BP,OP.當產(chǎn)=三時，求點尸的坐標.

、公OBP〉

⑶在拋物線的對稱軸上是否存在點。，使以p,Q,B,C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直

接寫出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

10.(2024?陜西寶雞?模擬預測)如圖，拋物線>=-/+樂+。經(jīng)過/(_1,0)<(0,3)兩點，并交x軸于另一點

8,點M是拋物線的頂點，直線與歹軸交于點D.

(1)求該拋物線的表達式；

⑵若點尸是拋物線上一動點，問在對稱軸上是否存在點。，使得以。，M,P,。為頂點的四邊形是平行四

邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點。的坐標；若不存在，請說明理由.

11.（2024?上海虹口?二模）新定義：已知拋物線了=欠2+以+。（其中abcwO）,我們把拋物線y=c/+ax+b

稱為y=ax2+bx+c的"輪換拋物線例如：拋物線y=2x2+3x+l的"輪換拋物線"為y=x2+2x+3.

已知拋物線G：了=4加無2+（4加一5卜+加的"輪換拋物線”為。2,拋物線￡、。2與〉軸分別交于點￡、F,

點￡在點尸的上方，拋物線C2的頂點為P.

⑴如果點￡的坐標為（0』），求拋物線G的表達式；

⑵設拋物線C2的對稱軸與直線y=3x+8相交于點。，如果四邊形尸QEF為平行四邊形，求點E的坐標;

⑶已知點在拋物線。2上，點N坐標為1-2,-7；）,當APMNsAPEF時,求加的值.

4

12.(2023?四川自貢?中考真題)如圖，拋物線y=-§/+6x+4與x軸交于4-3,0),8兩點，與y軸交于

點C.

⑴求拋物線解析式及8,。兩點坐標；

(2)以A,B,C,。為頂點的四邊形是平行四邊形，求點。坐標；

⑶該拋物線對稱軸上是否存在點E,使得N4CE=45。，若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由.

13.(2023?四川巴中?中考真題)在平面直角坐標系中，拋物線夕=混+法+々”0)經(jīng)過點，(-1,0)和8(0,3),

其頂點的橫坐標為1.

(1)求拋物線的表達式.

⑵若直線》="，與x軸交于點N,在第一象限內(nèi)與拋物線交于點當切取何值時，使得NN+九W有最大

值，并求出最大值.

⑶若點P為拋物線＞=62+區(qū)+4。40)的對稱軸上一動點，將拋物線向左平移1個單位長度后，。為平移后

拋物線上一動點.在(2)的條件下求得的點是否能與A、尸、。構成平行四邊形？若能構成，求出。

點坐標；若不能構成，請說明理由.

14.(2023?山東棗莊?中考真題)如圖，拋物線＞=-/+樂+°經(jīng)過/(-1,0)?(0,3)兩點，并交x軸于另一點

2,點M是拋物線的頂點，直線與軸交于點D

備用圖

(1)求該拋物線的表達式;

(2)若點〃是x軸上一動點，分別連接MZ,DH,求〃的最小值；

⑶若點尸是拋物線上一動點，問在對稱軸上是否存在點。，使得以。，M,P,。為頂點的四邊形是平行四

邊形？若存在，請直談寫出所有滿足條件的點。的坐標；若不存在，請說明理由.

15.（2024?山西晉城?一模）綜合與探究

14

如圖，拋物線卜=-1/-§》+4與x軸交于4,2兩點（點8在點/的左側），與y軸交于點C,P是直線8C

上方拋物線上一動點.

（1）求力,B,C三點的坐標，并直接寫出直線3C的函數(shù)表達式.

⑵連接PB,PC,求APBC面積的最大值及此時點尸的坐標.

⑶在（2）的條件下，若歹是拋物線對稱軸上一點，在拋物線上是否存在點。，使以8,F,P,。為頂點的

四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

16.(2023?山東聊城?中考真題)如圖①，拋物線＞=#+加-9與x軸交于點4(-3,0),5(6,0),與了軸交

于點C,連接/C,2C點P是x軸上任意一點.

⑴求拋物線的表達式；

(2)點0在拋物線上，若以點/,C,P,。為頂點，/C為一邊的四邊形為平行四邊形時，求點。的坐標；

(3)如圖②，當點尸(見0)從點/出發(fā)沿x軸向點3運動時(點P與點/,2不重合)，自點尸分別作PE〃BC,

交AC于點、E,作尸垂足為點。.當%為何值時，VPED面積最大，并求出最大值.

17.(2024?山西晉城?一模)綜合與探究：如圖1,已知拋物線夕=-3/+苫+4與x軸相交于A,3兩點(點

A在點3的左側)，與V軸相交于點C,直線2D與V軸相交于點。，交線段/C于點￡,且2BD=7DE.

(1)求A,B,C三點的坐標；

(2)求直線2。的函數(shù)表達式；

⑶如圖2,若拋物線的對稱軸/與直線8。交于點P,試探究，在平面內(nèi)是否存在一點。，使以點A,C,P,

。為頂點的四邊形為平行四邊形.若存在，求出點。的坐標，若不存在，請說明理由.

18.(2024?山西呂梁?一模)綜合與探究

如圖1,已知拋物線了=-/+2x+3與x軸交于點A,B,與〉軸交于點C,點。是拋物線的頂點，點M是

直線BC上方拋物線上的一動點.

⑴求拋物線的頂點。的坐標和直線8c的解析式；

(2)如圖1,連接交8c于點尸，若嚕=:，求此時點M的坐標；

Ai2

(3)如圖2,直線y=x+b與拋物線交于A,E兩點，過頂點。作。尸〃>軸，交直線NE于點F.若點G是

拋物線上一動點，試探究在直線ZE上是否存在一點H,使得以點D,F,G,H為頂點的四邊形是平行

四邊形，若存在，請直接寫出點H的坐標，若不存在，請說明理由.

19.(2024?山東泰安?一模)綜合與實踐

如圖，拋物線了=2尤2-4x-6與x軸交于A,8兩點，且點A在點3的左側，與V軸交于點C,點。是拋物

線上的一動點.

A\OBxA\OAB'

cV收

圖1圖2

(1)求A,B,C三點的坐標；

(2)如圖2,當點。在第四象限時,連接5D,CD和8C,得到△BCD,當△BCD的面積最大時，求點。的

坐標；

⑶點￡在x軸上運動，以點3,C,D,E為頂點的四邊形是平行四邊形，請借助圖1探究，直接寫出點￡

的坐標.

20.（2024?江蘇宿遷?模擬預測）若直線＞=尤-5與y軸交于點/,與x軸交于點8,二次函數(shù)y=辦？+bx+c

的圖象經(jīng)過點/,點、B,且與x軸交于點C（-l,0）.

（1）求二次函數(shù)的解析式；

⑵若點P為直線N2下方拋物線上一點，過點P作直線43的垂線，垂足為E,作尸廠〃了軸交直線于點

F,求線段小最大值及此時點P的坐標；

⑶將拋物線沿x軸的正方向平移2個單位長度得到新拋物線了，Q是新拋物線了與x軸的交點（靠近y軸）,

N是原拋物線對稱軸上一動點，在新拋物線上存在一點使得以M、N、B、。為頂點的四邊形是平行四

邊形，請直接寫出符合條件的點M的坐標.

21.（2024?山東聊城?一模）如圖，二次函數(shù)了="2+服+。的圖象與x軸交于。（。為坐標原點）、A兩點,

且二次函數(shù)的最小值為-2,點M（1，M是其對稱軸上一點，點B在y軸上，OB=1.

（1）求二次函數(shù)的解析式；

⑵二次函數(shù)在第四象限的圖象上有一點?，連接P/,PB,求面積的最大值；

⑶在二次函數(shù)圖象上是否存在點N,使得以A,B,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直

接寫出所有符合條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由.

3

22.(2023?山東?中考真題)如圖，直線>=-》+4交x軸于點B,交V軸于點C,對稱軸為》=萬的拋物線經(jīng)

過氏C兩點，交x軸負半軸于點A.尸為拋物線上一動點，點尸的橫坐標為加，過點尸作x軸的平行線交

拋物線于另一點作x軸的垂線尸N,垂足為N,直線交了軸于點D.

(1)求拋物線的解析式；

3

(2)若0<根<5，當m為何值時，四邊形CQNP是平行四邊形？

T.

⑶若"?<5，設直線MV交直線3C于點￡,是否存在這樣的加值，使MN=2ME?若存在，求出此時加的

值；若不存在，請說明理由.

23.(2024■江蘇連云港■一模)如圖，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，拋物線＞=--+岳:+＜?與x軸交

于點3兩點，它的對稱軸直線x=l交拋物線于點過點M作WCLy軸于點C,連接3C,已知點/

的坐標為(-1,0).

(2)動點尸，。在此拋物線上，其橫坐標分別為私根+1,其中-1＜切＜1.

①若ZPOA=ZQBO,請求此時點。的坐標；

②在線段BC上是否存在一點。，使得以C,P,D,。為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫

出此時加的值；若不存在，說明理由.

24.（2024?海南省直轄縣級單位?模擬預測）如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線了=-無2+岳:+。經(jīng)過點

/（-1,0）、點3（0,3）,M是拋物線上第一象限內(nèi)的點，過點M作直線兒CVLx軸于點N.

圖1備用圖

⑴求拋物線的表達式；

（2）當直線是拋物線的對稱軸時，求四邊形48九W的面積

⑶求NN+九W的最大值，并求此時點M的坐標；

⑷在（3）的條件下，若P是拋物線的對稱軸上的一動點，。是拋物線上的一動點，是否存點點尸、Q,使

以點/、M,P、。為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請求點。的坐標，若不存在，請說明理由.

3

25.(2024?四川宜賓,一模)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線/=-1/+隊+￡^與x軸交于點/(4,0)與y

軸交于點8(0,3).

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

⑵點P為直線48上方拋物線上一動點，過點尸作尸軸于點。，交于點求PM-g/M的最大

值及此時點尸的坐標；

⑶在(2)的條件下，點P與點P關于拋物線＞=-了/+樂+，的對稱軸/對稱.點C在拋物線上，點。在

對稱軸/上，直接寫出所有使得以點/、尸'、C、。為頂點的四邊形是平行四邊形的點。的坐標.

26.(2024?甘肅天水?一模)拋物線>=爾+云-加經(jīng)過/(TO)、C(0,4)兩點，與x軸交于另一點B.

(1)求拋物線、直線3C的函數(shù)解析式；

⑵在直線8C上方拋物線上是否存在一點P,使得APBC的面積達到最大，若存在則求這個最大值及尸點坐

標，若不存在則說明理由.

⑶點E為拋物線上一動點，點廠為x軸上一動點，當以A,C,F,￡為頂點的四邊形為平行四邊形時，

直接寫出點E的坐標.

27.（2024?山東濟南?模擬預測）已知二次函數(shù)的圖象過原點，頂點坐標為14,-與

圖1圖2

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

⑵如圖1,在無軸下方作x軸的平行線/,交二次函數(shù)圖象于42兩點，過45兩點分別作x軸的垂線，垂足

分別為點。、點C.當矩形/8CD為正方形時，求A點的坐標；

⑶如圖2,在（2）的條件下，作直線/C,動點尸從點A出發(fā)沿射線以每秒1個單位長度勻速運動，同

時動點。以相同的速度從點A出發(fā)沿線段AD勻速運動，到達點D時立即原速返回，當動點。返回到點A時,

P、O兩點同時停止運動，設運動時間為f秒”>0）.過點P向％軸作垂線，交拋物線于點￡,交直線/C于

點尸，當以4以R。四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求才的值.

2

28.（2023?廣東廣州?中考真題）已知點尸（外〃）在函數(shù)y=-Jx<0）的圖象上.

（1）若加=-2,求〃的值；

（2）拋物線y=（x-機乂X-"）與x軸交于兩點在N的左邊），與/軸交于點G,記拋物線的頂點為E.

①機為何值時，點E到達最高處；

②設AGM?V的外接圓圓心為C,0c與了軸的另一個交點為R當〃7+“片0時，是否存在四邊形尸GEC為平

行四邊形？若存在，求此時頂點￡的坐標；若不存在，請說明理由.

29.（2024?山西陽泉?二模）綜合與探究

如圖，拋物線夕=1—+法+。與x軸交于點/（1,0）和點3,與V軸交于點C（0,l）,拋物線的對稱軸交x軸于

點、D.過點8作直線軸，連接。，過點。作DE人CD,交直線/于點E,作直線CE.

備用圖

⑴求拋物線的函數(shù)表達式并直接寫出直線CE的函數(shù)表達式；

⑵如圖，點尸為拋物線上第二象限內(nèi)的點，設點尸的橫坐標為機，連接8P與CE交于點。，當點0為線段BP

的中點時，求加；

⑶若點M為x軸上一個動點，點N為拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點W,使得以點。，E,M,

N為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點”的坐標；若不存在，請說明理由.

30.(2024?甘肅平?jīng)?模擬預測)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線＞=/+人+。與x軸交于N,B兩點，

與夕軸交于點C,已知3(4,0),C(0,-4),連接BC,點尸是拋物線上的一個動點，點N是對稱軸上的一個

動點.

備用圖

⑴求該拋物線的函數(shù)解析式.

(2)在線段BC的下方是否存在點P,使得ABC尸的面積最大？若存在，求點尸的坐標及面積最大值.

⑶在對稱軸上是否存在點N,使得以點￡C,P,N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的

坐標；若不存在，請說明理由.

2

31.(2024?廣東惠州?一模)綜合探究：如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線＞=-^，+/+。(分0)與

x軸交于/(TO)、8(3,0)兩點，與了軸交于點C,連接8C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖，點。在第一象限拋物線上一點，連接8C、DC,若NDCB=2ZABC,求點。的坐標；

⑶若點N為拋物線對稱軸上一點，拋物線上是否存在點V,使得8,C,M,N為頂點的四邊形是平行

四邊形？若存在，請求出所有滿足條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由.

32.（2024?甘肅隴南?一模）如圖，拋物線了=-/+樂+。與x軸交于4,3（2,0）兩點（點/在點B的左側）,

與夕軸交于點。（。,8）.

（1）求該拋物線的解析式；

⑵若。為拋物線的頂點，求A/CD的面積；

⑶若P是平面直角坐標系內(nèi)一點，是否存在以4、2、C、尸為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請寫

出點尸的坐標，若不存在，請說明理由.

33.(2024?山東淄博?一模)已知拋物線了="2+如一3(。70)與x軸交于點點2(3,0),與y軸交于

⑴求拋物線的表達式;

(2)如圖，若直線BC下方的拋物線上有一動點過點〃■作夕軸平行線交3c于N,過點M作8C的垂線,

垂足為“，求△必W周長的最大值;

⑶若點P在拋物線的對稱軸上，點。在x軸上，是否存在以3,C,P,。為頂點的四邊形為平行四邊形,

若存在，求出點。的坐標，若不存在，請說明理由;

⑷將拋物線向左平移1個單位，再向上平移4個單位，得到一個新的拋物線，問在了軸正半軸上是否存在一

點尸，使得當經(jīng)過點尸的任意一條直線與新拋物線交于S,T兩點時，總有親+能為定值？若存在，求

出點尸坐標及定值，若不存在，請說明理由.

34.(2024?山西朔州?二模)綜合與探究

如圖，拋物線了="2+云-2(./0)與x軸交于/(-4,0),3(1,0)兩點，與y軸交于C點.點。與點C關于

x軸對稱，直線4。交拋物線于另一點￡.

備用圖

(1)求拋物線的函數(shù)表達式，并直接寫出直線/。的函數(shù)表達式.

(2)點P是直線NE下方拋物線上的一點，過點尸作直線NE的垂線，垂足為足設點P的橫坐標為小試探

究當初為何值時，線段尸尸最大？請求出打'的最大值.

⑶在(2)的條件下，當尸尸取最大值時，若點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點8,

P,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點河的坐標；若不存在，請

說明理由.

35.（2024?福建福州?模擬預測）已知拋物線>-2ax+c與x軸交于/（-1,0）、3兩點，頂點為P,與y

軸交于C點，且。8C的面積為6.

（1）求拋物線的對稱軸和解析式；

⑵平移這條拋物線，平移后的拋物線交y軸于￡,頂點。在原拋物線上，當四邊形/尸匪是平行四邊形時,

求平移后拋物線的表達式；

⑶若過定點K（2,l）的直線交拋物線于〃、N兩點（N在M點右側），過N點的直線y=-2x+6與拋物線交

于點G,求證：直線MG必過定點.

36.(2015?山東臨沂?一模)如圖，拋物線y=a/+Zw+2與x軸交于點/(1,0)和3(4,0).

(1)求拋物線的解析式；

⑵若拋物線的對稱軸交x軸于點E,點b是位于x軸上方對稱軸上一點，F(xiàn)C〃x軸，與對稱軸右側的拋物

線交于點C,且四邊形OEC尸是平行四邊形，求點。的坐標；

⑶在(2)的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點尸，使△OCP是直角三角形？若存在，求出點尸的坐標;

若不存在，請說明理由.

37.(2023?山東淄博?中考真題)如圖，一條拋物線夕=依2+反經(jīng)過AO/B的三個頂點，其中。為坐標原點,

點4(3,-3),點B在第一象限內(nèi)，對稱軸是直線x=:,且ACMB的面積為18

⑴求該拋物線對應的函數(shù)表達式；

(2)求點3的坐標；

⑶設C為線段AS的中點，P為直線05上的一個動點，連接AP,CP,將尸沿CP翻折，點A的對應

點為4.問是否存在點P,使得以4，P，C,B為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合

條件的點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

38.(2023?四川南充?中考真題)如圖1,拋物線y=a/+6x+3(aW0)與x軸交于4(-1,0),8(3,0)兩點,

與了軸交于點c.

⑵點P在拋物線上，點0在X軸上，以3,C,P,。為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標；

⑶如圖2,拋物線頂點為。，對稱軸與x軸交于點￡,過點K（l,3）的直線（直線KD除外）與拋物線交于G,

*兩點，直線。G,■分別交x軸于點N.試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是,

說明理由.

39.（2024?四川廣元?二模）如圖，已知直線8C：y=x-2交x軸于點3,交y軸于點C,拋物線yjx'-x+c

的圖象過點B,C,且與x軸交于另一點/(點A在點B的左側).在直線8c下方的拋物線上有一點P,

過點P作尸尸，尤軸，垂足為尸，交BC于點、M,連接ZC,PC,AP,AP交BC于點、E.

(1)求拋物線的解析式.

S1

⑵當?shù)酪?時，求點p的坐標.

⑶連接BP,AM,已知點。是拋物線對稱軸上的一個動點，當△5PC的面積最大時，在該拋物線上是

否存在動點Q,使得以點A,M,Q,D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點。的坐標；若

不存在，請說明理由.

40.(2024?江蘇徐州?一模)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線了=-尤?+6無+c的頂點坐標為尸(-1,4)交x軸

于A、C兩點，交y軸于點3,拋物線的對稱軸交X軸于點E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)已知拋物線上點尸(-2,3),以點尸為直角頂點構造Rt△尸77K,使點b在x軸上，點K在V軸上，G為HK

的中點，求EG的最小值；

⑶M為平面直角坐標系中一點，在拋物線上是否存在一點N,使得以A,B,M,N為頂點的四邊形為

矩形？若存在，求出點N的橫坐標；若不存在，請說明理由.

題型二：菱形存在性

1.(2024?陜西渭南?一模)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=a/+bx+2(八6為常數(shù)，且。20)與x

軸交于點/(-4,0)和點8,與V軸交于點C,且OC=OB.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；

⑵連接BC,點D是拋物線的對稱軸/上的動點，點E是平面內(nèi)的點，是否存在以點8、C、D、E為頂點的

四邊形是菱形？若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

2.(2024?江蘇徐州?一模)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)/=。/+為-3的圖象交了軸于

2(-1,0)、8(3,0)兩點，交了軸于點。，點P在線段05上，過點尸作軸，交拋物線于點。，交直線

(備用圖)

(1)a=_,b=_；

⑵在點尸運動過程中，若ACOE是直角三角形，求點尸的坐標;

⑶在y軸上是否存在點尸，使得以點C、D、E、尸為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點尸的坐

標；若不存在，請說明理由.

3.（2024?青海西寧?一模）如圖，拋物線>=尤2+樂+￡'與》軸交于點/（0,2）,點、B是拋物線的頂點，直線

⑴求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）點。是對稱軸左側拋物線上一點，連接3。，/DBC=45。,求點D的坐標.

⑶在⑵的條件下，若點〃■是x軸上方拋物線對稱軸上一點，點P在坐標平面內(nèi)，且以點4D,M,尸為

頂點的四邊形是以為邊的菱形，請求出所有符合條件的點M的坐標

4.(2023?湖南,中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y="+x+c經(jīng)過點/(-2,0)和點8(4,0),

且與直線/：y=-x-l交于E兩點(點。在點E的右側),點初為直線/上的一動點，設點W的橫坐標為

(1)求拋物線的解析式.

(2)過點M作x軸的垂線，與拋物線交于點N.若0</<4,求ANED面積的最大值.

⑶拋物線與V軸交于點C,點R為平面直角坐標系上一點,若以5、C、M.R為頂點的四邊形是菱形，請

求出所有滿足條件的點R的坐標.

5.（23-24九年級上?廣東中山?期中）定義：在平面直角坐標系尤Oy中，當點N在圖形"的內(nèi)部，或在圖形

/上，且點N的橫坐標和縱坐標相等時，則稱點N為圖形M的"夢之點”.

⑴如圖①,矩形/BCD的頂點坐標分別是4（T2）,5（-1,-1）,C（3,-l）,。（3,2）,在點乂（1,1）,%（2,2）,

色（3,3）中，是矩形/BCD"夢之點”的是；

⑵如圖②，已知點43是拋物線y=-；x2+x+：上的"夢之點"，點C是拋物線的頂點.連接NC,AB,BC,

判斷“BC的形狀并說明理由.

⑶在（2）的條件下，點尸為拋物線上一點，點。為平面內(nèi)一點，是否存在點P、Q,使得以為對角線,

以“、B、P、0為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由.

6.(23-24九年級上?重慶南岸?期末)如圖，已知拋物線＞=-/+樂+。與x軸交于2(1,0)和8(-5,0)兩點,

與〉軸交于點C.

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)若直線x=袱-5＜機＜0)與拋物線交于點0,與直線3c交于點尸，交x軸交于點E.當。尸取得最大值時,

求機的值和Z)廠的最大值；

⑶若拋物線＞=-，+加+。的頂點為尸，0是該拋物線對稱軸上一點，在平面內(nèi)確定一點R,使得以點C,

R,P,。為頂點的四邊形是菱形，求點R的坐標.

7.(2023?四川廣安?一模)如圖，拋物線y="+bx+c(g0)與x軸交于/(4,0),8(-2,0)兩點，與y軸交

于點C(0,4).

備用圖

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)P是拋物線上位于直線/C上方一動點，且在拋物線的對稱軸右側，過點P作y軸的平行線交直線NC于

點、E,過點尸作x軸的平行線與拋物線的對稱軸交于點凡求PE+尸尸的最大值及此時點尸的坐標；

⑶在(2)中PE+P廠取得最大值的條件下，將該拋物線沿x軸向右平移6個單位長度，平移后的拋物線與

平移前的拋物線交于點H,M為平移前拋物線對稱軸上一點.在平面直角坐標系中確定一點N,使得以點H,

P,M,N為頂點的四邊形是菱形，求出所有符合條件的點N的坐標.

4

8.(2023?山東濟寧二模)如圖，已知直線y=]X+4與x軸交于點/,與/軸交于點C,拋物線＞=蘇+加+4

經(jīng)過4,C兩點，且與x軸的另一個交點為2,對稱軸為直線x=-l.

⑴求拋物線的表達式；

(2)〃是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，設點。的橫坐標為沉,求四邊形/BCD面積S的最大值及此時。點的

坐標；

⑶若點尸在拋物線對稱軸上，是否存在點P,0,使以點4C,P,0為頂點的四邊形是以/C為對角線的

菱形？若存在，請求出P,。兩點的坐標；若不存在，請說明理由.

9.(2024?山東濟南?一模)如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線>=加+加+4交》軸于點工(-1,0),3(4,0)

兩點，交了軸于點C.

⑴求該拋物線的函數(shù)表達式;

(2)點P是直線8C上方拋物線上的一動點，過點P作.于點E,過點尸作了軸的平行線交直線3C

于點F,求APE廠周長的最大值及此時點尸的坐標；

⑶如圖2,在(2)間的條件下，將該拋物線沿射線C8的方向平移2及個單位后得到新拋物線了.點”

為平移后的新拋物線了的對稱軸上一點.在平面內(nèi)確定一點N.使得四邊形是菱形，請求出符

合條件的點N的坐標.

10.(2024?湖南?一模)如圖，。為坐標原點，拋物線G：y=-；f-辦與X軸交于M(-4,0),頂點為4.

(2)如圖1,將直線繞點M順時針旋轉45。得到直線并交拋物線G于點N,若0為x軸上一點，求

5N0+迅的最小值；

⑶如圖2,將拋物線G平移得到頂點由/平移到8(4,6),若點3在直線上，點。和E分別在拋物

線C1和上，那么四邊形NDEB是否可以為菱形？若可以，求出。點坐標，若不可以，說明理由.

11.(2023?四川德陽?二模)如圖，在平面直角坐標系中，直線＞=2x+6與x軸交于點/,與y軸交點C,

拋物線-2/+法+c過4,C兩點，與x軸交于另一點反

(1)求拋物線的解析式；

(2)在直線4c上方的拋物線上有一動點￡,連接5E,與直線NC相交于點凡當跖尸時，求￡點坐標.

⑶在(2)的條件下，若點￡位于對稱軸左側，點M是拋物線對稱軸上一點，點N是平面上一點，當以

N,E,2為頂點的四邊形是菱形時，直接寫出點”的坐標.

12.（2024?四川瀘州?一模）如圖，拋物線了="2+加+6（.片0）與x軸交于*3,0）兩點，頂點為。.

備用圖

⑴求拋物線的解析式；

⑵若在線段BC上存在一點V,使得/BMO=45。，過點。作3,（W交BC的延長線于點“，求點〃的

坐標；

⑶點p是y軸上一動點，點。是在對稱軸上一動點，是否存在點p,Q,使得以點p,Q,c,。為頂點的

四邊形是菱形？若存在，求出點。的坐標，請說明理由.

13.（2024?四川成都?模擬預測）如圖，拋物線>=磔2-2辦-3與y軸交于點C,與x軸交于點4-1,0）和點8

（點/在點2的左側）.

⑴求拋物線的解析式；

（2）無論a取何值，拋物線y=a?-2ax-3一定經(jīng)過兩個定點N（點M在點N的左側），點〃是線段8c上

一點，連接"H,NH,MN,當為直角三角形時，求點〃的坐標；

⑶在（2）的條件下，點尸是線段/C上一點，則在平面直角坐標系中是否存在一點。（%>0）,使得以

尸，Q,M,，為頂點且以為邊的四邊形是菱形？若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

14.(2024?山東棗莊?一模)如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于點4B,交y軸于點C,點8的

坐標為(1,0)，對稱軸是直線尤=-1,點尸是x軸上一動點，軸，交直線NC于點交拋物線于點

N.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)若點P在線段/O上運動(點尸與點/、點。不重合)，求四邊形4BCN面積的最大值，并求出此時點尸

的坐標.

⑶若點尸在x軸上運動，則在丁軸上是否存在點0,使以M、N、C、0為頂點的四邊形是菱形？若存在，

請直接寫出所有滿足條件的點。的坐標；若不存在，請說明理由.

15.(2024?甘肅天水?二模)如圖，二次函數(shù)＞=/+樂+。的圖象交x軸于點48,交V軸于點C,點B的坐

標為(1,0),對稱軸是直線x=-l,點尸是x軸上一動點，軸，交直線/C于點M,交拋物線于點N.

⑴求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)若點P在線段49上運動(點尸與點A、點。不重合)，求四邊形A8CN面積的最大值，并求出此時點P的

坐標；

⑶若點P在X軸上運動，則在y軸上是否存在點。，使以M,N,c,Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直

接寫出所有滿足條件的點。的坐標；若不存在，請說明理由.

16.(2023?西藏?中考真題)在平面直角坐標系中，拋物線y=f2+bx+c與x軸交于/(-3,0),8(1,0)兩點,

(2)如圖甲，在夕軸上找一點。，使A/C。為等腰三角形，請直接寫出點。的坐標；

⑶如圖乙，點尸為拋物線對稱軸上一點，是否存在尸、。兩點使以點4,C,P,。為頂點的四邊形是菱形?

若存在，求出尸、。兩點的坐標，若不存在，請說明理由.

17.（2023?四川廣安?中考真題）如圖，二次函數(shù)yuf+M+c的圖象交x軸于點N,B,交V軸于點C,點、B

的坐標為（1,0）,對稱軸是直線x=-l,點尸是x軸上一動點，PMLx軸，交直線/C于點交拋物線于

點N.

⑴求這個二次函數(shù)的解析式.

⑵若點P在線段/O上運動（點尸與點A、點。不重合），求四邊形A8CN面積的最大值，并求出此時點尸的

坐標.

⑶若點P在x軸上運動，則在了軸上是否存在點。，使以W、N、C、。為頂點的四邊形是菱形？若存在，

請直接寫出所有滿足條件的點。的坐標；若不存在，請說明理由.

18.（2024九年級上?全國?專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸交

于A、8兩點，A點在原點的左側，8點的坐標為（3,0）,與〉軸交于C（0,-3）點，點p是直線8C下方的拋

物線上一動點.

⑴求這個二次函數(shù)的表達式.

（2）連接尸。、PC,并把△尸0c沿CO翻折，得到四邊形尸OPC,那么是否存在點P,使四邊形POPC為菱

形？若存在，請求出此時點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

⑶當點P運動到什么位置時，四邊形尸C的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形48PC的最大面積.

19.（2023?遼寧錦州?中考真題）如圖，拋物線^=-&2+樂+。交x軸于點N（-l,0）和B,交〉軸于點

C（0,38）,頂點為0.

備用圖

⑴求拋物線的表達式；

⑵若點E在第一象限內(nèi)對稱右側的拋物線上，四邊形ODE3的面積為7右，求點E的坐標；

⑶在（2）的條件下，若點廠是對稱軸上一點，點H是坐標平面內(nèi)一點，在對稱軸右側的拋物線上是否存在

點G,使以E,F,G,"為頂點的四邊形是菱形，且/￡FG=60。，如果存在，請直接寫出點G的坐標；

如果不存在，請說明理由.

20.（2024?山東淄博?一模）如圖1,在平面直角坐標系xQy中，拋物線與x軸交于點/（-1,0）,8（3,0）,與

y軸交于點C（0,-3）,點。為拋物線的頂點.

圖1圖2備用圖

（1）求該拋物線的表達式及頂點D的坐標;

（2）如圖2,已知經(jīng)過點/的直線了=丘+。（左>0）與拋物線在第一象限交于點￡,與y軸交于點R連接

4

AD,DE,BE.當《加￡=§2電￡時，求點￡的坐標；

（3汝口圖3,在（2）的條件下，將直線ZE與y軸的交點下向下平移g+百個單位長度得到點P

①連接心，求48尸。的度數(shù)；

②將△8。尸繞點。逆時針旋轉一定的角度磯0°<&<360。）得到△夕OP,直線"P與x軸交于點設點

N為平面直角坐標系內(nèi)的任意一點，問在旋轉過程中是否存在某個位置，使得四邊形0PMN為菱形？若存

在，請直接寫出所有滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由.

題型三：矩形存在性

1.（2023?內(nèi)蒙古?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線了=-