安徽省六安新世紀(jì)學(xué)校2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期4月月考B班數(shù)學(xué)試題含答案

/安徽省六安新世紀(jì)學(xué)校2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期4月月考B班數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．橢圓的長軸長、短軸長和焦點(diǎn)坐標(biāo)依次為（

）．A．，， B．，， C．，， D．，，2．若向量與向量共線，則（

）A． B． C． D．13．已知圓的方程是，則點(diǎn)（

）A．在圓心 B．在圓上C．在圓內(nèi) D．在圓外4．已知兩點(diǎn)到直線的距離相等，則（

）A．2 B． C．2或 D．2或5．直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．如圖，焦點(diǎn)在軸上的橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且直線與軸的正半軸交于點(diǎn)，的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)為，若，則該橢圓的離心率為

A． B． C． D．7．設(shè)、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，A為左頂點(diǎn)，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，若，且的最小內(nèi)角為30°，則以下說法中錯(cuò)誤的是（

）．A．雙曲線的離心率為 B．雙曲線的漸近線方程為C． D．直線x＋2y－2＝0與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)8．在正方體中，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．有以下三個(gè)命題：①異面直線與所成的角是定值；②三棱錐的體積是定值；③直線與平面所成的角是定值．其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．2C．1 D．0二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線：和直線：平行，則（

）A． B． C． D．10．已知橢圓的離心率，則的值為（

）A．3 B． C． D．11．如圖所示，設(shè)，分別是正方體的棱上的兩點(diǎn)，且，，其中正確的說法為（

）A．三棱錐的體積為定值 B．異面直線與所成的角的大小為45°C．平面 D．直線與平面所成的角的大小為40°三、填空題（本大題共3小題）12．若直線與圓相切，則m為．13．點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離是．14．已知圓與軸的交點(diǎn)分別為雙曲線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，設(shè)分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，為右支上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知圓C的圓心為，半徑為3，l是過點(diǎn)的直線．(1)判斷點(diǎn)P是否在圓上，并證明你的結(jié)論；(2)若圓C被直線l截得的弦長為，求直線l的方程．16．（1）若拋物線的焦點(diǎn)在直線上，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)，且以為漸近線，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓，動(dòng)圓M與直線相切且與圓F外切．（1）記圓心M的軌跡為曲線C，求曲線C的方程；（2）已知，曲線C上一點(diǎn)P滿足，求的大?。?8．如圖，四棱錐中，平面，是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成角的余弦值；(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．19．已知為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，若為直角三角形，且橢圓過點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)作斜率互為相反數(shù)的兩條直線與分別交橢圓于兩點(diǎn)，①求證：通過點(diǎn)的直線的斜率為定值，并求出該定值；②求的最大值.

參考答案1．【答案】A【詳解】在橢圓中，所以橢圓的長軸長為、短軸長為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選A.2．【答案】B【解析】根據(jù)向量共線直接求解.【詳解】因?yàn)橄蛄颗c向量共線，所以，解得，所以，故選B.3．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)P在圓內(nèi)．故選C．4．【答案】D【詳解】（1）若在的同側(cè)，則，所以，，（2）若在的異側(cè)，則的中點(diǎn)在直線上，所以解得,故選D.5．【答案】B【詳解】設(shè)為直線的傾斜角，當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，直線的傾斜角，當(dāng)時(shí)，直線的斜率＝，所以直線的傾斜角的取值范圍是.綜上所述，.故選B.6．【答案】D【詳解】由橢圓定義可得，即，因?yàn)?，所以，即，又，故，也即，由于，故橢圓的離心率為，應(yīng)選答案D．

7．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，所以，．又因?yàn)榍?，所以，所以，所以，所以，故A選項(xiàng)正確．，所以，所以，所以漸近線方程為，故B選項(xiàng)正確．因?yàn)椋?，所以．又因?yàn)椋?，所以，所以，所以C選項(xiàng)不成立．因?yàn)樗裕?，所以，所以直線x＋2y－2＝0與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以D選項(xiàng)正確．故選C.8．【答案】B【詳解】以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，可得B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，(0，0，1)，(1，0，1)，(1，1，1)，(0，1，1)，設(shè)F(t，1，1-t)，（0≤t≤1），可得=(1，1，1)，=(t-1，1，-t)，可得=0，故異面直線與所的角是定值，故①正確；三棱錐的底面面積為定值，且∥，點(diǎn)F是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可得F點(diǎn)到底面的距離為定值，故三棱錐的體積是定值，故②正確；可得，，，可得平面的一個(gè)法向量為=（1，1，1），可得不為定值，故③錯(cuò)誤;故選B．9．【答案】AD【詳解】直線：和直線：平行，直線的斜率為，直線的斜率為，則，即，解得或．經(jīng)檢驗(yàn)成立故選AD10．【答案】AB【解析】分焦點(diǎn)在、軸上討論，分別求出的值．【詳解】解：由題意知，當(dāng)時(shí)，，，，∴，解得；當(dāng)時(shí)，，，，∴，解得；故選AB．11．【答案】AB【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，為定值，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，異面直線與所成的角與直線與的角為同一個(gè)角，即異面直線與所成的角的平面角為，故B正確；如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則.對(duì)于D選項(xiàng)，，平面即平面，設(shè)平面的法向量是，則即取，得，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角的平面角為，則，所以，故D錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由D選項(xiàng)可知直線與平面所成的角為30°，故C錯(cuò)誤.故選AB.12．【答案】2【詳解】∵圓的圓心為原點(diǎn)，半徑，∴直線與圓相切，則圓心到直線的距離，解之得（舍去0）.13．【答案】【詳解】由雙曲線方程知：漸近線方程為，即，點(diǎn)到漸近線的距離.14．【答案】【詳解】因?yàn)榕c軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，由題意可知：，，因?yàn)闉橛抑先我庖稽c(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義有，即，令，則，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以，所以，所以，即.15．【答案】(1)點(diǎn)P不在圓上，證明見解析(2)x＝0或3x＋4y－8＝0．【詳解】（1）點(diǎn)P不在圓上．證明如下：∵，∴由圓的定義可知點(diǎn)P是在圓C的內(nèi)部，不在圓上；（2）由直線與圓的位置關(guān)系可知，圓心C到直線l的距離，①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝0，此時(shí)，滿足題意；②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l為y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，又∵，解得，此時(shí)直線l為3x＋4y－8＝0，綜上所述：直線l的方程為x＝0或3x＋4y－8＝0．16．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）解出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出拋物線的方程，即可求出；（2）寫出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出雙曲線的方程，再結(jié)合漸近線方程即可求出.【詳解】解：（1）直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，①若焦點(diǎn)為，則拋物線開口向右，設(shè)方程為，由，得：，故方程為：；②若焦點(diǎn)為，則拋物線開口向下，設(shè)方程為，由，得：，故方程為：；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或；（2），，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，即雙曲線的焦點(diǎn)為：，設(shè)雙曲線的方程為，則，漸近線方程為，可得：，解得，，故雙曲線的方程為.17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）方法一，利用直線與圓的位置關(guān)系，以及圓與圓的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化為拋物線的定義求曲線方程；方法二，利用等量關(guān)系，直接建立關(guān)于的方程；（2）方法一，利用條件求點(diǎn)的坐標(biāo)，再求；方法二，利用拋物線的定義，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用幾何關(guān)系求的大小.【詳解】解：（1）設(shè)，圓M的半徑為r．由題意知，，M到直線l的距離為r．方法一：點(diǎn)M到點(diǎn)的距離等于M到定直線的距離，根據(jù)拋物線的定義知，曲線C是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線．故曲線C的方程為．方法二：因?yàn)?，，，所以，化簡得，故曲線C的方程為．（2）方法一：設(shè)，由，得，又，解得，故，所以，從而．方法二：過點(diǎn)P向直線作垂線，垂足為Q．由拋物線定義知，，所以，在中，因?yàn)?，所以，從而，故?.直接法：把題設(shè)條件直接“翻譯”成含的等式就得到曲線的軌跡方程.2.定義法：運(yùn)用解析幾何中以下常用定義（如圓錐曲線的定義），可從曲線定義出發(fā)，直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程.3.相關(guān)點(diǎn)法：首先要有主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)，主動(dòng)點(diǎn)在已知曲線上運(yùn)動(dòng)，則可以采用此法.18．【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在，．【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以．又因?yàn)?，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以．又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面．?）由題意：平面，且，則兩兩垂直，所以建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，又因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，所以平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，，由，可得，令，則，所以．所以，平面與平面所成二面角的余弦值為．（3）設(shè)，且，，則，設(shè)平面的法向量為，則，可得，令，所以．因?yàn)辄c(diǎn)到平面的