天津市武清區(qū)河西務中學2024−2025學年高二下學期4月月考數(shù)學試題

/天津市武清區(qū)河西務中學2024?2025學年高二下學期4月月考數(shù)學試題一、單選題（本大題共9小題）1．下列求導運算正確的是（

）A． B．C． D．2．甲?乙兩人從3門課程中各選修1門，則甲?乙所選的課程不相同的選法共有（）A．6種 B．12種 C．3種 D．9種3．從5名男生中挑選3人，4名女生中挑選2人，組成一個小組，不同的挑選方法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種4．公共汽車上有12位乘客，沿途8個車站，乘客下車的可能方式共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種5．設函數(shù)，則（

）A． B． C． D．6．如圖是的導函數(shù)的圖象，則下列說法正確的個數(shù)是（

）①在區(qū)間上是增函數(shù)；②是的極小值點；③在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)；④是的極大值點.A．0個 B．1個 C．2個 D．3個7．函數(shù)，，下列關于的說法中正確的是（）A．為極小值，為極小值B．為極大值，為極小值C．為極小值，為極大值D．為極大值，為極大值8．7名身高各不相同的同學站成一排，若身高最高的同學站在中間，且其每一側同學的身高都依次降低，則7名同學所有不同的站法種數(shù)為（）A．20 B．40 C．8 D．169．若函數(shù)在上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共6小題）10．已知函數(shù)，則.11．已知函數(shù)在處有極值為10，則等于．12．在的二項式展開式中，項的系數(shù)是.13．由0，1，2三個數(shù)字組成的三位數(shù)（允許數(shù)字重復)的個數(shù)為.14．若函數(shù)恰有兩個零點，則的取值范圍是15．已知兩個函數(shù)和.（其中為實數(shù)），若對，，使成立，則的取值范圍為.三、解答題（本大題共5小題）16．已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求的單調區(qū)間.17．從5名男生和4名女生中選出4人去參加一項創(chuàng)新大賽.（1）如果4人中男生女生各選2人，那么有多少種選法？（2）如果男生中的甲和女生中的乙必須在內(nèi)，那么有多少種選法？（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，那么有多少種選法？（4）如果4人中必須既有男生又有女生，那么有多少種選法？18．已知函數(shù)，.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設，（?。┣蠛瘮?shù)的單調區(qū)間；（ⅱ）若方程有3個不同的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.19．已知函數(shù)，．(1)若在點處取得極值．①求的值；②證明：；(2)求的單調區(qū)間．20．已知函數(shù)為的導函數(shù)，已知曲線在處的切線的斜率為3.(1)求的值；(2)證明：當時，；(3)若對任意兩個正實數(shù)，且，有，求證：.

參考答案1．【答案】D【詳解】選項A.,故選項A不正確.選項B.,故選項B不正確.選項C.,故選項C不正確.選項D.,故選項D正確.故選D.2．【答案】A【詳解】甲?乙兩人從3門課程中各選修1門，由乘法原理可得甲?乙所選的課程不相同的選法有（種）.故選A.3．【答案】A【詳解】由題可知從5名男生中挑選3人有種方法，4名女生中挑選2人有種方法，所以不同的挑選方法共有種.故選A.4．【答案】D【詳解】按分步計數(shù)原理，12名乘客下車的不同方法種數(shù)有：種.故選D.5．【答案】B【詳解】因為，又，則，所以，則，故選B.6．【答案】C【詳解】解：由導函數(shù)的圖象可知，當時，當時，當時，當時，所以在區(qū)間上單調遞減，故①錯誤；在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，上單調遞增，在和處取得極小值，處取得極大值，故②③正確，④錯誤；故選C．7．【答案】C【詳解】因為，，所以，令即，可得或，當時，，函數(shù)單調遞減；當時，，函數(shù)單調遞增；當時，，函數(shù)單調遞減；所以當時，函數(shù)取得極小值，當時，函數(shù)取得極大值，故選C.8．【答案】A【詳解】讓最高的同學站中間，再在剩余的6人中選擇3人，放在左邊，剩余3人放在右邊，共有種站法.故選A.9．【答案】A【詳解】由題意可得：，令，可得，原題意等價于在上恒成立，因為開口向下，對稱軸，可得在上單調遞減，當時，取到最大值，所以的取值范圍是.故選A.10．【答案】2【詳解】由題意，所以．11．【答案】18【詳解】試題分析：，依題意，解得或，當時，，，所以在上單調遞增，此時在處并沒有取得極值，不符合要求，舍去；當時，，，所以時，，當時，，所以函數(shù)在處取得極小值10，符合要求，此時.12．【答案】【詳解】展開式的通項為，令，則，所以項的系數(shù)為.13．【答案】18【詳解】解：先從1，2中選一個數(shù)排在百位，有2種選法，然后十位和個位各有3種選法，故組成的三位數(shù)（允許數(shù)字重復)的個數(shù)為.14．【答案】【詳解】函數(shù)的定義域為，，因為，所以若，則，根據(jù)零點存在定理，在上至多只有一個零點，故，令，得，當時，；當時，，所以在單調遞減，在單調遞增，所以存在極小值，也是最小值，因為，所以當時，；當時，，若函數(shù)在上恰有兩個零點，則，即，所以的取值范圍是.15．【答案】【詳解】由題設，則在上，在上，所以在上單調遞減，在上單調遞增，而，由，則在、上，在上，所以在、上單調遞增，在上單調遞減，而，要使對，，使成立，所以，只需在上，則，可得.16．【答案】(1)(2)的單調遞增區(qū)間是和；單調遞減區(qū)間是【詳解】（1）由題意得：，所以(1)，(1)，故曲線在點，(1)處的切線方程，即；（2），令，易得或，令，易得，所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減，即的單調遞增區(qū)間是和；單調遞減區(qū)間是.17．【答案】（1）60；（2）21；（3）91；（4）120【詳解】（1）如果4人中男生女生各選2人，有種選法；（2）如果男生中的甲和女生中的乙必須在內(nèi)，則在剩下的7人中任選2人，有種選法；（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，包含兩種情況，第一種甲和乙都在內(nèi)的選法有種，第二種情況，甲乙選1人，有種選法，則如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，共有種選法；（4）如果4人中必須既有男生又有女生，先從所有9人中選4人，去掉只有男生和只有女生的情況，故有種選法.18．【答案】(1)；(2)(i)單調遞增區(qū)間為和；單調遞減區(qū)間為；(ii)．【詳解】（1）對，求導得，當時，，又切點為切線方程為，即；（2）依題意得，(i)，由，可得或，由，可得．函數(shù)的單調遞增區(qū)間為和；單調遞減區(qū)間為.(ii)由(i)可知：當變化時，的變化情況如表：12＋0－0＋單調遞增單調遞減單調遞增當時，有極大值，并且極大值為；當時，有極小值，并且極小值為，若方程有3個不同的實數(shù)根，則，解得．19．【答案】(1)①1；②證明見解析；(2)答案見解析.【詳解】（1）①由于函數(shù)，得，因為在點處取得極值，所以,所以，經(jīng)檢驗的導函數(shù)在區(qū)間上小于，在區(qū)間上大于，故在點處取得極小值．②由①得，，．令，解得．當x變化時，，的變化情況如表所示．x1－0＋單調遞減1單調遞增所以，當時，取得最小值．所以，即．（2）函數(shù)的定義域為，且，當時，恒成立，所以的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；當時，令解得，的解集為，的解集為，所以的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為綜上所述：當時，的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.20．【答案】(1)2；(2)證明見詳解；(3)證明見詳解.【詳解】（1）由，可知，因為在處的切線斜率為3，所以，所以；（2）證明：由（1）可知，,不妨設，則，令，因為，所以，所以在上單調遞增，，故，所以在上單調遞增，，所以；（3）由（1）可知，