山東省煙臺市招遠市第二中學(xué)2024−2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題含答案

/山東省煙臺市招遠市第二中學(xué)2024?2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知，，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C．2 D．42．已知，則的值為（

）A．3 B．1 C． D．3．在平行四邊形ABCD中，M為BC的中點，設(shè)，，則（

）A． B． C． D．4．已知為直線外一點，且，若，，三點共線，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．5．已知，均為銳角，，，則（

）A． B． C． D．6．在中，已知，，，，邊上的兩條中線，相交于點，則（

）A． B． C． D．7．如圖，在長方形中，，，點在上，且，點，分別是邊，上的動點，滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．48．已知的重心為，過點的直線分別與邊，交于點，，若，，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．不確定二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的有（

）A．起點相同的單位向量均相等B．若向量，則C．若向量，，則、不一定平行D．任意兩向量、均有10．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則下列說法正確的是（）A．若的最小正周期為，則B．若的圖象關(guān)于點中心對稱，則C．若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是D．若方程在上恰有兩個不同的實數(shù)解，則的取值范圍是11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．的圖象關(guān)于軸對稱B．是周期為的周期函數(shù)C．的值域為D．不等式的解集為三、填空題（本大題共3小題）12．與向量方向相反的單位向量為．13．若，則．14．已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點．已知點，點，把點繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點，則點的坐標為，向量在向量上的投影向量為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知向量，滿足，，．(1)求；(2)求與的夾角的值；(3)求．16．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)時，求的最大值及取得最大值時的集合．17．求值：(1)；(2)已知，，求的值．18．已知函數(shù)圖象的一個對稱中心到相鄰對稱軸的距離為，且．(1)求的解析式；(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若，且，求的最大值；(3)記函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，設(shè)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的值域．19．對于一組向量，，，…，，（且），令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“長向量”．(1)設(shè)，且，若是向量組，，的“長向量”，求實數(shù)x的取值范圍；(2)若，且，向量組，，，…，是否存在“長向量”?給出你的結(jié)論并說明理由；(3)已知，，均是向量組，，的“長向量”，其中，．設(shè)在平面直角坐標系中有一點列，，，…，滿足，為坐標原點，為的位置向量的終點，且與關(guān)于點對稱，與（且）關(guān)于點對稱，求的最小值．

參考答案1．【答案】A【詳解】因為，所以，則，解得.故選A.2．【答案】C【詳解】故選C.3．【答案】C【詳解】在中，M為BC的中點，，，所以.故選C.4．【答案】A【詳解】因為，，三點共線，所以存在非零實數(shù)，使得，所以，所以，所以，所以.當(dāng)時等號成立，所以的最小值為故選A.5．【答案】C【詳解】因為，又因為，均為銳角，則，所以，，所以，故選C.6．【答案】C【詳解】因為，，，由余弦定理得，所以，所以為直角三角形，且，以為原點，建立如圖直角坐標系：所以，所以，所以.故選C.7．【答案】B【詳解】設(shè)，因為四邊形是長方形，，，.在中，根據(jù)勾股定理，可得.因為，，所以，又因為，則，所以（兩角分別相等的兩個三角形相似）.由可得，已知，，則，那么，所以.在中，根據(jù)勾股定理，可得.因為，所以.根據(jù)均值不等式，對于，，有：,（當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立）.因為，，所以，那么.所以面積的最小值為.故選B.8．【答案】B【詳解】因為，，所以，，因為的重心為，所以，又因為三點共線，所以，所以.故選B.9．【答案】BCD【詳解】對于A選項，起點相同的單位向量的方向不一定相同，故這些向量不一定相等，A錯；對于B選項，若向量，則，B對；對于C選項，向量，，若，則、不一定平行；若，若、中至少有一個為零向量，則、平行，若、均為非零向量，可設(shè)，，則，則、平行，綜上所述，若向量，，則、不一定平行，C對；對于D選項，若、中至少有一個零向量，則，若、都為非零向量，設(shè)這兩個向量的夾角為，則，則，所以，，綜上所述，，D對.故選BCD.10．【答案】AC【詳解】因為函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以，而，所以，即，選項A，的最小正周期是，則，A正確；選項B，的圖象關(guān)于點中心對稱，則（因為），B錯誤；選項C，時，，則，，解得，C正確；選項D，時，，方程在上恰有兩個不同的實數(shù)解，即方程在上恰有兩個不同的實數(shù)解，則，解得，D錯誤．故選AC．11．【答案】ACD【詳解】對于A：由題意函數(shù)的定義域為R，且，故的圖象關(guān)于軸對稱，所以A正確；對于B：因為，，所以，故B錯誤；對于C：當(dāng)時，則，此時值域為；當(dāng)時，，此時值域為，故C正確；對于D：由，則是的一個周期，當(dāng)時，，所以由，解得，則，又由的圖象關(guān)于軸對稱可知當(dāng)時，的解為，所以不等式的解為.故D正確.故選ACD.12．【答案】【詳解】向量方向相反的單位向量.13．【答案】【詳解】因為，所以，解得或（舍），所以.14．【答案】【詳解】空：由題意得，把點繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點，則點繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點，則，，設(shè)，又因為，所以，解得，所以.空：向量在向量上的投影向量為，因為，，所以.15．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因為，所以；（2）因為，又，所以；（3）因為，所以．16．【答案】(1)最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為，(2)最大值為2，取得最大值時的集合為【詳解】（1），所以的最小正周期，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2）當(dāng)時，，所以當(dāng)，即時，取得最大值2，故的最大值為2，取得最大值時的集合為．17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）；（2）將兩邊平方可得，，兩邊平方可得，，兩式相加可得，，即，解得．18．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由題意可知，函數(shù)的最小正周期為，所以，所以，所以，故，解得，所以；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，可得的圖象，再向上平移1個單位長度，得到的圖象，所以，又，所以當(dāng)時，，又，所以，要使最大，則最大，最?。援?dāng)最大，最小時，即取得最大值，最大值為；（3）因為，所以，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，此時；又，所以，所以，所以的取值范圍為；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以，，此時；又，所以，所以，所以的取值范圍為，綜上，函數(shù)的值域為．19．【答案】(1)(2)存在，理由見解析(3)【詳解】（1）由題意可得：，則，解得：；（2）存