山東省蒙陰第一中學(xué)2025屆高三第五次模擬測試數(shù)學(xué)試題含答案

/山東省蒙陰第一中學(xué)2025屆高三第五次模擬測試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．若集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．已知為復(fù)數(shù)，為純虛數(shù)，為實(shí)數(shù)，則（）A．2 B． C． D．33．已知，，則（）A． B． C． D．4．已知，向量在向量上的投影向量與向量方向相反，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．5．已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則（

）A．6 B．9 C．27 D．816．雙曲線（，）的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)且與雙曲線的左支交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，且在線段上，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B．C． D．7．四棱錐中，，，，則三棱錐的體積為（

）A．5 B．6 C．8 D．98．已知函數(shù)，若方程在區(qū)間上有且僅有2個不等的實(shí)根，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列命題中，真命題的是（

）A．中位數(shù)就是第50百分位數(shù)B．已知隨機(jī)變量，若，則C．已知隨機(jī)變量，滿足，若，，則，D．已知采用分層抽樣得到的高三年級男生、女生各100名學(xué)生的身高情況為：男生樣本平均數(shù)172，方差為120，女生樣本平均數(shù)165，方差為120，則總體樣本方差為12010．若函數(shù)有極值，則的可能取值為（

）A．8 B．9 C．10 D．1111．已知直線及圓，則（

）A．直線過定點(diǎn)B．直線截圓所得弦長最小值為2C．存在，使得直線與圓相切D．存在，使得圓關(guān)于直線對稱三、填空題（本大題共3小題）12．已知數(shù)列的前項和為（），滿足（），，則.13．的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）14．如圖，直線AB在平面內(nèi)，點(diǎn)C在平面外，直線AB與AC的夾角為，直線AC與平面所成的角為交．若平面ABC與平面所成角的大小為，且，則的值為四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)列的首項且滿足．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)數(shù)列滿足，，記，求數(shù)列的前n項和．16．如圖所示，在三棱柱中，是邊長為2的正三角形，，在底面上的射影為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求直線與所成角的正弦值．17．將某新開業(yè)的創(chuàng)意甜品店的開業(yè)天數(shù)與利潤（單位：千元）之間的相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表1所示.表1102030405050657095120(1)已知與呈線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程；(2)為了慶祝甜品店開業(yè)兩個月，店家在開業(yè)剛好兩個月這天組織消費(fèi)者參加消費(fèi)返利抽獎游戲，游戲規(guī)則如下：在抽獎盒中放有5張卡片，其中2張寫有“幸運(yùn)顧客”，3張寫有“不要泄氣”，一輪次機(jī)會中參加游戲的消費(fèi)者有放回地抽取3次，每次抽取1張卡片，每一輪次抽獎之后根據(jù)表3計算獎金，消費(fèi)金額（單位：元）在的消費(fèi)者分別有輪次的抽獎機(jī)會.已知這天顧客的消費(fèi)情況以及每一輪次抽獎后具體的獎勵情況如下，求這天返利總金額的數(shù)學(xué)期望.表2消費(fèi)金額人數(shù)622253584表3“幸運(yùn)顧客”卡片數(shù)32其他情況獎勵金額（單位：元）30200參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距最小二乘估計分別為.18．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若對于任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓的短軸的一個端點(diǎn)，的面積為，橢圓的離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)如圖，是橢圓上不重合的三點(diǎn)，原點(diǎn)是的重心.（i）當(dāng)直線垂直于軸時，求點(diǎn)到直線的距離；（ii）求點(diǎn)到直線的距離的最大值.

參考答案1．【答案】D【詳解】由，，故.故選D.2．【答案】B【詳解】因為為復(fù)數(shù)，為純虛數(shù)，為實(shí)數(shù)，所以.所以.故選B.3．【答案】B【詳解】因為；又.所以，.所以.故選B4．【答案】D【詳解】設(shè)向量在向量的夾角為，，因為向量在向量上的投影向量與向量方向相反，所以，解得，所以.故選D.5．【答案】A【詳解】∵等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，故選A.6．【答案】B【詳解】解：如圖，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，因為過點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)，，所以，所以，因為線段的中點(diǎn)為，為線段的中點(diǎn)，所以，所以，由雙曲線的定義得，所以，所以，所以，在中，，即，所以，離心率為.故選B.7．【答案】C【詳解】設(shè)平面的法向量為，則，則，則點(diǎn)到平面的距離為，又，，則點(diǎn)到直線的距離為，則，故三棱錐的體積為.故選C.8．【答案】A【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖所示，

結(jié)合圖象可得，當(dāng)時，方程在上有且僅有2個不等的實(shí)根，，且，所以的取值范圍是.故選A.9．【答案】AB【詳解】對于A選項，中位數(shù)就是第50百分位數(shù)，A選項正確.對于B選項，已知隨機(jī)變量，根據(jù)二項分布的方差公式（其中是試驗次數(shù)，是每次試驗成功的概率），可得.又因為（、為常數(shù)），那么.已知，即，解得，B選項正確.對于C選項，已知隨機(jī)變量，滿足，根據(jù)期望的性質(zhì)（、為常數(shù)），可得.因為，所以.再根據(jù)方差的性質(zhì)（、為常數(shù)），可得.因為，所以，C選項錯誤.對于D選項，設(shè)男生樣本為，平均數(shù)為，方差為；女生樣本為，平均數(shù)為，方差為.總體樣本平均數(shù).根據(jù)分層抽樣樣本方差公式（其中、分別是男生、女生的樣本數(shù)量），可得：，所以D選項錯誤.故選AB.10．【答案】AB【詳解】函數(shù)，，∵函數(shù)有極值，∴有變號零點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得：，解得，結(jié)合選項可知的可能取值為8,9，故選AB.11．【答案】ABD【詳解】A選項，由，得，解得，所以直線過定點(diǎn)為，故A正確；B選項，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心為，半徑，直線過的定點(diǎn)為，當(dāng)時，直線截圓所得弦長最短，因為，則最短弦長為，故B正確；C選項，，故點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓一定相交，故C錯誤；D選項，當(dāng)直線過圓心時，滿足題意，此時，解得，故D正確.故選ABD.12．【答案】/【詳解】由可得，又，則，即，當(dāng)時，，所以數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，則，則，所以.13．【答案】【詳解】的展開式的通項式當(dāng)時，,當(dāng)時，,的展開式中含的系數(shù)為.故答案為.14．【答案】/0.6【詳解】過點(diǎn)作,且交于點(diǎn),過點(diǎn)作，且交于,則直線AC與平面所成的角為,所以,不妨設(shè)，易得,則,又平面ABC與平面所成角為，,則,則,中，，代入，可求得.15．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)題意，將遞推公式變形，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；（2）根據(jù)題意，求得數(shù)列的通項公式，再結(jié)合錯位相減法即可得到結(jié)果.【詳解】（1）證明：由題意得，所以，又因為，所以，所以，即是首項為3，公比為3的等比數(shù)列．（2）由（1）得，所以，由，得，所以，，…，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，滿足上式，所以，，所以，①，②①-②得，所以．16．【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）在三棱柱中，取中點(diǎn)，連，依題意，平面，而平面，則，又是正三角形，即有，，平面，于是平面，因為為的中點(diǎn)，則，即四邊形是平行四邊形，有，則四邊形是平行四邊形，有，所以平面．（2）由（1）知，，，平面，則平面，而平面，于是平面平面，平面平面，在平面內(nèi)過作于，則平面，連，因此是直線與平面所成的角，正的邊長為2，則，又，，于是，，又，因此，所以直線與平面所成的角的正弦值為．17．【答案】(1)；(2)1413.12元.【詳解】（1）依題意得，則1700，，則，，故關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為.（2）設(shè)表示參加一輪次抽獎所獲得的獎勵金額，則的可能取值為，因為抽取一張卡片，抽到“幸運(yùn)顧客”卡片的概率，所以，，，所以元，所以元.18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為函數(shù)，可得，所以，即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，因為曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行，所以，解得，故實(shí)數(shù)的值為.（2）由（1）知，因為，所以由，即.設(shè)，，則在，上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.19．【答案】(1)；(2)；.【分析】（1）根據(jù)已知可得，，再結(jié)合求出橢圓方程；（2）（i）設(shè)出三點(diǎn)坐標(biāo)根據(jù)重心坐標(biāo)公式和已知條件列出方程得到的縱坐標(biāo)為，從而解出橫坐標(biāo)，進(jìn)而解出結(jié)果.（ii）討論直線有無斜率兩種情況，有斜率時設(shè)出直線的方程，與橢圓聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，重心坐標(biāo)表示出的坐標(biāo)，代入橢圓得到一個關(guān)系式，利用點(diǎn)到直線距離公式表示點(diǎn)到直線的距離并化簡，結(jié)合式子結(jié)構(gòu)，綜合兩種情況解出結(jié)果.【詳解】（1）令橢圓的半焦距為，由橢圓的離心率為，得，，由的面積為，得，因此，所以橢圓的方程為；（2）（i）設(shè)，由直線垂直于軸，得，由原點(diǎn)是的重心，得，即，，又，解得，所以到