山東省聊城市2025屆高三二模數(shù)學(xué)試題含答案

/山東省聊城市2025屆高三二模數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)滿足，其中i為虛數(shù)單位，則對應(yīng)的點在復(fù)平面的（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．為了研究某市高中生的腳長（單位：cm）和身高（單位：cm）的關(guān)系，市衛(wèi)健委從該市隨機抽取若干名高中生做調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計，所調(diào)查數(shù)據(jù)的，根據(jù)最小二乘法算得腳長和身高的經(jīng)驗回歸方程為．已知被調(diào)查的某學(xué)生的腳長為25cm，身高180cm，則該樣本點的殘差為（

）A．1cm B．cm C．4cm D．cm4．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前5項和為，且，則（

）A．2 B．4 C．8 D．165．若的展開式中的系數(shù)為12，則其展開式中所有項的系數(shù)的和為（

）A．16 B．32 C．48 D．646．雙曲線的方程為，直線與雙曲線左右兩支分別交于A，B兩點，與兩條漸近線分別交于E，F(xiàn)兩點，若E，F(xiàn)是線段AB的三等分點，則的值為（

）A．4 B．8 C．12 D．247．函數(shù)定義域為，且滿足，若是偶函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．8．中，，則的最大值為（

）A．6 B． C．12 D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知實數(shù)滿足，則（

）A． B．C．若，則 D．若，則10．如圖，棱長為2的正方體中，點E，F(xiàn)分別在棱上，且，，其中，點是平面內(nèi)的一個動點（異于點），且，則（

）A．B．直線與平面所成的角的余弦值為C．當(dāng)變化時，平面截正方體所得的截面周長為定值D．點為中點時，三棱錐的外接球的表面積為11．笛卡爾葉形線是一種非常優(yōu)美且具有豐富幾何性質(zhì)的代數(shù)曲線，它的形狀如圖所示，其標(biāo)準(zhǔn)方程為：，其中是參數(shù)．已知某笛卡爾葉形線過點，點是該曲線上的一點，則（

）

A．當(dāng)時，取到最大值 B．的取值范圍是C．直線是曲線的一條切線 D．若是曲線的漸近線，則三、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)隨機變量，若，則．13．函數(shù)，其中，若，使得，則的取值范圍為．14．過函數(shù)圖像上一點，垂直于函數(shù)在該點處的切線的直線，稱為函數(shù)在該點處的“法線”．若一條直線同時是兩個函數(shù)的法線，該直線稱為兩個函數(shù)的“公法線”．函數(shù)與函數(shù)的“公法線”方程為．四、解答題（本大題共5小題）15．周末雙休，四個同學(xué)約好一起參加體驗活動，有甲、乙兩個體驗項目可供選擇，每人必須參加且只能參加一個項目．四人約定每人通過擲一次質(zhì)地均勻的骰子來決定自己參加哪個體驗項目，若擲出點數(shù)小于3，就體驗甲項目，否則體驗乙項目．(1)求這4個人中恰有2人參加甲項目的概率；(2)用X，Y分別表示這4個人中參加甲、乙項目的人數(shù)，記，求隨機變量的分布列及期望．16．中，角A，B，C的對邊為a，b，c，已知，且．(1)證明：為等邊三角形；(2)如圖，若邊長為3，點E，F(xiàn)分別在邊BC，BA上，將沿著線段EF對折，頂點恰好落在邊上的點，當(dāng)時，求重疊部分的面積．17．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列，其前項和為，且．(1)求；(2)記，數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項積與前項和分別記為．證明：①；②．18．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有兩個極值點，證明：有且只有一個零點．19．如圖，柱體上下底面是橢圓面，、分別是上下底面橢圓的長軸，、分別是上下底面橢圓的短軸，四邊形和為矩形，、分別為上下底面橢圓的長短軸的交點，．、是下底面橢圓上兩動點，不與平行或重合．

(1)證明：平面；(2)若面積為定值，求的長度；(3)在（2）的條件下，當(dāng)平面平面時，求點到直線的距離的取值范圍．

參考答案1．【答案】C【詳解】集合，則.故選C.2．【答案】B【詳解】因為，所以則其對應(yīng)點的坐標(biāo)為，位于第二象限.故選B.3．【答案】D【詳解】因為，又經(jīng)驗回歸方程必過點，所以，解得，所以，當(dāng)時，所以該樣本點的殘差為.故選D4．【答案】A【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為（），根據(jù)題意即，解得（舍），而，故，所以選選：A.5．【答案】C【詳解】的展開式中的系數(shù)為，所以，所以令，所以展開式中所有項的系數(shù)的和為48.故選C.6．【答案】D【詳解】設(shè)，，聯(lián)立直線l與雙曲線E的方程，得，消去x，得，則，且，雙曲線的漸近線方程為，聯(lián)立直線l與雙曲線E的漸近線方程，得，得，即，同理，因為E，F(xiàn)是線段AB的三等分點，所以，即，則，所以，則，所以.故選D

7．【答案】B【詳解】因為，且是偶函數(shù)，所以，所以，單調(diào)遞減，則不等式化簡為，所以，即，所以或.故選B.8．【答案】D【詳解】由正弦定理可得，，所以在以半徑為的圓上，則由向量數(shù)量積幾何意義及垂徑定理可知：當(dāng)與同向時，有最大值為，所以的最大值為.

故選D.9．【答案】BC【詳解】對于A，當(dāng)時，，故A錯誤；對于B，因，則，，則，等號成立時，故B正確；對于C，因且，則，則，故C正確；對于D，若，則，故D錯誤.故選BC10．【答案】ACD【詳解】以為原點，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，設(shè)，則，所以，，所以，，，，，，因為，所以，所以，故A正確；因為，，平面，所以平面，所以平面的法向量為，則直線與平面所成的角的正弦值為，所以直線與平面所成的角的余弦值為，故B錯誤；取上一點，滿足，則，因為，且有公共點，所以平面，又平面，平面平面，所以共線，作出平面截正方體所得的截面，由，得為等腰直角三角形，同理可得均為等腰直角三角形，，所以截面周長為為定值，故C正確；當(dāng)點為中點時，，所以，，，則，所以，所以三棱錐的外接球的球心在過中點，垂直于平面的直線上，連接，因為，所以，所以四邊形為平行四邊形，則共面，設(shè)交點為，則，設(shè)球心為，，則，則，即，解得，半徑為，表面積為，故D正確；故選ACD．11．【答案】BCD【詳解】由笛卡爾葉形線過點得，，解得，所以，對于A，設(shè)的最大值為，則曲線與在第一象限只有一個交點，聯(lián)立得，設(shè)，令，解得，當(dāng)時，，則在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則在單調(diào)遞增，又，所以必滿足，即，解得，所以的最大值為，此時，故A錯誤；對于B，設(shè)的最大值為，則曲線與在第一象限只有一個交點，聯(lián)立得，與A同理得，，所以的取值范圍是，故B正確；對于C，若直線是曲線的一條切線，則與曲線在第一象限只有一個交點，聯(lián)立得，整理得，所以方程有2個相等的實數(shù)根，所以與曲線在第一象限只有一個交點，故C正確；對于D，因為曲線過，所以不是曲線漸近線，設(shè)曲線的漸近線為，代入曲線方程得，同時除以得，，當(dāng)時，，此時，則上式為，當(dāng)，此時，所以曲線的漸近線為，即，故D正確；故選BCD．12．【答案】0.3/【詳解】因為隨機變量，所以正態(tài)分布曲線關(guān)于對稱，又因為，所以，所以又因為，所以0.3.13．【答案】【詳解】由題可知，在的圖象至少有2個最大值，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上，當(dāng)時，，使得.14．【答案】【詳解】由求得，，則法線斜率為，則在處的法線方程為，由求導(dǎo)得，則法線斜率為，則在處的法線方程為，由“公法線”得，，，解得，所以“公法線”方程為.15．【答案】(1)(2)分布列見解析；期望為【詳解】（1）依題意知，這4個人中，每個人參加甲項目的概率為，參加乙項目的概率為，設(shè)“這4個人中恰有人去參加甲項目”為事件．則，故這4個人中恰有2人去參加甲項目的概率為．（2）或時，，或時，，時，，故的所有可能取值為0，2，4．由于與互斥，與互斥，故，，．所以的分布列是024所以．16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：由，得，展開得．①由可得．②①－②得，因為，所以，解得或（舍去）．又，所以．把代入，得，則．所以，故是等邊三角形．（2）由及，得，設(shè)，則．在中，由余弦定理可得，即，解得．同理，在中，由余弦定理可得．又，所以．17．【答案】(1)，(2)①證明見解析；②證明見解析【詳解】（1）由得，．兩式相減得：，即，因為是遞增數(shù)列，所以，由，得，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，．（2）①由已知得，，所以，即，所以.②由，可得，所以，所以．18．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【詳解】（1）函數(shù)的定義域為．當(dāng)時，恒成立，即在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．當(dāng)時，令．則的對稱軸為．若，即時，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．若，即時，有兩個零點：，且．當(dāng)和時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增．（2）由有兩個極值點，則由（1）可得且在處取極大值，在處取極小值．當(dāng)時，，所以的極小值為，又在單調(diào)遞增，所以在上沒有零點．，由得，，又，，且在上單調(diào)遞增，所以存在唯一的實數(shù)，使得，故有且只有一個零點．19．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）因為四邊形為矩形，則，，由題意得，、分別為和的中點，所以，，，所以，四邊形為平行四邊形，因為，則，同理可證，，因為，、平面，故平面．（2）如圖，以為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，，則，所以，，．則點到直線的距離．所以．（*）因為底面橢圓焦點在軸上，，即長軸長為，短軸長為，所以點的