整式乘法（6個(gè)知識點(diǎn)+10類題型突破）原卷版-2024-2025學(xué)年蘇科版七年級數(shù)學(xué)下冊

整式乘法（6個(gè)知識點(diǎn)+10類題型突破）

01思維導(dǎo)圖

知識點(diǎn)01單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘知識點(diǎn)04平方差公式

知識點(diǎn)02單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘知識點(diǎn)05完全平方公式

知識點(diǎn)03多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘知識點(diǎn)06平方差和完全平方差區(qū)別

02知識速記

知識點(diǎn)01單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘

單項(xiàng)式乘法法則：單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，

連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.

單項(xiàng)式乘法法則在運(yùn)用時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：

①積的系數(shù)等于各因式系數(shù)積，先確定符號，再計(jì)算絕對值.這時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤的是，將系數(shù)相乘與指數(shù)

相加混淆；

②相同字母相乘，運(yùn)用同底數(shù)的乘法法則；

③只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，要連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式；

④單項(xiàng)式乘法法則對于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用；

⑤單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，結(jié)果仍是一個(gè)單項(xiàng)式.

知識點(diǎn)02單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘

單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，是通過乘法的分配律，把它轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，即單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是

用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即（a+6+c）m

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：

①單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，積是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同；

②運(yùn)算時(shí)要注意積的符號，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號；

③在混合運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序.

知識點(diǎn)03多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.

即(a+6)(m+n)=am+an+bm+bn

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：

①多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘要防止漏項(xiàng)，檢查的方法是：在沒有合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于原兩個(gè)多項(xiàng)

式項(xiàng)數(shù)的積；

②多項(xiàng)式相乘的結(jié)果應(yīng)注意合并同類項(xiàng)；

③對含有同一個(gè)字母的一次項(xiàng)系數(shù)是1的兩個(gè)一次二項(xiàng)式相乘，其二次項(xiàng)系數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)等于兩個(gè)

因式中常數(shù)項(xiàng)的和，常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)因式中常數(shù)項(xiàng)的積.即(x+a)(x+6)=V+Q+6)x+a6

對于一次項(xiàng)系數(shù)不為1的兩個(gè)一次二項(xiàng)式Gwx+a)和(〃x+6)相乘可以得到.

知識點(diǎn)04平方差公式

平方差公式:兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積,等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.即Q+6)仿-6)=4-62

公式的幾種變化：

①位置變化:(b+a)(~b+a)=(。+6)(a*).

(~a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(~b+a)(-b-a)=(_Z))2-a2=b2-a2

②系數(shù)變化：(2a+36)(2536)=(2a)2-(36M=4/-9〃

③指數(shù)變化:(〃+〃)(〃-〃)=(a2)2-(b2)2=a4-b4

④增項(xiàng)變化：Qa-b-c)(a-b+c)=(,a-b)2-c2

⑤連用公式變化：(a+6)(,a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=(a2)2-(Z>2)2=a4-b4

⑥公式逆運(yùn)算：a2-b2=(a+6)(a-6)

知識點(diǎn)05完全平方公式

完全平方公式:兩數(shù)和(差)的平方,等于它們的平方和,力口(減)它們積的2倍.

即完全平方和(a+b)2=a1+2ab+b2；完全平方差(a-Z?)2=a2-2ab+b2

(1)公式的特征：前平方，后平方，中間是乘積的2倍

(2)公式的變化：①出+〃=(以+6產(chǎn)一22；②“2+/=(5引2+22；③(a+b)2=(a-b>+4ab；④(a-b)2=(a+b)

2~4ab；⑤(a+b)2-(a-b)2=4ab。

知識點(diǎn)06平方差和完全平方差區(qū)別

平方差公式：(a+b')(a-b)=a2~b2

完全平方差公式：(a-b)2=a2-2ab+b2

2

平方差公式和完全平方差公式易混淆，切記完全平方差中間有乘積的2倍

03題型歸納

題型一判斷整式乘法是否正確

例題：(24-25八年級上?黑龍江哈爾濱?期中)下面是某同學(xué)在一次測驗(yàn)中的計(jì)算摘錄，其中正確的有()

(1)2%2)=—(2)4q%+(―2/b)=—2。

(3)a[-a+2b)=-a2-lab(4)(2x-3^)(4x2+6xy+9j^2)=8x3+27y3

A?1個(gè)B?2個(gè)C?3個(gè)D.4個(gè)

鞏固訓(xùn)練

1.(24-25八年級上?山西?階段練習(xí))小夏今天在課堂練習(xí)中做了以下5道題，其中做對的有()

①(-4戶口=一一；(2)ai0^a1=a5;③=aAb6；④2/.(_3—+1)=一6一+1；⑤

(x+2)(x+1)=Y+3x+2.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

2.(23-24七年級下?全國?單元測試)下列計(jì)算錯(cuò)誤的是()

A.(x+d){x+6)=x2+(tz+b)x+ab

B.(x+a){x-6)=Y+(〃+b)x+ab

C.(x-a)(x+b)=x2+(b-a)x+(-ab)

D.(x-d)(x-Z))=x2-(a+b)x+ab

3.(23-24七年級下?全國?單元測試)下列計(jì)算正確的是()

A.(—Q-6)(6-Q)=〃2

B.—2(3Q—6)=-6a—b

C.(-a-bf=a2-2ab+b2

D.(-3〃+2b)(-3〃+5b)=9〃2—10/

題型二判斷是否可用平方差或完全平方公式運(yùn)算

例題：(24?25八年級上?湖北武漢?階段練習(xí))下列關(guān)系式中，正確的是()

3

A.(a—2)"=a2—2fl+4B.(a+l)(a—1)=a"—1

C.(tz+Z?)2=a2+b2D.++

鞏固訓(xùn)練

1.(24-25八年級上?河南信陽?期末)下列各式能用平方差公式的是()

A.(X-J)(-X+J)B.(x-.y)(x-^)

C.(-x-v)(-x+^)D.(x+y)(x+y)

2.(24-25八年級上?甘肅平?jīng)?階段練習(xí))下列計(jì)算正確的是()

A.(x+y)-=x2+_y2B.(x-y)-=x2-2xy-y2

C.(X+2J)(X-2J)=X2-2j2D.(-x+y)2=x2-2xy+y2

3.(24-25七年級上?上海?期中)下列計(jì)算正確的是()

A.(a+b)2=a2+b2B.(a-b)2=a2-b2

C.(a+m)(b+ri)=ab+mnD.(m-n\-m-n)=-m2+n2

題型三利用單項(xiàng)式乘法求字母或代數(shù)式的值

例題：(23-24八年級上?陜西延安?階段練習(xí))若一+g=m尤一2),則。的值為.

鞏固訓(xùn)練

1.(23-24八年級上?重慶渝中?期中)若x(x2-a)+3x-26=/+5x-6對任意x都成立，則0+6=.

2.(2024八年級上?全國?專題練習(xí))若不論x為何值時(shí)，等式x(2x+a)+4x-36=2x2+5x+6恒成立，則

a=,b=.

3.(23-24七年級下?廣東深圳?期中)若無a+a)+3x-26=/+5x+4恒成立，貝.

題型四計(jì)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式

例題：(24-25八年級上?全國?階段練習(xí))計(jì)算

⑴(2x-3y)(4x2+6xy+9y2j；

(2)(3a+2)(a-4)-3(a-2)(a-l).

鞏固訓(xùn)練

4

1.(23-24八年級上?全國?單元測試)計(jì)算：

⑴(2x+3y)(3x-2田；

(2)5x(/+2X+1)-(2X+3)(X-5)

2.(24-25八年級上?全國?單元測試)計(jì)算：

(l)(x+2)(2x-3)-2_x+3).

(2)(x2+x+l)(x2-x+1)

(3)(x+l)(x-2)(x2+x+2)

題型五整式乘法混合運(yùn)算

例題：(23-24七年級下?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí))計(jì)算

(1)4xy-(-3y)+2y(6盯+2)

(2)3)-Q(Q-4)

鞏固訓(xùn)練

1.(23-24八年級上?全國?單元測試)計(jì)算：

(l)(2x+3y)(3x-2y)；

(2)5X(%2+2X+1)-(2x+3)(x-5)

2.(2024八年級上?全國?專題練習(xí))計(jì)算：

(l')^ab2(2a2b—3ab2)；

(2)x(2x-5)+3x(x+2)-5x(x-1)；

(3)〃(/+ab+/)-+ab+Z?2)；

(4)研/-3)+a?(a+3)-3tz(tz2-a-1)

3.(2024八年級上?全國?專題練習(xí))計(jì)算下列各式:

⑴g+3j-3j;

(2)(2a-36+邛.

題型六整式乘法混合運(yùn)算一一化簡求值

5

91

例題：(24-25八年級上?山西大同?階段練習(xí))先化簡，再求值：(3x+2用一-(3尤+力(3尤-y),x=~,

y=2.

鞏固訓(xùn)練

11

1.(24-25八年級上?云南昭通?階段練習(xí))化簡求值：(3Q+6)(-3〃+b)-(a+b『7，其中。=寸b=~.

2.(24-25七年級上?上海嘉定?期中)先化簡，再求值：gx+jgx-j-(2x-y)(x+2y)+(x-3才，其

,2,

中x=一1,y=-i.

3.(24-25八年級上?四川內(nèi)江?階段練習(xí))先化簡，再求值：(2x+y)(2x—歹)—(x—2歹4x+5y+l),

其中％=-1,>=—2024.

題型七(x+p)(x+q)型多項(xiàng)式乘法

例題：(24-25八年級上?河南南陽?階段練習(xí))觀察下列各式：

(x+3)(x+4)=x2+7x+12

(x+3)(x-4)=x2-x-12

(x-3)(x+4)=+x—12

(x-3)(x-4)=x?-7x+12

回答下列問題：

(1)總結(jié)公式：(x+a)(x+b)=x2+x+ab-

(2)已知a,b,加均為整數(shù)，若(x+4(x+b)=x2+?/x+7,求加的值.

鞏固訓(xùn)練

1.(23-24八年級上?云南昆明?期中)觀察下列多項(xiàng)式的乘法計(jì)算，回答問題：

0(X+3)(X+4)=X2+(3+4)X+3X4=X2+7X+12；

②(x+3)(x-4)=X2+[3+(-4)]X+3X(-4)=x2-x-U；

③(x-3)(x+4)=x2+[(-3)+4]x+(-3)X4=X2+X-12；

④(x-3)(x-4)=x2+[(-3)+(-4)].r+(-3)x(-4)=x2-7x+U.

(1)計(jì)算(x+2)(x+3)=；

6

根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，猜想（x+a）（x+6）=；

（2）若（x-2）（x+加）=x?+〃x-2,求”的值.

題型八單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形面積

例題：（24-25八年級上?遼寧鞍山?期中）某學(xué)校計(jì)劃利用一片空地為學(xué)生建一個(gè)矩形車棚，為了方便學(xué)生取

車，施工單位決定在車棚內(nèi)修建幾條等寬的小路，其余部分停放自行車，已知矩形車棚的寬為x米，長為

+米，小路的寬為2米，求停放自行車的面積.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級下廣東深圳?階段練習(xí)）如圖，某小區(qū)有一塊長為（2。+36）,寬為（3a+2b）,物業(yè)公司計(jì)

劃在小區(qū)內(nèi)修一條平行四邊形小路，小路的底邊寬為a米.

（1）用含有a、b的式子表示綠化的總面積S；

⑵若a=3,b=6,求出此時(shí)綠化的總面積S.

2.（24-25八年級上?全國?課后作業(yè)）為了提升居民的幸福指數(shù)，某居民小組規(guī)劃將一長為（9—1）米、寬為

（36-5）米的長方形場地打造成居民健身場所，如圖所示，具體規(guī)劃為：在這個(gè)場地中分割出一塊長為（3。+1）

（1）求安裝健身器材的區(qū)域面積；

（2）若a=9,6=15,求籃球場的面積.

7

3.（24-25八年級上?山西?階段練習(xí)）晉陽湖公園是太原市面積最大的城市綜合性公園，位于太原市西南方

的晉陽湖水域周邊.小華與家人在公園內(nèi)某一長方形區(qū)域觀賞風(fēng)景，設(shè)該觀景區(qū)長3a米，寬（4+6）米，中

間修有一條"S'型等寬小路供游客行走，已知小路寬2米，其余區(qū)域皆為草坪.

（。+6）米

3a米

（1）求該觀景區(qū)草坪的面積.

（2）當(dāng)。=30,6=20時(shí)，草坪的面積是多少？

題型九通過對完全平方公式變形求值

例題：（24-25七年級上?吉林?單元測試）當(dāng)a=g，b=2時(shí)，求下列代數(shù)式的值：

⑴（0+6）2-6）2；

+2ab+b-.

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25八年級上?四川瀘州?階段練習(xí)）已知a+b=4,ab=-5,求：

（1）/+〃的值；

（2）（"6『的值.

2.（24-25七年級上?上海?期中）已知（a-?）?=25,就=-6,求下列各式的值：

（1）?2+b2;

⑵/+/

3.（2024八年級上?黑龍江?專題練習(xí)）已知（x+y『=18,（x-y）2=6,分別求下列式子的值:

⑴/+V；

（^2）x?+3xy+y?；

⑶/+}/.

題型十乘法公式中幾何圖形的應(yīng)用

例題：（24-25七年級上?江蘇鹽城?期中）如圖1是一張邊長為。的正方形紙片，在它的一角剪去一個(gè)邊長為

8

6的小正方形，然后將圖1剩余部分（陰影部分）剪拼成如圖2的一個(gè)大長方形（陰影部分）.

（1）將圖1陰影部分的面積記為H，圖2的面積記為邑，若用含a、6的代數(shù)式表示》和S2,則

S[=

⑵請你判斷H與邑之間的大小關(guān)系：H_S［（填“〈”或“=”）；

（3）利用（2）中的結(jié)論,求2024?-20222的值.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級下?江蘇揚(yáng)州?期末）定義：對于任意四個(gè)有理數(shù)a、b、c、d,定義一種新運(yùn)算:

ab

=a2+d2+be,

cd

-1-2

3

m-nm-n

⑵而〃=_；若,c是完全平方式，貝同=

2km2n

m+4n-4

⑶若有理數(shù)機(jī)、〃滿足〃?+3"=5,=13.

4m2+2n24m-n

①求的值；

②如圖，四邊形/BCD是長方形，點(diǎn)￡、F、G、H分別在邊A8、BC、CD、DAh,連接EG、FH交于點(diǎn)

P,且EG、FH將長方形/BCD分割成四個(gè)小長方形，若AB=9n,BF=3n,CF=3m,DG=m,在①的

條件下，求圖中陰影部分的面積.

AHD

HI(

9

2.(23-24七年級下?陜西西安?階段練習(xí))如圖1,邊長為。的大正方形中有一個(gè)邊長為6的小正方形，把

圖1中的陰影部分拼成如圖2所示長方形.

⑴根據(jù)圖1和圖2的陰影部分的面積關(guān)系，可得等式(用字母a,6表示)

(2)運(yùn)用以上等式計(jì)算：

(3)如圖3,100個(gè)圓由小到大套在一起，從外向里相間畫陰影，最外面的圓的半徑為100cm,向里依次為

99cm,98cm，…，1cm,那么在這個(gè)圖形中，所有陰影的面積和是多少？(結(jié)果保留萬)

3.(24-25八年級上?廣西南寧?期中)【知識生成】

通常情況下，通過用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)恒等式.如圖1,在邊長為。的

正方形中剪掉一個(gè)邊長為6的小正方形(a>b),把余下的部分剪開并拼成一個(gè)長方形(如圖2),圖1中陰

影部分的面積可表示為：a2-b2,圖2中陰影部分的面積可表示為：(a+b)(a-b),因?yàn)閮蓚€(gè)圖中的陰影部

分的面積是相同的，所以可得到等式：a2-b2=(a+b)(a-b).

圖5

【結(jié)論探究】

圖3是一個(gè)長為2a