云南省保山市2024-2025學(xué)年高一年級上冊期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題

【考試時間：2025年1月17日10：00—12：00]

保山市2024?2025學(xué)年普通高中上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測

高一數(shù)學(xué)

本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.第I卷第1頁至第3頁，第n卷

第3頁至第6頁.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.滿分150分，考試用時120分鐘.

第I卷（選擇題，共58分）

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、學(xué)校、班級、考場號、座位號、準(zhǔn)考證

號在答題卡上填寫清楚.

2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.在試題卷上作答無效.

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一

項是符合題目要求的）

2兀

1.已知弧長為3的弧所對圓心角為60°,則這條弧所在的圓的半徑為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】利用弧長與半徑、圓心角的關(guān)系式可求解.

【詳解】設(shè)這條弧所在的圓的半徑為廣，

TT7T2冗

60°=60xl°=60x—=—,乂60。圓心角所對的弧長為一，

18033

2兀71

所以—=rx—,解得「=2.

33

故選：B.

2.已知集合5={s|s=3","GN},T=*卜=6z,zeN},則S?T（）

A.0B.SC.TD.Z

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由條件可得再結(jié)合集合的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】T=卜卜=6z,zeN}=卜,=3x2z,zwN},且5=卜卜=3","CN},

所以T^S,則SDT=T.

故選：C

3.函數(shù)/(x)=K三的定義域是()

「2x-l

A.7。B.(l,+oo)

2

1

D.(-oo,-l)

c-用嗎2，+°°

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)分式和偶次根式有意義可得無所滿足的不等式，求解即可.

【詳解】由已知可得《,解得尤W1且尤片：,

2x—1/02

的定義域是1-8,g￡

所以函數(shù)=

故選：A

4.為了得到函數(shù)y=sin(2xT+Tg)的圖象.只需把函數(shù)y=sin2x的圖象上所有的點()

7T

A.向左平行移動二個單位長度

TC

B.向右平行移動二個單位長度

7T

C.向左平行移動一個單位長度

10

7T

D.向右平行移動一個單位長度

10

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖形變換中的原理求解，求解過程中注意X系數(shù)對平移情況的影響.

【詳解】因為y=SHI(2X+M)=sm2(x+—),所以把函數(shù)y=sm2x的圖象上所有的點向左平行移動

71

一個單位長度即可.故選C.

10

5.已知a=ln(lg3),6=lg(ln3),c=ln1,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a<c<bB.b<a<c

Cc<a<bD.b<c<a

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小.

【詳解】依題意，0<；=glgl0<；lg27=：31g3=lg3<lgl0=l,

則c=lng<ln(lg3)="<0,而ln3>lne=l,則b=lg(ln3)>0,

所以a,b,c的大小關(guān)系是c<a<Z?.

故選：C

6.某市GDP的年平均增長率為5%,按此增長率，大約經(jīng)過機(jī)年后該市GDP會翻一番，則，"為(參考值

ln2?0.693,In(1.05)?0.0488)()

A.14B.16C.18D.20

【答案】A

【解析】

【分析】由題意設(shè)某市原有GDP為a,經(jīng)過加年后該市GDP會翻一番為2a,由題意a(l+5%)”'=2a,

求解即可.

【詳解】設(shè)某市原有GDP為a,經(jīng)過，"年后該市GDP會翻一番為2a,

由年平均增長率為5%,可得a(l+5%)”'=2a,

所以(1。5)"'=2,兩邊取自然對數(shù)得ln(1.05f=In2,

0.693

所以，“In(1.05)=In2,代入?yún)⒖贾档眉??14

0.0488

故選：A

7.已知函數(shù)/(x)=cos[(?x+；)(0〉O)在區(qū)間(0,兀)上至少有3個零點，則。的取值范圍是()

D.g+s

【答案】C

【解析】

JIJIJIJIjJi

【分析】由己知可得一<ox+—<師+—，結(jié)合條件可得。7l+—>一,求解即可.

33332

717171

【詳解】因為(0,兀)所以一<COXH----<CDTI~\------，

333

因為函數(shù)/(x)=cos0X+](0〉0)在區(qū)間(0,兀)上至少有3個零點,

5]3,13、

所以。兀H—>,解得?！狄?所以0的取值范圍是||.

32616)

故選：C.

8.VXGR,用力(九)表示/(%)，且(尤)中的較小者，記為皿x)=min{/(x),g(x)},若

/(%)=|x-l|,g(x)=—X?—；x+6,則函數(shù)的最大值為()

【答案】D

【解析】

【分析】分x<l和兩種情況，解不等式/⑴-g(x)<0,可求得加(x)的解析式，進(jìn)而可求得加(X)

的最大值.

【詳解】①當(dāng)天<1時，/(x)=|x-l|,g(x)=-X2-1X+6,

由/(x)-g(x)=|x-l|-^-x2-1-x+6^<0,可得x2_gx_5<0,

解得—2<x<—,又x<l,所以—24<1,

2

所以當(dāng)—2<x<l時，/(x)<g(x),所以向x)=|x—l],

當(dāng)xW—2時，f(x)>g(x),所以m(x)=-x2-—x+6,

②當(dāng)時，由/(x)-g(x)=|%—1]一|一必一gx+6]<0,可得X?+!^—7<0,

7

解得——<x<2,又x'l,所以1WX<2,

2

所以當(dāng)1W%<2時，〃x)<g(x),所以機(jī)=

當(dāng)％22時，/(JV)2g(x),所以加(%)=—X2—/%+6,

|x—1|,—2<%<2

綜上所述:=1、

—X?—x+6,%V—2回522

12

當(dāng)一2<%<2時，—3<x—lvl,所以。所以加(%)<3,

[x+j+6!43

當(dāng)％W-2時，m(x)=

當(dāng)x22,7〃(x)=-++6，<1，

綜上所述：m(x)<3,所以函數(shù)加(力的最大值為3.

故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵在于分類討論，求得函數(shù)加(%)的解析式，再求得函數(shù)的最大值求解.

二、多項選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項

是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)

9.下列判斷正確的是()

34

A.若sintz=w，貝！|cose=1

B.若tan[er+']=2,則tana=—

I4；3

【答案】BD

【解析】

【分析】利用同角的正余弦的平方關(guān)系求解可判斷A；利用兩角和的正切公式計算可判斷B；利用誘導(dǎo)公式

計算可判斷CD.

3

【詳解】因為sina=二，所以a的終邊在一，二象限，

當(dāng)a的終邊在一象限時，coscc=A/1—sin2a=g,

當(dāng)a的終邊在二象限時，cos?=-Vl-sin2?=-1,故A錯誤；

兀

(\tancr+tan—

所以tana+1=2,解得tana

由tan。+烏=2,可得------------=2,故B正確;

【4J1兀

7l-tancr?tan—1-tana3

=sin

=sin

故選：BD.

10.如圖，在以A5為直徑的半圓中，。是圓心，OC是垂直于A3的半徑，。是直徑上與A。,5不重合

的任意一點，。石_ZAB交半圓于點石，DFLOE于點、F,設(shè)=BD=b,則下列結(jié)論正確的是

B.DE=y[ab

2ab

D.EF=

a+b

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用圖形的幾何位置關(guān)系結(jié)合勾股定理和圓的幾何位置特征求解即可.

所以O(shè)E="2,故選項A正確,

【詳解】由題意得：AB=2OC=a+b,

2

a-b

QD=a+b_b=

~2~

在△(?田中，由勾股定理得：DE==友,故選項B正確，

a—br-r

八口ODDE7ab圓,故選項c錯誤.

DF—=j—

OEa+ba+b

故選項D正確.

故選：ABD.

11.對于任意的xeR,國表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[1.2]=1,[—1.2]=—2.十八世紀(jì)，

y=[可被“數(shù)學(xué)王子”高斯采用，因此得名為高斯函數(shù)，人們更習(xí)慣稱為“取整函數(shù)”.下列說法正確

的是()

A.函數(shù)y=[x],xeR圖象關(guān)于原點對稱

B.設(shè)/(x)=x-[x],xeR,則有/(i+l)=/(x)

C.函數(shù)y=x-[x],xeR的值域為[0])

D.不等式2國之+[可—i<0的解集為{尤[0<%<1}

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，取值驗證判斷A；利用[x+l]=[x]+l,計算可判斷B；由取整函數(shù)的定義得

[%]<%<[%]+1,進(jìn)而判斷C；解一元二次不等式，然后取整函數(shù)的定義求出解集判斷D.

【詳解】對于A：當(dāng)x時，y=[g[=°，當(dāng)苫=一；時，y=-1=T,

即點，,o[,"都在函數(shù)了=國的圖象上，它們關(guān)于原點不對稱，

則函數(shù)y=[x]圖象關(guān)于原點不對稱，故A錯誤；

對于B,因為[x+l]=[x]+l,

所以/(x+l)=x+l—[x+l]=x+l-|x]—l=x-[x]=/(x),故B正確；

對于C：由取整函數(shù)的定義知，|x]Wx<|x]+l,則OWx—國<1,

因此函數(shù)y=x—[可，尤wR的值域為[0,1),故C正確；

對于D：由2[才+國_i<0,得(2[司—口(印+1)<0,解得—1<國<巳，

而[可eZ,貝吐x]=0,因此OWx<l,不等式的解集為卜|0<%<1},故D正確.

故選：BCD.

【點睛】思路點睛：關(guān)于新定義題的思路有：(1)找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思；

(2)由已知條件，看所求的是什么問題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言；(3)將已知條件代入新定義的要

素中；（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解答.

第n卷（非選擇題，共92分）

注意事項：

第II卷用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效.

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

12.計算：.8^=_____.

【答案】-|

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則求解即可.

3廠__3

【詳解】偌］惘丁一［⑵］可|『一（2

）88

故答案為：一弓.

8

2

13.已知2sin6+cose=w,夕￡（0,兀），貝ijcos6=____

4

【答案】—y

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系代入計算,即可得到結(jié)果.

22

【詳解】由2sin8+cose=不可得2sin8=5-cose,

平方可得4sin2e=（g—cose］，即4（1一cos?8）=（g—Y

cosO，

496

化簡可得5cos之8——cos。----=0，

525

（24、424

即（5cos8+4）［cos<9--1=0,解得cos。=一1或不

其中夕￡（0,兀），則sin9>0,

4

所以cose=—g.

4

故答案為：一二

14.已知函數(shù)，=獷(％+1)是定義域為R的偶函數(shù)，且，(1一x)=/(3+x),并滿足*l)+f(2)=2,則

/(D+f(2)+/⑶+…+/(2025)=.

【答案】。

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)/(幻的對稱性及周期性，并求得/⑴=0,再利用周期性求出所求值.

【詳解】由函數(shù)y=W(x+l)是定義域為R的偶函數(shù)，得—#(—x+l)=#(x+l),

而x不恒為0,則/(l-x)=-/(x+l),/(1)=0,

又fd)=y(3+x),則/(3+x)=—/(x+1),gp/(x+2)=-/(%),

因此/(%+4)=-/(%+2)=f(x),函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，

由f(x+2)=-/(x),得/(1)+/(3)=0,/(2)+由4)=0,

所以/(D+/(2)+/⑶+…+/(2025)=506"⑴+/(2)+/(3)+/(4)]+/(I)=0.

故答案為：0

四、解答題(本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

x(x-2),x>0

15.己知函數(shù)/(%)=,…八

x(x+2),x<0

(1)求/(一1),7⑶；

(2)判斷函數(shù)y=/(x)的奇偶性并證明.

【答案】(1)—1，3；

(2)偶函數(shù)，證明見解析.

【解析】

【分析】(1)判斷代入求出函數(shù)值.

(2)利用函數(shù)奇偶性定義推理判斷即可.

【小問1詳解】

x(x-2),x>0

函數(shù)〃%)=:z貝U/(—l)=-lx(-l+2)=-l,/⑶=3x(3—2)=3.

x(x+2),x<0

【小問2詳解】

函數(shù)y=/(X)是偶函數(shù).

當(dāng)尤>0時，一%<0,/(--X)=-x(-x+2)=x(x-2)=/(x),

當(dāng)x<0時，-x>0,/(—x)=—x(—x-2)=x(x+2)=/(無)，

而/we”-。)，

因此VxeR,/(-幻=/(%),所以函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù).

16.已知函數(shù)/(%)=cos(2x)+2sin2(%+馬.

64

(1)求/(%)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；

7T

(2)當(dāng)xe［O,—］時，求/(%)的最小值以及取得最小值時x的集合.

2

【答案】(1)兀，［—卜ku,----FGZ)；

63

⑵1考中.

【解析】

【分析】(1)利用三角恒等變換化簡函數(shù)/(幻，再求出最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間.

(2)求出相位的范圍，確定最小值點，求出最小值及對應(yīng)x值集合.

【小問1詳解】

函數(shù)/(%)=cos2x+工sin2%+1—cos(2x+—)=—sin2x+cos2x+1=布sin(2x+—)+1,

222226

2兀

所以/(X)的最小正周期T=—=71;

2

TT7T3冗JT2冗

由一+2防I<2%+—<----b2kn,keZ,得一+左?！慈?lt;----卜kn,keZ,

26263

jr2兀

所以/(幻的單調(diào)遞減區(qū)間是［+E,+版］(keZ).

【小問2詳解】

當(dāng)xw[0,—]時，2x+—,則當(dāng)2XH—=—，即X=[時，/(%)取得最小值1.......-,

26666622

所以/(%)的最小值為1-走，取得最小值時犬的集合為

2

17.已知函數(shù)/(x)=|2]—2|(X￡R).

(1)在圖中畫出函數(shù)，(x)的圖象;

%

;5

+11-

;3-

;2-

-1-

-5-4；3-2--.1oTTTTT^

；-i

\-2

；-3

;-4

：-5

⑵設(shè)g(%)=/(%)-蘇+機(jī)，若函數(shù)y=g(%)有兩個零點，求實數(shù)加的取值范圍.

【答案】(1)作圖見解析；

(2)一1<機(jī)<0或1<m<2.

【解析】

【分析】(1)借助指數(shù)函數(shù)圖象，利用變換法作出函數(shù)圖象.

(2)由零點的意義，結(jié)合(1)的圖象，求出直線丁=切2—機(jī)與y=/(x)的圖象有兩個交點的加范圍.

【小問1詳解】

作出函數(shù)y=2'的圖象，并沿y軸負(fù)方向平移2個單位得y=2、-2的圖象，

再將所得的圖象在X軸下方部分沿X軸翻折到X軸上方與y=2*-2在X軸上方的圖象

合在一起得y=|2工-2|的圖象，如圖中實線:

由g（x）=。，得/（%）=m2一根，由函數(shù)y=g（九）有兩個零點，

得直線y=加？—加與丁二y（x）的圖象有兩個交點，

由（1）知，0<m2-m<2^解得一IvmvO或1<m<2,

所以實數(shù)用的取值范圍是一1vm<0或1<相<2.

18.數(shù)控機(jī)床（ComputerNumericalControlMachineTools,簡稱CNC機(jī)床）是一種通過計算機(jī)程序控制，

具有高精度、高效率的自動化機(jī)床，廣泛應(yīng)用于機(jī)械制造、汽車制造、航空制造等領(lǐng)域.某機(jī)床廠今年年

初用50萬元購入一臺數(shù)控機(jī)床，并立即投入生產(chǎn)使用.已知該機(jī)床在使用過程中所需要的各種支出費(fèi)用

總和f（單位：萬元）與使用時間尤（xeN*，x<20,單位：年）之間滿足函數(shù)關(guān)系式為：

t=x2+4x.該機(jī)床每年的生產(chǎn)總收入為24萬元.設(shè)使用x年后數(shù)控機(jī)床的盈利額為y萬元.（盈利額等

于總收入減去購買成本及所有使用支出費(fèi)用）.

（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）從第幾年開始，該機(jī)床開始盈利？

（3）該機(jī)床使用過程中，已知年平均折舊率為4%（固定資產(chǎn)使用1年后，價值的損耗與前一年價值的比

率）.現(xiàn)對該機(jī)床的處理方案有兩種：

第一方案：當(dāng)盈利額達(dá)到最大值時，再將該機(jī)床賣出；

第二方案：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時，再將該機(jī)床賣出.

以總獲利為選取方案的依據(jù)，研究一下哪種處理方案較為合理？請說明理由.（總獲利=盈利額+機(jī)床剩

余價值）

（參考數(shù)據(jù):&a1.414,0.967~0.75b0.968~0.72b0.969Ho.693，O.9610~0.665）

【答案】（1）y=-x2+20%-50,（%eN*,x<20）

（2）第3年（3）第一方案

【解析】

【分析】（1）根據(jù)盈利額的定義，用總收入減去購買成本和使用支出費(fèi)用來構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式;

（2）令盈利額大于0,求解不等式，即可得到結(jié)果；

（3）分別計算兩種方案下的總獲利，比較大小來判斷哪種方案更合理.

【小問1詳解】

由盈利額等于總收入減去購買成本及所有使用支出費(fèi)用，可得：

y=24x-50—（x?+4尤）=-x2+20x-50,（xeN*,x<20）.

【小問2詳解】

令y〉0,即—%2+20x—50>0，即f—20x+50<0，

對于方程d—20x+50=0，由求根公式可得x=2。土=10±5&，

2

又④土1.414，則10+5^^10+5x1.414=17.07，

10-572^10-5x1.414=2.93，

所以不等式的解為2.93<x<17.07,

且xeN*，所以從第3年開始盈利.

【小問3詳解】

,20s

第一方案：對于y=—V+20x—50,對稱軸為x=_=10,

2

當(dāng)x=10時，ymax=-10+20X10-50=50（萬元），

此時機(jī)床剩余價值為50x0.96'°X50x0.665=33.25，

總獲利為50+33.25=83.25（萬元）；

、，皿y~x~+20x—50（50、

第二萬案：年平均盈利額為-=-------------=20-x+一

XX\X）

其中x+型22,?型=100a10x1.414=14.14,

XYX

50/—

當(dāng)且僅當(dāng)工=一時，即工=同。7.07時，等號成立，

X

且xwN*，則x=7或x=8,

當(dāng)，=7時，>2。-7+不卜丁5.86（萬元）,

當(dāng)x=8時，=20-8+-——=5.75(萬元),

O\OO

所以x=7時，年平均盈利額最大，此時盈利額y=—72+20x7—50=41（萬元）,

機(jī)床剩余價值為50x0.967標(biāo)50x0.751=37.55（萬元），

總獲利為41+37.55=78.55（萬元），

因為83.25>78.55,所以第一方案較為合理.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了函數(shù)的實際應(yīng)用，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于構(gòu)建函數(shù)模型,

以及結(jié)合基本不等式求取最值，從而求解.

19.雙曲函數(shù)是一類與常見的三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)

（歷史上著名的“懸鏈線問題”與之相關(guān)）.其中雙曲正弦函數(shù)：sinh（x）=2，雙曲余弦函數(shù)：

e*+尸

cosh(x)=e是自然對數(shù)的底數(shù)e=2.71828…）.

2

(1)求cosh?-sinh?(%)的值;

(2)證明：兩角和的雙曲余弦公式cosh(x+y)=cosh(x)cosh(y)+sinh(x)sinh(y)；

（3）若關(guān)于x的不等式4mcosh2（x）—2sinh（2x）—320在［ln2,+”）上恒成立，求實數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】（1）1；（2）證明見詳解；

13

(3)—,+co

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【解析】

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)定義直接代入即可求;

（2）根據(jù)雙曲函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)化簡計算即可求解;

e4x+3e2x-l

（3）由函數(shù)定義代入函數(shù)解析式，由題意可得帆2在