浙江省強基聯(lián)盟2024-2025學年高一下學期4月期中聯(lián)考數(shù)學試卷（含答案）

浙江強基聯(lián)盟2025年4月高一聯(lián)考數(shù)學試題浙江強基聯(lián)盟研究院命制考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。如一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.如1.已知集合A=x|x2-x-2<0},集合B={0,1,2,3,4},則A∩B=A.(0,1,2}B.{0,1}C.(1,2}K2.若復(fù)數(shù)(其中i為虛數(shù)單位),則z的虛部為KBB聚南常3.如圖所示，一個水平放置的△ABC的斜二測直觀圖是△A'B'C′,若O'A′=√2,O'B′=OC′=1,則△聚南常A.√24.已知一圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，若該圓錐的側(cè)面積為6π,則該圓錐的體積為B5.已知向量a=(2,1),b=(cosa,sinα),的余弦值為BB若b在a上的投影向量為,則向量a與b的夾角6.已知△ABC的面積為√3,,AB【數(shù)學第1頁(共4頁)】【數(shù)學第2頁(共4頁)】A.充分不必要條件B.充要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件8.已知向量a,b滿足|a—b|=1且,則|2a+b|的最大值是A.2B.3二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列有關(guān)向量與復(fù)數(shù)的命題中，正確的選項有D.若向量a,b滿足|a—b|=|a+b,則有a·b=0成立10.已知兩個正實數(shù)a,b滿足ab=2a+b,則下列不等式一定成立的有A.ab的最小值是8B.ab的最大值是8C.a+b的最小值是3+2√2D.a+b的最大值是3+2√211.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a2—bc—b2=0,當a=1時，下列選項中表述正確的有A.△ABC的周長等于B.sin?A≥4sin3B·sinCC.A=2B三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知β是第二象限角，且,則sin2β的值是▲13.已知向量a,b滿足a+b=(1,-2)及a—b=(5,8),則a·b=▲【數(shù)學第3頁(共4頁)】四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.(13分)已知復(fù)數(shù)z=1-i(其中i為虛數(shù)單位).(2)若方程x2—tx+2=0的一個解為z,求實數(shù)t的值.16.(15分)已知平面向量a,b滿足a=(3,4),|b|=20.(1)若a//b,求b的坐標；(2)若(5a—b)·(4a+b)=0,求|2a+b|的值.17.(15分)(選做題：請按教學的實際進度選做題A或題B,兩題都做的只按題A給分)[題A]如圖，長方體ABCD-A?B?C?D?的三條棱的長分別為AB=3,AD=3,AA?=√7.(1)將此長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐B?-A?BC?,求剩下的幾何體的體積；(2)求長方體ABCD-A?B?C?D?外接球的體積和表面積.[題B]如圖，在四棱錐C-ABED中，四邊形ABED是正方形，點G,F分別是線段EC,BD的中點.(2)若H是線段BC的中點，證明：平面GFH//平面ACD.【數(shù)學第4頁(共4頁)】18.(17分)0.若在線段BC上的點M滿足AM=1且MB=2MC.(1)求角A的度數(shù)；(3)求a的取值范圍.19.(17分)定義：設(shè)一個多項式有n個變量x例如，x?+x?+x?和x?a?+x?x?+x?x?都是關(guān)于x1,x2,x?的對稱多項式.特別地，以下多項式稱為初等對稱多項式：(ji)任何對稱多項式都可以唯一表示為初等對稱多項式的組合.(1)判定f(x,y,z)=x3+y2+z3與g(x,y,z)=x3+y3+x+y是否屬于對稱多項式(無需說明依據(jù)).(2)已知正實數(shù)x,y滿足x3+y3=16,求x+y的最大值.(3)已知o?=x+y+z,o2=xy+yz+xz,03=xyz,將對稱多項式f(x,y,z)=x3+y3+z3表示為初等對稱多項式1,02,o3的組合形式.浙江強基聯(lián)盟2025年4月高一聯(lián)考數(shù)學卷參考答案與評分標準一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.12345678BCBACDDB1.BA∩B={x|-1<x<21∩{0,1,2,3,4}={0,1}.故選B.2.Ci,故選C.3.B,故選B.4.A設(shè)扇形的母線長為1,底面半徑為r,所以,∴l(xiāng)=6,又因為,∴r=1,所以高h=√62-12=√35,所以,故選A.,故選D.7.D時,所以acosA=bcos免費試卷公眾號：凹凸學長cosA=0時,若acosA=bcosB,由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB→sin2A=sin2B.所以在三免費試卷公眾號：凹凸學長角形內(nèi)有：2A=2B或2A+2B=π,所以△ABC是等腰或直角三角形.當三角形是等腰直角三角形時，沒有明,解不等式,得或;解不等式,綜上a//b時，|2a+b|取得最大值3,故選B.解法二：令a—b=m,2a+b=n,∴3a=m+n,3b=n-2m,∴9a·b=n2—2m2-m·n,∴n2—I【數(shù)學卷參考答案第1頁(共4頁)】【數(shù)學卷參考答案第2頁(共4頁)】二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分，99.BDa·b=a·c?a(b—c)=0,由向量性質(zhì)知A錯誤；之z1=zz2?z(z?一z2)=0,由復(fù)數(shù)性質(zhì)知B正確；令故選BD.10.AC由ab=2a+b≥2√2ab→ab≥8,當且僅時等號成立，此時a=√2+1,b=2+√2,故選AC.4sin3B·sinC,B正確；∵a2—bc—b2=0?a2—b2—c2=bc—c2?2bccos2sinBcosA=sinC-sinB,2sisin(A-B)=sinB.因為在三角形內(nèi)，所以有A-B=B,∴A=2B,C,此時是直角三角形B≠C,所以推不出b=c.D錯誤，故選ABC.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分，12.因為β是第二象限角，且,所以,∴sin2β=2sinβ·co,又,所以只能與同時成立，∴a2=2b2→a=√2b→sinA=√2s四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.(2)z=1-i是關(guān)于x的方程x2—tx+2=0一個虛根，整理得………………13分16.解：(1)由題意設(shè)b=λa=λ(3,4)………………|b|=|x|√32+42=5|λ|=20……解得λ=±4……………………………5分∴b=(12,16)或b=(-12,—16)……………………7分(2)由題知：(5a—b)·(4a+b)=0,∴20∴a·b=-100………………………13分17.[題A]證明：(1)在長方體中，AB=3,AD=3,AA?=√所以剩余部分的體積為………7分(2)長方體的體對角線長為√32+32+(√7)2=5………………10分設(shè)長方體的外接球的半徑為R,可得2R=5,即………12分所以外接球的體積為表面積為S=4πR2=25π……………15分[題B]證明：(1)由四邊形ABED為正方形可知，∴GF//面ABC…………7分∵GHC面ACD,ADC平面ACD,∴GH//平面ACD…………11分又由(1)可知，GF//平面ACD,且GH∩GF=G…………………13分故平面GFH//平面ACD…………………………15分18.解：(1)因為sin2A+√3cos(B+C)=0,且A+B+C=π,sin2A+√3cos(B+C)=2sinAcosA=√3cosA,所以cosA=0或…………5分解得或【數(shù)學卷參考答案第3頁(共4頁)】因為△ABC是銳角三角形，所以…………………7分(2)設(shè)∠AMB=θ,(3)由(2)及正弦定理知.=4-2cos(2A+2B)—4cosB=4+cos2B+√3sin2B-4co),…………