2025版高考數(shù)學一輪復習第四章三角函數(shù)解三角形第4講函數(shù)y＝Asinωx＋φ的圖象及應用配套課時作業(yè)理含解析新人教A版

PAGEPAGE10第4講函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應用配套課時作業(yè)1．如圖所示，函數(shù)y＝eq\r(3)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的部分圖象與坐標軸分別交于點D，E，F(xiàn)，則△DEF的面積為()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,2)C．π D．2π答案A解析在y＝eq\r(3)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))中，令x＝0可得D(0,1)；令y＝0解得x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,12)(k∈Z)，故Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，0))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0)).所以△DEF的面積為eq\f(1,2)×eq\f(π,2)×1＝eq\f(π,4).2．將函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再向右平移eq\f(π,6)個單位長度，則所得函數(shù)圖象的解析式為()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(5π,24))) B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(5π,12))) D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(7π,12)))答案B解析函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的圖象全部點的橫坐標伸長為原來的2倍得y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的圖象，再將所得圖象向右平移eq\f(π,6)個單位得y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))的圖象．故選B.3．若將函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的圖象向右平移eq\f(π,6)個單位長度后，與函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))的圖象重合，則ω的最小值為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)答案D解析y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(ωπ,6)＋\f(π,4)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))，∴eq\f(π,4)－eq\f(ωπ,6)＝eq\f(π,6)＋kπ(k∈Z)，又∵ω>0，∴ωmin＝eq\f(1,2).4．(2024·山東模擬)將函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象沿x軸向左平移eq\f(π,8)個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則φ的一個可能取值為()A.eq\f(3π,4)B.eq\f(π,4)C．0D．－eq\f(π,4)答案B解析把函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象向左平移eq\f(π,8)個單位后，得到的圖象的解析式是y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)＋φ))，該函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是eq\f(π,4)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，依據(jù)選項檢驗可知φ的一個可能取值為eq\f(π,4).5．如圖是周期為2π的三角函數(shù)y＝f(x)的圖象，那么f(x)可以寫成()A．sin(1＋x)B．sin(－1－x)C．sin(x－1)D．sin(1－x)答案D解析設y＝sin(x＋φ)，∵點(1,0)為五點法作圖的第三點，∴由sin(1＋φ)＝0?1＋φ＝π，φ＝π－1，∴y＝sin(x＋φ)＝sin(1－x)．6．(2024·河南螺河中學模擬)若把函數(shù)f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象向右平移φ(φ>0)個單位后所得圖象關(guān)于坐標原點對稱，則φ的最小值為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,12)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,4)答案A解析由2x＋eq\f(π,3)＝kπ(k∈Z)得x＝－eq\f(π,6)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)，∴函數(shù)f(x)圖象的對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋\f(kπ,2)，0))，原點左側(cè)第一個對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))，∴φ的最小值為eq\f(π,6)，故選A.7．已知函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))(ω>0)的部分圖象如圖所示，則ω的值可能為()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析由圖可知eq\f(T,4)<eq\f(π,3)，∴T<eq\f(4π,3)，∴ω＝eq\f(2π,T)>eq\f(3,2)，把eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，2))代入函數(shù)表達式得2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)ω－\f(π,6)))＝2，∴eq\f(π,3)ω－eq\f(π,6)＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得ω＝6k＋2(k∈Z)．故選B.8．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均為正常數(shù))的最小正周期為π，當x＝eq\f(2π,3)時，函數(shù)f(x)取得最小值，則下列結(jié)論正確的是()A．f(2)<f(－2)<f(0) B．f(0)<f(2)<f(－2)C．f(－2)<f(0)<f(2) D．f(2)<f(0)<f(－2)答案A解析由題意知函數(shù)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－\f(π,2)，\f(2π,3)))，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上單調(diào)遞減．f(－2)＝f(π－2)，f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，而eq\f(π,3)<π－2<2，且eq\f(π,3)，π－2,2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))>f(π－2)>f(2)，即f(0)>f(－2)>f(2)．故選A.9．為了得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的圖象，可以將函數(shù)y＝cos2x的圖象()A．向右平移eq\f(π,6)個單位長度 B．向右平移eq\f(π,3)個單位長度C．向左平移eq\f(π,6)個單位長度 D．向左平移eq\f(π,3)個單位長度答案B解析y＝cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))，由y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))))得到y(tǒng)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))))，只需向右平移eq\f(π,3)個單位長度．10．函數(shù)y＝－2cos2x＋cosx＋1，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))的圖象大致為()答案B解析明顯函數(shù)y＝－2cos2x＋cosx＋1，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于y軸對稱，故解除A和D；又當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))時，cosx∈[0,1]，所以當cosx＝1即x＝0時，y＝－2cos2x＋cosx＋1取得最小值為0，故解除C.11．(2024·廣東茂名一模)如圖，函數(shù)f(x)＝Asin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，|φ|＜\f(π,2)))的圖象過點(0，eq\r(3))，則f(x)的圖象的一個對稱中心是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))答案B解析由題中函數(shù)圖象可知：A＝2，由于函數(shù)圖象過點(0，eq\r(3))，所以2sinφ＝eq\r(3)，即sinφ＝eq\f(\r(3),2)，由于|φ|＜eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,3)，則有f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).由2x＋eq\f(π,3)＝kπ，k∈Z可解得x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,6)，k∈Z，故f(x)的圖象的對稱中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)－\f(π,6)，0))，k∈Z，則f(x)的圖象的一個對稱中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0)).故選B.12．將函數(shù)f(x)＝sin2x的圖象向右平移φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜φ＜\f(π,2)))個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象．若對滿意|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝eq\f(π,3)，則φ＝()A.eq\f(5π,12)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)答案D解析由已知得g(x)＝sin(2x－2φ)，滿意|f(x1)－g(x2)|＝2，不妨設此時y＝f(x)和y＝g(x)分別取得最大值與最小值，又|x1－x2|min＝eq\f(π,3)，令2x1＝eq\f(π,2)，2x2－2φ＝－eq\f(π,2)，此時|x1－x2|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－φ))＝eq\f(π,3)，又0＜φ＜eq\f(π,2)，故φ＝eq\f(π,6).選D.13．(2024·北京海淀模擬)去年某地的月平均氣溫y(℃)與月份x(月)近似地滿意函數(shù)y＝a＋bsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋\f(π,6)))(a，b為常數(shù))．若6月份的月平均氣溫約為22℃，12月份的月平均氣溫約為4℃，則該地8月份的月平均氣溫約為________℃.答案31解析將(6,22)，(12,4)代入函數(shù)，解得a＝13，b＝－18，所以y＝13－18sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋\f(π,6))).當x＝8時，y＝13－18sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×8＋\f(π,6)))＝31.14．(2024·重慶模擬)將函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，－\f(π,2)≤φ＜\f(π,2)))圖象上每一點的橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標不變，再向右平移eq\f(π,6)個單位長度得到y(tǒng)＝sinx的圖象，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝________.答案eq\f(\r(2),2)解析把函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移eq\f(π,6)個單位長度得到y(tǒng)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的圖象，再把函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))圖象上每一點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的圖象，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(π,6)＋\f(π,6)))＝sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).15．(2024·廈門模擬)已知x∈(0，π]，關(guān)于x的方程2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝a有兩個不同的實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為________．答案(eq\r(3)，2)解析令y1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，x∈(0，π]，y2＝a，作出y1的圖象如圖所示．若2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝a在(0，π]上有兩個不同的實數(shù)解，則y1與y2應有兩個不同的交點，所以eq\r(3)<a<2.16．(2024·臨沂模擬)已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)的圖象如圖所示，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(2,3)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝________.答案－eq\f(2,3)解析由圖知eq\f(T,2)＝eq\f(11π,12)－eq\f(7π,12)＝eq\f(π,3)，∴T＝eq\f(2π,3)，即ω＝3，當x＝eq\f(7π,12)時，y＝0，即3×eq\f(7π,12)＋φ＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z，∴φ＝2kπ－eq\f(9π,4)，k∈Z，取k＝1，則φ＝－eq\f(π,4)，∴f(x)＝Acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4))).即Acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－\f(π,4)))＝－eq\f(2,3)，得A＝eq\f(2\r(2),3)，∴f(x)＝eq\f(2\r(2),3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝eq\f(2\r(2),3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－\f(π,4)))＝－eq\f(2,3).17．如圖，某地一天6～14時的溫度改變曲線近似滿意y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0,0<φ<π)．(1)求解析式；(2)若某行業(yè)在當?shù)仨氁臏囟仍趨^(qū)間[20－5eq\r(2)，20＋5eq\r(2)]之間為最佳營業(yè)時間，那么該行業(yè)在6～14時，最佳營業(yè)時間為多少小時？解(1)由圖象知A＝10，eq\f(1,2)·eq\f(2π,ω)＝14－6，所以ω＝eq\f(π,8)，所以y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πt,8)＋φ))＋b.①ymax＝10＋b＝30，所以b＝20.當t＝6時，y＝10代入①得φ＝eq\f(3π,4)，所以解析式為y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)t＋\f(3π,4)))＋20，t∈[6,14]．(2)由題意得，20－5eq\r(2)≤10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)t＋\f(3π,4)))＋20≤20＋5eq\r(2)，即－eq\f(\r(2),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)t＋\f(3π,4)))≤eq\f(\r(2),2)，所以kπ－eq\f(π,4)≤eq\f(π,8)t＋eq\f(3π,4)≤kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z.即8k－8≤t≤8k－4，因為t∈[6,14]，所以k＝2，即8≤t≤12，所以最佳營業(yè)時間為12－8＝4小時．18．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，－\f(π,2)≤φ＜\f(π,2)))的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對稱，且圖象上相鄰兩個最高點的距離為π.(1)求ω和φ的值；(2)當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，求函數(shù)y＝f(x)的最大值和最小值．解(1)因為f(x)的圖象上相鄰兩個最高點的距離為π，所以f(x)的最小正周期T＝π，從而ω＝eq\f(2π,T)＝2.又因為f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對稱，所以2·eq\f(π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，由－eq\f(π,2)≤φ＜eq\f(π,2)得k＝0，所以φ＝eq\f(π,2)－eq\f(2π,3)＝－eq\f(π,6).綜上，ω＝2，φ＝－eq\f(π,6).(2)由(1)知f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，－eq\f(π,6)≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6)，∴當2x－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,3)時，f(x)最大＝eq\r(3)；當2x－eq\f(π,6)＝－eq\f(π,6)，即x＝0時，f(x)最小＝－eq\f(\r(3),2).19．已知某海濱浴場海浪的高度y(m)是時間t(0≤t≤24，單位：h)的函數(shù)，記作：y＝f(t)，下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)：t(h)03691215182124y(m)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5經(jīng)長期觀測，y＝f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y＝Acosωt＋b.(1)依據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù)y＝Acosωt＋b的最小正周期T，振幅A及函數(shù)表達式；(2)依據(jù)規(guī)定，當海浪高度高于1.25m時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)(1)的結(jié)論，推斷一天內(nèi)有多少時間可供沖浪者進行運動．解(1)由題意知T＝12，所以ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,12)＝eq\f(π,6).由t＝0，y＝1.5得A＋b＝1.5；由t＝3，y＝1.0得b＝1.0，所以A＝0.5，b＝1，即y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1，t∈[0,24]．(2)由題意知