2024屆內(nèi)蒙古自治區(qū)普通高中數(shù)學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2024屆內(nèi)蒙古自治區(qū)普通高中數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.在直三棱柱ABC-44G中，底面是等腰直角三角形，BA=BC=3O,點(diǎn)。在棱5片上，且BD=瓜,則AO

與平面A41G。所成角的正弦值為（）

旦

45

2.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCO-ABCR中，E為線段QR的中點(diǎn)，則點(diǎn)兒到直線8遂的距離為（）

A石B2不

23

「逐n275

23

3.已知集合4=｛。,），）,2+丁=[bB=｛（x,>0|y=x｝,則418中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.2

C.lD.0

4.命題”若x>l,貝UP”為真命題，那么〃不可能是。

A.x>一1B.x>0

-2D.x>2

5.空間直角坐標(biāo)系中A(0,0,0)、B(LLl)、C(l,0,0)X力(—1,2,1),其中Aea,Bea,Cefi,De/3,已

知平面?！ㄆ矫媸瑒t平面a與平面￡間的距離為。

昨

D4

6.雙曲線V-),2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(0,一應(yīng)),(0,板)B.(-72,0),(72,0)

C.(0,-2),(0,2)D.(-2,0),(2,0)

7.命題“若x,)'都是偶數(shù)，則4十)'也是偶數(shù)”的逆否命題是

A.若x+y是偶數(shù)，則1與y不都是偶數(shù)

B.若工+),是偶數(shù)，則x與),都不是偶數(shù)

C若X+)，不是偶數(shù)，則X與y不都是偶數(shù)

D.若x+y不是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)

8.圓/+V+2工一4)，-6=0的圓心和半徑分別是()

A.(-l,-2),1111

C.(T,-2),THD.(-I,2),Tn

9.過(guò)點(diǎn)(1,0)且與直線x-2y=。垂直的直線方程是()

A.X-2J-1=0B.X-2)，+1=0

C.2x+y-2=0D.x+2y-l=0

10.在三棱柱ABC-A旦G中,AB=(0,l,-l),AC=(1,4,0),幽=(1,-1,4),則這個(gè)三棱柱的高力=()

AlB.3

6

C.V2D.—

11.已知數(shù)列｛q｝為等比數(shù)列，則飛<0,4>1"是“｛%｝為遞減數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

12.如圖，已知多面體ABCDE,其中是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，四邊形ACDE是矩形，AE=2,平面ACDE1

平面A3C,則點(diǎn)C到平面曲的距離是。

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.曲線y=e'+l在x=O處的切線方程為

14.一道數(shù)學(xué)難題，在半小時(shí)內(nèi)，甲能解決的概率是:，乙能解決的概率是:，兩人試圖獨(dú)立地在半小時(shí)內(nèi)解決它,

則問(wèn)題得到解決的概率是.

15.已知函數(shù)/（"=辦2-2x-2ku,有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是_______.

16.兩個(gè)人射擊，互相獨(dú)立.已知甲射擊一次中靶概率是0.6,乙射擊一次中靶概率是0.3,現(xiàn)在兩人各射擊一次，中

靶至少一次就算完成目標(biāo)，則完成目標(biāo)的概率為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

（1%丫

17.（12分）二項(xiàng)式展開(kāi)式中第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是第三項(xiàng)系數(shù)的4倍.求：

（1）n；

（2）展開(kāi)式中的所有的有理項(xiàng).

18.（12分）設(shè)曲線/（x）=alnx+Z?在點(diǎn)（1,0）處的切線方程為x-y-l=。.

（1）求（的值;

(2)求證：/(X)>1--；

X

(3)當(dāng)xNOJ(x+l)-/(l—x)之④，求a的取值范圍.

19.(12分)已知函數(shù)〃x)=aln(x+l)-?一白々〉—2)

(1)討論函數(shù)/(”的單調(diào)性；

(2)證明：對(duì)任意正整數(shù)〃，ln(〃+l)v2+*+最++攀

20.(12分)已知橢圓C：1十.=1(?！怠?gt;0),。是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn),,鳥(niǎo)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)

在橢圓C上，過(guò)F?作NKM6的外角的平分線的垂線，垂足為A,且|。川=2匕

(1)求橢圓C方程：

(2)設(shè)直線/：y=6+〃2化>0,加>0)與橢圓。交于F,Q兩點(diǎn)，且直線。P,PQ,Q2的斜率之和為0(其中

。為坐標(biāo)原點(diǎn))

①求證：直線/經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)：

②求aop。面積的最大值

21.(12分)已知兩個(gè)定點(diǎn)4(0,4),磯0,1),動(dòng)點(diǎn)尸滿足|%|=2］冏，設(shè)動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為曲線E,直線/：)，=收一4

(1)求曲線E的軌跡方程；

(2)若i與曲線E交于不同的C、。兩點(diǎn)，且NCO￡>=120。(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線/的斜率；

22.(10分)如圖所示，四棱錐尸—45CD的底面為直角梯形，ZADC=ZDCB=90,AO=1,BC=3,

PC=CD=2AD,PC_L底面ABC。，E為A3的中點(diǎn)

(1)求證：平面以羽_L平面PAC；

(2)求點(diǎn)8到平面尸。E的距離

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解題分析】取AC的中點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作MN//BD,且使得MN=BD,進(jìn)而證明DV_L平面A41GC,然后判斷

出NZMN是AO與平面所成的角，最后求出答案.

【題目詳解】如圖，取AC的中點(diǎn)M,因?yàn)锳4=BC=3j5,NA3C=90。，則AC=6,3M=3,Z?M_LAC,過(guò)點(diǎn)M

作MNNBD,且使得MN=BO=&,則四邊形3ONM是平行四邊形，所以DN//BM,DN=BM=3.

由題意，3。1平面ABC,貝山的,平面4加^而W/匚平面人^4所以陽(yáng)可,創(chuàng)心又片〃_LACACcMV=M,

所以8W_L平面A4CC，而ON//8M、所以DV_L平面AA^Cf連接AM,Ml,則/DAN是AD與平面MG。所

成的角?而AZ)=JAB?+B?=26，于是，sinZ.DAN—==

故選：C.

2、D

【解題分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，在直角44片石中應(yīng)用等面積法求A到直線4上的距離.

【題目詳解】由正方體的性質(zhì)：44_1_面A。。4,又Afu面AOAA，故4與,片七，

直角△44后中，若4到⑸石上的高為

???S==；?〃聲E,而44=2,AE=6B1E=3,

.7_2后

??h=------?

3

故選：D.

3、B

【解題分析】集合中的元素為點(diǎn)集，由題意，可知集合/表示以(。,0)為圓心，1為半徑的單位圓上所有點(diǎn)組成的集合,

集合8表示直線)=*上所有的點(diǎn)組成的集合，又圓f+)尸=1與直線y=x相交于兩點(diǎn)4?，乎,一4■，一#1］，

\/\/

則AB中有2個(gè)元素.故選B.

【名師點(diǎn)睛】求集合的基本運(yùn)算時(shí)，要認(rèn)清集合元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡(jiǎn)集合，這是正確求解集

合運(yùn)算的兩個(gè)先決條件.集合中元素的三個(gè)特性中的互異性對(duì)解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值

后，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.

4、D

【解題分析】根據(jù)命題真假的判斷，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.

【題目詳解】對(duì)于A：若大〉|,則x>-l必成立；

對(duì)于B：若戈>1,則x>0必成立；

對(duì)于C：若x>1,則x>-2必成立；

對(duì)于D：由x>l不能得出x>2,所以〃不可能是x>2.

故選：D

5、A

【解題分析】由已知得A3，CD，AC，設(shè)向量〃=(x,y,z)與向量A3、C。都垂直，由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可

求得"，再由平面平行和距離公式計(jì)算可得選項(xiàng).

【題目詳解】解：由已知得A8=(L1,1),CD=(-2,2,1),AC=(1,0,0),設(shè)向量〃=(x,yz)與向量AB、CO都

垂直,則

x+y+z=0

即J取x=l,A?=(13,-4),

小CO=0-2x+2y+z=0

ACn|lxl+3x0+(-4)x0|_726

又平面a〃平面4,則平面。與平面￡間的距離為"二------.,“，

〃Ji?+32+（Y）226

故選：A.

6、B

【解題分析】根據(jù)雙曲線的方程，求得。=拉，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解.

【題目詳解】由題意，雙曲線f—y2=],可得。2=]/2=],所以。二百至二加，

且雙曲線的焦點(diǎn)再工軸上，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-0,（））,（、回,0）.

故選：B.

7、C

【解題分析】命題的逆否命題是將條件和結(jié)論對(duì)換后分別否定，因此“若X，）'都是偶數(shù)，則X+）'也是偶數(shù)”的逆否命

題是若X+＞不是偶數(shù)，則X與）'不都是偶數(shù)

考點(diǎn)：四種命題

8、D

【解題分析】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再求圓心半徑即可.

【題目詳解】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得a+iy+（），—2『=ii,故圓心為（T,2）,半徑為JET.

故選：D.

9、C

【解題分析】根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率乘積為-1,可以直接求出所求直線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式求出直線方程，最后化

成一般式方程即可.

【題目詳解】因?yàn)橹本€工-2），=0的斜率為方，故所求直線的斜率等于-2,

所求直線的方程為），一（）=-2U-1）,即2x+），-2=0,

故選：C

10、D

【解題分析】先求出平面ABC的法向量，然后將高看作為向量A4,在平面48。的法向量上的投影的絕對(duì)值，則答案

可求.

【題目詳解】設(shè)平面A8C的法向量為〃=(My,z),而A8=(O,l,—l),AC=(l,4,0),

tvAB=0y-z=O

則，即有

〃AC=Ox+4y=0

不妨令y=z=l,則x=T,故〃=(-4,1,1),

設(shè)三棱柱ABC-A^C.的高為h,

MIL,|-4X1+1X(-1)+1X4V2

向V186

故選：D.

11、A

【解題分析】本題可依次判斷“q<0,4>1”是否是“｛4｝為遞減數(shù)列”的充分條件以及必要條件，即可得出結(jié)果.

【題目詳解】若等比數(shù)列｛4｝滿足力<0、q>l,則數(shù)列｛q｝為遞減數(shù)列，

故"4<0,4>1”是“｛4｝為遞減數(shù)列”的充分條件，

因?yàn)槿舻缺葦?shù)列｛〃”｝滿足q>0、0<^<1,則數(shù)列｛4｝也是遞減數(shù)列，

所以“q<0,q>\"不是“｛2｝為遞減數(shù)列”的必要條件，

綜上所述，“4<。，是"｛4｝為遞減數(shù)列”的充分不必要條件，

故選：A.

【題目點(diǎn)撥】本題考查充分條件以及必要條件的判定，考查等比數(shù)列以及遞減數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性和綜合

性，考查推理能力，是簡(jiǎn)單題.

12、C

【解題分析】利用面面垂直性質(zhì)結(jié)合已知尋找兩兩垂直的三條直線建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法可解.

【題目詳解】取AC的中點(diǎn)O,連接05,過(guò)O在平面ACDE面內(nèi)作_LAC交OE于尸

;平面47￡>石_1_平面A8C,平面4CXE「平面A8C=AC,OFu平面AC/*,OF±AC

：.OF_L平面ABC

：?OF工OB

???L48C是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，四邊形4CDE是矩形，AE=2

：?OB工AC

以。為原點(diǎn)，OAtOB,。尸分別為x,山z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

D

則4（2,0,0）,^（0,273,0）,C（-2,0,0）,D（-2,0,2）

設(shè)平面ABD的單位法向量〃=（/，％，7）

/IB=（-2,273,0）,AO=（TO,2）,C4=（4,0,0）

J〃MB=-2』+2?=0%=與馬

由）解得?V3

,?-AD=-4A-O+2ZO=OZO=2/

取毛=、G,貝h?=（6,l,2G）

nCA|4V3|,

/.點(diǎn)C到平面ABD的距離d=------=，/』！?=V3

nJ3+1+12

故選：C

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13>y=x+2

【解題分析】求得y=/+l的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由斜截式方程可得切線方程

【題目詳解】解：），=產(chǎn)+1的導(dǎo)數(shù)為尸=",

可得曲線y=，+l在x=0處的切線斜率為％=1,切點(diǎn)為（0,2）,

即有切線方程為），=x+2

故答案為y=x+2

【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線方程的運(yùn)用，考查方程思想，屬于基礎(chǔ)

題

【解題分析】分甲解決乙不能解決，甲不能解決乙能解決，甲能解決乙也能解決三類(lèi)，利用獨(dú)立事件的概率求解.

【題目詳解】因?yàn)榧啄芙鉀Q的概率是:，乙能解決的概率是:，

所以問(wèn)題得到解決的概率是p=_XH--I--jx—+-x-=—,

2

故答案為：—

3

15、(YO,0]D{2}

2v+'Ini*2T4？1nv

【解題分析】由題知方程」二jJ/，x>0,awR有且只有一個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)g(x)="J,利用

導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)值得變化情況，作出函數(shù)的大致圖像，數(shù)形結(jié)合求解即可.

【題目詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=a/-2x-2hiY,x>0,有且只有一個(gè)零點(diǎn),

2尸+21nx

所以方程4=—^—,x>0,有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

X

A/、2x+21rL￥，/、2-2x-4\nx八

令g(工人——；—,則g")=--------3--------，工>()，

.AT

令力(x)=2—2x-41nx,則力(x)=—2—3V0

.V

所以6(/)=2-2%一4?11為(O,+e)上的單調(diào)遞減函數(shù)，

因?yàn)椤?1)=2-2-4皿1=0,

所以當(dāng)無(wú)￡(0,1)時(shí)，A(x)>0；當(dāng)xw(l,+<?)時(shí),/?(%)<0；

所以當(dāng)工￡(0,1)時(shí)，g'(x)>0；當(dāng)x?l,+co)時(shí)，g'(x)v0,

所以g(“在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,京)上單調(diào)遞減，

因?yàn)楫?dāng)R趨近于0時(shí)，g(x)趨近于f,當(dāng)戈趨近于+<?時(shí)，屋可趨近于0,且屋1)=2>。，X￡(l,~Kc)時(shí)，g(x)>0,

故g(x)的圖像大致如圖所示，

或。=2.

x~

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(T20]D{2}

故答案為：(9,0]D{2}

16、72

【解題分析】利用獨(dú)立事件的概率乘法公式和對(duì)立事件的概率公式可求得所求事件的概率.

【題目詳解】由題意可知，若甲、乙兩個(gè)各射擊1次，至少有一人命中目標(biāo)的概率為1一(1-0.6)(1-0.3)=0.72.

故答案為：0.72

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

?5r6

17、(1)6；(2)7；=—,7；=——x2,=—

x-2164

【解題分析】(1)先得到二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，再根據(jù)第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是第三項(xiàng)系數(shù)的4倍，建立方程求解.

(2)根據(jù)(1)的通項(xiàng)公式求解.

(\xY1

【題目詳解】(1)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)乙小。；--=(-i)r—33.

\yjxjI2)2r

依題意得，C：=4(-I)2/C；,

n\_n\

所以4!(…)

解得=6.

一1--(6-4r)

(2)由(1)得7；句=(_1)，3.0衣3，

當(dāng)r=0,3,6時(shí)為有理項(xiàng),

故有理有7；=F，T=?T=—.

x4-764

【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

18、(1)。=1,8=0

(2)證明見(jiàn)解析(3)。工2

【解題分析】(1)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，令工=1處的切線的斜率等1,結(jié)合/⑴=0,即可求得。和力的值；

(2)利用(1)的結(jié)論，構(gòu)造函數(shù)，求求導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，求出最小值即可證明；

(3)根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)ga)=ln*+l)-ln(l-x)-aL求出其導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論導(dǎo)數(shù)的值的情況，根據(jù)單調(diào)性，判斷

函數(shù)g(R)=加(工+1)-ln(l-x)-。戊的最小值情況，即可求得答案.

【小問(wèn)1詳解】

由題意知：r(x)=-,U>0),

因?yàn)榍€/(x)=ahu+/?在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為x-y-l=0,

故八=〃=⑴=。=0,即〃=1,。=0；

【小問(wèn)2詳解】

證明：由(1)知：/(x)=lar,

令g(x)=/(x)+'-l=lnx+'-l，

xx

m“、11x-1

貝Jg(x)=----7=1一，

XX~X

當(dāng)Ovxcl時(shí)，g'(x)vO,g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=l時(shí)，g(x)取得極小值，也即最小值，最小值為g(x)mm=g(1)=0，

故g(x)?O,即成立；

X'

【小問(wèn)3詳解】

當(dāng)工之0,/(工+1)—/(1一人)之辦，

即ln(x+l)-ln(l-x)一,(0<x<1),

設(shè)g(x)=ln(x+l)-ln(l-(0<x<1),

則g，(x)=」-j*+J——a="2),

x+\l-xI一廠

2

當(dāng)avO時(shí)，由ad-(。-2)=0得./=1一一>1,此時(shí)g'(x)>0,

此時(shí)g(x)=ln(x+l)-ln(l-x)-ar在OWxvl時(shí)單調(diào)遞增，g(x)2g(0)=0,適合題意;

當(dāng)。=0時(shí)，g'(x)>0,

此時(shí)g(x)=ln(x+l)-ln(l-x)-ar在0《戈<1時(shí)單調(diào)遞增，g(x)2g(0)=0,適合題意;

當(dāng)0<。02時(shí)，ar2-(6/-2)>0,此時(shí)g'(M20,

此時(shí)gO)=ln(x+l)-ln(l-x)-at在04xvl時(shí)單調(diào)遞增，g(x)Ng(O)=O,適合題意;

當(dāng)a〉2時(shí)，()</=1-2<1,

a

此時(shí)在—內(nèi)，g'(x)<0,在(八一2,1)內(nèi)，g'(x)>0,

顯然它2時(shí),且以"以卜：)=哈"jo,

不滿足當(dāng)xN0J(x+l)―/(l-戈)2處恒成立,

綜上述：。42.

19、(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析

【解題分析】⑴由廣(x)=’7-a-2x,令r(x)=。，得x=0,或工=一空2,又的定義域?yàn)?7,-8),討

x+12

論兩個(gè)根及-1的大小關(guān)系，即可判定函數(shù)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)a=1時(shí)，/。)在I。，+8)上遞減,則/U)?/(0),即ln(x+11,x+./,由此能夠證明ln(〃+1)<2+^+言+...+土?

2~3-n~

【小問(wèn)1詳解】

/(制的定義域?yàn)?-1,+8),

-2x(x+

f'(x)=-^--a-2x=-------"一，

A+1X+1

令/"(x)=o,得x=(),或工=-號(hào)^

①當(dāng)一芋,，一1,即4..0時(shí)，若X￡（—1,0）,則廣。）＞0,八X）遞增；若X￡（0,+8）,則/'（x）v。，遞減；

②當(dāng)一1〈一審＜0,即一2＜。＜0時(shí)，若X￡（—1,——），則/'（4）＜0,7"）遞減；

若XW（一等,0）,則r（x）＞0,/3）遞增；若％w（0,+oo）,則/Q）v0,遞減；

綜上所述，

當(dāng)一2VGV0時(shí)，加：）在（-1,一早），（0,+oo）單調(diào)遞減，在（一等,0）單調(diào)遞增；

當(dāng)。20時(shí)，氏r）在（-1,0）單調(diào)遞增，在（0,+A）單調(diào)遞減.

【小問(wèn)2詳解】

由（2）知當(dāng)。=1時(shí)，/Ct）在［。，+。）上遞減，.??/（x\J（0）,即ln（x+l）,,x+f,

ln（：^）=ln（l+J）＜1+［=,i=1,2,3,…，〃，

,_.3.//+1_3”+1

In2+In—F...+In----＜2+—+...+—：-,

2n4n2

,,3〃+1、，，,3〃+l

..ln（z2x-x...x---）=ln（〃+l）＜2+—+…H-

2n4n-

【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，本題的關(guān)鍵是令。=1,用己知函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造ln（x+l）,,x+V,

再令N'）恰當(dāng)?shù)乩脤?duì)數(shù)求和進(jìn)行解題

2

20、（1）￡+）/=］；（2）①證明見(jiàn)解析，（0,6）；②1.

【解題分析】⑴根據(jù)橢圓的定義以及角平分線的性質(zhì)可得|N用=2”，|。川=3加用=。=助，結(jié)合點(diǎn)

在橢圓上，以及/=〃+/即可求出〃力的值，進(jìn)而可得橢圓的方程.

（2）①設(shè)P（玉,y）,Q（w，%），聯(lián)立直線/與橢圓方程，求得西+公，工丙，利用斜率之和等于0得出關(guān)于〃，的方

程，解得〃7即可得所過(guò)的定點(diǎn)，②由弦長(zhǎng)公式求出|尸。，點(diǎn)到直線的距離公式求得高，由面積公式表示三角形的面積，

利用基本不等式即可求最值.

【題目詳解】⑴如圖，由題意可知I"周=|MZV|,由橢圓定義知制+|M周=2〃，則

|M周+|歷周二加國(guó)=勿，連接Q4,所以|OA|=；|N用=〃，所以|OA|=26=a

31

又在橢圓。上則/+方”解得:cz2=4>Z?2=1>

V2

所以橢圓的方程為：—+/=1;

4-

(2)①證明：設(shè)P(x，yJ,。(毛,%),

y=kx+m

聯(lián)立,f,整理可得：(1+4-)工2+85a+4〃7?-4=0,

——+y~=1

14“

所以△二64公療一4(1+4/)(4/-4)>0,可得>v1+4攵2,

8km4/n2-4

M+x

21+4公-1+4/2

設(shè)直線OP,PQ,0。的斜率為占，k,J因?yàn)橹本€OP,PQ,OQ的斜率之和為0,所以％+左+何=0,即

y,y2.kx.+mAx,+機(jī)...w(x)+x2)-Skm4攵("一3)

—+—4-)1=—!----+—=-----+Z=3%+————=3k+m---；——=———----^=0所以加-=3?由〃z>(),

X]x2為x2xxx24〃廠一44〃廠一4

所以〃?=>/5,

所以直線/恒過(guò)定點(diǎn)1),6卜

4j(I+用(必2—2)

②由①可得：|PQ|=J1+」.+苞『_=

1+45

原點(diǎn)到直線的距離d=J——!——=>———,

A/1+FA/1+F

c-hpa,d-2A4k-2_2石河-2_26

所以'△野一耳|尸0d-笠4代一4/一2+3一百。工3，

'”2一2

因?yàn)?4/一2+:N2G,當(dāng)且僅當(dāng),42-2=:時(shí),

，4r-2J4k2-2

即4公—2=3,即公時(shí)取等號(hào)，

42

所以S^MQKI,即△OP。面積的最大值為1

【題目點(diǎn)撥】解決圓錐曲線中的范圍或最值問(wèn)題時(shí)，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)出明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)

函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值.在利用代數(shù)法解決最值與范圍問(wèn)題時(shí)常從以下幾個(gè)方面考慮：

21、(1)x2+y2=4；(2)±V15

【解題分析】⑴設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(，％y),由儼4|=2歸邳，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，列出式子，可求出軌跡方程；

(2)易知|Oq=|O0|=2,且NCOZ)=120。，可求出。到直線CQ的距離，結(jié)合點(diǎn)0(0,0)到直線/的距離為

指可求出直線/的斜率

【題目詳解】(1)設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(x,y),

由|R4|二2|P