第05講 有理數(shù)的乘除運(yùn)算（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)+5種題型+過關(guān)檢測(cè)）（原卷版）

第05講有理數(shù)的乘除運(yùn)算（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)+5種題型+過關(guān)檢測(cè)）知識(shí)點(diǎn)1．倒數(shù)（1）倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)．一般地，a?＝1（a≠0），就說(shuō)a（a≠0）的倒數(shù)是．（2）方法指引：①倒數(shù)是除法運(yùn)算與乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化的“橋梁”和“渡船”．正像減法轉(zhuǎn)化為加法及相反數(shù)一樣，非常重要．倒數(shù)是伴隨著除法運(yùn)算而產(chǎn)生的．②正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，而0沒有倒數(shù)，這與相反數(shù)不同．【規(guī)律方法】求相反數(shù)、倒數(shù)的方法求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)時(shí)，只需在這個(gè)數(shù)前面加上“﹣”即可求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)求一個(gè)整數(shù)的倒數(shù)，就是寫成這個(gè)整數(shù)分之一求一個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是調(diào)換分子和分母的位置注意：0沒有倒數(shù)．知識(shí)點(diǎn)2．有理數(shù)的乘法（1）有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘．（2）任何數(shù)同零相乘，都得0．（3）多個(gè)有理數(shù)相乘的法則：①幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．②幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0．（4）方法指引：①運(yùn)用乘法法則，先確定符號(hào)，再把絕對(duì)值相乘．②多個(gè)因數(shù)相乘，看0因數(shù)和積的符號(hào)當(dāng)先，這樣做使運(yùn)算既準(zhǔn)確又簡(jiǎn)單．知識(shí)點(diǎn)3．有理數(shù)的除法（1）有理數(shù)除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，即：a÷b＝a?（b≠0）（2）方法指引：（1）兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除．0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0．（2）有理數(shù)的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數(shù)與整數(shù)相除一般采用“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除”．如果有了分?jǐn)?shù)，則采用“除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，再約分．乘除混合運(yùn)算時(shí)一定注意兩個(gè)原則：①變除為乘，②從左到右．題型一、多個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算1．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）如果三個(gè)連續(xù)整數(shù)n、、的和等于它們的積，那么我們把這三個(gè)整數(shù)稱為“和諧數(shù)組”，下列n的值不滿足“和諧數(shù)組”條件的是（

）A． B． C．1 D．32．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）分類討論思想是數(shù)學(xué)的重要思想，在學(xué)習(xí)有理數(shù)的過程中，也深有感受?。?）當(dāng)時(shí)，若，則0；（2）當(dāng)時(shí)，若，則c0；（3）已知a，b，c是非零有理數(shù)，則．3．（23-24七年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．題型二、有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用4．（24-25七年級(jí)上·山東青島·開學(xué)考試）100張我們現(xiàn)在考的這樣的試卷紙的厚度最接近（

）A．8毫米 B．8厘米 C．8分米 D．8米5．（24-25七年級(jí)上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）小龍家住在6樓，他從6樓乘坐電梯到地下1層的車庫(kù)，假設(shè)每層的樓高為3米，則電梯一共下降的高度為米．6．（24-25七年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）某天上午，一出租車司機(jī)始終在一條南北走向的筆直馬路上營(yíng)運(yùn)，（出發(fā)點(diǎn)記作為點(diǎn)0，約定向南為正，向北為負(fù)），期間一共運(yùn)載6名乘客，行車?yán)锍蹋▎挝唬呵祝┮老群蟠涡蛴涗浫缦拢?，，，，，?1)出租車在行駛過程中，離出發(fā)點(diǎn)O最遠(yuǎn)的距離是________千米；(2)將最后一名乘客送到目的地，出租車離出發(fā)點(diǎn)O多遠(yuǎn)？在O點(diǎn)的什么方向？(3)出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：起步價(jià)（不超過3千米）為8元，超過3千米的部分每千米的價(jià)格為1.5元，求司機(jī)這天上午的營(yíng)業(yè)額．題型三、有理數(shù)的除法運(yùn)算7．（24-25七年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）已知：，且a，b，c都不等于0，則a，b，c中最小的數(shù)是（

）A．a(chǎn) B．b C．c D．無(wú)法確定8．（24-25七年級(jí)上·廣東汕頭·階段練習(xí)）已知有理數(shù)a、b滿足，則．9．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）數(shù)學(xué)老師布置了一道思考題：“計(jì)算：”小明仔細(xì)思考了一番，用了一種特別的方法解決了這個(gè)問題：原式的倒數(shù)為，所以．請(qǐng)你運(yùn)用小明的方法計(jì)算：．題型四、有理數(shù)除法的應(yīng)用10．（24-25七年級(jí)上·四川成都·開學(xué)考試）下面各年份中，不是閏年的是（

）A．1942 B．2000 C．2004 D．202011．（24-25七年級(jí)上·吉林松原·階段練習(xí)）小英用小時(shí)走了千米，則小英行走的速度是每小時(shí)千米．12．（24-25七年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）如圖①為種植行業(yè)常見的塑料大棚，塑料大棚有助于保持室內(nèi)溫度，為植物提供良好的生存環(huán)境，可以將其簡(jiǎn)化為圖②所示的立體圖形，上方為半圓柱體．已知(1)這樣一個(gè)塑料大棚的種植面積為多少平方米？(2)圍起一個(gè)這樣的大棚需要多大面積的塑料薄膜？(3)這樣一個(gè)大棚的空間為多少立方米？題型五、有理數(shù)乘除混合運(yùn)算13．（24-25七年級(jí)上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）若規(guī)定“！”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，，的值為（

）A． B． C． D．114．（24-25七年級(jí)上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）我們把記作，記作．（1）（2）15．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）【閱讀材料】當(dāng)有理數(shù)不等于時(shí)，把個(gè)相同的有理數(shù)的除法運(yùn)算記作；把個(gè)相同的有理數(shù)的除法運(yùn)算記作；把個(gè)相同的有理數(shù)x的除法運(yùn)算記作；；特別地，規(guī)定．【解決問題】(1)若，則______﹔(2)_______；(3)計(jì)算：．一、單選題1．計(jì)算的結(jié)果是（）A．6 B．36 C． D．12．2022的倒數(shù)是（）A． B． C．2022 D．3．下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（

）①的相反數(shù)是；②的絕對(duì)值是2022；③的倒數(shù)是2022．A．3 B．2 C．1 D．04．計(jì)算的結(jié)果是（

）A．9 B． C． D．5．下列說(shuō)法正確的是（

）A．的相反數(shù)是 B．的絕對(duì)值是C．的倒數(shù)是 D．?dāng)?shù)軸上表示的點(diǎn)在表示的點(diǎn)的右側(cè)6．有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是（

）

A． B． C． D．7．已知a，b，c三個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，且，則下列結(jié)論正確的是（）

A． B． C． D．8．下列語(yǔ)句說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（

）（1）幾個(gè)數(shù)相乘，積的符號(hào)與負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)，當(dāng)負(fù)因數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)，當(dāng)負(fù)因數(shù)為偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．（2）除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)．（3）加上一個(gè)數(shù)等于減去這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．（4）如果a大于b，那么a的倒數(shù)大于b的倒數(shù)．（5）一個(gè)數(shù)大于另一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，則這個(gè)數(shù)一定是正數(shù)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)9．用簡(jiǎn)便方法計(jì)算計(jì)算時(shí)，最合適的變形是（

）A． B． C． D．10．有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列各式的符號(hào)為正的是（

）A． B． C． D．二、填空題11．的倒數(shù)的絕對(duì)值是．12．兩個(gè)非零有理數(shù)的商是，則他們的和為．13．的倒數(shù)是；絕對(duì)值等于4的數(shù)是．14．計(jì)算：；15．；16．計(jì)算：.17．若是有理數(shù)，定義新運(yùn)算：．例如：．試計(jì)算．18．下列說(shuō)法中：①若，則；②若，，則；③式子是七次三項(xiàng)式；④若，m是有理數(shù)，則；⑤幾個(gè)有理數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)積為負(fù)．其中說(shuō)法正確的是．三、解答題19．已知．(1)若，求的值．(2)若，求的值．20．快過年了，小剛的媽媽計(jì)劃買1張餐桌和6把椅子來(lái)替換家里的舊餐桌和椅子，媽媽從甲、乙兩商場(chǎng)了解到：同一型號(hào)的餐桌報(bào)價(jià)每張均為800元，椅子的報(bào)價(jià)每把均為80元．甲商場(chǎng)稱：每購(gòu)買一張餐桌贈(zèng)送兩把椅子；乙商場(chǎng)決定：餐桌、椅子均按報(bào)價(jià)的八五折銷售，你認(rèn)為小剛的媽媽應(yīng)該到哪一家商場(chǎng)購(gòu)買呢？21．已知有理數(shù)－16，－10，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A，B，C三點(diǎn)，BC－AB＝4．(1)請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上畫出點(diǎn)A，B，并求B，C兩點(diǎn)間的距離；(2)求AC中點(diǎn)表示的數(shù)22．快遞員王師傅配送快件，在東西向某段路進(jìn)行配送快遞，若規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，王師傅從單位出發(fā)配送的10戶的里程如下：，，，，，，，，，（單位：千米）(1)請(qǐng)問王師傅最后所在的位置在單位的什么地方，距離單位多遠(yuǎn)？(2)如果小電車每千米耗電量0.02度電，想問王師傅這一上午耗電量多少？23．一個(gè)多位數(shù)是整數(shù)，代表這個(gè)整數(shù)分出來(lái)的左邊數(shù)，代表這個(gè)整數(shù)分出來(lái)的右邊數(shù)，其中，兩部分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)相同，若正好為剩下的中間數(shù)，則這個(gè)多位數(shù)就叫平衡數(shù)，例如：357滿足，357是平衡數(shù)；233241滿足，233241是平衡數(shù)．(1)判斷：468____平衡數(shù)；314567____平衡數(shù)；（填“是”或“不是”(2)證明任意一個(gè)三位平衡數(shù)一定能被3整除．24．某檢修小組從A地出發(fā)，在東西向的馬路上檢修線路，如果規(guī)定向東行駛為正，向西行駛為負(fù)，一天中七次行駛紀(jì)錄如下．(單位：)第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次(1)在第_______次紀(jì)錄時(shí)距A地最遠(yuǎn)？(2)求檢修小組收工時(shí)在A地的何處？距A地有多遠(yuǎn)？(3)若每千米耗油0.15升，每升汽油需8元，問這天檢修小組工作一天回到出車地時(shí)需汽油費(fèi)多少元？25．“十一”長(zhǎng)假期間，我市銀杏公園7天中每天旅游人數(shù)的變化情況如下表（正數(shù)表示比9月日多的人數(shù)，負(fù)數(shù)表示比9月日少的人數(shù)）：日期1日2日3日4日5日6日7日人數(shù)變化千人(1)請(qǐng)判斷7天內(nèi)游客人數(shù)量最多和最少的各是哪一天？它們相差多少千人？(2)如果9月日旅游人數(shù)為2千人，平均每人公園內(nèi)消費(fèi)元，請(qǐng)問銀杏公園在此7天內(nèi)總收入為多少萬(wàn)元？26．2023年杭州亞運(yùn)會(huì)的三個(gè)吉祥物分別為“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”，在亞運(yùn)會(huì)期間，某電商平臺(tái)開啟了為期一周的直播公益活動(dòng)，活動(dòng)如下：每銷售一只亞運(yùn)會(huì)吉祥物．就從銷售額里拿出一部分作