湖北省部分高中協(xié)作體2025屆高三下學(xué)期聯(lián)考（三模）數(shù)學(xué)試卷 含解析

共共4頁(yè)，第頁(yè)湖北省部分高中協(xié)作體2025屆三統(tǒng)聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁(yè)，19題，全卷滿(mǎn)分150分，考試用時(shí)120分鐘?！镒？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：1、答題前，請(qǐng)將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的制定位置。2、選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3、非選擇題作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4、考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡上交。一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)=x-1,則使f(x)>0的x的取值范圍是(C)A.{x|x>1} B.{x|-1<x<0}C.{x|x<-1,或x>1} D.{x|1<x<0,或x>1}解析因?yàn)楫?dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)=x-1單調(diào)遞增,又因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),故可以作出f(x)的大致圖象如圖所示。由圖象可知,若f(x)>0,則x<-1或x>1。故選C。2.若sin(α+β)=3sin(π-α+β),α,β∈0,π2,則tanαtanβA.2 B.12C.3 D.1解析因?yàn)閟in(α+β)=3sin(π-α+β),所以sinαcosβ=2cosαsinβ,所以tanα=2tanβ,即tanαtanβ=23.若f(α)=cosα+i·sinα(i為虛數(shù)單位),則[f(α)]2=(B)A.f(α) B.f(2α) C.2f(α) D.f(α2)解析因?yàn)閒(α)=cosα+i·sinα,所以[f(α)]2=(cosα+i·sinα)2=cos2α+2i·sinαcosα+i2·sin2α=cos2α+i·sin2α=f(2α)。故選B。4.如圖,已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,則線(xiàn)段AD1上的動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)A1C1的距離的最小值為(D)A.1 B.2C.64 D.解析如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A1(1,0,1),C1(0,1,1),設(shè)P(x,0,1-x),0≤x≤1,則A1P=(x-1,0,-x),又A1C1=(-1,1,0),所以動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)A1C1的距離為d=A1P|2?A1P·A1C1A1C15.已知公差不為0的等差數(shù)列{an}中,a2+a4=a6,a9=a62,則a10=(AA.52 B.5C.10 D.40解析設(shè)公差為d,由已知,得a1+d+a1+3d=a1+5d,a1+8d=(a6.已知x0是方程2x2e2x+lnx=0的實(shí)根,則關(guān)于實(shí)數(shù)x0的判斷正確的是(C)A.x0≥ln2 B.x0≤1C.2x0+lnx0=0 D.2ex0+lnx解析由2x2e2x+lnx=0?2xe2x=-lnxx=1xln1x=eln1xln1x。構(gòu)造函數(shù)h(x)=xex,h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則h(2x7.用數(shù)字1,2,3,4,5組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為(B)A.8 B.48 C.24 D.120解析末位數(shù)字排法有A21種,其他位置排法有A43種,故所求偶數(shù)的個(gè)數(shù)是A8.已知某地的財(cái)政收入x與支出y滿(mǎn)足經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=bx+a+e(單位:億元),其中b=0.8,a=2,|e|≤0.5,如果今年該地區(qū)的財(cái)政收入為10億元,A.9億元 B.10億元C.9.5億元 D.10.5億元解析y=0.8×10+2+e=10+e≤10.5。故選D。二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.如圖,已知正三棱臺(tái)ABC?A1B1C1的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2和6,側(cè)棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1內(nèi)運(yùn)動(dòng)(包含邊界),且AP與平面BCC1B1所成角的正切值為22,點(diǎn)Q為CC1上一點(diǎn),且CQ=3QC1,則下列結(jié)論中正確的有A.正三棱臺(tái)ABC?A1B1C1的高為26B.點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為3πC.高為463,底面半徑為D.過(guò)點(diǎn)A,B,Q的平面截該棱臺(tái)內(nèi)最大的球所得的截面面積為32解析依題意,如圖①,延長(zhǎng)正三棱臺(tái)側(cè)棱相交于點(diǎn)O,所以O(shè)A=OB=OC。在等腰梯形BCC1B1中,由BC=6,B1C1=2,BB1=CC1=4,易知∠B1BC=∠C1CB=60°。所以△OBC為等邊三角形,三棱錐O?ABC為正四面體,OB1=2。如圖①,設(shè)H為等邊△OBC的中心,易證AH⊥側(cè)面OBC,所以AH=62?632=26,所以O(shè)點(diǎn)到底面ABC的距離為26,又OB1=2,BB1=4,所以正三棱臺(tái)ABC?A1B1C①因?yàn)锳P與平面BCC1B1所成角的正切值為22,即tan∠APH=AHHP=26HP=22,所以HP=3。如圖②,HP正好為等邊△OBC的內(nèi)切圓半徑,所以點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為23π,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤。因?yàn)檎馀_(tái)ABC?A1B1C1的高為463,△A1B1C1的內(nèi)切圓半徑為33>36,所以可以放入,故選項(xiàng)C正確。設(shè)正四面體O?ABC的內(nèi)切球半徑r,則13S△ABC×26=4×13S△ABC·r,解得r=62,因?yàn)?r<463,所以該棱臺(tái)內(nèi)最大的球即為正四面體O?ABC的內(nèi)切球。因?yàn)镃Q=3QC1,CC1=4,②10.已知F1,F2是雙曲線(xiàn)E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),過(guò)F1作傾斜角為π6的直線(xiàn)分別交y軸、雙曲線(xiàn)右支于M,P兩點(diǎn),且|MP|=|A.∠F1PF2=πB.E的離心率為3C.△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為3-1D.若A,B為E上的兩點(diǎn)且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則PA,PB的斜率存在時(shí)其乘積為2解析如圖所示,因?yàn)镸,O分別是PF1,F1F2的中點(diǎn),所以在△PF1F2中,PF2∥MO,所以PF2⊥x軸。對(duì)于A,因?yàn)橹本€(xiàn)PF1的傾斜角為π6,所以∠F1PF2=π3,故A正確;對(duì)于B,Rt△PF1F2中,|F1F2|=2c,|PF2|=233c,|PF1|=433c,所以|PF1|-|PF2|=233c=2a,得e=ca=3,故B正確;對(duì)于C,△PF1F2的周長(zhǎng)為2(1+3)c,設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,根據(jù)三角形的等面積法,有2(1+3)cr=2c·233c,得r=1?33c,是與c有關(guān)的式子,所以C錯(cuò)誤;對(duì)于D,A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),可設(shè)A(m,n),B(-m,-n),Pc,233c,根據(jù)e=ca=3,得P(3a,2a),所以當(dāng)斜率存在時(shí),kPA=n?2am?3a,kPB=?n?2a?m?3a,kPA·kPB=4a211.函數(shù)y=(kx2+1)ex的圖象可能是(ABC)解析令f(x)=(kx2+1)ex,則其定義域?yàn)镽,f'(x)=ex(kx2+2kx+1)。當(dāng)k=0時(shí),f(x)=ex,此時(shí)f(x)的圖象大致為選項(xiàng)A。當(dāng)k≠0時(shí),對(duì)于方程kx2+2kx+1=0,Δ=4k2-4k。當(dāng)Δ=4k2-4k≤0,即0<k≤1時(shí),f'(x)≥0在R上恒成立,所以當(dāng)0<k≤1時(shí),函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,又f(x)>0恒成立,當(dāng)x→+∞時(shí),f(x)→+∞,當(dāng)x→-∞時(shí),f(x)→0,所以此時(shí)函數(shù)f(x)的圖象大致為選項(xiàng)A。由Δ=4k2-4k>0,得k<0或k>1。當(dāng)k>1時(shí),f'(x)=0有兩個(gè)不相等實(shí)根,記為x1,x2,且x1<x2,則x1x2=1k>0,x1+x2=-2<0,所以x1<x2<0,且當(dāng)x<x1或x>x2時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x1<x<x2時(shí),f'(x)<0,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,x1),(x2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(x1,x2)。又f(x)>0,且當(dāng)x→+∞時(shí),f(x)→+∞,當(dāng)x→-∞時(shí),f(x)→0,所以此時(shí)函數(shù)f(x)的圖象大致為選項(xiàng)C。當(dāng)k<0時(shí),f'(x)=0有兩個(gè)不相等實(shí)根,記為x'1,x'2,且x'1<x'2,則x'1x'2=1k<0,x'1+x'2=-2<0,所以x'1<0,x'2>0,且|x'1|>|x'2|,當(dāng)x<x'1或x>x'2時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x'1<x<x'2時(shí),f'(x)>0,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,x'1),(x'2,+∞),單調(diào)遞增區(qū)間為(x'1,x'2)。又f(0)=1>0,所以f(x'1)<1,f(x'2)>1,且當(dāng)x→+∞時(shí),f(x)→-∞,當(dāng)x→-∞時(shí),f(x)→0,所以此時(shí)函數(shù)f(x)的圖象大致為選項(xiàng)B。故選三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分12.已知奇函數(shù)f(x)在x≥0時(shí)的圖象如圖所示,則不等式xf(x)<0的解集為(-2,-1)∪(1,2)。

解析因?yàn)閤f(x)<0,所以x和f(x)異號(hào),由于f(x)為奇函數(shù),補(bǔ)齊函數(shù)f(x)的圖象如圖。當(dāng)x∈(-2,-1)∪(0,1)∪(2,+∞)時(shí),f(x)>0,當(dāng)x∈(-∞,-2)∪(-1,0)∪(1,2)時(shí),f(x)<0,所以不等式xf(x)<0的解集為(-2,-1)∪(1,2)。13.已知圓O:x2+y2=4與圓C:x2+y2-x+3y-3=0相交于A,B兩點(diǎn),則sin∠AOB=

158。解析因?yàn)閳AO:x2+y2=4與圓C:x2+y2-x+3y-3=0相交于A,B兩點(diǎn),所以直線(xiàn)AB的方程為(x2+y2-4)-(x2+y2-x+3y-3)=0,即x-3y-1=0,所以圓心O(0,0)到弦AB的距離為d=12,所以|AB|=222?d2=15,所以在△AOB中,如圖|OA|=|OB|=2,由余弦定理,得cos∠AOB=4+4?152×2×214.在x?1xn的展開(kāi)式中,只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則展開(kāi)式中含x2解析因?yàn)樵趚?1xn的展開(kāi)式中,只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,即Cn4最大,所以可得n=8,此時(shí)展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=C8r(-1)rx8?32r,令8-32r=2,解得r=4四、解答題：本題共5小題，共77分15.（本小題滿(mǎn)分15分）環(huán)保生活,低碳出行,新能源電動(dòng)汽車(chē)正成為人們購(gòu)車(chē)的熱門(mén)選擇。現(xiàn)對(duì)某型號(hào)的電動(dòng)汽車(chē)在一段平坦的國(guó)道上進(jìn)行測(cè)試,國(guó)道限速80km/h(不含80km/h),經(jīng)多次測(cè)試得到該汽車(chē)每小時(shí)耗電量M(單位:Wh)與速度v(單位:km/h)的下列數(shù)據(jù):v/(km·h-1)0204060M/Wh0300056009000為了描述國(guó)道上該汽車(chē)每小時(shí)耗電量與速度的關(guān)系,現(xiàn)給出以下三種函數(shù)模型供選擇:M(v)=140v3+bv2+cv,M(v)=80023v+a,M(v)=500logav(1)當(dāng)0≤v<80時(shí),請(qǐng)選出符合表格所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型,并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式;(2)現(xiàn)有一輛同型號(hào)汽車(chē)從A地駛到B地,前一段是200km的國(guó)道,后一段是100km的高速路。若已知高速路上該汽車(chē)每小時(shí)耗電量N(單位:Wh)與速度v的關(guān)系是N(v)=2v2-10v+200(80≤v≤120),則如何行駛才能使得總耗電量最少?最少為多少?(假設(shè)該汽車(chē)在兩段路上分別勻速行駛)解(1)對(duì)于M(v)=500logav+b,當(dāng)v=0時(shí),該解析式無(wú)意義,所以不合題意;對(duì)于M(v)=80023v+a,易得它是個(gè)減函數(shù),這與M(40)<M(60)矛盾。故選擇M(v)=140v3+bv2+cv。根據(jù)提供的數(shù)據(jù)得140×203+b×202+c×20=3000,140×403(2)設(shè)該汽車(chē)在國(guó)道上的行駛速度為v1,0≤v1<80。由國(guó)道路段長(zhǎng)為200km得行駛所用時(shí)間為200v1h,則國(guó)道路段行駛所耗電量(單位:Whf(v1)=200v1×M(v1)=200v1×140v13?2v12+180v1=5×(v12-80v1+7200)=5×(v1-40)2+28000,因?yàn)?≤v1<80,所以當(dāng)v1=40時(shí),f(v1)取最小值,f(v1)min=28000。設(shè)該汽車(chē)在高速路段的行駛速度為v2,80≤v2≤120。由高速路段長(zhǎng)為100km,得行駛所用時(shí)間為100v2h,則高速路段行駛所耗電量(單位:Wh)為g(v2)=100v2×N(v2)=100v2×(2v22-10v2+200)=200×v2+100v2?5=200×v2+100v2-1000,因?yàn)間'(v2)=200×1?100v22,當(dāng)v2>10時(shí),g'(v2)>0,所以g(v2)在[80,120]上單調(diào)遞增,所以g(v16.（本小題滿(mǎn)分15分）如圖,四棱錐P?ABCD的底面為菱形,∠ABC=π3,AB=AP=2,PA⊥底面ABCD,E是線(xiàn)段PB的中點(diǎn),G,H分別是線(xiàn)段PC上靠近P,C(1)求證:平面AEG∥平面BDH;(2)求點(diǎn)A到平面BDH的距離。解(1)證明:如圖,連接AC,交BD于點(diǎn)O,連接OH,在△PBH中,E,G分別為PB,PH的中點(diǎn),所以EG∥BH,又EG?平面BDH,BH?平面BDH,所以EG∥平面BDH,同理可得AG∥OH,AG∥平面BDH,因?yàn)锳G,EG?平面AEG,AG∩EG=G,所以平面AEG∥平面BDH。(2)記點(diǎn)A到平面BDH,點(diǎn)H到平面ABD的距離分別為hA,hH。S△ABD=12×2×2×32=3。因?yàn)镻A⊥平面ABCD,PA=2,CH=13CP,所以hH=13PA=23。在△PBC中,PB=PC=22,BC=2,所以cos∠PCB=122=24。在△BCH中,BH2=BC2+CH2-2BC·CH·cos∠HCB=329,則BH=423,同理可得DH=423。在△BDH中,BH=DH=423,BD=23,所以S17.（本小題滿(mǎn)分15分）已知以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0)和B(3,4),線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交圓P于點(diǎn)C和D,且|CD|=410。(1)求直線(xiàn)CD的方程;(2)求圓P的方程。解(1)由題意知,直線(xiàn)AB的斜率k=1,線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),則直線(xiàn)CD的方程為y-2=-(x-1),即x+y-3=0。(2)設(shè)圓心P(a,b),則由點(diǎn)P在直線(xiàn)CD上,得a+b-3=0①。又因?yàn)橹睆絴CD|=410,所以|PA|=210,即(a+1)2+b2=40②。由①②解得a=?3,b=6或a=5,b=?2。所以圓心P(-3,6)或P(5,-2)。所以圓P的方程為(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)18.（本小題滿(mǎn)分16分）已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1,a2,a5成等比數(shù)列,a2a3=a8。(1)求數(shù)列{