計量經(jīng)濟學非線性回歸模型的線性化

第四章非線性回歸模型的線性化

以上介紹了線性回歸模型。但有時候變量之間的關(guān)系是非線性的。例如

匕=ao+%，i+%

y,=a0ea）+

上述非線性回歸模型是無法用最小二乘法估計參數(shù)的?？刹捎梅蔷€性方法進行估

計。估計過程非常復雜和困難，在20世紀40年代之前幾乎不可能實現(xiàn)。計算機的出

現(xiàn)大大方便了非線性回歸模型的估計。專用軟件使這種計算變得非常容易。但本章不

是介紹這類模型的估計。

另外還有一類非線性回歸模型。其形式是非線性的，但可以通過適當?shù)淖儞Q，轉(zhuǎn)

化為線性模型，然后利用線性回歸模型的估計與檢驗方法進行處理。稱此類模型為可

線性化的非線性模型。下面介紹幾種典型的可以線性化的非線性模型。

4.1可線性化的模型

⑴指數(shù)函數(shù)模型

=aebxtut(4.1)

/?。和MO兩種情形的圖形分別見圖4.1和4.2o顯然笛和），/的關(guān)系是非線性的。對上

式等號兩側(cè)同取自然對數(shù)，得

Lny=Lna+bxtut（4.2）

令Lnyt=y**,Lna=〃*,則

*=a*+bxt+ut（4.3）

變量V*和取己變換成為線性關(guān)系。其中"表示隨機誤差項。

圖4.1圖4.2）?尸。/75,（方＜0）

⑵對數(shù)函數(shù)模型

=a+bLnxtth(4.4)

比>0和從0兩種情形的圖形分別見圖4.3和4.4。2和"的關(guān)系是非線性的。令必*=。皿

=〃+/?2*+Z4(4.5)

圖4.3yta-bLnxt+必，(b>0)

⑶嘉函數(shù)模型

b

=axteu,(4.6)

〃取不同值的圖形分別見圖4.5和4.6o力和y的關(guān)系是非線性的。對上式等號兩

側(cè)同取對數(shù)，得

(4.7)

Lfiy(=Lna+bLiix{+uf

令),**=L〃yr,a*=Lna,x**=Lnxt,貝U上式表

(4.8)

7T<頭1v.*=〃*+hr.*+u.

變量)，產(chǎn)和之間已成線性關(guān)系。其中〃，表示隨機誤差項。(4.7)式也稱作全對數(shù)模

型。

圖圖

4.5JvI=axf>>€)?,4.6*vr=axrbe?,

(4)雙曲線函數(shù)模型

11yt=a+b/xt+ut(4.9)

也可寫成，

y,=\!(a+b/xt+ih)(4.10)

〃＞0情形的圖形見圖4.7。兀和匕的關(guān)系是非線性的。令匕*=1/匕內(nèi)*=1的得

*=a+bxt*+u(

圖4.7>7=l/(fl+b/xt),(b>0)34.8y,=a+b/x,,(Z?>0)

雙曲線函數(shù)還有另一種表達方式，

yt=a+b/xt+u,(4.11)

力＞0情形的圖形見圖4.8。x/和v的關(guān)系是非線性的。令無*=1而得

yt=a+bxt*+lit

上式已變換成線性回歸模型。

例4.2(P139,例3.5

⑸多項式方程模型

一種多項式方程的表達形式是

yt=bo+b\xt+匕2無2+/?&。3+出(4.12)

其中6＞0,歷＞0,加＞0和bivO,歷＞0,加＜0情形的圖形分別見圖4.9和4.10o令x”

Xt2=xi2fr3=引，上式變?yōu)?/p>

yt=bo+b\XtI十%X,2十。Kf3十%(4.13)

這是一個三元線性回歸模型。如經(jīng)濟學中的總成本曲線與圖4.9相似。

itsoo

另一種多項式方程的表達形式是

=bo+b\xt+bixti+u,(4.14)

其中6>0,歷>0和bivO,岳VO情形的圖形分別見圖411和4.12。令X\=xt,xt2=x!2f

上式線性化為，

y產(chǎn)bu+b\Xt\+Z?居2+〃r(4.15)

例4.3(P141例3.6)

⑹生長曲線(logistic)模型

1+e/o+ut(4.16)

一般/()=%+。"+42尸+...+“/〃，常見形式為/)=〃<)

(4.17)

1+e^ao-at>*uu1+be^ut

其中b=eaO。Q0情形的圖形分別見圖4.13和4.14。美國人口統(tǒng)計學家Pearl和Reed

廣泛研究了有機體的生長，得到了上述數(shù)學模型。生長模型(或邏輯斯諦曲線，

Pearl-Reed曲線)常用于描述有機體生長發(fā)育過程。其中人和0分別為)，’的生長上限

和下限oLimy=k,Limy=0。。力為待估參數(shù)。曲線有拐點，坐標為（口"Q,曲,f

32

線的上下兩部分對稱于拐點。

圖4.13y/=^/(I+be-at+ut)圖4.14yt=k/(1+beat^-u,)

為能運用最小二乘法估計參數(shù)〃”，必須事先估計出生曲線長上極限值晨線性化

過程如下。當火給出時，作如下變換,

kly,=1+be-….

移項，k/yt-1=be-ai+ui

取自然對數(shù)，Ln(kly,-\)=Lnb-at+ut(4.18)

令),**二L〃(Uy,-I),/?*=。仍，則

M*=b*-at+Ui

(4.19)

此時可用最小二乘法估計/產(chǎn)和a。

圖4.15內(nèi)地5月1日至28日每天非典數(shù)據(jù)一覽

⑺龔伯斯(Gompertz)曲線

英國統(tǒng)計學家和數(shù)學家最初提出把該曲線作為控制人口增長的一種數(shù)學模型，此

模型可用來描述一項新技術(shù)，一種新產(chǎn)品的發(fā)展過程。曲線的數(shù)學形式是，

圖4A5y1=ke-be

曲線的上限和下限分別為攵和0,/力明二攵,〃明二0。4"為待估參數(shù)。曲線有拐點，rs

f----8

坐標為(。也但曲線不對稱于拐點。一般情形，上限值k可事先估計，有了k值，

ae

龔伯斯曲線才可以用最小二乘法估計參數(shù)。線性化過程如下：當k給定時，

yjk=Jj,kly尸產(chǎn)…

a,

Ln(k/yt)=be~>Ln[Ln(k/yt)]=Lnb-at

令y*=Ln[Ln(k/yt)]yb*=Lnb,則

=b*-at

上式可用最小二乘法估計A*和a。

(8)Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)

下面介紹柯布道格拉斯(Cobb-Douglas)生產(chǎn)函數(shù)。其形式是

Q=kLaCi-a(4.24)

其中Q表示產(chǎn)量；L表示勞動力投入量；C表示資本投入量；攵是常數(shù)；o<a<i。這

種生產(chǎn)函數(shù)是美國經(jīng)濟學家柯布和道格拉斯根據(jù)1899-1922年美國關(guān)于生產(chǎn)方面的數(shù)

據(jù)研究得出的。a的估計值是0.75,P的估計值是0.25。更習慣的表達形式是

y=P()xjxJeW(4.25)

tf2

這是一個非線性模型，無法用OLS法直接估計，但可先作線性化處理。上式兩邊同取

對數(shù)，得：

Lriyt—LnPo+P.LriAti+P2Lrixt2+ut(4.26)

取y*=Lnyt,瓦*=LnPo,x；/*=Lnxt1,H2*=xn,有

%*=Bo*+3i**+Bi'z2*+ut(4.27)

上式為線性模型。用OLS法估計后，再返回到原模型。若回歸參數(shù)

3I+3?=I,稱模型為規(guī)模報酬不變型(新古典增長理論)；

3,+32>I,稱模型為規(guī)模報酬遞增型；

3,+32<1,稱模型為規(guī)模報酬遞減型。

對于對數(shù)線性模型，Lny=L〃3O+31Lnxt1+32Lnxt2+i”,31和3z稱作彈性系數(shù)。以

3i為例，

31=S￡〃2八=y「型=以/仁人一(4.28)

aL,LXt1xt1-1axnav?IA1ytai

可見彈性系數(shù)是兩個變量的變化率的比。注意，彈性系數(shù)是一個無量綱參數(shù)，所以便于

在不同變量之間比較相應彈性系數(shù)的大小。

對于線性模型，p=aO+a,1Xrr+3.2Xt2+Ui,Hl和@2稱作邊際系數(shù)。以Hl為例，

ai=N(4.29)

BXn

通過比較(4.28)和(4.29)式，可知線性模型中的回歸系數(shù)(邊際系數(shù))是對數(shù)線性回歸模

型中彈性系數(shù)的一個分量。

例4.1(136P例3.4)略

4.2非線性化模型的處理方法

模型：)=〃+as+ag無論通過什么變換都不可能實現(xiàn)線性化，對于這種模型。

1122

稱為非線性化模型?？刹捎酶咚挂慌ｎD迭代法進行估計，即將其展開泰勒級數(shù)后，再進

行迭代估計方法進行估計。

1、迭代估計法

思想是：通過泰勒級數(shù)展開，先使非線性方程在某組初始參數(shù)估計值附近線性

化，然后對這一線性方程應用OLS法，得出一組新的參數(shù)估計值。下一步是使非線性

方程在新參數(shù)估計值附近線性化，對新的線性方程再應用OLS法，又得出一組新的參

數(shù)估計值。不斷重復上述過程，直至參數(shù)估計值收斂時為止。其步驟如下。

1)對模型：)，=/(xi,.V2,,.x,b\,b2,,b)+〃在給定的參數(shù)初始值耳他。…bp。展

開泰勒級數(shù):

y=f(xX2,,x,*%,bpo)+(b?b)

f小。bJb

Q取前兩項，便有線性近似:

+_xx?A2/I(力一-b)(b-b)+u

2IdbdbInojjo

IT可'lo

y-f(x,x,tx,b,b,,b)+￡b[-f-

I2k\020tvtoiOb

*—?(if人

/…?A

〃叵]+-注/u

=X(b-b)(b-b0^

i[Qb)2QbQb

=1M，，”

個版L山為"但的口f心,-3變看成一組新的自變量，這就已0b

2)將上式左端看成紐新的因變量，將右端/加

八八八

經(jīng)成為標準線性模型，再對其就用OLS法，得出一組估計值匕力，,b。

1121pl

3)重復第一、二步，在參數(shù)估計&Ab,力侏近再做一次泰勒級數(shù)展開，得

1121pl

到新的線性模型「應用OLS法，又得出一組參數(shù)俏訐值,L22P2

4)如此反復，得出一組點序列b2,60=16,)直到其收斂為止；….

I/2/N

2、迭代估計法的EViews實現(xiàn)過程……

1)設(shè)定代估參數(shù)的初始值，方法有兩種：

八、使用Param命令設(shè)定,

枚U如，Param10.52030則將待估的三個參數(shù)的初始值設(shè)成了0.5,0,0.

3、在工作文件窗口中雙擊序列C,并在序列窗口直接輸入?yún)?shù)的初始值，

2)估計參數(shù)

A、命令方式

在命令窗口可以直接鍵入非線性模型的迭代估計命令NLSo格式為:

NLS被解釋變量，=非線性函數(shù)表達式

例如，對于非線性回歸模型行〃*+〃估計命令為x+c

NLSy=c(l)*(x-c(2))/(x-c(3))

B、菜單方式。

在數(shù)組窗口“procs—makeepuation；

在彈出的方程描述對話框中輸入非線性回歸模型的具體形式;

y=c（1）*（x-c（2））/（x-c（3））

選擇估計方法為最小二乘法后單擊（0K）

例（P146例3.7）略

4.3回歸模型的比較

當經(jīng)濟變量呈現(xiàn)非線性關(guān)系時，經(jīng)?？梢圆捎枚鄠€不同數(shù)學形式的非線性模型。

如何選擇？

1、圖開觀察分析

1）觀察被解釋變量和解釋變量的趨勢圖。

2）觀察被解釋變量和解釋變量的相關(guān)圖

2、模型估計結(jié)果分析

1）回歸系數(shù)符號和大小是否符合經(jīng)濟意義，

2）改變模型后，是否使決定系數(shù)的值明顯提高。

3）T檢驗與F檢驗。

3、殘差分析

殘差反映了模型未能解釋部分的變化情況。

1）殘差分布表中，各期殘差是否大都落在土。的虛線內(nèi)。

2）殘差分布是否具有某種規(guī)律性。

3）近期的殘差分析情況。

例1：此模型用來評價臺灣農(nóng)業(yè)生產(chǎn)效率。用臺灣1958-1972年農(nóng)業(yè)生產(chǎn)總值（匕），

勞動力（%）,資本投入（7）數(shù)據(jù)（見表4.1）為樣本得估計模型，

Lny=-3.4+1.50Lnx,+0.49Lnx,（4.30）

12.78夕（4.80）/?2=0.89,F=48.45

還原后得，

yr=0.713X/11.50即20.49（4.31）

因為1.50+0.49=1.99,所以，此生產(chǎn)函數(shù)屬規(guī)模報酬遞增函數(shù)。當勞動力和資本投入

都增加1%時，產(chǎn)出增加近2%。

例2：用天津市工業(yè)生產(chǎn)總值（％）,職工人數(shù)（4）,固定資產(chǎn)凈值與流動資產(chǎn)平

均余額(/o)數(shù)據(jù)(1949-1997)為樣本得估計模型如下:

Ln丫=0.7272+0.2587。"+0.6986LnK

(3.12)(3.08)(18.75)

R2=0.98,s.e.=0.17,DW=0.42,F=1381.4

因為0.2587+0.6986=0.9573,所以此生產(chǎn)函數(shù)基本屬于規(guī)模報酬不變函數(shù)。

例3：硫酸透明度與鐵雜質(zhì)含量的關(guān)系(摘自《數(shù)理統(tǒng)計與管理》1988.4,p.16)某

硫酸廠生產(chǎn)的硫酸的透明度一直達不到優(yōu)質(zhì)指標。經(jīng)分析透明度低與硫酸中金

屬雜質(zhì)的含量太高有關(guān)。影響透明度的主要金屬雜質(zhì)是鐵、鈣、鉛、鎂等。通過正交

試驗的方法發(fā)現(xiàn)鐵是影響硫酸透明度的最主要原因"測量了47個樣本，得硫酸透明

度

(y)與鐵雜質(zhì)含量(x)的散點圖如下(file:nonli()1)：

⑴>'=121.59-0.91x⑵l/y=0.069-2.37(1/x)

(10.1)(-5.7)(18.6)(-11.9)

R?=0.42,s.e.=366F=32Rz=().76,s.e.=0.009.F=142

⑶)，=-54.40+6524.83(1〃)(4)L/?y=1.99+104.5(1/%)

(-7.2)(163)(22.0)(21.6)

心=0.86,s.e.=18.2,F=266^=0.91,s.e.=0.22,F=468

還原,Lny=Ln(7.33)+104.5(l/x)

y=7.33Jg”：)

⑸非線性估計結(jié)果是y=8.2965同'X)EViews命令Y=C(1)*EXP(C(2)*(1/X))

左=0.96,

例4中國鉛筆需求預測模型（非線性模型案例，file:nonli6）

中國從上個世紀30年代開始生產(chǎn)鉛筆。1985年全國有22個廠家生產(chǎn)鉛筆。產(chǎn)量居

世界首位（33.9億支），占世界總產(chǎn)量的1/3。改革開放以后，鉛筆生產(chǎn)增長極為迅速。

1979-1983年平均年增長率為8.5%o鉛筆銷售量時間序列見圖4.21。1961-1964年的銷售

量平穩(wěn)狀態(tài)是受到了經(jīng)濟收縮的影響。文革期間銷售量出現(xiàn)兩次下降，是受到了當時

政治因素的影響。1969-1972年的增長是由于一度中斷了的中小學教育逐步恢復的結(jié)果。

1977-1978年的增長是由于高考正式恢復的結(jié)果。1981年中國開始生產(chǎn)自動鉛筆，對傳

統(tǒng)鉛筆市場沖擊很大。1979-1985年的緩慢增長是受到了自動鉛筆上市的影響,

初始確定的影響鉛筆銷量的因素有全國人口、各類在校人數(shù)、設(shè)計人員數(shù)、居民消

費水平、社會總產(chǎn)值、自動鉛筆產(chǎn)量、價格因素、原材料供給量、政策因素等。經(jīng)過多

次篩選、組合和逐步回歸分析，最后確定的被解釋變量是匕（鉛筆年銷售量，千萬支）；

解釋變量分別是七|（自動鉛筆年產(chǎn)量，百萬支）；七2（全國人口數(shù)，百萬人）；，3（居

民年均消費水平，元）；七，（政策變量）。因政策因素影響鉛筆銷量出現(xiàn)大幅下降時，

政策變量取負值。例如1967、1968年的洶值取-2,1966、1969-1971、1974-1977年的加

值取-1）。

由圖4.22知中國自生產(chǎn)自動鉛筆起，自動鉛筆產(chǎn)量與鉛筆銷量存在線性關(guān)系。由圖

4.23知全國人口與鉛筆銷量存在線性關(guān)系。說明人口越多，對鉛筆的需求就越大。由圖

4.24知居民年均消費水平與鉛筆銷量存在近似對數(shù)的關(guān)系。散點圖說明居民年均消費

水平越高，則鉛筆銷量就越大。但這種增加隨著居民消費水平的增加變得越來越緩慢。

圖4.25顯示政策變量與鉛筆銷量也呈線性關(guān)系。

350

鉛筆銷售量時間序列(1961-1985)(文件名nonli6)

Y.X1散點圖Y.X2散點圖

Y.X3散點圖Y.X4散點圖

基于上述分析建立的模型形式是

匕二Po+Pl七l+民七2+氏Ln(xt3)+P4x4+ut

V與必3呈非線性關(guān)系。估計結(jié)果如下。

=-907.94-2.95x+0.31x+170.19Mx+45.51x(4.41)

11/2/3

(-6.4)(-3.7)(4.8)(4.4)(12.6)

R-=0.9885,DW=2.09,F=429,se=10.34

上式說明，在上述期間自動鉛筆年產(chǎn)量每增加1百萬支，平均使鉛筆的年銷售量減少

2950萬支。全國人口數(shù)每增加1百萬人，平均使鉛筆的年銷售量增加31()萬支。對數(shù)的

居民年均消費水平每增加1個單位，平均使鉛筆的年銷售量增加17億支。一般性政策

負面變動使鉛筆的年銷售量減少4.551億支。當政策出現(xiàn)大的負面變動時，鉛筆的

年銷量會減少9.102億支。

當匕對所有變量都進行線性回歸時(見下式)，顯然估計結(jié)果不如(4.41)式好。

=-254.26-3.29x+0.42x+0.66x+40.74x(4.42)

yt11t2r3i4

(-12.0)(-3.0)(8.6)(3.5)(11.7)

R?=0.9857,DW=1.77,F=346,s.e.=11.5

案例5:廈門市貸款總額與GDP的關(guān)系分析(1990~2003,Hle:bank08)

數(shù)據(jù)和散點圖如下。從散點圖看，用多項式方程擬合比較合理。

obsLOANGDP

199063,7000057,10000

199178,0000072,00000

1992112.700097,70000

LOAN?

1993151.8000132.3000

1994209.6000107.0000800

1995260.8000250.6000■

1996306.8000306.4000600*

1997■

352.3000370.3000■

1998397.3000410.10004oa*

1999435.3000458.3000?

2000488.3000501.2000oa*

2■

2001552.0000556.0000*

2002646.0000640.00000.GDP

2003898.0000760.0000c2004006008C

2

Loan,=P{)+P\GDPt+笆GDPt+生.專3+lit

Ont=-24.5932+1.6354GDPi-0.0026GJ2+0.0000027GDPn

(-2.0)(11.3)(-6.3)(7.9)

R2=0.9986,DW=2.6

o4nn60nRfK

DependentVariable:LOANMethod:LeastSquaresDate:07/22/04Time:22:02Sample:

19902003Includedobservations:14

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C-24.5932312,53127-1.9625490.0781

GDP1.6353720.14441111,324440.0000

GDPA2-0.0026220.000419-6.2538320.0001

GDP叼2.70E-063.42E-077.0990550.0000

R-squared0.998649Meandependentvar353.7571

AdjustedR-squared0.998243S.D.dependentvar238.3038

S.E.ofregression9.908309Akaikeinfocriterion7.675664

Sumsquaredresid997.6631Schwarzcriterion7.850252

Loglikelihood-49.72965F-statistic2463.275

Durbin-Watsonstat2.505063Prob(F-statistic)0.000000

例6釘螺存活率曲線曲le:nonli3）（生長曲線模型）

在冬季土埋釘螺的研究中，先把一批釘螺埋入土中，以后每隔一個月取出部分釘

螺，檢測存活個數(shù)，計算存活率。數(shù)據(jù)見表4.3。散點圖見圖4.20。

V,存活率（%）人十埋月數(shù)

，100.00

93.01

92.32

88.03

84.74

82.05

48.46

41.()7

15.08

5.29

3.510

1.311

0.512

設(shè)定匕的上漸近極限值k=101（因為已有觀測值匕=100,所以