專題22 概率統(tǒng)計及數(shù)字特征大題綜合（學生卷）- 2025年十年高考真題數(shù)學分項匯編

專題22概率統(tǒng)計及數(shù)字特征大題綜合考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1獨立性檢驗為載體及其應用（10年6考）2024·全國甲卷、2023·全國甲卷、2022·全國新Ⅰ卷2022·全國甲卷、2021·全國甲卷、2020·海南卷、2020·山東卷2020·全國卷、2017·全國卷熟練掌握獨立性檢驗和線性回歸直線方程的求解，該內容會繼續(xù)作為載體內容命題熟練掌握二項分布、超幾何分布及其他類別的分布列與期望方差問題，同樣是高考命題熱點掌握對立事件、相互獨立事件的概率求解，會求古典概率、條件概率、全概率，同樣是高考命題熱點要會概率統(tǒng)計的綜合運算及知識雜糅問題考點2線性回歸直線方程為載體及其應用（10年6考）2022·全國乙卷2020·全國卷2018·全國卷2017·全國卷2017·全國卷2016·全國卷2015·重慶卷考點3賽事類（分配類）的分布列及期望方差（10年9考）2024·全國新Ⅱ卷、2023·全國新Ⅰ卷、2022·全國甲卷2022·北京卷、2021·全國新Ⅰ卷、2020·全國卷、2019·天津卷2019·全國卷、2017·山東卷、2016·山東卷、2016·天津卷2015·重慶卷、2015·天津卷、2015·湖南卷、2015·安徽卷2015·福建卷考點4其他類型的分布列及期望方差（10年9考）2024·北京卷、2023·全國新Ⅰ卷、2021·北京卷、2020·江蘇卷2019·北京卷、2018·北京卷、2018·全國卷、2017·全國卷2017·江蘇卷、2016·全國卷、2015·山東卷考點5條件概率、全概率公式、貝葉斯公式（10年2考）2023·全國新Ⅰ卷、2022·全國新Ⅰ卷、2022·全國新Ⅱ卷考點6求解數(shù)字樣本特征及應用（10年3考）2023·全國乙卷、2021·全國乙卷、2015·廣東卷考點7概率統(tǒng)計的實際應用與決策問題（10年7考）2024·全國甲卷、2023·全國新Ⅱ卷、2023·北京卷、2020·北京卷2020·全國卷、2019·北京卷、2019·全國卷、2018·全國卷2017·北京卷、2016·四川卷、2016·北京卷、2016·全國卷2016·全國卷、2016·全國卷、2015·陜西卷、2015·全國卷考點8概率統(tǒng)計與其他知識的雜糅問題（10年4考）2023·全國新Ⅱ卷、2021·全國新Ⅱ卷2020·江蘇卷、2019·全國卷考點01獨立性檢驗為載體及其應用1．（2024·全國甲卷·高考真題）某工廠進行生產線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產品中隨機抽取150件進行檢驗，數(shù)據(jù)如下：優(yōu)級品合格品不合格品總計甲車間2624050乙車間70282100總計96522150(1)填寫如下列聯(lián)表：優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間乙車間能否有的把握認為甲、乙兩車間產品的優(yōu)級品率存在差異？能否有的把握認為甲，乙兩車間產品的優(yōu)級品率存在差異？(2)已知升級改造前該工廠產品的優(yōu)級品率，設為升級改造后抽取的n件產品的優(yōu)級品率.如果，則認為該工廠產品的優(yōu)級品率提高了，根據(jù)抽取的150件產品的數(shù)據(jù)，能否認為生產線智能化升級改造后，該工廠產品的優(yōu)級品率提高了？（）附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.8282．（2023·全國甲卷·高考真題）一項試驗旨在研究臭氧效應.實驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到實驗組，另外20只分配到對照組，實驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.(1)設表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；(2)實驗結果如下：對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：15.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2實驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：7.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.219.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表：對照組實驗組（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．附：0.1000.0500.0102.7063.8416.6353．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣（衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為R．（?。┳C明：；（ⅱ）利用該調查數(shù)據(jù)，給出的估計值，并利用（?。┑慕Y果給出R的估計值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.8284．（2022·全國甲卷·高考真題）甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運營，為了解這兩家公司長途客車的運行情況，隨機調查了甲、乙兩城之間的500個班次，得到下面列聯(lián)表：準點班次數(shù)未準點班次數(shù)A24020B21030(1)根據(jù)上表，分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率；(2)能否有90%的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.6355．（2021·全國甲卷·高考真題）甲、乙兩臺機床生產同種產品，產品按質量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產品的質量，分別用兩臺機床各生產了200件產品，產品的質量情況統(tǒng)計如下表：一級品二級品合計甲機床15050200乙機床12080200合計270130400（1）甲機床、乙機床生產的產品中一級品的頻率分別是多少?（2）能否有99%的把握認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異?附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.8286．（2020·海南·高考真題）為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質量進行調研，隨機抽查了天空氣中的和濃度（單位：），得下表：

3218468123710（1）估計事件“該市一天空氣中濃度不超過，且濃度不超過”的概率；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關？附：，0.050

0.010

0.0013.841

6.63510.8287．（2020·山東·高考真題）為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質量進行調研，隨機抽查了天空氣中的和濃度（單位：），得下表：（1）估計事件“該市一天空氣中濃度不超過，且濃度不超過”的概率；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關？附：，8．（2020·全國·高考真題）某學生興趣小組隨機調查了某市100天中每天的空氣質量等級和當天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：鍛煉人次空氣質量等級[0，200](200，400](400，600]1（優(yōu)）216252（良）510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計該市一天的空氣質量等級為1，2，3，4的概率；（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（3）若某天的空氣質量等級為1或2，則稱這天“空氣質量好”；若某天的空氣質量等級為3或4，則稱這天“空氣質量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關？人次≤400人次>400空氣質量好空氣質量不好附：，P(K2≥k)0.050

0.0100.001k3.8416.63510.8289．（2017·全國·高考真題）（2017新課標全國II理科）海水養(yǎng)殖場進行某水產品的新、舊網箱養(yǎng)殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽取了100個網箱，測量各箱水產品的產量（單位：kg）．其頻率分布直方圖如下：

(1)設兩種養(yǎng)殖方法的箱產量相互獨立，記A表示事件：“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50kg，新養(yǎng)殖法的箱產量不低于50kg”，估計A的概率；(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關：箱產量＜50kg箱產量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據(jù)箱產量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產量的中位數(shù)的估計值（精確到0.01）．附：，考點02線性回歸直線方程為載體及其應用1．（2022·全國乙卷·高考真題）某地經過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號ｉ12345678910總和根部橫截面積0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計算得．(1)估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數(shù)（精確到0.01）；(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．附：相關系數(shù)．2．（2020·全國·高考真題）某沙漠地區(qū)經過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計算得，，，，.（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；（2）求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關系數(shù)（精確到0.01）；（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由.附：相關系數(shù)r=，≈1.414.3．（2018·全國·高考真題）下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額（單位：億元）的折線圖．

為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型①：；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型②：．

（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值；

（2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由．4．（2017·全國·高考真題）為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）.根據(jù)長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件的尺寸服從正態(tài)分布.（1）假設生產狀態(tài)正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及X的數(shù)學期望；（2）一天內抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查.（?。┰囌f明上述監(jiān)控生產過程方法的合理性；（ⅱ）下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經計算得，，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，.用樣本平均數(shù)作為μ的估計值，用樣本標準差s作為σ的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計μ和σ（精確到0.01）.附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布，則，，.5．（2017·全國·高考真題）為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每隔從該生產線上隨機抽取一個零件，并測量其尺寸（單位：）．下面是檢驗員在一天內依次抽取的16個零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9．9510．129．969．9610．019．929．9810．04抽取次序910111213141516零件尺寸10．269．9110．1310．029．2210．0410．059．95經計算得，，，其中為抽取的第個零件的尺寸，．（1）求的相關系數(shù)，并回答是否可以認為這一天生產的零件尺寸不隨生產過程的進行而系統(tǒng)地變大或變?。ㄈ?，則可以認為零件的尺寸不隨生產過程的進行而系統(tǒng)地變大或變?。?）一天內抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查．（?。倪@一天抽檢的結果看，是否需對當天的生產過程進行檢查？（ⅱ）在之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計這條生產線當天生產的零件尺寸的均值與標準差．（精確到）附：樣本的相關系數(shù)，．6．（2016·全國·高考真題）下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖.

（Ⅰ）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數(shù)加以說明；（Ⅱ）建立y關于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預測2016年我國生活垃圾無害化處理量.附注：參考數(shù)據(jù)：，，，≈2.646.參考公式：相關系數(shù)回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：7．（2015·重慶·高考真題）隨著我國經濟的發(fā)展，居民的儲蓄存款逐年增長.設某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款（年底余額）如下表：年份20102011201220132014時間代號12345儲蓄存款（千億元）567810（Ⅰ）求y關于t的回歸方程（Ⅱ）用所求回歸方程預測該地區(qū)2015年（）的人民幣儲蓄存款.附：回歸方程中考點03賽事類（分配類）的分布列及期望方差1．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．(2)假設，（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？2．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．3．（2022·全國甲卷·高考真題）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．(1)求甲學校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．4．（2022·北京·高考真題）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優(yōu)秀獎．為預測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；(2)設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總人數(shù)，估計X的數(shù)學期望E（X）；(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）5．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.6．（2020·全國·高考真題）甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束.經抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率都為，（1）求甲連勝四場的概率；（2）求需要進行第五場比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率.7．（2019·天津·高考真題）設甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立.（Ⅰ）用表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；（Ⅱ）設為事件“上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率.8．（2019·全國·高考真題）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束.甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結果相互獨立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.9．（2017·山東·高考真題）在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的概率．（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望EX.10．（2016·山東·高考真題）甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分．已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響．各輪結果亦互不影響．假設“星隊”參加兩輪活動，求：（Ⅰ）“星隊”至少猜對3個成語的概率；（Ⅱ）“星隊”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學期望EX．11．（2016·天津·高考真題）邗江中學高二年級某班某小組共10人，利用寒假參加義工活動，已知參加義工活動次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為2，4，4．現(xiàn)從這10人中選出2人作為該組代表參加座談會．（1）記“選出2人參加義工活動的次數(shù)之和為4”為事件，求事件發(fā)生的概率；（2）設為選出2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．12．（2015·重慶·高考真題）端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗，設一盤中裝有個粽子，其中豆沙粽個，肉粽個，白粽個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取個．（）求三種粽子各取到個的概率．（）設表示取到的豆沙粽個數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望．13．（2015·天津·高考真題）為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.（1）設為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件發(fā)生的概率；（2）設為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.14．（2015·湖南·高考真題）某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎.（1）求顧客抽獎1次能獲獎的概率；（2）若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.15．（2015·安徽·高考真題）已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束.（Ⅰ）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每檢測一件產品需要費用100元，設表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用（單位：元），求的分布列和數(shù)學期望.X200300400P16．（2015·福建·高考真題）某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復地隨機選擇1個進行嘗試.若密碼正確，則結束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定.（Ⅰ）求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率；（Ⅱ）設當天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．考點04其他類型的分布列及期望方差1．（2024·北京·高考真題）某保險公司為了了解該公司某種保險產品的索賠情況，從合同險期限屆滿的保單中隨機抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：賠償次數(shù)01234單數(shù)假設：一份保單的保費為0.4萬元；前3次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司賠償0.6萬元.假設不同保單的索賠次數(shù)相互獨立.用頻率估計概率.(1)估計一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差.（i）記為一份保單的毛利潤，估計的數(shù)學期望；（ⅱ）如果無索賠的保單的保費減少，有索賠的保單的保費增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學期望估計值與（i）中估計值的大?。ńY論不要求證明）2．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．3．（2021·北京·高考真題）在核酸檢測中,“k合1”混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結果為陰性，得到每人的檢測結果都為陰性，檢測結束:如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測,得到每人的檢測結果，檢測結束.現(xiàn)對100人進行核酸檢測，假設其中只有2人感染新冠病毒，并假設每次檢測結果準確.（I）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設X是檢測的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望E(X).(II）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設Y是檢測的總次數(shù)，試判斷數(shù)學期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結論不要求證明)4．（2020·江蘇·高考真題）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為Xn，恰有2個黑球的概率為pn，恰有1個黑球的概率為qn．（1）求p1，q1和p2，q2；（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關系式和Xn的數(shù)學期望E(Xn)(用n表示)．5．（2019·北京·高考真題）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：

交付金額(元)支付方式(0,1000](1000,2000]大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人（Ⅰ）從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率；（Ⅱ）從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；（Ⅲ）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用A的學生中，隨機抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元．根據(jù)抽查結果，能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由．6．（2018·北京·高考真題）電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據(jù)，經分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．假設所有電影是否獲得好評相互獨立．（Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；（Ⅱ）從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；（Ⅲ）假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等，用“”表示第k類電影得到人們喜歡，“”表示第k類電影沒有得到人們喜歡（k=1，2，3，4，5，6）．寫出方差，，，，，的大小關系．7．（2018·全國·高考真題）某工廠的某種產品成箱包裝，每箱件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產品中任取件作檢驗，再根據(jù)檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為，且各件產品是否為不合格品相互獨立．（1）記件產品中恰有件不合格品的概率為,求的最大值點；（2）現(xiàn)對一箱產品檢驗了件，結果恰有件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產品的檢驗費用為元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付元的賠償費用．（i）若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求;（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？8．（2017·全國·高考真題）某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)有關.如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間,需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列.(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位:瓶)為多少時,Y的數(shù)學期望達到最大值?9．（2017·江蘇·高考真題）已知一個口袋有m個白球，n個黑球（m,n,n2）,這些球除顏色外全部相同．現(xiàn)將口袋中的球隨機的逐個取出，并放入如圖所示的編號為1,2,3，……，m+n的抽屜內，其中第k次取球放入編號為k的抽屜（k=1,2,3，……，m+n）.（1）試求編號為2的抽屜內放的是黑球的概率p;（2）隨機變量x表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù)，E(x)是x的數(shù)學期望，證明10．（2016·全國·高考真題）某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰，機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：

以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)．（1）求X的分布列；（2）若要求，確定n的最小值；（3）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在與之中選其一，應選用哪個？11．（2015·山東·高考真題）若n是一個三位正整數(shù)，且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等)．在某次數(shù)學趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機抽取1個數(shù)，且只能抽取一次．得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”；(2)若甲參加活動，求甲得分X的分布列和數(shù)學期望E(X)．考點05條件概率、全概率公式、貝葉斯公式1．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．2．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣（衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為R．（ⅰ）證明：；（ⅱ）利用該調查數(shù)據(jù)，給出的估計值，并利用（ⅰ）的結果給出R的估計值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.8283．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）在某地區(qū)進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總人口的.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.考點06求解數(shù)字樣本特征及應用1．（2023·全國乙卷·高考真題）某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產品的伸縮率分別記為，．試驗結果如下：試驗序號12345678910伸縮率545533551522575544541568596548伸縮率536527543530560533522550576536記，記的樣本平均數(shù)為，樣本方差為．(1)求，；(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高）2．（2021·全國乙卷·高考真題）某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數(shù)據(jù)如下：舊設備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．（1）求，，，；（2）判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果，則認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）．3．（2015·廣東·高考真題）某工廠36名工人年齡數(shù)據(jù)如圖：（1）用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本，且在第一分段里用隨機抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44，列出樣本的年齡數(shù)據(jù)；（2）計算（1）中樣本的均值和方差s2；（3）36名工人中年齡在﹣s和+s之間有多少人？所占百分比是多少（精確到0.01%）？考點07概率統(tǒng)計的實際應用與決策問題1．（2024·全國甲卷·高考真題）某工廠進行生產線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產品中隨機抽取150件進行檢驗，數(shù)據(jù)如下：優(yōu)級品合格品不合格品總計甲車間2624050乙車間70282100總計96522150(1)填寫如下列聯(lián)表：優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間乙車間能否有的把握認為甲、乙兩車間產品的優(yōu)級品率存在差異？能否有的把握認為甲，乙兩車間產品的優(yōu)級品率存在差異？(2)已知升級改造前該工廠產品的優(yōu)級品率，設為升級改造后抽取的n件產品的優(yōu)級品率.如果，則認為該工廠產品的優(yōu)級品率提高了，根據(jù)抽取的150件產品的數(shù)據(jù)，能否認為生產線智能化升級改造后，該工廠產品的優(yōu)級品率提高了？（）附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.8282．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）某研究小組經過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異，經過大量調查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設數(shù)據(jù)在組內均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率．(1)當漏診率％時，求臨界值c和誤診率；(2)設函數(shù)，當時，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．3．（2023·北京·高考真題）為研究某種農產品價格變化的規(guī)律，收集得到了該農產品連續(xù)40天的價格變化數(shù)據(jù)，如下表所示．在描述價格變化時，用“+”表示“上漲”，即當天價格比前一天價格高；用“-”表示“下跌”，即當天價格比前一天價格低；用“0”表示“不變”，即當天價格與前一天價格相同．時段價格變化第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0---++0+0+---+0-+用頻率估計概率．(1)試估計該農產品價格“上漲”的概率；(2)假設該農產品每天的價格變化是相互獨立的．在未來的日子里任取4天，試估計該農產品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；(3)假設該農產品每天的價格變化只受前一天價格變化的影響．判斷第41天該農產品價格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計值哪個最大．（結論不要求證明）4．（2020·北京·高考真題）某校為舉辦甲、乙兩項不同活動，分別設計了相應的活動方案：方案一、方案二．為了解該校學生對活動方案是否支持，對學生進行簡單隨機抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設所有學生對活動方案是否支持相互獨立．（Ⅰ）分別估計該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）從該校全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取1人，估計這3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）將該校學生支持方案二的概率估計值記為，假設該校一年級有500名男生和300名女生，除一年級外其他年級學生支持方案二的概率估計值記為，試比較與的大?。ńY論不要求證明）5．（2020·全國·高考真題）某廠接受了一項加工業(yè)務，加工出來的產品(單位：件)按標準分為A，B，C，D四個等級.加工業(yè)務約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費90元，50元，20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務.甲分廠加工成本費為25元/件，乙分廠加工成本費為20元/件.廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務，在兩個分廠各試加工了100件這種產品，并統(tǒng)計了這些產品的等級，整理如下：甲分廠產品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)40202020乙分廠產品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)28173421（1）分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產品為A級品的概率；（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應選哪個分廠承接加工業(yè)務?6．（2019·北京·高考真題）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：

交付金額(元)支付方式(0,1000](1000,2000]大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人（Ⅰ）從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率；（Ⅱ）從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；（Ⅲ）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用A的學生中，隨機抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元．根據(jù)抽查結果，能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由．7．（2019·全國·高考真題）為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成兩組，每組100只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記為事件：“乙離子殘留在體內的百分比不低于”，根據(jù)直方圖得到的估計值為.（1）求乙離子殘留百分比直方圖中的值；（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.8．（2018·全國·高考真題）某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭天的日用水量數(shù)據(jù)（單位：）和使用了節(jié)水龍頭天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：未使用節(jié)水龍頭天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量頻數(shù)使用了節(jié)水龍頭天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量頻數(shù)（1）作出使用了節(jié)水龍頭天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：（2）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于的概率；（3）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？（一年按天計算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表．）9．（2017·北京·高考真題）為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥.一段時間后，記錄了兩組患者的生理指標x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者.

（Ⅰ）從服藥的50名患者中隨機選出一人，求此人指標y的值小于60的概率；（Ⅱ）從圖中A，B，C，D四人中隨機選出兩人，記為選出的兩人中指標x的值大于1.7的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望E（）；（Ⅲ）試判斷這100名患者中服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差的大小.（只需寫出結論）10．（2016·四川·高考真題）我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準（噸）、一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費，超出的部分按議價收費.為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照,分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求直方圖中的值；（2）設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；（3）若該市政府希望使的居民每月的用水量不超過標準（噸），估計的值，并說明理由.11．（2016·北京·高考真題）A，B，C三個班共有100名學生，為調查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時）：A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.8（Ⅰ）試估計C班的學生人數(shù)；（Ⅱ）從A班和C班抽出的學生中，各隨機選取一人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙.假設所有學生的鍛煉時間相互獨立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率；（Ⅲ）再從A，B，C三個班中各隨機抽取一名學生，他們該周的鍛煉時間分別是7，9，8.25（單位：小時）.這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構成的新樣本的平均數(shù)記為，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，試判斷和的大小.（結論不要求證明）12．（2016·全國·高考真題）某險種的基本保費為（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)01234保費隨機調查了該險種的200名續(xù)保人在一年內的出險情況，得到如下統(tǒng)計表：出險次數(shù)01234頻數(shù)605030302010（I）記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”．求P（A）的估計值；（Ⅱ）記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”．求P（B）的估計值；（Ⅲ）求續(xù)保人本年度的平均保費估計值．13．（2016·全國·高考真題）某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰，機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：

以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)．（1）求X的分布列；（2）若要求，確定n的最小值；（3）以購買易損零件所需