提高專題12空間幾何體的截面交線問題（學(xué)生版）

提高專題12空間幾何體的截面、交線問題探究一探究一截面的作法、及判斷1截面定義：用一個(gè)平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個(gè)幾何體的截面，與幾何體表面的交集(交線)叫做截線，與幾何體棱的交集(交點(diǎn))叫做截點(diǎn).用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體所得到的平面圖形稱之為截面，在立體幾何中，截面是指用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體(包括圓柱，圓錐，球，棱柱，棱錐、長方體，正方體等等),得到的平面圖形，叫截面。其次，我們要清楚立體圖形的截面方式，總共有三種，分別為橫截、豎截、斜截。最后，我們要了解每一種立體圖形通過上述三種截面方式所得到的截面圖有哪些。2確定截面的主要依據(jù)有(1)平面的四個(gè)公理及推論.(2)直線和平面平行的判定和性質(zhì).(3)兩個(gè)平面平行的性質(zhì).3立體幾何中截面的作法：①直接連接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)平面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找截面就是找交線的過程；②作平行線法：過直線與直線外一點(diǎn)作截面，若直線所在的平面與點(diǎn)所在的平面平行，可以通過過點(diǎn)找直線的平行線找到幾何體與截面的交線；③作延長線找交點(diǎn)法：若直線相交但在立體幾何中未體現(xiàn)，可通過作延長線的方法先找到交點(diǎn)，然后借助交點(diǎn)找到截面形成的交線；④輔助平面法：若三個(gè)點(diǎn)兩兩都不在一個(gè)側(cè)面或者底面中，則在作截面時(shí)需要作一個(gè)輔助平面.【典例精講】例1.(2022·福建省福州市·月考試卷·多選)如圖，在正方體中，M，N為所在棱的中點(diǎn)，過M，N兩點(diǎn)作正方體的截面，則截面的形狀可能為(

)

A.三角形 B.四邊形 C.五邊形 D.六邊形例2.(2021·江蘇省蘇州市·同步練習(xí))如圖，在多面體ABCDEF中，ABCD是正方形，AB=DE=BF=2，DE//BF，M為AE的中點(diǎn)．

已知DE⊥平面ABCD，有一個(gè)平面過點(diǎn)M且平行于平面ABF，將多面體ABCDEF截為兩部分，試畫出截面多邊形，并求其周長.【拓展提升】練11.(2022·廣東省中山市·同步練習(xí)·多選)在正方體ABCD?A1B1C1D1中，P是面對角線BD上的動點(diǎn)，Q是棱C1D1的中點(diǎn)，過A1、A.三角形 B.四邊形 C.五邊形 D.六邊形練12.(2023·浙江省杭州市·月考試卷)如圖所示，在三棱錐A?BCD中，AD與BC所成的角為30°，且|AD|·|BC|=2.在線段AB上分別取靠近點(diǎn)A的n+1(n∈N???)等分點(diǎn)，記為M1，M2，…，Mn.過Mk(k=1,2,…,n)作平行于AD，BC的平面，與三棱錐A?BCD的截面記為αk(k=1,2,…,n)A.截面α1，α2，…，αn都為平行四邊形

B.f3(1)=316探究二探究二截面的面積或周長【方法儲備】處理這類問題的基本思想是借助空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系和相應(yīng)的定理，將空間問題平面化.【典例精講】例3.(2023·江西省九江市·期末考試)已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，M為CC1的中點(diǎn)，若AM⊥平面α，且例4.(2023·北京市市轄區(qū)·期末考試)如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為23，動點(diǎn)P在對角線BD1上，過點(diǎn)P作垂直于BD1的平面α，記這樣得到的截面多邊形(含三角形A.[26,66]

B.[2例5..(2023·北京市市轄區(qū)·期末考試)已知正四棱錐P?ABCD的高為4，棱AB的長為2，點(diǎn)H為側(cè)棱PC上一動點(diǎn)，那么△HBD面積的最小值為(

)A.2

B.32

C.23

D.4練21.(2023·浙江省·階段練習(xí))如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，Q為AD的中點(diǎn)，P為正方體內(nèi)部及其表面上的一動點(diǎn)，且PQ⊥BDA.332 B.

33 C.練22.(2023·河南省·月考試卷)芻(c?ú)甍(méng)是中國古代算數(shù)中的一種幾何體，是底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w.現(xiàn)有一個(gè)芻甍如圖所示，底面ABCD為矩形，EF//平面ABCD，△ADE和△BCF是全等的正三角形，EF=1，AB=3，BC=23，O為△ADE的重心，則過點(diǎn)A，B，O的平面截該芻甍所得的截面周長為

A.11 B.10+23 C.9 D.練23.(2023·浙江省·期末考試)一個(gè)圓錐母線與底面所成的角為30°，體積為8π，過圓錐頂點(diǎn)的平面截圓錐，則所得截面面積的最大值為

．【答案解析】

例1.解：由正方體的對稱性可知，截面的形狀不可能為三角形和五邊形，

如圖，截面的形狀只可能為四邊形和六邊形．

故選：BD．

例2.解：分別取EF，CF，BC，AD的中點(diǎn)N，G，P，Q，

多邊形MNGPQ為所求截面，

∵DE⊥平面ABCD，且CD?平面ABCD，∴DE⊥CD，

∵DE//BF，∴BF⊥平面ABCD，又AB?平面ABCD，∴BF⊥AB，

在Rt△CDE中，CE=CD2+DE2=22，

同理AF=22，

∴MN=12AF=2，NG=12練11.解：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)截面為三角形；

設(shè)平面A1PQ與平面ABCD的交線為過點(diǎn)P的直線l，則l/?/A1Q，

當(dāng)l與DC相交時(shí)截面為四邊形；

在l與BC相交時(shí)截面為五邊形；

截面沒有六邊形．

練12.解：設(shè)截面αk與AC交于Nk，與CD交于Pk，與BD交于Qk，

因?yàn)榻孛姒羕與AD，BC平行，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)有：

MkQk//AD//NkPk，MkNk//BC//PkQk，

所以截面αk為平行四邊形，

同理，截面α1，α2，…，αn都為平行四邊形

，A正確；

由|AD|·|BC|=2，

f3(1)=2×12×14BC·34AD·sin30°=316，B正確；

由B的分析，同理可得：

例3.解：顯然在正方體中，BD⊥平面ACC1A1，且AM?平面ACC取AC中點(diǎn)E，取AE中點(diǎn)O，則tan?∠取A1C1中點(diǎn)E1，取A1E1中點(diǎn)O1，

過O1作PQ//B1D1，分別交A1B1，A1D1于P，Q，

又BD/?/B1D1，所以PQ//BD，又BD⊥AM，所以PQ⊥AM所以AM⊥平面BDQP，四邊形BDQP為等腰梯形，周長為2故答案為3例4.解：∵正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為23，

∴正方體的對角線長為6，

∵x∈[1,5]，

∴x=1或5時(shí)，三角形的周長最小，設(shè)截面正三角形的邊長為t，則由等體積可得13?34t2?1=13?12?(22t)3，

∴t=6，∴ymin=36；

x=2或4時(shí)，三角形的周長最大，截面正三角形的邊長為26，∴ymax=66．

∴當(dāng)x∈[1,5]時(shí)，函數(shù)y=f(x)的值域?yàn)閇36,66].

故選：D．

例5.解：取BD中點(diǎn)O，連接OH，AC，如圖所示，

∵四棱錐P?ABCD為正四棱錐，∴PO⊥平面ABCD，DH=BH，

∵O為BD的中點(diǎn)，∴OH⊥BD，

∵OC?平面ABCD，練21.解：如圖所示：

分別取CD，CC1，B1C1，A1B1，A1A的中點(diǎn)E，N，M，G，F(xiàn)，

則QE//AC，易知AC⊥BD，AC⊥DD1，

又DD1∩BD=D，BD，DD1?平面D1DBB1，

所以AC⊥平面D1DBB1，又BD1?平面D1DBB1，

則AC⊥BD1，所以QE⊥BD1，

同理QF⊥BD1，又QE∩QF=Q，

所以BD1⊥平面練22.解：如圖，延長AO交DE于點(diǎn)G，取CF的中點(diǎn)H，連接BH，GH，易得G為ED的中點(diǎn)，

∴GH//CD，∵AB/?/CD，∴AB//GH，即過點(diǎn)A，B，O的平面截該芻甍所得的截面為四邊形ABHG．

∵GH