2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步1.1.7柱錐臺(tái)和球的體積練習(xí)含解析新人教B版必修2

PAGE1-1．1．7柱、錐、臺(tái)和球的體積對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P19學(xué)問(wèn)點(diǎn)一柱體的體積1．若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A．eq\f(1,3)B．eq\f(2,3)C．1D．2答案C解析該幾何體的直觀圖如圖所示，為直三棱柱ABC－A1B1C1，其體積為V＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)×eq\r(2)＝1．故選C．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二錐體的體積2．已知圓錐的母線長(zhǎng)是8，底面周長(zhǎng)為6π，則它的體積是()A．9eq\r(55)πB．9eq\r(55)C．3eq\r(55)πD．3eq\r(55)答案C解析設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，則2πr＝6π，∴r＝3．設(shè)圓錐的高為h，則h＝eq\r(82－32)＝eq\r(55)，∴V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h＝3eq\r(55)π．3．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是()A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,3)D．1答案B解析依據(jù)三視圖，該三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×2＝eq\f(1,3)．學(xué)問(wèn)點(diǎn)三球體的體積4．若三個(gè)球的表面積之比是1∶2∶3，則它們的體積之比是________．答案1∶2eq\r(2)∶3eq\r(3)解析干脆利用公式計(jì)算可得：r1∶r2∶r3＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)，req\o\al(3,1)∶req\o\al(3,2)∶req\o\al(3,3)＝13∶(eq\r(2))3∶(eq\r(3))3＝1∶2eq\r(2)∶3eq\r(3)．5．過(guò)球的半徑的中點(diǎn)，作一垂直于這條半徑的截面，已知此截面的面積為48πcm2，試求此球的表面積和體積．解如圖，設(shè)截面圓的圓心為O1，則OO1⊥O1A，O1A為截面圓的半徑，OA為球的半徑．∵48π＝π·O1A2，∴O1A2＝48．在Rt△AO1O中，OA2＝O1O2＋O1A2，即R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)R))2＋48，∴R＝8(cm)，∴S球＝4πR2＝4π×64＝256π(cm2)，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(2048,3)π(cm3)．答：球的表面積為256πcm2，體積為eq\f(2048,3)πcm3．學(xué)問(wèn)點(diǎn)四割補(bǔ)法求幾何體的體積6．如圖所示，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且△ADE、△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為()A．eq\f(\r(2),3)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(4,3)D．eq\f(3,2)答案A解析該多面體不是規(guī)則的幾何體，只能將其分割或補(bǔ)成錐體或柱體，化未知為已知．易知面ABFE、面CDEF為全等的等腰梯形．在EF上取兩點(diǎn)M，N，使EM＝eq\f(1,2)，F(xiàn)N＝eq\f(1,2)，連接AM，DM，BN，CN，則得到直三棱柱ADM－BCN(可證BN⊥FN，CN⊥FN)，所以V＝VADM－BCN＋VE－ADM＋VF－BCN＝S△ADM·MN＋eq\f(1,3)S△ADM·EM＋eq\f(1,3)S△BCN·FN＝S△ADM·MN＋eq\f(1,3)S△ADM(EM＋FN)＝eq\f(4,3)S△ADM·MN＝eq\f(4,3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(\f(3,4)－\f(1,4))×1＝eq\f(\r(2),3)．對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P19一、選擇題1．正三棱柱的側(cè)面綻開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為2和4的矩形，則該正三棱柱的體積是()A．eq\f(8\r(3),9)B．eq\f(4\r(3),9)C．eq\f(2\r(3),9)D．eq\f(4\r(3),9)或eq\f(8\r(3),9)答案D解析當(dāng)2為正三棱柱的底面周長(zhǎng)時(shí)，正三棱柱底面三角形的邊長(zhǎng)a＝eq\f(2,3)，底面面積S＝eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),9)，正三棱柱的高h(yuǎn)＝4，所以正三棱柱的體積V＝Sh＝eq\f(4\r(3),9)；同理，當(dāng)4為正三棱柱的底面周長(zhǎng)時(shí)，正三棱柱底面三角形的邊長(zhǎng)a′＝eq\f(4,3)，底面面積S′＝eq\f(\r(3),4)a′2＝eq\f(4\r(3),9)，正三棱柱的高h(yuǎn)′＝2，所以正三棱柱的體積V′＝S′h′＝eq\f(8\r(3),9)．所以正三棱柱的體積為eq\f(4\r(3),9)或eq\f(8\r(3),9)．2．球面上有三點(diǎn)A，B，C，且AB＝3，BC＝4，AC＝5，又球心到平面ABC的距離為半徑的eq\f(1,3)，那么該球的體積為()A．eq\f(1125\r(2)π,64)B．eq\f(64\r(2)π,3)C．eq\f(1125\r(3)π,64)D．eq\f(64\r(3)π,3)答案A解析因?yàn)锳B2＋BC2＝AC2，所以△ABC為直角三角形，∠ABC＝90°，過(guò)A，B，C三點(diǎn)截面圓的半徑為eq\f(1,2)AC＝eq\f(5,2)，故eq\f(R,3)2＋eq\f(5,2)2＝R2，得R2＝eq\f(225,32)，R＝eq\f(15\r(2),8)，所以該球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(1125\r(2)π,64)．3．假如一個(gè)空間幾何體的主視圖與左視圖均為全等的等邊三角形，俯視圖為一個(gè)半徑為1的圓和圓心，那么這個(gè)幾何體的體積為()A．eq\f(\r(3)π,3)B．eq\f(2\r(3)π,3)C．eq\r(3)πD．eq\f(π,3)答案A解析由題知，該幾何體是底面半徑為1，高為eq\r(3)的圓錐，故V＝eq\f(π,3)×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3)π,3)．4．某四棱臺(tái)的三視圖如圖所示，則該四棱臺(tái)的體積是()A．4B．eq\f(14,3)C．eq\f(16,3)D．6答案B解析由四棱臺(tái)的三視圖可知，臺(tái)體上底面面積S1＝1×1＝1，下底面面積S2＝2×2＝4，高h(yuǎn)＝2，代入臺(tái)體的體積公式得V＝eq\f(1,3)(S1＋eq\r(S1S2)＋S2)h＝eq\f(1,3)×(1＋eq\r(1×4)＋4)×2＝eq\f(14,3)．5．如圖(1)，一個(gè)正三棱柱容器，底面邊長(zhǎng)為a，高為2a，內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個(gè)側(cè)面作為底面，如圖(2)所示，這時(shí)水面恰好為中截面，則圖(1)中容器內(nèi)水面的高度是()A．eq\f(3,2)aB．a(chǎn)C．2aD．不確定答案A解析設(shè)題圖(1)中容器內(nèi)液面的高度為h，液體的體積為V，則V＝S△ABC·h，又如題圖(2)中，液體組成了一個(gè)直四棱柱，其底面積為eq\f(3,4)S△ABC、高度為2a，則V＝eq\f(3,4)S△ABC·2a．∴h＝eq\f(\f(3,4)S△ABC·2a,S△ABC)＝eq\f(3,2)a．二、填空題6．如圖所示，一個(gè)圓錐形的空杯子上面放了一個(gè)半球形的冰淇淋，則冰淇淋溶化后________(填“會(huì)”或“不會(huì)”)溢出杯子．答案不會(huì)解析V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)R3＝eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)×43＝eq\f(128π,3)，V圓錐＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π×R2×h＝eq\f(1,3)×π×42×12＝64π，明顯V半球<V圓錐，所以冰淇淋溶化后不會(huì)溢出杯子．7．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E為線段B1C上的一點(diǎn)，則三棱錐A－DED1的體積為_(kāi)_____．答案eq\f(1,6)解析三棱錐A－DED1的體積等于三棱錐E－DD1A的體積，即V三棱錐A－DED1＝V三棱錐E－DD1A＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6)．8．一個(gè)六棱錐的體積為2eq\r(3)，其底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為_(kāi)______．答案12解析設(shè)正六棱錐的高為h，側(cè)面的斜高為h′．由題意，得eq\f(1,3)×6×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×h＝2eq\r(3)，∴h＝1，∴斜高h(yuǎn)′＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，∴S側(cè)＝6×eq\f(1,2)×2×2＝12．三、解答題9．有一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示(單位：cm)，求該幾何體的體積．解由三視圖可知此幾何體是圓錐，依據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得r＝3(cm)，l＝5(cm)，則h＝4(cm)，所以該幾何體的體積為V＝eq\f(1,3)πr2·h＝eq\f(1,3)π×32×4＝12π(cm3)．10．如圖所示，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝a，AB＝AD＝b，已知P，A，B，C，D五點(diǎn)都在一個(gè)球面上，求該球的體積．解本題關(guān)鍵是找出球心的位置，以PA，AB，AD為一個(gè)長(zhǎng)方體的鄰邊把該四棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，則過(guò)A