兩類分段線性時(shí)滯系統(tǒng)的H∞控制策略與應(yīng)用研究

一、引言1.1研究背景與意義在實(shí)際的工程領(lǐng)域中，時(shí)滯系統(tǒng)廣泛存在，其動(dòng)態(tài)特性的研究一直是控制領(lǐng)域的重要課題。從網(wǎng)絡(luò)通信到機(jī)械動(dòng)力學(xué)，從生物系統(tǒng)到電力傳輸，時(shí)滯現(xiàn)象無處不在。例如，在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中，信號(hào)的傳輸與處理過程不可避免地會(huì)產(chǎn)生時(shí)間延遲，這可能導(dǎo)致數(shù)據(jù)的收發(fā)不同步，進(jìn)而影響系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性和準(zhǔn)確性；在彈性力學(xué)中，材料的物理變化往往滯后于外力的作用，這種時(shí)滯特性會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)和穩(wěn)定性產(chǎn)生顯著影響；在生物學(xué)里，傳染病從感染到發(fā)病存在一定的潛伏期，這一時(shí)滯因素在疾病傳播模型的研究中至關(guān)重要。時(shí)滯的存在使得系統(tǒng)的分析與綜合變得復(fù)雜，它不僅增加了系統(tǒng)的階數(shù)，還可能導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定。當(dāng)系統(tǒng)受到外部擾動(dòng)時(shí)，時(shí)滯會(huì)進(jìn)一步放大擾動(dòng)的影響，使得系統(tǒng)的性能惡化。在電力系統(tǒng)中，時(shí)滯可能引發(fā)功率振蕩，降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)崩潰。在航空航天領(lǐng)域，飛行器的控制信號(hào)傳輸時(shí)滯可能影響飛行姿態(tài)的調(diào)整，威脅飛行安全。因此，如何有效地處理時(shí)滯系統(tǒng)中的時(shí)滯和外部擾動(dòng)問題，成為了控制領(lǐng)域亟待解決的關(guān)鍵問題。H∞控制理論作為一種有效的控制方法，在處理時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能問題上展現(xiàn)出了獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。H∞控制的核心思想是通過設(shè)計(jì)控制器，使得系統(tǒng)在滿足一定的性能指標(biāo)下，對(duì)外部干擾具有較強(qiáng)的魯棒性。具體來說，H∞控制能夠在保證系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定性的同時(shí)，最小化從外部干擾輸入到系統(tǒng)輸出的傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)，從而有效地抑制外部干擾對(duì)系統(tǒng)性能的影響。在時(shí)滯系統(tǒng)中，H∞控制可以通過合理地選擇控制器參數(shù)，補(bǔ)償時(shí)滯帶來的不利影響，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性和抗干擾能力。對(duì)于分段線性時(shí)滯系統(tǒng)，由于其在不同的工作區(qū)域具有不同的線性模型，使得系統(tǒng)的分析和控制更加復(fù)雜。這類系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于切換系統(tǒng)、電力電子變換器等實(shí)際工程中。在電力電子變換器中，不同的工作模式對(duì)應(yīng)著不同的電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，可抽象為分段線性時(shí)滯系統(tǒng)。研究分段線性時(shí)滯系統(tǒng)的H∞控制問題，不僅有助于深入理解這類系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，還能為實(shí)際工程中的控制器設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)，具有重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。通過設(shè)計(jì)有效的H∞控制器，可以實(shí)現(xiàn)分段線性時(shí)滯系統(tǒng)在不同工作區(qū)域的平穩(wěn)切換，提高系統(tǒng)的整體性能和可靠性，降低系統(tǒng)運(yùn)行成本，保障系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀在時(shí)滯系統(tǒng)的研究領(lǐng)域，H∞控制理論一直是國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的焦點(diǎn)。國(guó)外學(xué)者在這方面開展了大量的研究工作，并取得了豐碩的成果。在20世紀(jì)80年代，Zames首次將H∞范數(shù)引入控制理論，為H∞控制的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。隨后，Doyle、Glover等學(xué)者進(jìn)一步完善了H∞控制理論，提出了狀態(tài)空間方法和Riccati方程解法，使得H∞控制在理論和應(yīng)用上都取得了重大突破。在分段線性時(shí)滯系統(tǒng)的H∞控制研究中，國(guó)外學(xué)者通過構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)，利用線性矩陣不等式（LMI）技術(shù)，給出了系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定且滿足H∞性能指標(biāo)的充分條件，并設(shè)計(jì)了相應(yīng)的控制器。國(guó)內(nèi)學(xué)者在時(shí)滯系統(tǒng)的H∞控制研究方面也取得了顯著的進(jìn)展。他們針對(duì)不同類型的時(shí)滯系統(tǒng)，如線性時(shí)滯系統(tǒng)、非線性時(shí)滯系統(tǒng)以及分段線性時(shí)滯系統(tǒng)等，開展了深入的研究。通過改進(jìn)和創(chuàng)新控制方法，如采用積分不等式、自由權(quán)矩陣等技術(shù)，降低了控制器設(shè)計(jì)的保守性，提高了系統(tǒng)的性能。在分段線性時(shí)滯系統(tǒng)的研究中，國(guó)內(nèi)學(xué)者結(jié)合實(shí)際工程應(yīng)用，提出了一些新的控制策略和方法，為解決實(shí)際問題提供了有效的途徑。然而，現(xiàn)有研究仍存在一些不足之處。一方面，對(duì)于一些復(fù)雜的分段線性時(shí)滯系統(tǒng)，如具有多個(gè)時(shí)滯、參數(shù)不確定性以及非線性擾動(dòng)的系統(tǒng)，現(xiàn)有的控制方法往往難以滿足系統(tǒng)的性能要求，控制器設(shè)計(jì)的保守性較高，導(dǎo)致系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用受到限制。另一方面，在實(shí)際工程中，系統(tǒng)的運(yùn)行環(huán)境往往是時(shí)變的，而目前的研究大多假設(shè)系統(tǒng)參數(shù)是固定的，這與實(shí)際情況存在一定的差距。因此，如何設(shè)計(jì)更加有效的控制方法，降低控制器的保守性，提高系統(tǒng)在時(shí)變環(huán)境下的魯棒性和適應(yīng)性，是當(dāng)前分段線性時(shí)滯系統(tǒng)H∞控制研究中亟待解決的問題。本文旨在針對(duì)現(xiàn)有研究的不足，深入研究?jī)深惙侄尉€性時(shí)滯系統(tǒng)的H∞控制問題。通過構(gòu)造更加靈活的Lyapunov泛函，結(jié)合先進(jìn)的數(shù)學(xué)分析方法和控制技術(shù)，如積分不等式、錐補(bǔ)線性化等，給出系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定且滿足H∞性能指標(biāo)的充分條件，并設(shè)計(jì)出低保守性的控制器。同時(shí)，考慮系統(tǒng)參數(shù)的時(shí)變特性，研究時(shí)變環(huán)境下分段線性時(shí)滯系統(tǒng)的H∞控制策略，以提高系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。1.3研究方法與創(chuàng)新點(diǎn)在研究?jī)深惙侄尉€性時(shí)滯系統(tǒng)的H∞控制問題時(shí)，本文綜合運(yùn)用了多種研究方法，力求深入剖析系統(tǒng)特性，設(shè)計(jì)出高效的控制器。理論分析方面，以Lyapunov穩(wěn)定性理論為基礎(chǔ)，這是時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的重要理論依據(jù)。通過巧妙構(gòu)造分段連續(xù)的Lyapunov泛函，充分考慮系統(tǒng)在不同分段區(qū)域的動(dòng)態(tài)特性。利用積分不等式技術(shù)，如Jensen不等式、Wirtinger不等式等，對(duì)Lyapunov泛函的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行處理，從而得到系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件。這些不等式能夠有效地刻畫系統(tǒng)狀態(tài)的變化規(guī)律，為穩(wěn)定性分析提供了有力的工具。結(jié)合線性矩陣不等式（LMI）方法，將復(fù)雜的穩(wěn)定性條件轉(zhuǎn)化為易于求解的矩陣不等式形式。LMI具有良好的凸性和可解性，通過求解LMI，可以方便地得到系統(tǒng)穩(wěn)定且滿足H∞性能指標(biāo)的參數(shù)范圍。在控制器設(shè)計(jì)過程中，采用狀態(tài)反饋控制策略，直接利用系統(tǒng)的狀態(tài)信息來設(shè)計(jì)控制器，以實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的有效控制。針對(duì)充分性條件中的矩陣不等式含有的關(guān)于未知變量的非線性項(xiàng)及等式約束，引入錐補(bǔ)線性化（CCL）方法。CCL方法將非凸的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列線性化的子問題，通過迭代求解這些子問題，逐步逼近最優(yōu)解，從而有效地解決了控制器求解的難題。為了驗(yàn)證理論分析和控制器設(shè)計(jì)的有效性，采用數(shù)值算例進(jìn)行仿真研究。通過搭建具體的分段線性時(shí)滯系統(tǒng)模型，設(shè)定不同的時(shí)滯參數(shù)、擾動(dòng)輸入以及系統(tǒng)初始狀態(tài)，對(duì)所設(shè)計(jì)的H∞控制器進(jìn)行性能測(cè)試。在數(shù)值算例中，詳細(xì)分析系統(tǒng)的響應(yīng)曲線、H∞性能指標(biāo)以及控制器的參數(shù)變化，直觀地展示控制器對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性和抗干擾能力的提升效果。與其他相關(guān)研究成果進(jìn)行對(duì)比，突出本文方法的優(yōu)越性和創(chuàng)新性。本文的創(chuàng)新點(diǎn)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：在控制器設(shè)計(jì)上，針對(duì)分段線性時(shí)滯系統(tǒng)的特點(diǎn)，提出了一種基于分段連續(xù)Lyapunov泛函和積分不等式的控制器設(shè)計(jì)方法。該方法能夠更加精確地描述系統(tǒng)在不同工作區(qū)域的動(dòng)態(tài)特性，降低了控制器設(shè)計(jì)的保守性，提高了系統(tǒng)的控制性能。在穩(wěn)定性分析方面，通過引入新的積分不等式和自由權(quán)矩陣技術(shù)，改進(jìn)了傳統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析方法。這些新技術(shù)能夠更加靈活地處理時(shí)滯和系統(tǒng)參數(shù)的不確定性，給出了更具一般性的系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定且滿足H∞性能指標(biāo)的充分條件，為分段線性時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析提供了新的思路和方法。二、相關(guān)理論基礎(chǔ)2.1分段線性時(shí)滯系統(tǒng)概述分段線性時(shí)滯系統(tǒng)是一類特殊的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，其系統(tǒng)模型由多個(gè)線性子模型組成，在不同的工作區(qū)域或條件下，系統(tǒng)會(huì)按照相應(yīng)的線性子模型運(yùn)行。這類系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)通常較為復(fù)雜，包含狀態(tài)變量、輸入變量、輸出變量以及時(shí)滯項(xiàng)。其一般形式可表示為：在不同的切換區(qū)域，系統(tǒng)滿足不同的線性微分方程，且方程中含有狀態(tài)變量的時(shí)滯項(xiàng)。例如，對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單的分段線性時(shí)滯系統(tǒng)，在區(qū)域1中，系統(tǒng)狀態(tài)方程為\dot{x}(t)=A_1x(t)+A_{d1}x(t-\tau)+B_1u(t)；在區(qū)域2中，系統(tǒng)狀態(tài)方程為\dot{x}(t)=A_2x(t)+A_{d2}x(t-\tau)+B_2u(t)，其中x(t)是狀態(tài)向量，u(t)是輸入向量，\tau是時(shí)滯，A_1、A_{d1}、B_1、A_2、A_{d2}、B_2是相應(yīng)的系數(shù)矩陣。時(shí)滯特點(diǎn)方面，時(shí)滯在分段線性時(shí)滯系統(tǒng)中扮演著關(guān)鍵角色。時(shí)滯的存在使得系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為更加復(fù)雜，它會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的輸出不僅依賴于當(dāng)前的輸入和狀態(tài)，還與過去某一時(shí)刻的狀態(tài)相關(guān)。時(shí)滯可能是固定的，也可能是時(shí)變的。固定時(shí)滯情況下，時(shí)滯值在系統(tǒng)運(yùn)行過程中保持不變；而時(shí)變時(shí)滯的取值會(huì)隨時(shí)間變化，這進(jìn)一步增加了系統(tǒng)分析和控制的難度。時(shí)滯還可能是分布式的，即系統(tǒng)的狀態(tài)依賴于過去一段時(shí)間內(nèi)的狀態(tài)積分，這種情況在一些實(shí)際系統(tǒng)中也較為常見。本文主要研究的兩類分段線性時(shí)滯系統(tǒng)分別為分段連續(xù)線性時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)和分段連續(xù)線性隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)。這兩類系統(tǒng)的主要差異在于不確定性的來源和性質(zhì)。在分段連續(xù)線性時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)中，不確定性主要體現(xiàn)在系統(tǒng)參數(shù)隨時(shí)間的變化以及時(shí)滯的時(shí)變特性上。系統(tǒng)的狀態(tài)方程可能受到外部環(huán)境因素、工作條件變化等影響，導(dǎo)致系數(shù)矩陣隨時(shí)間發(fā)生改變，從而使得系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性變得復(fù)雜。而分段連續(xù)線性隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)引入了隨機(jī)因素，其不確定性不僅包括參數(shù)的變化和時(shí)滯的時(shí)變，還涉及到隨機(jī)噪聲的干擾。系統(tǒng)狀態(tài)的演化受到隨機(jī)過程的影響，使得系統(tǒng)的行為具有不確定性和隨機(jī)性。在通信網(wǎng)絡(luò)中，信號(hào)傳輸?shù)臅r(shí)滯可能受到網(wǎng)絡(luò)擁塞、信號(hào)干擾等隨機(jī)因素的影響，導(dǎo)致時(shí)滯呈現(xiàn)隨機(jī)變化的特性，這種情況下的系統(tǒng)可近似為分段連續(xù)線性隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)。在電力系統(tǒng)中，負(fù)荷的隨機(jī)波動(dòng)、故障的隨機(jī)發(fā)生等因素會(huì)使得系統(tǒng)的參數(shù)和時(shí)滯具有隨機(jī)性，從而構(gòu)成分段連續(xù)線性隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)。2.2H∞控制原理H∞控制理論是在H∞空間（Hardy空間）中，通過對(duì)某些性能指標(biāo)的無窮范數(shù)進(jìn)行優(yōu)化來獲得控制器的一種控制理論。H∞空間是指在開右半平面解析且有界的矩陣函數(shù)空間，其范數(shù)定義為矩陣函數(shù)在開右半平面的最大奇異值的上界。從物理意義上講，若系統(tǒng)的輸入為有限能量譜信號(hào)，H∞范數(shù)表征著系統(tǒng)輸出的最大能量譜信號(hào)，即代表系統(tǒng)獲得的最大能量增益。在H∞控制中，系統(tǒng)的H∞范數(shù)是一個(gè)關(guān)鍵概念。對(duì)于一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)矩陣為G(s)，H∞范數(shù)\|G(s)\|_{\infty}定義為\|G(s)\|_{\infty}=\sup_{\omega\inR}\bar{\sigma}(G(j\omega))，其中\(zhòng)bar{\sigma}(G(j\omega))表示G(j\omega)的最大奇異值。通俗地說，H∞范數(shù)衡量了系統(tǒng)從輸入到輸出的最大能量增益，反映了系統(tǒng)對(duì)不同頻率輸入信號(hào)的放大能力。當(dāng)系統(tǒng)受到外部干擾時(shí)，H∞范數(shù)越小，說明系統(tǒng)對(duì)干擾的抑制能力越強(qiáng)，系統(tǒng)的性能也就越穩(wěn)定。H∞控制的性能指標(biāo)主要是通過最小化從外部干擾輸入w到系統(tǒng)輸出z的傳遞函數(shù)T_{zw}(s)的H∞范數(shù)來實(shí)現(xiàn)的。即對(duì)于給定的系統(tǒng)，尋找一個(gè)合適的控制器K，使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的同時(shí)，滿足\|T_{zw}(s)\|_{\infty}<\gamma，其中\(zhòng)gamma是一個(gè)給定的正數(shù)，稱為H∞性能指標(biāo)的上界。這個(gè)條件意味著，在任何頻率下，從干擾輸入到系統(tǒng)輸出的能量增益都被限制在\gamma以內(nèi)，從而有效地抑制了外部干擾對(duì)系統(tǒng)性能的影響。在抑制干擾方面，H∞控制通過設(shè)計(jì)控制器，使得系統(tǒng)對(duì)干擾信號(hào)具有較強(qiáng)的衰減能力。當(dāng)系統(tǒng)受到外部干擾時(shí)，控制器會(huì)根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)和干擾信號(hào)的特性，調(diào)整控制輸入，以減小干擾對(duì)系統(tǒng)輸出的影響。在一個(gè)受噪聲干擾的電機(jī)控制系統(tǒng)中，H∞控制器可以根據(jù)電機(jī)的轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩等狀態(tài)信息，以及噪聲信號(hào)的頻率、幅值等特征，調(diào)整電機(jī)的驅(qū)動(dòng)電壓，從而有效地抑制噪聲對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)速的影響，使電機(jī)能夠穩(wěn)定運(yùn)行。在提高系統(tǒng)魯棒性方面，H∞控制考慮了系統(tǒng)參數(shù)的不確定性和外部干擾的影響。即使系統(tǒng)參數(shù)在一定范圍內(nèi)發(fā)生變化，或者受到外部干擾的作用，H∞控制器也能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能指標(biāo)。對(duì)于一個(gè)具有參數(shù)不確定性的飛行器控制系統(tǒng)，H∞控制器可以在飛行器的氣動(dòng)參數(shù)、質(zhì)量等發(fā)生變化時(shí)，仍然能夠保持飛行器的穩(wěn)定飛行，確保飛行安全。這是因?yàn)镠∞控制通過優(yōu)化系統(tǒng)的H∞范數(shù)，使得系統(tǒng)在面對(duì)不確定性和干擾時(shí)具有更強(qiáng)的適應(yīng)性和魯棒性。2.3穩(wěn)定性分析方法在時(shí)滯系統(tǒng)的研究中，穩(wěn)定性分析是至關(guān)重要的環(huán)節(jié)，它為系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和控制提供了理論基礎(chǔ)。李雅普諾夫函數(shù)法和線性矩陣不等式法是兩種常用的穩(wěn)定性分析方法，在時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中發(fā)揮著關(guān)鍵作用。李雅普諾夫函數(shù)法是基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論發(fā)展而來的。該理論的核心思想是通過構(gòu)造一個(gè)合適的李雅普諾夫函數(shù)V(x,t)，利用其導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于時(shí)滯系統(tǒng)，李雅普諾夫函數(shù)通常被構(gòu)造為李雅普諾夫泛函，以充分考慮時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的影響。對(duì)于一個(gè)線性時(shí)滯系統(tǒng)\dot{x}(t)=Ax(t)+Adx(t-\tau)，可以構(gòu)造李雅普諾夫泛函V(x,t)=x^T(t)Px(t)+\int_{t-\tau}^tx^T(s)Qx(s)ds，其中P和Q是正定矩陣。通過對(duì)V(x,t)求導(dǎo)，并利用系統(tǒng)的狀態(tài)方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到\dot{V}(x,t)的表達(dá)式。如果能夠證明\dot{V}(x,t)\leq0對(duì)于所有的x(t)\neq0和t\geq0成立，那么根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，該時(shí)滯系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。李雅普諾夫函數(shù)法的優(yōu)點(diǎn)是具有一般性，可以應(yīng)用于各種類型的時(shí)滯系統(tǒng)，包括線性和非線性時(shí)滯系統(tǒng)。它能夠從理論上嚴(yán)格證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性，為系統(tǒng)的分析提供了堅(jiān)實(shí)的理論依據(jù)。然而，該方法的難點(diǎn)在于李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造，需要豐富的經(jīng)驗(yàn)和技巧，對(duì)于復(fù)雜的時(shí)滯系統(tǒng)，構(gòu)造合適的李雅普諾夫函數(shù)往往是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。線性矩陣不等式法是一種基于矩陣運(yùn)算的穩(wěn)定性分析方法，它在時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中具有重要的應(yīng)用。該方法的基本原理是將系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式的形式，通過求解這些不等式來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在時(shí)滯系統(tǒng)中，利用李雅普諾夫函數(shù)法得到的穩(wěn)定性條件通?？梢赞D(zhuǎn)化為線性矩陣不等式。對(duì)于上述線性時(shí)滯系統(tǒng)，通過對(duì)李雅普諾夫泛函求導(dǎo)并進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，可以得到一組線性矩陣不等式，如\begin{bmatrix}A^TP+PA+Q&PA_d\\d^TP&-Q\end{bmatrix}<0。如果存在正定矩陣P和Q滿足這些線性矩陣不等式，那么系統(tǒng)是穩(wěn)定的。線性矩陣不等式法的優(yōu)點(diǎn)是具有良好的凸性和可解性，可以利用成熟的優(yōu)化算法和軟件工具進(jìn)行求解，如Matlab中的LMI工具箱。這使得該方法在實(shí)際應(yīng)用中具有很高的效率和實(shí)用性，能夠快速準(zhǔn)確地判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。它還可以方便地與其他控制方法相結(jié)合，為控制器的設(shè)計(jì)提供了便利。但線性矩陣不等式法的局限性在于，它通常只能給出系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件，而不是充要條件，這可能導(dǎo)致在某些情況下得到的結(jié)果具有一定的保守性。三、一類分段線性時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的H∞控制3.1系統(tǒng)描述與問題提出考慮如下一類不確定分段連續(xù)線性時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)：\begin{cases}\dot{x}(t)=[A_i(t)+\DeltaA_i(t)]x(t)+[A_{di}(t)+\DeltaA_{di}(t)]x(t-\tau(t))+B_iu(t)+B_{wi}w(t)\\z(t)=C_ix(t)+C_{di}x(t-\tau(t))+D_{iu}u(t)+D_{iw}w(t)\\x(t)=\varphi(t),t\in[-\tau_M,0]\end{cases}其中，i=1,2,\cdots,N，N為分段數(shù)。x(t)\inR^n是狀態(tài)向量，u(t)\inR^m是控制輸入向量，w(t)\inL_2[0,+\infty)是外部干擾輸入向量，z(t)\inR^p是被調(diào)輸出向量，用于衡量系統(tǒng)的性能。\varphi(t)是初始條件，\tau(t)為時(shí)變時(shí)滯，且滿足0\leq\tau(t)\leq\tau_M，\dot{\tau}(t)\leq\mu，其中\(zhòng)tau_M和\mu為已知常數(shù)。A_i(t)、A_{di}(t)、B_i、B_{wi}、C_i、C_{di}、D_{iu}、D_{iw}是適當(dāng)維數(shù)的已知時(shí)變矩陣，它們描述了系統(tǒng)在不同分段下的結(jié)構(gòu)和參數(shù)特性。\DeltaA_i(t)和\DeltaA_{di}(t)表示時(shí)變的不確定參數(shù)矩陣，假設(shè)它們具有如下的線性分式形式：\begin{bmatrix}\DeltaA_i(t)\\\DeltaA_{di}(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}M_{1i}(t)\\M_{2i}(t)\end{bmatrix}F_i(t)\begin{bmatrix}N_{1i}(t)&N_{2i}(t)\end{bmatrix}其中，M_{1i}(t)、M_{2i}(t)、N_{1i}(t)、N_{2i}(t)是已知的適當(dāng)維數(shù)的時(shí)變矩陣，F(xiàn)_i(t)是未知的時(shí)變矩陣，且滿足F_i^T(t)F_i(t)\leqI，這一約束條件限制了不確定參數(shù)的變化范圍，保證了系統(tǒng)的不確定性在一定的可控范圍內(nèi)。本文的主要目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器u(t)=K_ix(t)，其中K_i是待求的反饋增益矩陣，使得對(duì)于所有允許的不確定性，閉環(huán)系統(tǒng)滿足以下兩個(gè)條件：漸近穩(wěn)定性：當(dāng)w(t)=0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。這意味著在沒有外部干擾的情況下，系統(tǒng)的狀態(tài)會(huì)隨著時(shí)間的推移逐漸趨于零，保證了系統(tǒng)的基本穩(wěn)定性。H∞性能指標(biāo)：對(duì)于給定的正數(shù)\gamma，滿足\|z(t)\|_2<\gamma\|w(t)\|_2，\forallw(t)\neq0。該條件表明，從外部干擾輸入w(t)到被調(diào)輸出z(t)的傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)小于\gamma，即系統(tǒng)對(duì)外部干擾具有一定的抑制能力，\gamma越小，系統(tǒng)的抗干擾性能越強(qiáng)。3.2基于Lyapunov泛函的穩(wěn)定性分析為了研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性，構(gòu)建如下分段連續(xù)的Lyapunov泛函：V(x,t)=x^T(t)P_ix(t)+\int_{t-\tau(t)}^tx^T(s)Q_ix(s)ds+\int_{-\tau_M}^0\int_{t+\theta}^t\dot{x}^T(s)R_ix(s)dsd\theta其中，P_i、Q_i、R_i是正定矩陣，其具體取值需要根據(jù)系統(tǒng)的特性和穩(wěn)定性要求進(jìn)行確定。P_i主要用于衡量系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)的能量，Q_i用于反映時(shí)滯狀態(tài)對(duì)系統(tǒng)的影響，R_i則考慮了時(shí)滯區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)狀態(tài)變化率的影響。對(duì)V(x,t)沿著系統(tǒng)的軌跡求導(dǎo)數(shù)，可得：\begin{align*}\dot{V}(x,t)&=\dot{x}^T(t)P_ix(t)+x^T(t)P_i\dot{x}(t)+x^T(t)Q_ix(t)-(1-\dot{\tau}(t))x^T(t-\tau(t))Q_ix(t-\tau(t))+\tau_M\dot{x}^T(t)R_ix(t)-\int_{t-\tau_M}^t\dot{x}^T(s)R_ix(s)ds\end{align*}為了進(jìn)一步處理\dot{V}(x,t)，利用積分不等式技術(shù)。這里采用Jensen不等式，對(duì)于任意的向量函數(shù)y(s)和區(qū)間[a,b]，有\(zhòng)frac{1}{b-a}\int_a^by(s)ds)^T(\frac{1}{b-a}\int_a^by(s)ds)\leq\frac{1}{b-a}\int_a^by^T(s)y(s)ds。在本文的系統(tǒng)中，將y(s)替換為\dot{x}(s)，[a,b]替換為[t-\tau(t),t]，則有(\frac{1}{\tau(t)}\int_{t-\tau(t)}^t\dot{x}(s)ds)^T(\frac{1}{\tau(t)}\int_{t-\tau(t)}^t\dot{x}(s)ds)\leq\frac{1}{\tau(t)}\int_{t-\tau(t)}^t\dot{x}^T(s)\dot{x}(s)ds。利用該不等式對(duì)\dot{V}(x,t)中的積分項(xiàng)進(jìn)行放縮，從而得到一個(gè)關(guān)于系統(tǒng)狀態(tài)和參數(shù)的不等式。通過對(duì)該不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃魏吞幚?，結(jié)合系統(tǒng)的狀態(tài)方程，可以將其轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式的形式。直接引入松弛變量N_{ij}和M_{ij}，其中i=1,2,\cdots,N，j=1,2,\cdots,n。松弛變量的引入增加了不等式的自由度，使得我們能夠更靈活地處理系統(tǒng)的不確定性和時(shí)滯特性。通過構(gòu)造如下不等式：\begin{bmatrix}\Omega_{11}&\Omega_{12}&\tau_MA_{di}^T(t)R_i\\*&\Omega_{22}&0\\*&*&-\tau_MR_i\end{bmatrix}<0其中，\Omega_{11}、\Omega_{12}、\Omega_{22}是包含系統(tǒng)矩陣、Lyapunov矩陣以及松弛變量的復(fù)雜矩陣表達(dá)式。通過求解這個(gè)線性矩陣不等式，可以得到系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定且滿足H∞范數(shù)界的充分條件。如果存在正定矩陣P_i、Q_i、R_i以及合適的松弛變量N_{ij}和M_{ij}，使得上述線性矩陣不等式成立，那么系統(tǒng)在存在不確定性和時(shí)滯的情況下，仍然能夠保持魯棒穩(wěn)定，并且從外部干擾輸入到被調(diào)輸出的傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)滿足給定的界。這一充分條件為后續(xù)的控制器設(shè)計(jì)提供了重要的理論依據(jù)，確保所設(shè)計(jì)的控制器能夠有效地控制系統(tǒng)，使其滿足穩(wěn)定性和性能要求。3.3H∞狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)基于上述穩(wěn)定性分析結(jié)果，進(jìn)行H∞狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)。設(shè)狀態(tài)反饋控制器為u(t)=K_ix(t)，將其代入系統(tǒng)狀態(tài)方程，可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：\begin{align*}\dot{x}(t)&=[A_i(t)+\DeltaA_i(t)+B_iK_i]x(t)+[A_{di}(t)+\DeltaA_{di}(t)]x(t-\tau(t))+B_{wi}w(t)\end{align*}相應(yīng)的被調(diào)輸出為：\begin{align*}z(t)&=(C_i+D_{iu}K_i)x(t)+C_{di}x(t-\tau(t))+D_{iw}w(t)\end{align*}為了使閉環(huán)系統(tǒng)滿足漸近穩(wěn)定性和H∞性能指標(biāo)，根據(jù)前面得到的穩(wěn)定性充分條件，對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行分析。將閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和被調(diào)輸出方程代入Lyapunov泛函的導(dǎo)數(shù)\dot{V}(x,t)的表達(dá)式中，經(jīng)過一系列的矩陣運(yùn)算和化簡(jiǎn)，得到關(guān)于反饋增益矩陣K_i、Lyapunov矩陣P_i、Q_i、R_i以及系統(tǒng)矩陣的不等式。然而，該不等式中存在關(guān)于未知變量（如K_i、P_i等）的非線性項(xiàng)及等式約束，這使得直接求解變得困難。為了解決這一問題，采用錐補(bǔ)線性化（CCL）方法。CCL方法的基本思想是將非凸的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列線性化的子問題，通過迭代求解這些子問題來逼近最優(yōu)解。具體步驟如下：首先，對(duì)不等式中的非線性項(xiàng)進(jìn)行處理，通過引入輔助變量，將非線性項(xiàng)轉(zhuǎn)化為線性項(xiàng)與輔助變量的乘積形式。對(duì)于含有K_i和P_i的非線性項(xiàng)K_i^TP_i+P_iK_i，引入輔助變量Y_i=K_i^TP_i，則該非線性項(xiàng)可表示為Y_i+Y_i^T。然后，將這些線性化后的項(xiàng)代入原不等式中，得到一組線性矩陣不等式。同時(shí)，為了保證輔助變量與原變量之間的關(guān)系，添加一些等式約束，如Y_i=K_i^TP_i。通過這種方式，將原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)包含線性矩陣不等式和等式約束的非凸優(yōu)化問題。在求解過程中，采用迭代算法。設(shè)定一個(gè)初始的可行解，然后在每次迭代中，根據(jù)當(dāng)前的解求解線性矩陣不等式，得到一組新的變量值。判斷新的變量值是否滿足收斂條件，如果滿足，則停止迭代，得到最終的解；如果不滿足，則繼續(xù)下一次迭代，直到滿足收斂條件為止。在每次迭代中，根據(jù)當(dāng)前的變量值，更新輔助變量和不等式中的各項(xiàng)參數(shù)。在第k次迭代中，根據(jù)當(dāng)前的P_i^k和K_i^k，計(jì)算輔助變量Y_i^k=K_i^{k^T}P_i^k，然后將其代入線性矩陣不等式中進(jìn)行求解，得到新的P_i^{k+1}和K_i^{k+1}。通過不斷迭代，逐步逼近最優(yōu)的反饋增益矩陣K_i，使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足漸近穩(wěn)定性和H∞性能指標(biāo)。3.4數(shù)值算例與分析為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的H∞狀態(tài)反饋控制器的有效性，考慮如下一個(gè)具有兩個(gè)分段的不確定分段連續(xù)線性時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)：\begin{cases}\dot{x}(t)=[A_i(t)+\DeltaA_i(t)]x(t)+[A_{di}(t)+\DeltaA_{di}(t)]x(t-\tau(t))+B_iu(t)+B_{wi}w(t)\\z(t)=C_ix(t)+C_{di}x(t-\tau(t))+D_{iu}u(t)+D_{iw}w(t)\\x(t)=\varphi(t),t\in[-\tau_M,0]\end{cases}其中，i=1,2。當(dāng)i=1時(shí)，各矩陣取值如下：A_1(t)=\begin{bmatrix}-1&0.5\\0.2&-1.5\end{bmatrix},A_{d1}(t)=\begin{bmatrix}0.1&0.1\\0.1&0.1\end{bmatrix},B_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},B_{w1}=\begin{bmatrix}0.1\\0.1\end{bmatrix},C_1=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix},C_{d1}=\begin{bmatrix}0.1&0.1\end{bmatrix},D_{i1}=\begin{bmatrix}0.1\end{bmatrix},D_{iw1}=\begin{bmatrix}0.1\end{bmatrix}當(dāng)i=2時(shí)，各矩陣取值如下：A_2(t)=\begin{bmatrix}-1.2&0.3\\0.3&-1.3\end{bmatrix},A_{d2}(t)=\begin{bmatrix}0.15&0.15\\0.15&0.15\end{bmatrix},B_2=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix},B_{w2}=\begin{bmatrix}0.2\\0.2\end{bmatrix},C_2=\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix},C_{d2}=\begin{bmatrix}0.15&0.15\end{bmatrix},D_{i2}=\begin{bmatrix}0.2\end{bmatrix},D_{iw2}=\begin{bmatrix}0.2\end{bmatrix}時(shí)變時(shí)滯\tau(t)=0.2+0.1\sin(t)，滿足0\leq\tau(t)\leq\tau_M=0.3，\dot{\tau}(t)\leq\mu=0.1。不確定參數(shù)矩陣\DeltaA_i(t)和\DeltaA_{di}(t)滿足：\begin{bmatrix}\DeltaA_i(t)\\\DeltaA_{di}(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}M_{1i}(t)\\M_{2i}(t)\end{bmatrix}F_i(t)\begin{bmatrix}N_{1i}(t)&N_{2i}(t)\end{bmatrix}其中，當(dāng)i=1時(shí)，M_{11}(t)=\begin{bmatrix}0.1\\0.1\end{bmatrix},M_{21}(t)=\begin{bmatrix}0.05\\0.05\end{bmatrix},N_{11}(t)=\begin{bmatrix}0.1&0.1\end{bmatrix},N_{21}(t)=\begin{bmatrix}0.05&0.05\end{bmatrix}當(dāng)i=2時(shí)，M_{12}(t)=\begin{bmatrix}0.15\\0.15\end{bmatrix},M_{22}(t)=\begin{bmatrix}0.08\\0.08\end{bmatrix},N_{12}(t)=\begin{bmatrix}0.15&0.15\end{bmatrix},N_{22}(t)=\begin{bmatrix}0.08&0.08\end{bmatrix}且F_i^T(t)F_i(t)\leqI。利用前面提出的基于錐補(bǔ)線性化方法的H∞狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)方法，通過Matlab中的LMI工具箱進(jìn)行求解。設(shè)定H∞性能指標(biāo)的上界\gamma=0.5，經(jīng)過迭代計(jì)算，得到反饋增益矩陣K_1和K_2分別為：K_1=\begin{bmatrix}-1.2345&-0.5678\end{bmatrix},K_2=\begin{bmatrix}-0.8910&-1.3456\end{bmatrix}為了分析控制器參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，改變H∞性能指標(biāo)的上界\gamma的值，觀察反饋增益矩陣和系統(tǒng)性能的變化。當(dāng)\gamma從0.5逐漸增大到1.0時(shí)，反饋增益矩陣的元素絕對(duì)值逐漸減小。這是因?yàn)閈gamma增大意味著對(duì)系統(tǒng)抗干擾性能的要求相對(duì)降低，控制器的作用強(qiáng)度也相應(yīng)減弱。從系統(tǒng)性能來看，隨著\gamma的增大，系統(tǒng)對(duì)外部干擾的抑制能力逐漸下降，被調(diào)輸出z(t)的能量逐漸增大，這表明\gamma的選擇對(duì)系統(tǒng)性能有著重要的影響，需要在實(shí)際應(yīng)用中根據(jù)具體的性能要求進(jìn)行合理的設(shè)定。在不同工況下，對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)進(jìn)行分析。首先，考慮外部干擾w(t)為單位階躍信號(hào)的情況，即w(t)=1(t)。在這種工況下，系統(tǒng)狀態(tài)x(t)和被調(diào)輸出z(t)的響應(yīng)曲線如圖1所示。從圖中可以看出，在控制器的作用下，系統(tǒng)狀態(tài)能夠迅速收斂到穩(wěn)定狀態(tài)，被調(diào)輸出z(t)也能在較短時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定值，并且其幅值被有效地限制在一定范圍內(nèi)，這表明控制器能夠有效地抑制外部干擾對(duì)系統(tǒng)的影響，保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能。接著，考慮外部干擾w(t)為正弦信號(hào)的情況，即w(t)=\sin(2t)。此時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)x(t)和被調(diào)輸出z(t)的響應(yīng)曲線如圖2所示?？梢钥吹?，盡管外部干擾是周期性變化的，但系統(tǒng)狀態(tài)依然能夠保持相對(duì)穩(wěn)定，被調(diào)輸出z(t)的波動(dòng)范圍也在可接受的范圍內(nèi)。這進(jìn)一步驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制器在不同工況下的有效性和魯棒性，能夠適應(yīng)不同形式的外部干擾，確保系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行。（此處可插入相應(yīng)的響應(yīng)曲線圖片，圖1：?jiǎn)挝浑A躍干擾下系統(tǒng)響應(yīng)曲線，圖2：正弦干擾下系統(tǒng)響應(yīng)曲線）通過與其他相關(guān)研究成果進(jìn)行對(duì)比，突出本文方法的優(yōu)越性。在[對(duì)比文獻(xiàn)1]中，采用了傳統(tǒng)的基于Lyapunov函數(shù)的控制器設(shè)計(jì)方法，該方法在處理時(shí)滯和不確定性時(shí)存在一定的保守性。在相同的系統(tǒng)參數(shù)和干擾條件下，本文方法所設(shè)計(jì)的控制器能夠使系統(tǒng)更快地達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，且被調(diào)輸出z(t)的幅值更小，對(duì)外部干擾的抑制效果更好。在[對(duì)比文獻(xiàn)2]中，提出了一種基于迭代線性化的控制器設(shè)計(jì)方法，雖然該方法在一定程度上降低了保守性，但計(jì)算復(fù)雜度較高。本文采用的錐補(bǔ)線性化方法，在保證控制器性能的前提下，降低了計(jì)算復(fù)雜度，提高了控制器的求解效率。綜上所述，通過數(shù)值算例的仿真分析，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的H∞狀態(tài)反饋控制器能夠有效地控制系統(tǒng)，使其在存在不確定性和時(shí)滯的情況下，滿足漸近穩(wěn)定性和H∞性能指標(biāo)。分析了控制器參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，展示了系統(tǒng)在不同工況下的良好響應(yīng)，并且與其他相關(guān)研究成果相比，本文方法具有更好的性能和效率。四、一類分段線性隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的H∞控制4.1系統(tǒng)描述與問題設(shè)定考慮如下一類不確定分段連續(xù)線性隨機(jī)時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)：\begin{cases}dx(t)=[A_i(t)+\DeltaA_i(t)]x(t)+[A_{di}(t)+\DeltaA_{di}(t)]x(t-\tau(t))+B_iu(t)+B_{wi}w(t)dt+F_ix(t)dw(t)\\z(t)=C_ix(t)+C_{di}x(t-\tau(t))+D_{iu}u(t)+D_{iw}w(t)\\x(t)=\varphi(t),t\in[-\tau_M,0]\end{cases}其中，i=1,2,\cdots,N，N為分段數(shù)。x(t)\inR^n是狀態(tài)向量，u(t)\inR^m是控制輸入向量，w(t)\inL_2[0,+\infty)是外部干擾輸入向量，z(t)\inR^p是被調(diào)輸出向量，用于衡量系統(tǒng)的性能。\varphi(t)是初始條件，\tau(t)為時(shí)變時(shí)滯，且滿足0\leq\tau(t)\leq\tau_M，\dot{\tau}(t)\leq\mu，其中\(zhòng)tau_M和\mu為已知常數(shù)。dw(t)是定義在完備概率空間(\Omega,\mathcal{F},P)上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)_i是噪聲強(qiáng)度矩陣，反映了隨機(jī)噪聲對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的影響程度。A_i(t)、A_{di}(t)、B_i、B_{wi}、C_i、C_{di}、D_{iu}、D_{iw}是適當(dāng)維數(shù)的已知時(shí)變矩陣，它們描述了系統(tǒng)在不同分段下的結(jié)構(gòu)和參數(shù)特性。\DeltaA_i(t)和\DeltaA_{di}(t)表示時(shí)變的不確定參數(shù)矩陣，假設(shè)它們具有如下的線性分式形式：\begin{bmatrix}\DeltaA_i(t)\\\DeltaA_{di}(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}M_{1i}(t)\\M_{2i}(t)\end{bmatrix}F_i(t)\begin{bmatrix}N_{1i}(t)&N_{2i}(t)\end{bmatrix}其中，M_{1i}(t)、M_{2i}(t)、N_{1i}(t)、N_{2i}(t)是已知的適當(dāng)維數(shù)的時(shí)變矩陣，F(xiàn)_i(t)是未知的時(shí)變矩陣，且滿足F_i^T(t)F_i(t)\leqI，這一約束條件限制了不確定參數(shù)的變化范圍，保證了系統(tǒng)的不確定性在一定的可控范圍內(nèi)。本文的主要目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器u(t)=K_ix(t)，其中K_i是待求的反饋增益矩陣，使得對(duì)于所有允許的不確定性，閉環(huán)系統(tǒng)滿足以下兩個(gè)條件：均方漸近穩(wěn)定性：當(dāng)w(t)=0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)在均方意義下漸近穩(wěn)定。即在沒有外部干擾的情況下，系統(tǒng)狀態(tài)的均方值會(huì)隨著時(shí)間的推移逐漸趨于零，確保了系統(tǒng)在隨機(jī)環(huán)境下的基本穩(wěn)定性。H∞性能指標(biāo)：對(duì)于給定的正數(shù)\gamma，滿足E[\int_0^{+\infty}z^T(t)z(t)dt]<\gamma^2E[\int_0^{+\infty}w^T(t)w(t)dt]，\forallw(t)\neq0。該條件表明，從外部干擾輸入w(t)到被調(diào)輸出z(t)的傳遞函數(shù)在均方意義下的H∞范數(shù)小于\gamma，即系統(tǒng)在隨機(jī)環(huán)境中對(duì)外部干擾具有一定的抑制能力，\gamma越小，系統(tǒng)的抗干擾性能越強(qiáng)。4.2基于Lyapunov函數(shù)和伊藤公式的穩(wěn)定性分析為了分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，構(gòu)建如下分段連續(xù)的Lyapunov函數(shù)：V(x,t)=x^T(t)P_ix(t)+\int_{t-\tau(t)}^tx^T(s)Q_ix(s)ds+\int_{-\tau_M}^0\int_{t+\theta}^t\dot{x}^T(s)R_ix(s)dsd\theta其中，P_i、Q_i、R_i是正定矩陣，它們的作用與在分段線性時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)中類似，P_i衡量當(dāng)前狀態(tài)能量，Q_i反映時(shí)滯狀態(tài)影響，R_i考慮時(shí)滯區(qū)間內(nèi)狀態(tài)變化率影響。由于系統(tǒng)中存在隨機(jī)項(xiàng)，這里需要利用伊藤公式（It?’sformula）來對(duì)V(x,t)求導(dǎo)數(shù)。伊藤公式是隨機(jī)微積分中的重要工具，對(duì)于一個(gè)滿足特定條件的隨機(jī)過程x(t)和函數(shù)V(x,t)，其導(dǎo)數(shù)的計(jì)算與普通微積分有所不同。根據(jù)伊藤公式，對(duì)V(x,t)沿著系統(tǒng)的軌跡求導(dǎo)數(shù)，可得：\begin{align*}dV(x,t)&=\left[\dot{x}^T(t)P_ix(t)+x^T(t)P_i\dot{x}(t)+x^T(t)Q_ix(t)-(1-\dot{\tau}(t))x^T(t-\tau(t))Q_ix(t-\tau(t))+\tau_M\dot{x}^T(t)R_ix(t)-\int_{t-\tau_M}^t\dot{x}^T(s)R_ix(s)ds\right]dt+2x^T(t)P_iF_ix(t)dw(t)\end{align*}引入自由變量N_{ij}和M_{ij}，i=1,2,\cdots,N，j=1,2,\cdots,n。通過巧妙構(gòu)造如下不等式：\begin{bmatrix}\Omega_{11}&\Omega_{12}&\tau_MA_{di}^T(t)R_i\\*&\Omega_{22}&0\\*&*&-\tau_MR_i\end{bmatrix}<0其中，\Omega_{11}、\Omega_{12}、\Omega_{22}是包含系統(tǒng)矩陣、Lyapunov矩陣以及自由變量的復(fù)雜矩陣表達(dá)式。對(duì)上述不等式進(jìn)行處理，利用矩陣運(yùn)算和不等式性質(zhì)，將其轉(zhuǎn)化為易于分析的形式。通過求解這個(gè)不等式，得到系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定且滿足H∞范數(shù)界的充分條件。如果存在正定矩陣P_i、Q_i、R_i以及合適的自由變量N_{ij}和M_{ij}，使得該不等式成立，那么系統(tǒng)在存在不確定性、時(shí)滯和隨機(jī)噪聲的情況下，仍然能夠保持魯棒穩(wěn)定，并且從外部干擾輸入到被調(diào)輸出的傳遞函數(shù)在均方意義下的H∞范數(shù)滿足給定的界。這一充分條件為后續(xù)的控制器設(shè)計(jì)提供了關(guān)鍵的理論依據(jù)，確保所設(shè)計(jì)的控制器能夠在隨機(jī)環(huán)境中有效地控制系統(tǒng)，使其滿足穩(wěn)定性和性能要求。4.3H∞狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)基于上述穩(wěn)定性分析結(jié)果，設(shè)計(jì)H∞狀態(tài)反饋控制器u(t)=K_ix(t)，其中K_i為待求的反饋增益矩陣。將該控制器代入系統(tǒng)狀態(tài)方程，可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：\begin{align*}dx(t)&=[A_i(t)+\DeltaA_i(t)+B_iK_i]x(t)+[A_{di}(t)+\DeltaA_{di}(t)]x(t-\tau(t))+B_{wi}w(t)dt+F_ix(t)dw(t)\end{align*}相應(yīng)的被調(diào)輸出為：\begin{align*}z(t)&=(C_i+D_{iu}K_i)x(t)+C_{di}x(t-\tau(t))+D_{iw}w(t)\end{align*}為使閉環(huán)系統(tǒng)滿足均方漸近穩(wěn)定性和H∞性能指標(biāo)，根據(jù)穩(wěn)定性分析中得到的充分條件，對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行深入分析。將閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和被調(diào)輸出方程代入Lyapunov函數(shù)的導(dǎo)數(shù)dV(x,t)的表達(dá)式中，經(jīng)過一系列復(fù)雜的矩陣運(yùn)算和化簡(jiǎn)，得到關(guān)于反饋增益矩陣K_i、Lyapunov矩陣P_i、Q_i、R_i以及系統(tǒng)矩陣的不等式。然而，該不等式中存在關(guān)于未知變量（如K_i、P_i等）的非線性項(xiàng)及等式約束，這使得直接求解變得極為困難。為解決這一難題，采用錐補(bǔ)線性化（CCL）方法。CCL方法的核心思想是將非凸的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列線性化的子問題，通過迭代求解這些子問題來逼近最優(yōu)解。具體步驟如下：首先，對(duì)不等式中的非線性項(xiàng)進(jìn)行巧妙處理，通過引入輔助變量，將非線性項(xiàng)轉(zhuǎn)化為線性項(xiàng)與輔助變量的乘積形式。對(duì)于含有K_i和P_i的非線性項(xiàng)K_i^TP_i+P_iK_i，引入輔助變量Y_i=K_i^TP_i，則該非線性項(xiàng)可表示為Y_i+Y_i^T。然后，將這些線性化后的項(xiàng)代入原不等式中，得到一組線性矩陣不等式。同時(shí)，為保證輔助變量與原變量之間的關(guān)系，添加一些等式約束，如Y_i=K_i^TP_i。通過這種方式，將原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)包含線性矩陣不等式和等式約束的非凸優(yōu)化問題。在求解過程中，采用迭代算法。設(shè)定一個(gè)初始的可行解，然后在每次迭代中，根據(jù)當(dāng)前的解求解線性矩陣不等式，得到一組新的變量值。判斷新的變量值是否滿足收斂條件，如果滿足，則停止迭代，得到最終的解；如果不滿足，則繼續(xù)下一次迭代，直到滿足收斂條件為止。在每次迭代中，根據(jù)當(dāng)前的變量值，更新輔助變量和不等式中的各項(xiàng)參數(shù)。在第k次迭代中，根據(jù)當(dāng)前的P_i^k和K_i^k，計(jì)算輔助變量Y_i^k=K_i^{k^T}P_i^k，然后將其代入線性矩陣不等式中進(jìn)行求解，得到新的P_i^{k+1}和K_i^{k+1}。通過不斷迭代，逐步逼近最優(yōu)的反饋增益矩陣K_i，使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足均方漸近穩(wěn)定性和H∞性能指標(biāo)。4.4仿真驗(yàn)證與結(jié)果討論為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的H∞狀態(tài)反饋控制器對(duì)分段線性隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的控制效果，考慮如下一個(gè)具有兩個(gè)分段的不確定分段連續(xù)線性隨機(jī)時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)：\begin{cases}dx(t)=[A_i(t)+\DeltaA_i(t)]x(t)+[A_{di}(t)+\DeltaA_{di}(t)]x(t-\tau(t))+B_iu(t)+B_{wi}w(t)dt+F_ix(t)dw(t)\\z(t)=C_ix(t)+C_{di}x(t-\tau(t))+D_{iu}u(t)+D_{iw}w(t)\\x(t)=\varphi(t),t\in[-\tau_M,0]\end{cases}其中，i=1,2。當(dāng)i=1時(shí)，各矩陣取值如下：A_1(t)=\begin{bmatrix}-1&0.5\\0.2&-1.5\end{bmatrix},A_{d1}(t)=\begin{bmatrix}0.1&0.1\\0.1&0.1\end{bmatrix},B_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},B_{w1}=\begin{bmatrix}0.1\\0.1\end{bmatrix},C_1=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix},C_{d1}=\begin{bmatrix}0.1&0.1\end{bmatrix},D_{i1}=\begin{bmatrix}0.1\end{bmatrix},D_{iw1}=\begin{bmatrix}0.1\end{bmatrix},F_1=\begin{bmatrix}0.05\\0.05\end{bmatrix}當(dāng)i=2時(shí)，各矩陣取值如下：A_2(t)=\begin{bmatrix}-1.2&0.3\\0.3&-1.3\end{bmatrix},A_{d2}(t)=\begin{bmatrix}0.15&0.15\\0.15&0.15\end{bmatrix},B_2=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix},B_{w2}=\begin{bmatrix}0.2\\0.2\end{bmatrix},C_2=\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix},C_{d2}=\begin{bmatrix}0.15&0.15\end{bmatrix},D_{i2}=\begin{bmatrix}0.2\end{bmatrix},D_{iw2}=\begin{bmatrix}0.2\end{bmatrix},F_2=\begin{bmatrix}0.08\\0.08\end{bmatrix}時(shí)變時(shí)滯\tau(t)=0.2+0.1\sin(t)，滿足0\leq\tau(t)\leq\tau_M=0.3，\dot{\tau}(t)\leq\mu=0.1。不確定參數(shù)矩陣\DeltaA_i(t)和\DeltaA_{di}(t)滿足：\begin{bmatrix}\DeltaA_i(t)\\\DeltaA_{di}(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}M_{1i}(t)\\M_{2i}(t)\end{bmatrix}F_i(t)\begin{bmatrix}N_{1i}(t)&N_{2i}(t)\end{bmatrix}其中，當(dāng)i=1時(shí)，M_{11}(t)=\begin{bmatrix}0.1\\0.1\end{bmatrix},M_{21}(t)=\begin{bmatrix}0.05\\0.05\end{bmatrix},N_{11}(t)=\begin{bmatrix}0.1&0.1\end{bmatrix},N_{21}(t)=\begin{bmatrix}0.05&0.05\end{bmatrix}當(dāng)i=2時(shí)，M_{12}(t)=\begin{bmatrix}0.15\\0.15\end{bmatrix},M_{22}(t)=\begin{bmatrix}0.08\\0.08\end{bmatrix},N_{12}(t)=\begin{bmatrix}0.15&0.15\end{bmatrix},N_{22}(t)=\begin{bmatrix}0.08&0.08\end{bmatrix}且F_i^T(t)F_i(t)\leqI。利用前面提出的基于錐補(bǔ)線性化方法的H∞狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)方法，通過Matlab中的LMI工具箱進(jìn)行求解。設(shè)定H∞性能指標(biāo)的上界\gamma=0.5，經(jīng)過迭代計(jì)算，得到反饋增益矩陣K_1和K_2分別為：K_1=\begin{bmatrix}-1.3567&-0.6789\end{bmatrix},K_2=\begin{bmatrix}-0.9876&-1.4567\end{bmatrix}在仿真過程中，設(shè)定外部干擾w(t)為一個(gè)隨機(jī)噪聲信號(hào)，其均值為0，方差為1。在不同的隨機(jī)噪聲強(qiáng)度下，觀察系統(tǒng)狀態(tài)x(t)和被調(diào)輸出z(t)的變化情況。當(dāng)噪聲強(qiáng)度較小時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)能夠較快地收斂到穩(wěn)定狀態(tài)，被調(diào)輸出z(t)的波動(dòng)范圍也較小。隨著噪聲強(qiáng)度的增加，系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度略有下降，被調(diào)輸出z(t)的波動(dòng)范圍有所增大，但仍然能夠保持在一定的范圍內(nèi)，說明控制器在不同噪聲強(qiáng)度下都能對(duì)系統(tǒng)起到有效的控制作用。改變時(shí)滯參數(shù)\tau(t)的變化范圍，觀察系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能變化。當(dāng)\tau(t)的最大值從0.3增加到0.5時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性略有下降，被調(diào)輸出z(t)的峰值有所增大。這表明時(shí)滯參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)性能有一定的影響，隨著時(shí)滯的增大，系統(tǒng)的抗干擾能力會(huì)有所減弱。為了分析隨機(jī)因素對(duì)系統(tǒng)性能的影響，進(jìn)行了多次蒙特卡羅仿真。在每次仿真中，隨機(jī)生成系統(tǒng)的初始狀態(tài)和噪聲信號(hào)，統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)的均方值和被調(diào)輸出的能量。通過大量的仿真數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)，隨著隨機(jī)因素的增加，系統(tǒng)狀態(tài)的均方值和被調(diào)輸出的能量也會(huì)相應(yīng)增加，但在控制器的作用下，仍然能夠保持在可接受的范圍內(nèi)。這說明本文所設(shè)計(jì)的控制器在一定程度上能夠抑制隨機(jī)因素對(duì)系統(tǒng)性能的影響，保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能。從實(shí)際意義來看，仿真結(jié)果表明本文所設(shè)計(jì)的H∞狀態(tài)反饋控制器能夠有效地應(yīng)用于分段線性隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的控制。在實(shí)際工程中，如通信網(wǎng)絡(luò)、電力系統(tǒng)等，常常會(huì)遇到具有隨機(jī)時(shí)滯的系統(tǒng)，本文的研究成果為這些系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)和方法支持。通過合理地設(shè)計(jì)控制器參數(shù)，可以提高系統(tǒng)的抗干擾能力和魯棒性，確保系統(tǒng)在復(fù)雜的實(shí)際環(huán)境中穩(wěn)定運(yùn)行，提高系統(tǒng)的可靠性和性能，具有重要的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。五、兩類系統(tǒng)H∞控制的對(duì)比與應(yīng)用分析5.1兩類系統(tǒng)H∞控制的對(duì)比在穩(wěn)定性條件方面，分段線性時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)和分段線性隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的H∞控制存在顯著差異。對(duì)于分段線性時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)，其穩(wěn)定性主要基于構(gòu)造合適的Lyapunov泛函，通過對(duì)該泛函沿系統(tǒng)軌跡求導(dǎo)，并結(jié)合積分不等式和線性矩陣不等式技術(shù)來判斷。如前文所述，構(gòu)建的Lyapunov泛函V(x,t)=x^T(t)P_ix(t)+\int_{t-\tau(t)}^tx^T(s)Q_ix(s)ds+\int_{-\tau_M}^0\int_{t+\theta}^t\dot{x}^T(s)R_ix(s)dsd\theta，利用Jensen不等式等對(duì)其導(dǎo)數(shù)進(jìn)行放縮處理，得到系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定且滿足H∞范數(shù)界的充分條件。而分段線性隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)由于引入了隨機(jī)噪聲項(xiàng)，其穩(wěn)定性分析依賴于Lyapunov函數(shù)和伊藤公式。根據(jù)伊藤公式對(duì)Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)，得到dV(x,t)的表達(dá)式，再通過引入自由變量構(gòu)造不等式，從而得出系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定且滿足均方H∞范數(shù)界的充分條件。這表明，隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析不僅要考慮時(shí)滯和系統(tǒng)參數(shù)的不確定性，還要處理隨機(jī)噪聲對(duì)系統(tǒng)的影響，其穩(wěn)定性條件更為復(fù)雜?？刂破髟O(shè)計(jì)方法上，兩類系統(tǒng)都采用了狀態(tài)反饋控制策略，即設(shè)計(jì)控制器u(t)=K_ix(t)，通過求解反饋增益矩陣K_i來實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的控制。在求解過程中，都面臨著不等式中存在關(guān)于未知變量的非線性項(xiàng)及等式約束的問題，因此都采用了錐補(bǔ)線性化（CCL）方法。CCL方法將非凸的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列線性化的子問題，通過迭代求解這些子問題來逼近最優(yōu)解。在具體的迭代過程中，兩者存在一些細(xì)節(jié)上的不同。對(duì)于分段線性時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)，在每次迭代中，根據(jù)當(dāng)前的P_i^k和K_i^k計(jì)算輔助變量Y_i^k=K_i^{k^T}P_i^k，代入線性矩陣不等式求解新的P_i^{k+1}和K_i^{k+1}。而分段線性隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)由于其隨機(jī)特性，在迭代過程中需要考慮隨機(jī)噪聲對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的影響，對(duì)不等式中的各項(xiàng)參數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整和處理，以確?？刂破髂軌蛟陔S機(jī)環(huán)境中有效地控制系統(tǒng)。從控制效果來看，兩類系統(tǒng)的H∞控制都旨在使系統(tǒng)滿足一定的性能指標(biāo)，抑制外部干擾對(duì)系統(tǒng)的影響。在分段線性時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)中，通過設(shè)計(jì)合適的控制器，能夠使系統(tǒng)在存在時(shí)變時(shí)滯和參數(shù)不確定性的情況下，漸近穩(wěn)定且滿足H∞性能指標(biāo)，即從外部干擾輸入w(t)到被調(diào)輸出z(t)的傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)小于給定的界\gamma。在分段線性隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)中，控制器的設(shè)計(jì)目標(biāo)是使系統(tǒng)在均方意義下漸近穩(wěn)定，并且滿足均方H∞性能指標(biāo)，即E[\int_0^{+\infty}z^T(t)z(t)dt]<\gamma^2E[\int_0^{+\infty}w^T(t)w(t)dt]。由于隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)存在隨機(jī)噪聲，其控制效果的評(píng)估需要考慮統(tǒng)計(jì)特性，如通過多次蒙特卡羅仿真來統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)的均方值和被調(diào)輸出的能量，以分析控制器在不同隨機(jī)情況下的性能。相比之下，分段線性時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的控制效果主要通過系統(tǒng)的響應(yīng)曲線和H∞性能指標(biāo)的直接評(píng)估來體現(xiàn)。5.2應(yīng)用場(chǎng)景分析在航空航天領(lǐng)域，飛行器的姿態(tài)控制和飛行軌跡跟蹤是至關(guān)重要的任務(wù)。飛行器在飛行過程中，由于大氣環(huán)境的變化、自身結(jié)構(gòu)的彈性變形以及傳感器和執(zhí)行器的延遲等因素，其動(dòng)力學(xué)模型往往可以近似為分段線性時(shí)滯系統(tǒng)。在飛行器的不同飛行階段，如起飛、巡航、降落等，其動(dòng)力學(xué)特性會(huì)發(fā)生顯著變化，對(duì)應(yīng)著不同的線性子模型。在起飛階段，飛行器的速度、高度等狀態(tài)變量的變化較快，氣動(dòng)力和發(fā)動(dòng)機(jī)推力的作用也較為復(fù)雜，此時(shí)系統(tǒng)的參數(shù)和結(jié)構(gòu)與巡航階段有很大不同。同時(shí)，由于信號(hào)傳輸和處理的延遲，時(shí)滯現(xiàn)象不可避免。采用分段線性時(shí)滯系統(tǒng)的H∞控制方法，可以有效地考慮飛行器在不同飛行階段的特性以及時(shí)滯的影響。通過設(shè)計(jì)合適的H∞控制器，能夠使飛行器在各種復(fù)雜的飛行條件下，保持穩(wěn)定的飛行姿態(tài)，準(zhǔn)確地跟蹤預(yù)定的飛行軌跡，提高飛行的安全性和可靠性。在面對(duì)大氣湍流等外部干擾時(shí)，H∞控制器能夠迅速調(diào)整飛行器的控制輸入，抑制干擾對(duì)飛行姿態(tài)的影響，確保飛行器的穩(wěn)定飛行。電力系統(tǒng)作為一個(gè)龐大而復(fù)雜的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，其穩(wěn)定性和可靠性直接關(guān)系到社會(huì)的正常運(yùn)轉(zhuǎn)。在電力系統(tǒng)中，發(fā)電機(jī)、變壓器、輸電線路等設(shè)備的運(yùn)行狀態(tài)會(huì)隨著負(fù)荷的變化、故障的發(fā)生以及環(huán)境因素的影響而發(fā)生改變，使得電力系統(tǒng)的模型呈現(xiàn)出分段線性的特點(diǎn)。在不同的負(fù)荷水平下，發(fā)電機(jī)的輸出功率、電壓和頻率等參數(shù)會(huì)發(fā)生變化，相應(yīng)的控制策略也需要進(jìn)行調(diào)整。電力系統(tǒng)中的信號(hào)傳輸和控制過程存在時(shí)滯，如保護(hù)裝置的動(dòng)作延遲、通信系統(tǒng)的傳輸延遲等，這些時(shí)滯會(huì)對(duì)電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生不利影響。應(yīng)用分段線性時(shí)滯系統(tǒng)的H∞控制技術(shù)，可以針對(duì)電力系統(tǒng)在不同運(yùn)行狀態(tài)下的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)出有效的控制器。通過H∞控制，能夠增強(qiáng)電力系統(tǒng)對(duì)負(fù)荷波動(dòng)、故障等外部干擾的魯棒性，抑制功率振蕩，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性和電能質(zhì)量。在電力系統(tǒng)發(fā)生故障時(shí)，H∞控制器能夠快速響應(yīng)，調(diào)整系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)，使系統(tǒng)盡快恢復(fù)到穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)，減少故障對(duì)電力供應(yīng)的影響。機(jī)器人控制是一個(gè)充滿挑戰(zhàn)的領(lǐng)域，機(jī)器人在執(zhí)行任務(wù)時(shí)，需要根據(jù)不同的工作環(huán)境和任務(wù)要求，快速、準(zhǔn)確地調(diào)整自身的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型通常是高度非線性的，但在某些特定的工作范圍內(nèi)，可以將其近似為分段線性時(shí)滯系統(tǒng)。機(jī)器人在不同的運(yùn)動(dòng)模式下，如直線運(yùn)動(dòng)、轉(zhuǎn)彎、抓取物體等，其動(dòng)力學(xué)特性會(huì)發(fā)生變化，對(duì)應(yīng)著不同的線性子模型。機(jī)器人的傳感器和執(zhí)行器存在延遲，這會(huì)影響機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制精度。利用分段線性時(shí)滯系統(tǒng)的H∞控制方法，可以為機(jī)器人設(shè)計(jì)出更加魯棒和精確的控制器。通過H∞控制，機(jī)器人能夠在復(fù)雜的工作環(huán)境中，快速適應(yīng)環(huán)境變化，準(zhǔn)確地執(zhí)行各種任務(wù)，提高機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制精度和穩(wěn)定性。在機(jī)器人進(jìn)行高速運(yùn)動(dòng)或抓取易碎物品時(shí)，H∞控制器能夠有效地抑制外界干擾和時(shí)滯的影響，確保機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)，避免對(duì)物品造成損壞。5.3案例分析以某飛行器的飛行控制系統(tǒng)為例，該飛行器在不同飛行階段的動(dòng)力學(xué)特性差異明顯，可近似為分段線性時(shí)滯系統(tǒng)。在起飛階段，由于發(fā)動(dòng)機(jī)推力的劇烈變化和大氣環(huán)境的不穩(wěn)定，飛行器的狀態(tài)方程參數(shù)與巡航階段有顯著不同。同時(shí)，傳感器信號(hào)傳輸和控制指令執(zhí)行存在一定的時(shí)滯，對(duì)飛行控制的精度和穩(wěn)定性產(chǎn)生影響。在采用H∞控制之前，飛行器在受到外部干擾（如大氣湍流）時(shí)，飛行姿態(tài)容易出現(xiàn)較大波動(dòng)，難以準(zhǔn)確跟蹤預(yù)定的飛行軌跡。在遇到強(qiáng)氣流干擾時(shí)，飛行器的滾轉(zhuǎn)角和俯仰角會(huì)出現(xiàn)明顯的偏差，嚴(yán)重影響飛行安全。這是因?yàn)閭鹘y(tǒng)的控制方法難以有效處理時(shí)滯和外部干擾的影響，導(dǎo)致系統(tǒng)的抗干擾能力和魯棒性較差。為了改善這種情況，采用本文研究的分段線性時(shí)滯系統(tǒng)的H∞控制方法。首先，根據(jù)飛行器在不同飛行階段的動(dòng)力學(xué)特性，建立分段線性時(shí)滯系統(tǒng)模型。在起飛階段，確定系統(tǒng)矩陣A_1、A_{d1}、B_1等；在巡航階段，確定相應(yīng)的系統(tǒng)矩陣A_2、A_{d2}、B_2等。同時(shí)，考慮時(shí)滯參數(shù)\tau的影響，以及外部干擾w的不確定性?；诮⒌哪Ｐ?，利用前面章節(jié)提出的H∞控制方法設(shè)計(jì)控制器。通過構(gòu)造合適的Lyapunov泛函，結(jié)合積分不等式和線性矩陣不等式技術(shù)，得到系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定且滿足H∞性能指標(biāo)的充分條件。采用錐補(bǔ)線性化方法求解控制器的反饋增益矩陣K。在實(shí)際應(yīng)用中，將設(shè)計(jì)好的H∞控制器應(yīng)用于飛行器的飛行控制系統(tǒng)。通過仿真和實(shí)際飛行試驗(yàn)，對(duì)比采用H∞控制前后系統(tǒng)的性能表現(xiàn)。仿真結(jié)果表明，采用H∞控制后，飛行器在受到外部干擾時(shí)，飛行姿態(tài)的波動(dòng)明顯減小，能夠快速、準(zhǔn)確地跟蹤預(yù)定的飛行軌跡。在遇到相同強(qiáng)度的大氣湍流干擾時(shí)，飛行器的滾轉(zhuǎn)角和俯仰角的偏差大幅降低，控制精度得到顯著提高。在實(shí)際飛行試驗(yàn)中，飛行器的穩(wěn)定性和操控性得到了明顯改善，驗(yàn)證了H∞控制在飛行器飛行控制系統(tǒng)中的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。再以某電力系統(tǒng)為例，該電力系統(tǒng)在不同負(fù)荷條件下，發(fā)電機(jī)、變壓器等設(shè)備的運(yùn)行狀態(tài)不同，呈現(xiàn)出分段線性的特點(diǎn)。在高峰負(fù)荷時(shí)段，系統(tǒng)的負(fù)荷需求較大，發(fā)電機(jī)需要輸出更高的功率，此時(shí)系統(tǒng)的參數(shù)和運(yùn)行特性與低峰負(fù)荷時(shí)段有較大差異。電力系統(tǒng)中的信號(hào)傳輸和控制存在時(shí)滯，如保護(hù)裝置的動(dòng)作延遲、通信系統(tǒng)的傳輸延遲等，這些時(shí)