2024-2025學(xué)年度春學(xué)期期中聯(lián)考試卷 -答案及評(píng)分細(xì)則111

2024-2025學(xué)年度春學(xué)期期中聯(lián)考試卷高二數(shù)學(xué)（評(píng)分細(xì)則）一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案CBBDABDC二．多選題（共3小題）題號(hào)91011答案ACD A BDACD三．填空題（共3小題）題號(hào)121314答案75(四．解答題（共5小題）15．已知函數(shù)f（x）＝x3+ax2+bx（a∈R，b∈R），其圖象在點(diǎn)（1，4）處的切線方程為y＝4．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0【解答】解：（1）由f（x）＝x3+ax2+bx（a∈R，b∈R）可得：f′（x）＝3x2+2ax+b，所以f（x）在點(diǎn)（1，4）處切線的斜率為k＝f′（1）＝3+2a+b，因?yàn)閒（x）在點(diǎn)（1，4）處切線方程為y＝4，所以切線的斜率為0，且f（1）＝4，所以f'(1)=0f(1)=4，即3+2a+b=01+a+b=4，…………解得a＝﹣6，b＝9，所以f（x）＝x3﹣6x2+9x；……………………..6分（2）由（1）知f（x）＝x3﹣6x2+9x，則f′（x）＝3x2﹣12x+9＝3（x﹣1）（x﹣3），………………8分令f′（x）＝0得x＝1或3，所以在(0，1)上f′（x）＞0，f在（1，3）上f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，在（3，5）上f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，在x＝1處，f（x）取得極大值f（1）＝4，在x＝3處f（x）取得極小值f（3）＝0，………..11分又因?yàn)閒(0)=0=f(3)，f（5）＝53﹣6×52+9×5＝20＞f（1所以f（x）在[0，5]上的最大值為20，最小值為0．16．在(2（1）求常數(shù)項(xiàng)，及此項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；（2）求奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和；（3）求系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)．【解答】解：展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C6r(2x)6-r(-1………3分由通項(xiàng)公式可得常數(shù)項(xiàng)為第4項(xiàng)即r＝3時(shí)，為-160，……………….…….5分其二項(xiàng)式系數(shù)為C63=20；…………………（2）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為25＝32，………………..9分（3）展開式的各項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值為Sr+1＝C6r?26-r，r＝0設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大，則C6r?2解得43≤r≤73，則r＝2所以系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)為T3=C62?24(-1)17．某市有一特色酒店由10座完全相同的帳篷構(gòu)成（如圖1）．每座帳篷的體積為54πm3，且分上下兩層，其中上層是半徑為r（r≥1）（單位：m）的半球體，下層是半徑為rm，高為hm的圓柱體（如圖2）．經(jīng)測(cè)算，上層半球體部分每平方米建造費(fèi)用為2千元，下方圓柱體的側(cè)面、隔層和地面三個(gè)部分平均每平方米建造費(fèi)用為3千元設(shè)所有帳篷的總建造費(fèi)用為y千元．（提示：球體積公式：V=43（1）求y關(guān)于r的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)半徑r為何值時(shí)，所有帳篷的總建造費(fèi)用最小，并求出最小值．【解答】解：（1）由題意可得23πr3+πr2h=54π，所以所以y＝（2πr2×2+2πr2×3+2πrh×3）×10＝100πr2+60πr?（54r2-23r），即y＝60……….…….6分因?yàn)閞≥1，h＞0，所以54r2-23r＞0，則1≤r＜333，所以定義域?yàn)閧r|1≤r＜3設(shè)f（r）＝r2+54r，1≤r＜3則f′（r）＝2r-54r2，令f′（r）＝0，解得r＝3，……….….……………...10當(dāng)r∈[1，3）時(shí)，f′（r）＜0，f（r）單調(diào)遞減；當(dāng)r∈（3，333）時(shí)，f′（r）＞0，f（r）單調(diào)遞增，所以當(dāng)r＝3時(shí)，f（r）取極小值也是最小值，……….……..……….….……………...12分且f（r）min＝27π，總費(fèi)用最小值為1620π，……….……..……….…………………..14分答：當(dāng)半徑r為3m時(shí)，建造費(fèi)用最小，最小為1620π千元．……….……..……….…………….......15分18．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行乒乓球比賽，經(jīng)過大數(shù)據(jù)分析，每局比賽甲獲勝的概率約為23，乙獲勝的概率約為1（1）若比賽為三局兩勝制，（i）設(shè)比賽結(jié)束時(shí)比賽場(chǎng)次為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ii）求乙最終獲勝的概率；（2）若比賽為五局三勝制，已知甲最終獲勝了，求在此條件下進(jìn)行了5局比賽的概率．【解答】解：（1）（i）由題意可知，X所有可能的取值為2，3，……1分則P(X=2)=(23)P(X=3)=C21×所以X的分布列為：X23P5949所以E(X)=2×59+3×（ii）乙最終獲勝的概率P=(13)（2）設(shè)事件A＝“甲最終獲勝”，事件B＝“共進(jìn)行了5場(chǎng)比賽”，則P（A）=(23)3P(AB)=C42×(1故P（B|A）=P(AB)P(A)=16816481

19．已知函數(shù)f（x）＝ex﹣ax﹣1．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）討論f（x）的單調(diào)性；（3）當(dāng)a＝1時(shí)，設(shè)g（x）＝f（x）﹣x2，證明：g（x）在（0，+∞）上存在唯一的極小值點(diǎn)x0,且g（x0）＞-34．(參考數(shù)據(jù)：e3≈【解答】解：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝ex﹣x﹣1，所以f′（x）＝ex﹣1…1分當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，…..…3分所以當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)f（x）有極小值f（0）＝0，無極大值．…………….5分（2）函數(shù)f（x）＝ex﹣ax的定義域?yàn)镽，f′（x）＝ex﹣a．對(duì)a進(jìn)行討論，分兩種情況：當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＝ex﹣a＞0恒成立，∴f（x）在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0，解得：x＞lna；由f′（x）＜0，解得：x＜lna．∴f（x）在（﹣∞，lna）上單調(diào)遞減，（lna，+∞）上單調(diào)遞增．綜上所述：當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在R上單調(diào)遞增；………….7分當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（﹣∞，lna）上單調(diào)遞減，（lna，+∞）上單調(diào)遞增．…………….9分當(dāng)a＝1時(shí)，g（x）＝ex﹣x﹣1﹣x2，g'（x）＝ex﹣2x﹣1，令m（x）＝ex﹣2x﹣1，則m'（x）＝ex﹣2．……................….10分當(dāng)x∈（0，ln2）時(shí)，m（x）＜0，m（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（ln2，+∞）時(shí)，m（x）＞0，m（x）單調(diào)遞增，又因?yàn)閙（ln2）＝eln2﹣2ln2﹣1＝1﹣2ln2＜0，……………......................................................12分m（0）＝0且m(3所以存在唯一的x0∈(ln2，32)，使得m（x0）＝0當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，m（x）＜0，即g'（x