廣東省湛江市2024-2025學年高二下學期4月期中聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

廣東省湛江市2024-2025學年高二下學期4月期中聯(lián)考數(shù)學試題本試卷共4頁，19題．全卷滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試題卷，草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.數(shù)列的一個通項公式為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分析題干數(shù)列可知是交替出現(xiàn)的數(shù)列，逐個分析各個選項是否滿足交替出現(xiàn)即可得出答案.【詳解】由題意可知題干數(shù)列是交替出現(xiàn)，故其通項公式可以寫成或利用三角函數(shù)來寫，對于A，的第一項為，不符合題意，故A錯誤；對于B，即為，對應的余弦值為，符合題意，故B正確；對于C，的前兩項依次為，不符合題意，故C錯誤；對于D，的第一項為，不符合題意，故D錯誤；故選：B.2.已知數(shù)列為等比數(shù)列，其中，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比中項即可求解.【詳解】根據(jù)，a，可得：，；解得，故.故選：B.3.函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于時的瞬時變化率，則（）A. B.1 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平均變化率和瞬時變化率的計算公式求解可得.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為，在時的瞬時變化率為，所以．故選：C4.若數(shù)列滿足，則，則（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】求出的前5項，得到為周期數(shù)列，一個周期為4，故.【詳解】，，，，故為周期數(shù)列，一個周期為4，故.故選：D5.從1，2，5，7中任取3個數(shù)字，從4，6，9中任取2個數(shù)字，則一共可以組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)的個數(shù)為（）A.720 B.1200 C.1440 D.1728【答案】C【解析】【分析】先選后排，根據(jù)分步計數(shù)原理和排列數(shù)，組合數(shù)公式即可求出.【詳解】從1，2，5，7中任取3個數(shù)字有種方法，從4，6，9中任取2個數(shù)字有種方法，再把取出的5個數(shù)全排列共有，故一共可以組成1440個沒有重復數(shù)字的五位數(shù)．故選：C．6.已知函數(shù)在處取得極大值，則（）A.0 B.12 C.16 D.96【答案】A【解析】【分析】求導后利用極值點處導數(shù)為零求出參數(shù)，再驗證后計算可得.【詳解】因為，由題意，所以或，經(jīng)檢驗時，，可知時，取得極小值，不符合題意.所以，因此.故選：A.7.某高校的一個宿舍的6名同學被邀請參加校運動會的表演，要求必須有人去，其中甲和乙兩名同學關系要好，商量決定要么都去，要么都不去，則該宿舍同學的去法共有（）A.15種 B.28種 C.31種 D.63種【答案】C【解析】【分析】分甲和乙兩名同學都去及甲和乙兩名同學都不去兩種情況應用分類加法原理及組合數(shù)運算求解.【詳解】若甲和乙兩名同學都去，則去的人數(shù)可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以滿足條件的去法數(shù)為種；若甲和乙兩名同學都不去，則去的人數(shù)可能是1人，2人，3人，4人，則滿足條件的去法有種；故該宿舍同學的去法共有種．故選：C．8.函數(shù)在上的零點和極值點個數(shù)之和為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】【分析】令解得或，求出滿足的解的個數(shù)，然后利用導數(shù)及三角函數(shù)的圖像與性質判斷函數(shù)的單調性從而確定極值點的個數(shù)，求和即可.【詳解】令，所以或，又，所以，，即在區(qū)間有5個零點，，令，解得或，又，所以在區(qū)間上有2個解，設為，且，在區(qū)間上有2個解，設為，且，當時，，，故在上單調遞減，當時，，故在單調遞增，故在[0，上有4個變號零點，即在上有4個極值點，所以在上的零點和極值點個數(shù)之和為9.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.2025年春節(jié)檔共上映6部電影全國電影票房達95.1億元，刷新了中國影史春節(jié)檔票房記錄.其中，《哪吒之魔童鬧海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的寶座.小數(shù)想要觀看這6部電影，則（）A.若將《哪吒之魔童鬧?！泛汀短铺?900》放在相鄰次序觀看，則共有120種觀看順序B.若《唐探1900》在《哪吒之魔童鬧?！分坝^看，則共有360種觀看順序C.若將6部電影每2部一組隨機分為3組，則共有90種分組方式D.若將6部電影隨機分為2組，則共有31種分組方式【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)捆綁法計算求解A，應用全排列計算B，根據(jù)平均分組計算判斷C，分類分組計算判斷D.【詳解】若將《哪吒之魔童鬧海》和《唐探1900》放在相鄰次序觀看，可將這兩部電影看作一個整體，與其余4部電影全排列，再將這兩部電影內(nèi)部進行全排列，所以觀看順序為種，故A錯誤；若《唐探1900》在《哪吒之魔童鬧海》之前觀看，則在6部電影的全排列中，《唐探1900》在《哪吒之魔童鬧?！分暗那闆r占總情況的一半，故共有種觀看順序，故B正確；若將6部電影每2部一組隨機分為3組，則可以從6部電影中先選出2部，再從4部電影中選出2部，最后除以消除重復情況，故分組方式為，故C錯誤；若將6部電影隨機分為2組，則可按兩組分別有1和5部、2和4部、3和3部電影的三種情況分組，按1和5，有種分組方式；按2和4，有種分組方式；按3和3，有種分組方式，所以共有31種分組方式，故D正確.故選：BD.10.設函數(shù)，直線與曲線相切于點，則（）A.對于給定的，任意的恒過定點 B.對于給定的，存在一條直線，與的交點為定點C.與的交點的橫坐標存在最小值 D.與的交點的縱坐標存在最大值【答案】ABD【解析】【分析】利用導數(shù)的幾何意義求得在處的切線方程，再根據(jù)直線過定點可判斷A正確，結合A分析可知，存在使得其與的交點為定點，即B正確，構造函數(shù)并求出其單調性即可得出其存在最大值，可得C錯誤，D正確.【詳解】對于A，，因此切線方程為，也即，恒過定點），故A正確；對于B，由A知存在一條直線，使得與交于點，故B正確；對于CD，根據(jù)定義域知，設，下面研究值域，因為，當單調遞增，當單調遞減，所以存在極大值（也就是最大值），且當，所以的值域為，也就是橫縱坐標均存在最大值1，不存在最小值，故D正確，C錯誤．故選：ABD．11.已知前兩項均為1的數(shù)列滿足，記的前項和為，則（）A. B.C.和均為等比數(shù)列 D.【答案】AC【解析】【分析】分別令，，求得判斷A；利用，得，利用判斷B；根據(jù)，判斷C；根據(jù)C選項得，進而得到判斷D.【詳解】對于A，令可得，令可得，故A正確；對于B，因為，所以，所以．故，故B錯誤；對于C，由題意可得，所以數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以，①，同理可得，所以數(shù)列是首項為，公比為-1的等比數(shù)列，所以，②，故C正確；對于D，①－②得．所以，故D錯誤．故選：AC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知為首項和公差均為1的等差數(shù)列，則滿足的的最小值為_____.【答案】11【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出的表達式，進而得到的表達式，再根據(jù)求出的取值范圍，最后確定滿足條件的的最小值.【詳解】由等差數(shù)列的定義可得，則，所以令，解得，所以滿足條件的的最小值為11.故答案為：11.13.在2024年巴黎奧運會志愿者活動中，甲、乙、丙、丁4人要參與到，，三個項目的志愿者工作中，每個項目必須有志愿者參加，每個志愿者只能參加一個項目，若甲只能參加項目，那么不同的志愿者分配方案共有_______種（用數(shù)字表示）.【答案】12【解析】【分析】分類討論，結合排列組合即可求解.【詳解】分兩種情況：（1）只有甲參加C項目，則有種分配方案；（2）甲與另外一人共同參與C項目，則有種分配方案.綜上：共有12種分配方案.故答案為：1214.已知是函數(shù)圖象上一點，函數(shù)滿足，則圖象上的點到在處的切線的距離為_________．【答案】【解析】【分析】先求出導函數(shù)，設切點計數(shù)得出切線，再應用平行線間距離公式計算求解.【詳解】，因為在上，且，可知與在處的切線平行或重合，又因為，即，解得，故在處的切線方程為，分別整理得切線方程為，直線為0，由平行直線間距離公式知，兩直線間距離為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．15.甲、乙、丙做四項工作，每項工作只需且必須有1人完成，每人至少完成1項工作．（1）共有多少種不同的情況；（2）求甲做工作的概率．【答案】（1）36（2）【解析】【分析】（1）算所有工作分配情況：因每人至少做一項，有一人做兩項，先從項工作選項成一組，再將這組與另兩項全排列給三人，用分步乘法計數(shù)原理得出總情況數(shù)．

（2）①算甲做工作情況：分兩種．一是甲只做，從剩下項選項成組，再與另一項全排列給乙丙；二是甲做和、、中一項，先從、、選項給甲，再將剩下項全排列給乙丙，兩種情況數(shù)相加．②算概率：用甲做工作的情況數(shù)除以總情況數(shù)．【小問1詳解】甲、乙、丙做四項工作，每項工作只需1人完成，每人至少完成1項工作，故有1人做兩項工作，其余2人各做一項工作，共有種情況．【小問2詳解】甲做工作的情況有2種：①甲只做工作，共有種情況；②甲做工作及中的任意一項工作，共有種情況，所以甲做工作的情況有種，故所求概率為．16.已知為數(shù)列的前n項和，，.（1）求的通項公式；（2）設數(shù)列的前n項的和為，，，求正整數(shù)的最小值.【答案】（1）（2）24【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，當時，，兩式相減，求得，結合累乘法，即可求得數(shù)列通項公式；（2）由（1）得，結合裂項相消法，求得，得到不等式，進而求得的最小值.【小問1詳解】解：當時，，因為，兩式相減，可得，所以，可得，又因為，，…，，累乘得，所以.【小問2詳解】解：由（1）知，可得，所以，所以，解得，故的最小值為24.17.已知函數(shù)．（1）當時，求在上的最值；（2）求的單調區(qū)間．【答案】（1），無最小值．（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）先求出導函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調性得出函數(shù)最大值；（2）分和兩類討論，導函數(shù)正負進而得出函數(shù)的單調性.【小問1詳解】當時，，則，則在上單調遞減，所以，無最小值．【小問2詳解】，（i）若，則，所以在單調遞減；（ii）若，則由得．當時，；當時，，所以在單調遞減，在單調遞增．綜上所述，當時，的單調減區(qū)間為（）；無單調增區(qū)間．當時，的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為．18.已知函數(shù)，點均為曲線圖象上的點，且，，.（1）當時，證明：是等比數(shù)列；（2）求的取值范圍；（3）證明：直線的斜率隨的增大而增大.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，變形并結合等比數(shù)列定義判斷即得.（2）由遞推公式分別求出，將等價轉化求出范圍，進而求出的范圍.（3）直線的斜率為，構造函數(shù)，利用導數(shù)確定函數(shù)的單調性，并推理證得，再由，即可得證.【小問1詳解】由，得，又，即，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.【小問2詳解】由，得，則，因此數(shù)列與分別是以與為首項，6為公差的等差數(shù)列，，由，，得，.等價于對于任意成立，即，即，即，解得，由點均為圖象上的點，且，得，所以的取值范圍是.【小問3詳解】直線的斜率.任取，設函數(shù)，求導得令函數(shù)，求導得，當時，；當時，，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，則當時，，，函數(shù)在和上都單調遞增，而數(shù)列單調遞增，取，而，則，取，而，則，所以，即直線的斜率隨單調遞增．【點睛】關鍵點點睛：利用斜率坐標公式求出，再構造函數(shù)并探討單調性是證明的關鍵.19.設函數(shù)．（1）時，求曲線在點處的切線方程；（2）討論的單調性；（3）若有兩個極值點且，證明：．【答案】（1）（2）答案見解析.（3）證明見解析【解析】【分析】（1）當時，求出切線斜率，然后得到切線方程；