2023~2024學(xué)年廣東潮州高考數(shù)學(xué)押題試題一模帶解析

2023-2024學(xué)年廣東省潮州市高考數(shù)學(xué)押題模擬試題（一模）一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】確定，再計(jì)算并集得到答案.【詳解】，，故.故選：C2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【正確答案】A【分析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，進(jìn)一步求得的坐標(biāo),進(jìn)而得答案．【詳解】由得，所以，故其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1，1），在第一象限故選：A．本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．3．已知為第二象限角，且，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】首先利用同角的三角函數(shù)關(guān)系得到，再利用誘導(dǎo)公式即可得到答案.【詳解】，，，，，，已知為第二象限角，，，即.故選：D本題主要考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，同時(shí)考查同角的三角函數(shù)關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題.4．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題：“今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二稅一，次關(guān)三而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一，并五關(guān)所稅，適重一斤．問(wèn)本持金幾何？”其意思為“今有人持金出五關(guān)，第1關(guān)收稅金為持金的，第2關(guān)收稅金為剩余金的，第3關(guān)收稅金為剩余金的，第4關(guān)收稅金為剩余金的，第5關(guān)收稅金為剩余金的，5關(guān)所收稅金之和恰好重1斤．問(wèn)原來(lái)持金多少？”．記這個(gè)人原來(lái)持金為斤，設(shè)，則（

）A． B．7 C．13 D．26【正確答案】C【分析】根據(jù)題意求得每次收的稅金，結(jié)合題意得到，求得的值，代入函數(shù)的解析式，即可求解.【詳解】由題意知：這個(gè)人原來(lái)持金為斤，第1關(guān)收稅金為：斤；第2關(guān)收稅金為斤；第3關(guān)收稅金為斤，以此類(lèi)推可得的，第4關(guān)收稅金為斤，第5關(guān)收稅金為斤，所以，即，解得，又由，所以.故選：C.5．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【正確答案】B分別證明充分性和必要性即可判斷選項(xiàng)【詳解】充分性證明：取，明顯地有，，由于對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，所以，無(wú)法推導(dǎo)出，所以，充分性不成立；必要性證明：，可得，所以，必要性成立；故選B6．過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【正確答案】C取圓上任意一點(diǎn)P，過(guò)P作圓的兩條切線，，根據(jù)題中條件，求出，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】取圓上任意一點(diǎn)P，過(guò)P作圓的兩條切線，，當(dāng)時(shí)，且，；則，所以實(shí)數(shù).故選：C.本題主要考查求由直線與圓相切求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.7．已知數(shù)列，，其中，且，是方程的實(shí)數(shù)根，則等于（

）A．24 B．32 C．48 D．64【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，得到，，求得，推出，進(jìn)而可求出，，從而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，是方程的?shí)數(shù)根，所以，，又，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，因此，所以.故選：D.本題主要考查由數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列中的項(xiàng)，屬于?？碱}型.8．已知三棱錐的外接球的球心為，平面，，，，則球心O到平面的距離為（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接，可證，再連接交于點(diǎn)，過(guò)作，垂足為，則可證且平面，從而可求O到平面的距離.【詳解】因?yàn)?，故為等腰直角三角形且，而為的中點(diǎn).故為的外心，故平面.因?yàn)槠矫?，所以，故共?連接交于點(diǎn)，過(guò)作，垂足為.因?yàn)?，故，在直角三角形中，，故，同理，因?yàn)?，故，而，故平面，因?yàn)槠矫?，故平面平?因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面，所以平?因?yàn)闉槿忮F的外接球的球心，故，因?yàn)槠矫?，平面，故，在平面中，因?yàn)?，，故，故四邊形為矩形，且?又因?yàn)?，故，?在直角三角形中，.故選：B.本題考查三棱錐的外接球的球心到給定平面的距離，注意根據(jù)外接球球心的性質(zhì)確定球心的位置，并把點(diǎn)到平面的距離歸結(jié)可解的直角三角形中來(lái)計(jì)算，本題屬于較難題.二、多選題9．已知雙曲線的方程為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．焦點(diǎn)為 B．漸近線方程為3x±4y=0C．離心率 D．焦點(diǎn)到漸近線的距離為4【正確答案】BC根據(jù)雙曲線的方程依次求出焦點(diǎn)、漸近線方程、離心率等，即可得答案；【詳解】對(duì)A，焦點(diǎn)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，漸近線方程為，故B正確；對(duì)C，，故C正確；對(duì)D，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，故D錯(cuò)誤；故選：BC.本題考查雙曲線的性質(zhì)，離心率、漸近線、焦點(diǎn)坐標(biāo)等，考查對(duì)概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.10．某學(xué)校組織了一次勞動(dòng)技能大賽，共有100名學(xué)生參賽，經(jīng)過(guò)評(píng)判，這100名參賽者的得分都在內(nèi)，得分60分以下為不及格，其得分的頻率分布直方圖如圖所示（按得分分成這五組），則下列結(jié)論正確的是（

）A．直方圖中B．此次比賽得分不及格的共有40人C．以頻率為概率，從這100名參賽者中隨機(jī)選取1人，其得分在的概率為0.5D．這100名參賽者得分的中位數(shù)為65【正確答案】ABC【分析】由頻率和為1求參數(shù)a，判斷A；由直方圖求60分以下的人數(shù)、求的頻率判斷B、C；由中位數(shù)的性質(zhì)求中位數(shù)即可判斷D.【詳解】因?yàn)椋裕訟正確；因?yàn)椴患案竦娜藬?shù)為，所以B正確；因?yàn)榈梅衷诘念l率為，所以從這100名參賽者中隨機(jī)選取1人，其得分在的概率為0.5，所以C正確；這100名參賽者得分的中位數(shù)為，所以D錯(cuò)誤．故選：ABC.11．設(shè)函數(shù)，的最小正周期為，且過(guò)點(diǎn)，則下列正確的有（

）A．在單調(diào)遞減B．的一條對(duì)稱(chēng)軸為C．的周期為D．把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位得到函數(shù)的解析式為【正確答案】AB【分析】利用輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，根據(jù)周期求出，再根據(jù)函數(shù)過(guò)點(diǎn)求出，即可得到函數(shù)解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】根據(jù)輔助角公式得．最小正周期為，，，即．函數(shù)過(guò)點(diǎn)，，，則．當(dāng)時(shí)．即．令，則，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，故A正確．令，則，當(dāng)時(shí)，的一條對(duì)稱(chēng)軸為，故B正確．因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，則的周期為且，故C錯(cuò)誤．函數(shù)的圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位得到函數(shù)的解析式為，故D錯(cuò)誤．故選：AB．12．已知函數(shù)在上可導(dǎo)且，其導(dǎo)函數(shù)滿足，對(duì)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)在上為增函數(shù) B．是函數(shù)的極小值點(diǎn)C．函數(shù)必有2個(gè)零點(diǎn) D．【正確答案】BD對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間和極值，可判斷選項(xiàng)A，B；根據(jù)極小值的大小可得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，判斷選項(xiàng)C；利用在上為增函數(shù)，比較與的大小關(guān)系，判斷出選項(xiàng)D．【詳解】函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，故是函數(shù)g(x)的極小值點(diǎn)，B正確；若，則有兩個(gè)零點(diǎn)，若，則有一個(gè)零點(diǎn)，若，則沒(méi)有零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；在上為增函數(shù)，則，即，化簡(jiǎn)得，D正確；故選：BD本題考查導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性中的應(yīng)用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查利用單調(diào)性比較大小，屬于中檔題．三、填空題13．已知單位向量，滿足，則與的夾角為_(kāi)_______.【正確答案】【分析】由單位向量，滿足，化簡(jiǎn)得，再結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】由單位向量，滿足，可得，又因?yàn)?，可得，設(shè)向量與的夾角為，且，因?yàn)?，所?故答案為.本題主要考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及向量的夾角公式的應(yīng)用，其中解答中熟記向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.14．2021年3月18日至19日的中美高層戰(zhàn)略對(duì)話結(jié)束后，某校高二1班班主任王老師利用班會(huì)時(shí)間讓學(xué)生觀看了相關(guān)視頻，見(jiàn)識(shí)了強(qiáng)大的祖國(guó)對(duì)中美關(guān)系的霸氣表態(tài)，同學(xué)們非常激動(dòng)，愛(ài)國(guó)情感油然而生，為使班會(huì)效果更佳，班主任王老師計(jì)劃從由3名女生（分別記為甲?乙?丙）和4名男生（分別記為，，，）組成的學(xué)習(xí)小組中選出4名進(jìn)行觀后體會(huì)交流，則男生和女生甲沒(méi)有被同時(shí)選中的概率為_(kāi)__________.【正確答案】【分析】先計(jì)算從3名女生和4名男生組成的學(xué)習(xí)小組中選4名的選法，再求符合條件的選法即可．【詳解】從3名女生和4名男生組成的學(xué)習(xí)小組中選4名共有（種）選法．男生和女生甲被同時(shí)選中有（種）選法，故男生和女生甲沒(méi)有被同時(shí)選中的概率.故．15．已知圓柱的側(cè)面積為，其外接球的表面積為，則的最小值為_(kāi)____________．【正確答案】【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，根據(jù)題意求得，利用基本不等式求得圓柱的外接球半徑，結(jié)合球的表面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，因?yàn)閳A柱的側(cè)面積為，所以，得，設(shè)圓柱的外接球半徑為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為1，所以外接球的表面積的最小值為.故．16．已知橢圓：的焦點(diǎn)為，．過(guò)且傾斜角為60°的直線交橢圓的上半部分于點(diǎn)，以，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為鄰邊作平行四邊形，點(diǎn)恰好也在橢圓上，則______．【正確答案】【分析】根據(jù)四邊形為平行四邊形且可得，將其代入橢圓方程即可求解.【詳解】依題意可知，設(shè)，，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，又因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，且直線的傾斜角為60°，所以，所以，，，所以，將其代入，得，又因?yàn)椋?，．故四、解答題17．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）由已知，結(jié)合的關(guān)系可得、，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可寫(xiě)出通項(xiàng)公式.（2）由（1）得，應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求前項(xiàng)和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，且，所以.當(dāng)時(shí)，，所以，所以，又，所以，即是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，故.（2）因?yàn)?，所?18．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知，．(1)求角B的大??；(2)若的面積，設(shè)D是BC的中點(diǎn)，求的值．【正確答案】(1)；(2).【分析】(1)結(jié)合已知條件和正弦定理邊化角，三角恒等變換即可求出B；(2)根據(jù)三角形面積公式求出a，根據(jù)余弦定理求出b.在和分別由正弦定理表示出和，根據(jù)，即可得.【詳解】（1）∵，∴由正弦定理得，，即，即，即，即，，，，，；（2），.在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，，，∴.19．為了使更多人參與到冰雪運(yùn)動(dòng)中，某校組織了一次簡(jiǎn)易冰壺比賽.每場(chǎng)比賽由兩支隊(duì)伍對(duì)抗進(jìn)行，每隊(duì)由2名成員組成，共進(jìn)行3局.每局比賽時(shí)，兩隊(duì)成員交替發(fā)球，每名成員只能從發(fā)球區(qū)（左側(cè)）擲冰壺一次.當(dāng)所有成員全部擲完冰壺后，開(kāi)始計(jì)分.若冰壺未到達(dá)營(yíng)壘區(qū)，計(jì)分；若冰壺能準(zhǔn)確到達(dá)營(yíng)壘區(qū)，計(jì)2分，整場(chǎng)比賽累計(jì)得分多者獲得比賽勝利.已知隊(duì)兩名成員甲?乙每次將冰壺投擲到營(yíng)壘區(qū)的概率分別為和，隊(duì)兩名成員丙?丁每次將冰壺投擲到營(yíng)壘區(qū)的概率均為.假設(shè)兩隊(duì)投擲的冰壺在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中無(wú)碰撞，每名成員投擲冰壺相互獨(dú)立，每局比賽互不影響.(1)求隊(duì)每局得分的分布列及期望；(2)若第一局比賽結(jié)束后，隊(duì)得1分，隊(duì)得4分，求隊(duì)最終獲得本場(chǎng)比賽勝利且總積分比隊(duì)高3分的概率.【正確答案】(1)分布列見(jiàn)解析，期望為；(2).【分析】（1）根據(jù)題設(shè)寫(xiě)出的所有可能取值及對(duì)應(yīng)概率，即可得到分布列，再根據(jù)分布列求期望即可；（2）同（1）寫(xiě)出B的分布列，根據(jù)題設(shè)寫(xiě)出隊(duì)獲勝且總積分比隊(duì)高3分所有可能情況，再求出各情況的概率，最后加總即可得結(jié)果.【詳解】（1）由題設(shè)，的所有可能取值為，1，4，且的分布列如下：14所以.（2）設(shè)隊(duì)每局得分為，同理的分布列為14記隊(duì)?隊(duì)在后兩局總得分分別為?，則所包含的情況如下：隊(duì)總得分258隊(duì)總得分2，，，故隊(duì)最終獲得本場(chǎng)比賽勝利且總積分比隊(duì)高3分的概率為.20．如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面?zhèn)让妫琈為上的動(dòng)點(diǎn).(1)當(dāng)M為的中點(diǎn)時(shí)，證明：；(2)求與平面所成角的正弦值的取值范圍.【正確答案】(1)證明見(jiàn)詳解.(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直得線面垂直,進(jìn)而可得線線垂直,根據(jù)菱形對(duì)角線可得垂直,由線面垂直得線線垂直.（2）建立空間直角坐標(biāo)系,利用法向量與直線的方向向量的夾角來(lái)求解.【詳解】（1）連接由可知:四邊形均為含的菱形,故當(dāng)M為的中點(diǎn)時(shí),則,又側(cè)面?zhèn)让?側(cè)面?zhèn)让?故平面,從而,,所以平面,平面,故（2）取中點(diǎn)為,因?yàn)閭?cè)面?zhèn)让?,故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.,設(shè)則設(shè)平面的法向量為由,令設(shè)與平面所成角為,所以當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,所以綜上故21．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓M與圓相內(nèi)切，且與直線相切，記動(dòng)圓圓心M的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，分別以A，B為切點(diǎn)作曲線C的切線，直線相交于點(diǎn)P．若，求直線l的方程．【正確答案】(1)；(2)或.【分析】（1）利用兩圓內(nèi)切及直線與圓相切列式，化簡(jiǎn)即得曲線C的方程.（2）設(shè)出直線l的方程及，求出直線的方程及點(diǎn)P的坐標(biāo)，聯(lián)立直線l與曲線C的方程，借助韋達(dá)定理求出點(diǎn)B的坐標(biāo)作答.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓圓心，半徑為r，依題意，，于是得，化簡(jiǎn)得，所以曲線C的方程為.（2）依題意，直線l的斜率存在，設(shè)l的方程為，由消去y并整理得，，則有，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，由消去y并整理得：，則有，解得，切線的方程為，同理可得，切線的方程為，由，解得，即點(diǎn)，則，因，即，即，化簡(jiǎn)得，，因此，，于是得點(diǎn)或，直線l的斜率，所以直線l的方程為或.結(jié)論點(diǎn)睛：拋物線在點(diǎn)處的切線斜率；拋物線在點(diǎn)處的切線斜率.22．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)．①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②證明：．【正確答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)①；②證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)得，判斷導(dǎo)函數(shù)符號(hào)確定原函數(shù)單調(diào)性，注意函數(shù)定義域；（2）①利用參變分離得，即與有兩個(gè)交點(diǎn)，判斷函數(shù)單調(diào)性理解計(jì)算；②等價(jià)于，借助于函數(shù)零點(diǎn)整理得，即證，構(gòu)建函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)證明．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)