2023~2024學(xué)年廣東深圳高考數(shù)學(xué)押題試題三模帶解析

2023-2024學(xué)年廣東省深圳市高考數(shù)學(xué)押題模擬試題（三模）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C.（0，1） D.【正確答案】B【分析】分別化簡(jiǎn)集合，根據(jù)并集的定義求解.【詳解】不等式的解集是集合又因?yàn)橛?，所以滿足函數(shù)中的范圍就是集合所以所以故選：B2.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）A. B. C. D.4【正確答案】B【分析】由題意得，再代入式子計(jì)算即可得到答案.【詳解】由復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為得故選：B.3.向量，滿足，且，則在上的投影向量為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量的定義求解作答.【詳解】由得，又，所以在上的投影向量為.故選：C4.2023年3月13日，第十四屆全國(guó)人民代表大會(huì)第一次會(huì)議在北京人民大會(huì)堂閉幕，為記錄這一歷史時(shí)刻，來自省的3名代表和省的3名代表合影留念.假設(shè)6名代表站成一排，則省的3名代表互不相鄰，且省的3名代表也互不相鄰的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先求出6名代表站成一排的所以排法，再求A省的3名代表互不相鄰，且B省的3名代表也互不相鄰的所有排法，利用古典概型概率公式求其概率.【詳解】6名代表站成一排的所有排法共有種排法，省的3名代表互不相鄰，且省的3名代表也互不相鄰的排法可分為兩類：第一類：省的3名代表坐在第位置，共有種排法，第二類：省的3名代表坐在第位置，共有種排法，所以省的3名代表互不相鄰，且省的3名代表也互不相鄰的排法共有種排法，所以事件省的3名代表互不相鄰，且省的3名代表也互不相鄰的概率.故選：B.5.17世紀(jì)30年代，意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利在《不可分量幾何學(xué)》一書中介紹了利用平面圖形旋轉(zhuǎn)計(jì)算球體體積的方法.如圖，是一個(gè)半圓，圓心為O，ABCD是半圓的外切矩形.以直線OE為軸將該平面圖形旋轉(zhuǎn)一周，記△OCD，陰影部分，半圓所形成的幾何體的體積分別為，，，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】、陰影部分、半圓旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體分別為圓錐、圓柱減去同半徑的半球、半球，依次計(jì)算其體積即可.【詳解】由旋轉(zhuǎn)體的概念可得：、陰影部分、半圓所形成的幾何體分別為圓錐、圓柱減去同半徑的半球、半球，易知OE=DE，設(shè)DE=OE=r，故，，，顯然，且.故選：D6.聲音是由于物體的振動(dòng)產(chǎn)生的能引起聽覺的波，其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù).我們聽到的聲音是由純音合成的，稱為復(fù)合音.已知一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù).給出下列四個(gè)結(jié)論：①的最小正周期是；②在上有3個(gè)零點(diǎn)；③在上是增函數(shù)；④的最大值為.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①②③ B.②④ C.①②④ D.③④【正確答案】B【分析】根據(jù)反證法可判斷①；根據(jù)零點(diǎn)的定義求出零點(diǎn)即可判斷②，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系可判斷③；由周期性和單調(diào)性可判斷④．【詳解】對(duì)①，因?yàn)?，若的最小正周期是，則，令，則，而，，顯然不相等，故①不正確；對(duì)②，即，即，故或，又，故或，即在上有3個(gè)零點(diǎn)，故②正確；對(duì)③，由題，由，令得，，當(dāng)為增函數(shù)，當(dāng)為減函數(shù)，當(dāng)為增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上為單調(diào)遞減，故③不正確；對(duì)④，易知函數(shù)的周期是，當(dāng)時(shí)，根據(jù)③中函數(shù)的單調(diào)性可知，，所以的最大值為，所以④正確，綜上，②④正確．故選：B．7.某公司員工食堂每天都有米飯和面食兩種套餐，已知員工甲每天中午都會(huì)在這兩種套餐中選擇一種，米飯?zhí)撞偷膬r(jià)格是每份18元，面食套餐的價(jià)格是每份12元，如果甲當(dāng)天選擇了某種套餐，他第二天會(huì)有60%的可能性換另一種類型的套餐，假如第1天甲選擇了米飯?zhí)撞?，第n天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?，給出以下論述：①；②；③④前天甲午餐總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為.其中正確的是（）A.②③④ B.①②④ C.①③④ D.①②③【正確答案】B【分析】先根據(jù)題意找到遞推式，即可判斷②，由遞推式可求出，從而判斷③，根據(jù)期望公式，期望的性質(zhì)以及，即可判斷④．【詳解】若甲在第天選擇了米飯?zhí)撞?，那么在第天有的可能性選擇米飯?zhí)撞?，甲在第天選擇了面食套餐，那么在第天有的可能性選擇米飯?zhí)撞?，所以第天選擇米飯?zhí)撞偷母怕?，故②正確；因?yàn)?，所以甲在?天選擇了米飯?zhí)撞?，所以，故①正確；由②得，，所以，又由題意得，，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，故③錯(cuò)誤；前天甲午餐總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為，故④正確.故選：B.8.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為.若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好在上，且直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】先根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)求法求出點(diǎn)，再根據(jù)距離公式可得，從而判斷出為直角，再根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理計(jì)算得出，從而得解．【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，由，得．可知，又知，所以，則為直角，由題意，點(diǎn)恰好在上，根據(jù)橢圓定義，得，，設(shè)，則，在直角三角形中，，解得，從而，所以.故選：D．二?多選題：本題茫4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，青多項(xiàng)待合題目麗求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知由樣本數(shù)據(jù)，，2，3，，組成的一個(gè)樣本，得到回歸直線方程為，且，去除兩個(gè)樣本點(diǎn)和后，得到新的回歸直線的斜率為3.則下列說法正確的是（）A.相關(guān)變量，具有正相關(guān)關(guān)系B.去除兩個(gè)樣本點(diǎn)和后，回歸直線方程為C.去除兩個(gè)樣本點(diǎn)和后，隨值增加相關(guān)變量值增加速度變小D.去除兩個(gè)樣本點(diǎn)和后，樣本的殘差為0.1【正確答案】AB【分析】對(duì)于A，，則相關(guān)變量，具有正相關(guān)關(guān)系，故A正確；對(duì)于B，求出，故去除樣本點(diǎn)后的回歸直線方程為，故B正確；對(duì)于C，由于斜率為，隨值增加相關(guān)變量值增加速度變大，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,樣本的殘差為，故D錯(cuò)誤.【詳解】解：對(duì)于A，去除兩個(gè)樣本點(diǎn)和后，得到新的回歸直線的斜率為3，，則相關(guān)變量，具有正相關(guān)關(guān)系，故A正確；對(duì)于B，由代入得，則去除兩個(gè)樣本點(diǎn)和后，得到新的，，，故去除樣本點(diǎn)后的回歸直線方程為，故B正確；對(duì)于C，由于斜率為，故相關(guān)變量，具有正相關(guān)關(guān)系且去除樣本點(diǎn)后，隨值增加相關(guān)變量值增加速度變大，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D,當(dāng)時(shí)，，則樣本的殘差為，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10.如圖，在平行六面體中，，分別是，的中點(diǎn)，以為頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是，，則（）A.平面B.C.四邊形的面積為D.平行六面體的體積為【正確答案】ABD【分析】根據(jù)線面平行、線面垂直、空間距離、線線角等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，如圖，連接，由于分別是的中點(diǎn)，所以，根據(jù)棱柱的性質(zhì)可知，所以，由于平面，平面，所以平面，所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，即，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，如圖，連接，則，，即，同理，故四邊形為矩形，面積為，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，如圖，過作平面，易知在直線上，因?yàn)槠矫妫剩^作于，連接，由，而平面，得平面，易得，故，，，故平行六面體的體積為，所以D選項(xiàng)正確故選：ABD11.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，且，點(diǎn)M是拋物線上間不同于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)N，拋物線在A，B兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)T，則下列說法正確的有（）A.拋物線焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為B.過點(diǎn)N作拋物線的切線，則切點(diǎn)坐標(biāo)為C.在△FMN中，若，，則t的最小值為D.若拋物線在點(diǎn)M處的切線分別交BT，AT于H，G兩點(diǎn)，則【正確答案】BCD【分析】對(duì)于A項(xiàng)，利用拋物線定義即可判定；對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)切線方程聯(lián)立拋物線解方程即可；對(duì)于C項(xiàng)，利用拋物線的定義結(jié)合圖象可知在MN與拋物線相切時(shí)t取最小值，計(jì)算即可；對(duì)于D項(xiàng)，根據(jù)拋物線的切線方程用ABM的坐標(biāo)來表示HGT的坐標(biāo)，計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，如圖所示，過A向準(zhǔn)線作垂線，垂足為C，則由拋物線定義可得AF=AC=3，又F為AD中點(diǎn)，則F到準(zhǔn)線的距離為1.5，所以F，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，由上可得，即，拋物線方程為，設(shè)過N的切線方程為：，聯(lián)立可得由相切可得，即切點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入拋物線得切點(diǎn)坐標(biāo)，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，如圖所示過M作準(zhǔn)線的垂線垂足為E，，根據(jù)正弦的單調(diào)性知越小正弦值越小，即MN與拋物線相切時(shí)此角最小，由上可知此時(shí)M，易得，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)M，由得，則過M的切線方程為，化簡(jiǎn)得：，同理可得，過A、B的切線方程分別為、，聯(lián)立可得，則，，故D正確.故選：BCD本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于壓軸題.關(guān)鍵在于積累二級(jí)結(jié)論：過拋物線上一點(diǎn)的切線方程為，計(jì)算時(shí)注意技巧可簡(jiǎn)化計(jì)算量.12.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為．，，當(dāng)時(shí)，，，則（）A.的圖象關(guān)于對(duì)稱B.為偶函數(shù)C.D.不等式的解集為【正確答案】BCD【分析】根據(jù)可判斷A,求導(dǎo)即可根據(jù)判斷B，由為偶函數(shù)以及對(duì)稱可判斷C，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)畫出大致圖象，即可由時(shí)，求解D.【詳解】由可得，故可知的圖象關(guān)于對(duì)稱，故A錯(cuò)誤，由得，由得，故為偶函數(shù)，故B正確，由可得，所以，又偶函數(shù)，所以，即，故C正確，由為偶函數(shù)且可得，所以是周期函數(shù)，且周期為8，又當(dāng)時(shí)，，可知在單調(diào)遞減故結(jié)合的性質(zhì)可畫出符合條件的的大致圖象：由性質(zhì)結(jié)合圖可知：當(dāng)時(shí)，，由得，故，當(dāng)且時(shí)，此時(shí)無解，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)且時(shí)，由得綜上可得的解集為，故D正確，故選：BCD本題考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，題目綜合性較高，要對(duì)函數(shù)基本性質(zhì)比較熟練，可根據(jù)性質(zhì)利用圖象求解問題.對(duì)于函數(shù)的性質(zhì)綜合運(yùn)用題目可從以下幾個(gè)方面解題.(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開式中的系數(shù)是______.【正確答案】20【分析】直接用二項(xiàng)式定理討論即可.【詳解】二項(xiàng)式中，，當(dāng)中取x時(shí)，這一項(xiàng)為，所以，，當(dāng)中取y時(shí)，這一項(xiàng)為，所以，，所以展開式中的系數(shù)為故14.已知直線與圓交于A，兩點(diǎn)，若是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，則面積的最大值是___________.【正確答案】##【分析】求出圓C圓心到弦AB的長(zhǎng)度d，求出弦AB的長(zhǎng)度，M到弦AB的最大距離為d＋r(r為圓C半徑)，根據(jù)三角形面積公式即可求出答案．【詳解】，則圓C的圓心為，半徑為，圓心C到直線l（弦AB）的距離為，則，則到弦AB的距離的最大值為，則面積的最大值是.故15.與曲線和都相切的直線方程為__________.【正確答案】【分析】分別設(shè)出直線與兩曲線相切的切點(diǎn)，然后表示出直線的方程，再根據(jù)切線是同一條直線建立方程求解.【詳解】設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，因?yàn)?，所以該直線的方程為，即，設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，因?yàn)?，所以該直線的方程為，即，所以，解得，所以該直線的方程為，故答案為.16.如圖，在矩形中，，，分別為邊，的中點(diǎn)，分別為線段（不含端點(diǎn)）和上的動(dòng)點(diǎn)，滿足，直線，的交點(diǎn)為，已知點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一部分，則該雙曲線的離心率為______.【正確答案】【分析】以所在的直線為軸，線段的中垂線所在的直線為軸，求出直線，的方程，聯(lián)立兩方程解出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得點(diǎn)所在雙曲線方程，由離心率公式計(jì)算即可得答案.【詳解】解：以所在的直線為軸，線段的中垂線所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：設(shè)，則，則有，，，，，，，設(shè)，所以，，又因?yàn)椋?，所以或，又因?yàn)?，所以直線的方程為：，即，同理可得直線的方程為：，即，由，可得，即，因?yàn)?，，?即有，，所以點(diǎn)所在雙曲線方程為：，所以，所以，所以.故思路點(diǎn)睛：橢圓或雙曲線中，要求離心率的值，就要求出的值(或數(shù)量關(guān)系或關(guān)于的一個(gè)二次方程).四?解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程和演算步驟）17.已知數(shù)列滿足：，且對(duì)任意的，（1）求，的值，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【正確答案】（1），，證明見解析（2）【分析】（1）根據(jù)數(shù)列定義，將逐步展開為，即可判斷數(shù)列是等比數(shù)列；（2）根據(jù)分組求和即可求解.【小問1詳解】，.由題意得，又，所以數(shù)列是等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）知.運(yùn)用分組求和，可得.18.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．（1）證明：；（2）若，求面積的最大值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由正弦定理得，再由余弦定理得到，證明出結(jié)論；（2）由（1）中結(jié)論和得到，結(jié)合得到，由基本不等式求出面積的最大值.【小問1詳解】由正弦定理及得，，即．再由正弦定理可得．由余弦定理得，,即，故；【小問2詳解】由及，可得．由得，所以．在中，所以．所以．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．故面積的最大值為．19.如圖，C是以為直徑的圓O上異于A，B的點(diǎn)，平面平面，為正三角形，E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)，且滿足．（1）求證：；（2）是否存在，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【正確答案】（1）證明過程見解析；（2）存在，.【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量夾角公式進(jìn)行求解判斷即可.【小問1詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)槭菆AO的直徑，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，而平面，所以；【小?詳解】連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)闉檎切?，的中點(diǎn)為，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，而平面，所以，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，設(shè)平面的法向量為，，所以有，所以，，假設(shè)存在，使得直線與平面所成角的正弦值為，所以有，或（舍去），即存在，使得直線與平面所成角的正弦值為.20.2022年北京冬奧會(huì)后，由一名高山滑雪運(yùn)動(dòng)員甲組成的專業(yè)隊(duì)，與兩名高山滑雪愛好者乙、丙組成的業(yè)余隊(duì)進(jìn)行友誼賽．約定賽制如下：業(yè)余隊(duì)中的兩名隊(duì)員輪流與甲進(jìn)行比賽，若甲連續(xù)贏兩場(chǎng)則專業(yè)隊(duì)獲勝；若甲連續(xù)輸兩場(chǎng)則業(yè)余隊(duì)獲勝：若比賽三場(chǎng)還沒有決出勝負(fù)，則視為平局，比賽結(jié)束．已知各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立，每場(chǎng)比賽都分出勝負(fù)，且甲與乙比賽，乙贏概率為；甲與丙比賽，丙贏的概率為p，其中．（1）若第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)可以安排乙與甲進(jìn)行比賽，也可以安排丙與甲進(jìn)行比賽．請(qǐng)分別計(jì)算兩種安排下業(yè)余隊(duì)獲勝的概率；若以獲勝概率大為最優(yōu)決策，問：業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙還是丙與甲進(jìn)行比賽？（2）為了激勵(lì)專業(yè)隊(duì)和業(yè)余隊(duì)，賽事組織規(guī)定：比賽結(jié)束時(shí)，勝隊(duì)獲獎(jiǎng)金3萬元，負(fù)隊(duì)獲獎(jiǎng)金1.5萬元；若平局，兩隊(duì)各獲獎(jiǎng)金1.8萬元．在比賽前，已知業(yè)余隊(duì)采用了（1）中的最優(yōu)決策與甲進(jìn)行比賽，設(shè)賽事組織預(yù)備支付的獎(jiǎng)金金額共計(jì)X萬元，求X的數(shù)學(xué)期望的取值范圍．【正確答案】（1）業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽（2）的取值范圍為：（單位：萬元）.【分析】（1）分別求出第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)安排乙與甲或丙與甲進(jìn)行比賽業(yè)余隊(duì)獲勝的概率，比較兩者的大小即可得出答案.（2）由已知萬元或萬元，分別求其對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列，求出，由，求出的取值范圍.【小問1詳解】第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)安排乙與甲進(jìn)行比賽，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為：;第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)安排丙與甲進(jìn)行比賽，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為：，因?yàn)?，所以，所?所以，業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽.【小問2詳解】由已知萬元或萬元.由（1）知，業(yè)余隊(duì)最優(yōu)決策是第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽.此時(shí)，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為，專業(yè)隊(duì)獲勝的概率為，所以，非平局的概率為，平局的概率為.的分布列為：的數(shù)學(xué)期望為（萬元）而，所以取值范圍為：（單位：萬元）.21.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，且到的一條漸近線的距離為.（1）求的方程；（2）過的左頂點(diǎn)且不與軸重合的直線交的右支于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，過作的平行線，交直線于點(diǎn)，證明：在定圓上.【正確答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線的距離求出即可得解；（2）由題意可設(shè)PA，的斜率分別為，設(shè)直線AP的方程為，聯(lián)立雙曲線方程，求出，由三角函數(shù)可得，即化為得證.【小問1詳解】根據(jù)題意可知C的一條漸近線方程為，設(shè)到漸近線的距離為，所以，所以的方程為.【小問2詳解】設(shè)C的左頂點(diǎn)為A，則,故直線為線段的垂直平