2023~2024學(xué)年河南高考數(shù)學(xué)文全真試題一模帶解析

2023-2024學(xué)年河南省高考數(shù)學(xué)（文）全真模擬試題（一模）一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)二次不等式與根式的定義域求解，再取交集即可.【詳解】，，故.故選：B2．已知復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，可得與.【詳解】，，，所以，故選：A.3．設(shè)命題，則的否定為（）A． B．C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)含有量詞的命題否定方法求解.【詳解】因?yàn)槊}，所以的否定為.故選：C.4．已知代表不同的平面，代表不同的直線，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【正確答案】D【分析】利用空間線面的關(guān)系，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷即可.【詳解】對(duì)于A：若，則與平面可能平行，也可能垂直，也可能斜交.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，則可能平行，也可能相交，也可能異面.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，則可能平行，也可能異面.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，則.又，所以.故D正確.故選：D5．已知單位向量，滿足，若向量，則（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算以及夾角的余弦公式，可得答案.【詳解】由單位向量，則，即，，.故選：B.6．齊國(guó)的大將田忌很喜歡賽馬，他與齊威王進(jìn)行賽馬比賽，他們都各有上、中、下等馬各一匹，每次各出一匹馬比一場(chǎng)，比賽完三場(chǎng)（每個(gè)人的三匹馬都出場(chǎng)一次）后至少贏兩場(chǎng)的獲勝．已知同等次的馬，齊威王的要強(qiáng)于田忌的，但是不同等次的馬，都是上等強(qiáng)于中等，中等強(qiáng)于下等，如果兩人隨機(jī)出馬，比賽結(jié)束田忌獲勝的概率為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】列舉出各種對(duì)應(yīng)情況，由概率公式即可得到答案.【詳解】將齊威王的上、中、下等馬分別記為，，，田忌的上、中、下等馬分別記為，，，則他們比賽的情況如下：齊威王的馬勝者田忌的馬齊威王田忌的馬齊威王田忌的馬齊威王田忌的馬齊威王田忌的馬田忌田忌的馬齊威王由上表可知，只有齊威王的馬對(duì)田忌的馬這種情況，田忌獲勝，所以田忌獲勝的概率．故選：D7．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù):“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣".這可視為中國(guó)古代極限思想的佳作.割圓術(shù)可以視為將一個(gè)圓內(nèi)接正n邊形等分成n個(gè)等腰三角形(如圖所示)，當(dāng)n變得很大時(shí)，等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積.運(yùn)用割圓術(shù)的思想，可得到sin的近似值為（

）A．0.035 B．0.026 C．0.018 D．0.033【正確答案】A將一個(gè)單位圓分成180個(gè)扇形，則每個(gè)扇形的圓心角度數(shù)均為，由這180個(gè)扇形對(duì)應(yīng)的等腰三角形的面積之和近似于單位圓的面積，能求出的近似值．【詳解】解：將一個(gè)單位圓分成180個(gè)扇形，則每個(gè)扇形的圓心角度數(shù)均為，這180個(gè)扇形對(duì)應(yīng)的等腰三角形的面積之和近似于單位圓的面積，，．故選：．8．函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)圖象，知函數(shù)存在奇偶性，先判斷函數(shù)的奇偶性，然后根據(jù)結(jié)合函數(shù)值的正負(fù)，可得出答案.【詳解】函數(shù)，定義域?yàn)?，，所以函?shù)為奇函數(shù)，則排除AD項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，，所以有，所以，B項(xiàng)符合條件.故選：B.9．已知函數(shù)，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)，的取值范圍是B．在上單調(diào)遞減C．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱D．的圖像可由函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位得到【正確答案】D【分析】先應(yīng)用輔助角公式化簡(jiǎn)，再分別根據(jù)值域判斷A選項(xiàng)，根據(jù)單調(diào)性判斷B選項(xiàng)，根據(jù)對(duì)稱軸判斷C選項(xiàng)，根據(jù)平移判斷D選項(xiàng).【詳解】,當(dāng),,,的取值范圍是,A正確;當(dāng),,單調(diào)遞減,B選項(xiàng)正確;當(dāng)時(shí),,的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,C選項(xiàng)正確;由函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位得到,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:D10．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，以為圓心，實(shí)軸長(zhǎng)為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線相交于兩點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求出的高，由勾股定理得出，當(dāng)面積最大時(shí)，求出關(guān)系式，此時(shí)可求離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的一條漸近線為，為的中點(diǎn)，可得，右焦點(diǎn)為，所以到漸近線的距離為，實(shí)軸長(zhǎng)為半徑,可知，，根據(jù)基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，所以面積最大時(shí)，此時(shí)雙曲線的離心率.故選:B.11．定義在上的函數(shù)滿足，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明其單調(diào)性，將變形為，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】令，則，由于,故,故在單調(diào)遞增，而，由，得，∴，即,∴不等式的解集為,故選：D．12．如圖，四邊形為正方形，四邊形為矩形，且平面與平面互相垂直.若多面體的體積為，則該多面體外接球表面積的最小值為A． B． C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)題意，設(shè)出正方形邊長(zhǎng)和矩形的高，根據(jù)體積公式，求得等量關(guān)系；再找到球心，求得半徑，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，則問(wèn)題得解.【詳解】根據(jù)題意，連接交于點(diǎn)，過(guò)作//交于點(diǎn)，交于，連接.因?yàn)樗倪呅问钦叫危士傻?，又因?yàn)槠矫嫫矫?，且交線為，又平面，故平面，不妨設(shè)，故可得多面體的體積；則，解得；又容易知多面體外接球的球心在四邊形外心的垂線上，且為的中點(diǎn)，設(shè)外接球半徑為，則；將代入可得，不妨令，則，則，容易知是關(guān)于的單調(diào)增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，故可得在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減.故.則外接球表面積的最小值.故選：B.本題考查棱錐體積的計(jì)算、面面垂直的性質(zhì)、外接球表面積的計(jì)算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬壓軸題.二、填空題13．在三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得的概率是___________.【正確答案】【分析】求出時(shí)，三棱錐的高，過(guò)此時(shí)的點(diǎn)作平行于底面的截面，要使，則點(diǎn)在三棱錐中，根據(jù)體積之比即可得出答案.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)三棱錐的高為，三棱錐的高為，則，若，則，所以，過(guò)此時(shí)的點(diǎn)作平行于底面的截面如圖所示，則點(diǎn)到平面的距離為，故，要使，則點(diǎn)在三棱錐中，所以使得的概率是.故答案為.14．設(shè)，若，則______．【正確答案】【分析】結(jié)合已知條件，利用指對(duì)互化和對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，即，從而，?故答案為.15．在銳角中，，，若在上的投影長(zhǎng)等于的外接圓半徑R，則R=______.【正確答案】2【分析】根據(jù)正弦定理和投影長(zhǎng)求出，結(jié)合得到，利用正弦定理求出答案.【詳解】由題意得，，，即，即，因?yàn)椋?，故，?故216．已知拋物線，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且滿足，則______.【正確答案】/【分析】聯(lián)立直線和拋物線方程，由韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式得出，再由拋物線的定義以及余弦定理得出，進(jìn)而得出，最后由得出答案.【詳解】根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)由題意知，則可設(shè)直線的方程為.由，可得①所以.所以.因?yàn)?，所以在中，由余弦定理得因此，得，代入①?解得，因此故

三、解答題17．已知等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為．若，且是與的等差中項(xiàng).(1)求；(2)設(shè)數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為.求．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程求得的值，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)題意，利用，求得，得到，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】（1）解：由，得，又由是，的等差中項(xiàng)，可得，即，則，即，可得，解得或，因?yàn)?，所以，將代入，可得，所以，?（2）解：因?yàn)閿?shù)列滿足，，可得，，所以當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)橐矟M足上式，所以，則，所以.18．新能源汽車(chē)是指除汽油、柴油發(fā)動(dòng)機(jī)之外的所有其他能源汽車(chē)，被認(rèn)為能減少空氣污染和緩解能源短缺的壓力．在當(dāng)今提倡全球環(huán)保的前提下，新能源汽車(chē)越來(lái)越受到消費(fèi)者的青睞，新能源汽車(chē)產(chǎn)業(yè)也必將成為未來(lái)汽車(chē)產(chǎn)業(yè)發(fā)展的導(dǎo)向與目標(biāo)．某車(chē)企統(tǒng)計(jì)了近期購(gòu)車(chē)的車(chē)主性別與購(gòu)車(chē)種類的情況，其中購(gòu)車(chē)的男性占近期購(gòu)車(chē)車(chē)主總?cè)藬?shù)的60%．現(xiàn)有如下表格：購(gòu)置新能源汽車(chē)（輛）購(gòu)置傳統(tǒng)燃油汽車(chē)（輛）總計(jì)男性60女性總計(jì)(1)若女性購(gòu)置新能源汽車(chē)人數(shù)為所有購(gòu)車(chē)總?cè)藬?shù)的25%，男性購(gòu)置傳統(tǒng)燃油汽車(chē)人數(shù)為所有購(gòu)車(chē)總?cè)藬?shù)的10%，試完成上面的列聯(lián)表，并判斷能否有95%的把握認(rèn)為是否購(gòu)置新能源汽車(chē)與性別有關(guān)；(2)若，，在該車(chē)企近期統(tǒng)計(jì)的男性購(gòu)車(chē)車(chē)主中，求購(gòu)置新能源汽車(chē)的人數(shù)大于購(gòu)置傳統(tǒng)燃油汽車(chē)人數(shù)的2倍的概率．參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．0.150.050.0100.0050.0012.0723.8416.6357.87910.828【正確答案】(1)填表見(jiàn)解析；有95%的把握認(rèn)為是否購(gòu)置新能源汽車(chē)與性別有關(guān)(2)【分析】（1）由題意補(bǔ)充列聯(lián)表，計(jì)算卡方后判斷（2）由古典概型求解【詳解】（1）列聯(lián)表如下：購(gòu)置新能源汽車(chē)（輛）購(gòu)置傳統(tǒng)燃油汽車(chē)（輛）總計(jì)男性501060女性251540總計(jì)7525100因?yàn)?，所以?5%的把握認(rèn)為是否購(gòu)置新能源汽車(chē)與性別有關(guān)．（2）根據(jù)題意可知，因?yàn)椋?，所以基本事件分別為，，，，，，，，，，，，，，共14種，設(shè)購(gòu)置新能源汽車(chē)的人數(shù)大于購(gòu)置傳統(tǒng)燃油汽車(chē)人數(shù)的2倍為事件，則，滿足題意的事件有，，，，，，，，，，共10個(gè)，所求的概率．19．如圖，在三棱錐中，和均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形．(1)證明：．(2)若與平面所成的角為，求三棱錐的體積．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，證出，，由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可得到證明.（2）由（1）知平面平面，由此可得線面角為，進(jìn)而求得，的長(zhǎng)，然后由棱錐體積公式計(jì)算可得答案.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，．因?yàn)楹途鶠榈冗吶切?，所以，．因?yàn)?，平面，所以平面．又平面，所以．?）由（1）知平面，又平面，所以平面平面，平面平面，故過(guò)作平面的垂線，垂足為，則一定在直線上，因?yàn)榕c平面所成的角為，所以．由題意知，所以，所以，所以．故三棱錐的體積．20．如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)C是橢圓上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O平行于AC的直線與橢圓交于點(diǎn)M，N，AC的中點(diǎn)為點(diǎn)D，直線OD與橢圓交于點(diǎn)P，Q，點(diǎn)P，C，M在x軸的上方．

(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)求的最大值．【正確答案】(1)－(2)10【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意求得，得到，進(jìn)而得到，方法1、由直線的方程為，聯(lián)立方程組，分別求得的坐標(biāo)，得到向量和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；方法2、由，求得，結(jié)合，即可求解；方法3、由，結(jié)合，即可求解.（2）設(shè)點(diǎn)，得到，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組求得，同理得到，方法1、求得，令，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求得，結(jié)合，即可求解；方法2、求得，利用基本不等式求得，進(jìn)而求得的最大值.【詳解】（1）解：設(shè)，因?yàn)?，且，可得，又因?yàn)?，解得或（舍去），因?yàn)辄c(diǎn)在軸上方，則，可得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，方法1

由于直線過(guò)原點(diǎn)且與直線平行，則直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在的上方，可得，由，解得，則，所以，則，由，解得，則，所以，則，則；方法2

由于直線過(guò)原點(diǎn)且與直線平行，則，因?yàn)?，可得，則，因?yàn)?，所以，可得，則.方法3

由于直線過(guò)原點(diǎn)且與直線平行，則，因?yàn)?，則.（2）解：設(shè)點(diǎn)，由，可得，則,可得，又由直線的斜率一定存在且不為零，故可設(shè)其方程為，由，解得，則，因?yàn)?，可得，同理可得，方?

由題可得，令，則，可得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取等號(hào)，即又因?yàn)?，所以的最大值?方法2

由題可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)?，所以的最大值?

方法技巧：圓錐曲線中的最值問(wèn)題是高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題，常涉及不等式、函數(shù)的值域問(wèn)題，綜合性比較強(qiáng)，解法靈活多樣，但主要有兩種方法：（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來(lái)解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）平面向量；（6）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.21．已知，，(1)若與在處的切線重合，分別求，的值.(2)若，恒成立，求的取值范圍.【正確答案】(1)，(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得且，即可得到方程組，解得即可；（2）依題意可得對(duì)恒成立，令，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由可得，從而求出的值，再驗(yàn)證即可.【詳解】（1）解：因?yàn)?，，所?，，因?yàn)榍?，即且，解得?（2）解：因?yàn)閷?duì)恒成立，.對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，令，因?yàn)?，所以是的最小值點(diǎn)，且是的極值點(diǎn)，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以，下面檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，符合題意，所以.22．在直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為(參數(shù))，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求的極坐標(biāo)方程；（2）若射線與圓的交點(diǎn)為，與直線的交點(diǎn)為，求的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）.【詳解】試題分析：（1）圓C的參數(shù)方程消去參數(shù)φ，能求出圓C的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出圓C的極坐標(biāo)方程．（2）設(shè)P（ρ1，θ1），則有ρ1=cosθ1，Q（ρ2，θ1），則，=ρ1ρ2，結(jié)合tanθ1＞0，能求出的范圍．試題解析：（1）圓的普通方程