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高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1遼寧省名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月份聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合,則()A. B.C. D.【答案】A【解析】依題意,,而,所以.故選:A.2.已知,那么使成立的一個(gè)充分不必要條件是()A. B.C. D.【答案】C【解析】由,解得,即命題,對(duì)于A,是成立的充要條件,A不是;對(duì)于B,是成立的必要不充分條件,B不是;對(duì)于C,是成立的充分不必要條件,C是;對(duì)于D,是成立的不充分不必要條件,D不是.故選:C.3.若關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為和,則的值是()A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意,,所以.故選:B.4.已知平面向量,且,則()A. B. C. D.3【答案】A【解析】向量,則,由,得,所以.故選:A.5.聲音的強(qiáng)弱可以用聲波的能流密度來(lái)計(jì)算,叫做聲強(qiáng).通常人耳能聽(tīng)到聲音的最小聲強(qiáng)為(瓦/平方米).在某特殊介質(zhì)的實(shí)驗(yàn)中對(duì)于一個(gè)聲音的聲強(qiáng),用聲強(qiáng)與比值的常用對(duì)數(shù)來(lái)表示聲強(qiáng)的“聲強(qiáng)級(jí)數(shù)”,即,則“聲強(qiáng)級(jí)數(shù)7”的聲強(qiáng)是“聲強(qiáng)級(jí)數(shù)5”的聲強(qiáng)的()A20倍 B.倍 C.10倍 D.100倍【答案】D【解析】由,得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,,所以“聲強(qiáng)級(jí)數(shù)7”的聲強(qiáng)是“聲強(qiáng)級(jí)數(shù)5”的聲強(qiáng)的100倍.故選:D.6.函數(shù)的部分圖象大致為()A. B.C. D.【答案】B【解析】函數(shù)中,,即,解得,函數(shù)定義域?yàn)?,,函?shù)是偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對(duì)稱,選項(xiàng)AC不滿足;當(dāng)時(shí),,選項(xiàng)D不滿足,B符合題意.故選:B.7.已知函數(shù),且滿足,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B.C.或 D.【答案】C【解析】依題意,,函數(shù)的定義域?yàn)?,,函?shù)是奇函數(shù),函數(shù)在上都單調(diào)遞增,則函數(shù)在上單調(diào)遞增,又函數(shù)在上單調(diào)遞增,于函數(shù)在上單調(diào)遞增,因此函數(shù)在上單調(diào)遞增,不等式,則,即,解得或,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或.故選:C.8.設(shè)函數(shù)且關(guān)于方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),為方程,即的兩個(gè)根,則,又當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),作出函數(shù)的圖象,觀察圖象知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),方程恰有3個(gè)不同的實(shí)根,由,得,,而當(dāng)或時(shí),,因此,所以的取值范圍是.故選:D.二?多項(xiàng)選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是()A.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù),則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7B.某人打靶時(shí)連續(xù)射擊三次,則事件“至少兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對(duì)立事件C.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2,則數(shù)據(jù)的方差為18D.若事件相互獨(dú)立,,則【答案】BC【解析】對(duì)于A,數(shù)據(jù)由小到大排列:,眾數(shù)為9,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,連續(xù)射擊三次,事件“至少兩次中靶”包括兩次中靶和三次中靶;事件“至多有一次中靶”包括沒(méi)有中靶和中靶一次,它們不可能同時(shí)發(fā)生,但必有一個(gè)發(fā)生,因此事件“至少兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對(duì)立事件,B正確;對(duì)于C,數(shù)據(jù)的方差為2,數(shù)據(jù)的方差為,C正確;對(duì)于D,事件相互獨(dú)立,,D錯(cuò)誤.故選:BC.10.已知函數(shù),則()A.B.的值域?yàn)镃.是上的增函數(shù)D.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】ACD【解析】對(duì)于A,,A正確;對(duì)于B,,,則,函數(shù)的值域?yàn)?,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,函數(shù)在上遞增,在上遞減,因此是上的增函數(shù),C正確;對(duì)于D,,函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,D正確.故選:ACD.11.已知正實(shí)數(shù)滿足,則()A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A,因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足,所以,所以,解得,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取到最小值4,故A正確;對(duì)于B,由得,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取到最小值,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,因?yàn)?,所以,所以,所以,?dāng)且僅當(dāng)即時(shí),取到最小值,故C正確;對(duì)于D,,由A選項(xiàng)可知,由函數(shù)在上單調(diào)遞減可知,,所以,故D正確.故選:ACD.三?填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.不等式的解集為_(kāi)_________.【答案】【解析】不等式化為:,即,則,解得,所以原不等式的解集為.13.如圖,在中,已知是線段與的交點(diǎn),若,則的值為_(kāi)_________.【答案】【解析】設(shè),由得,故,由得,故,由于三點(diǎn)共線,故,則,又,故,所以.14.若定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足:①為奇函數(shù);②;③對(duì)任意的,且,都有,則不等式的解集為_(kāi)_________.【答案】【解析】因?qū)θ我獾?,且,都有,則在上單調(diào)遞減,又為奇函數(shù)及,所以,則為偶函數(shù),且,故在上單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.又,則,當(dāng)時(shí),,得,解得或,故;當(dāng)時(shí),,即,得或,解得或,綜上,不等式的解集為.四?解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.15.已知冪函數(shù)為偶函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值,并寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間(不必證明);(2)若,求的取值范圍.解:(1)因?yàn)槭莾绾瘮?shù),故,解得或;當(dāng)時(shí),,定義域?yàn)?,滿足,函數(shù)為偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,定義域?yàn)?,函?shù)非奇非偶函數(shù),不符題意;故,,其單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.(2)由(1)知為偶函數(shù),單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.由于,故,即且,解得或,即的取值范圍為.16.我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家,某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案,擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)(噸),一位居民的月用水量不超過(guò)的部分按平價(jià)收費(fèi),超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況,通過(guò)抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求直方圖中的值(保留兩位小數(shù))以及估計(jì)該地區(qū)月均用水量的分位數(shù);(2)現(xiàn)在該地區(qū)居民中任選2位居民,將月均用水量落入各組的頻率視為概率,不同居民的月均用水量相互獨(dú)立,求恰有1位居民月均用水量大于分位數(shù)的概率;(3)現(xiàn)有4位居民甲、乙、丙、丁,經(jīng)調(diào)查,甲和乙月均用水量大于分位數(shù),丙和丁月均用水量不大于分位數(shù),現(xiàn)從該4人中隨機(jī)選2人,求所選2人中恰有1人月均用水量大于分位數(shù)的概率.解:(1)由頻率分布直方圖,得,解得;數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率為,數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率和為,則用水量的分位數(shù),由,解得,所以,估計(jì)該地區(qū)月均用水量的分位數(shù)為.(2)設(shè)事件表示第位居民月均用水量大于分位數(shù),,事件表示恰有1位居民月均用水量大于分位數(shù),,因此,所以所求概率為.(3)試驗(yàn)的樣本空間(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙),(乙,丁),(丙,丁),共6個(gè)樣本點(diǎn),事件表示所選2人中恰有1人月均用水量大于分位數(shù),則(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙),(乙,丁),共4個(gè)樣本點(diǎn),所以.17.已知函數(shù).(1)求關(guān)于的一元二次不等式的解集;(2)若,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解:(1)不等式,,當(dāng)時(shí),,原不等式無(wú)解;當(dāng)或時(shí),,原不等式解為;當(dāng)或時(shí),,由,解得,不等式的解為,所以當(dāng)時(shí),原不等式的解集為;當(dāng)或時(shí),原不等式的解集為;當(dāng)或時(shí),原不等式的解集為.(2)當(dāng)時(shí),,而,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),由,使得成立,得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.已知函數(shù).(1)證明:曲線是中心對(duì)稱圖形;(2)若,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.(i)求實(shí)數(shù)的值;(ii)若是的零點(diǎn),滿足,求的值.解:(1)由題意,,得,所以曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.(2)(i)由,解得,即函數(shù)的定義域?yàn)?對(duì)于,函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以在上單調(diào)遞增,故函數(shù)在上單調(diào)遞增.又,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立,需且,即,解得.(ii)由(i)得,因?yàn)槭堑牧泓c(diǎn),所以,得;由,得,令,則,得,即.即都是方程的解,即都是函數(shù)的零點(diǎn),又在上單調(diào)遞增,且,所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),故,即,所以.19.已知函數(shù)滿足為圖象上不同的兩點(diǎn).(1)求函數(shù);(2)若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)落在直線上,求實(shí)數(shù)的值;(3)若,求的取值范圍.解:(1)由,得,即,顯然,所以.(2)依題意,是方程,即的兩個(gè)根,令,即是關(guān)于的方程的兩個(gè)正根,因此,解得,由線段的中點(diǎn)落在直線上,得,解得,所以實(shí)數(shù)的值為3.(3)由(1)知,,由,得,整理得,即,化簡(jiǎn)得,而于是,令,則,解得,則,即,因此,由,得,則,,所以的取值范圍是.遼寧省名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月份聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合,則()A. B.C. D.【答案】A【解析】依題意,,而,所以.故選:A.2.已知,那么使成立的一個(gè)充分不必要條件是()A. B.C. D.【答案】C【解析】由,解得,即命題,對(duì)于A,是成立的充要條件,A不是;對(duì)于B,是成立的必要不充分條件,B不是;對(duì)于C,是成立的充分不必要條件,C是;對(duì)于D,是成立的不充分不必要條件,D不是.故選:C.3.若關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為和,則的值是()A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意,,所以.故選:B.4.已知平面向量,且,則()A. B. C. D.3【答案】A【解析】向量,則,由,得,所以.故選:A.5.聲音的強(qiáng)弱可以用聲波的能流密度來(lái)計(jì)算,叫做聲強(qiáng).通常人耳能聽(tīng)到聲音的最小聲強(qiáng)為(瓦/平方米).在某特殊介質(zhì)的實(shí)驗(yàn)中對(duì)于一個(gè)聲音的聲強(qiáng),用聲強(qiáng)與比值的常用對(duì)數(shù)來(lái)表示聲強(qiáng)的“聲強(qiáng)級(jí)數(shù)”,即,則“聲強(qiáng)級(jí)數(shù)7”的聲強(qiáng)是“聲強(qiáng)級(jí)數(shù)5”的聲強(qiáng)的()A20倍 B.倍 C.10倍 D.100倍【答案】D【解析】由,得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,,所以“聲強(qiáng)級(jí)數(shù)7”的聲強(qiáng)是“聲強(qiáng)級(jí)數(shù)5”的聲強(qiáng)的100倍.故選:D.6.函數(shù)的部分圖象大致為()A. B.C. D.【答案】B【解析】函數(shù)中,,即,解得,函數(shù)定義域?yàn)?,,函?shù)是偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對(duì)稱,選項(xiàng)AC不滿足;當(dāng)時(shí),,選項(xiàng)D不滿足,B符合題意.故選:B.7.已知函數(shù),且滿足,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B.C.或 D.【答案】C【解析】依題意,,函數(shù)的定義域?yàn)?,,函?shù)是奇函數(shù),函數(shù)在上都單調(diào)遞增,則函數(shù)在上單調(diào)遞增,又函數(shù)在上單調(diào)遞增,于函數(shù)在上單調(diào)遞增,因此函數(shù)在上單調(diào)遞增,不等式,則,即,解得或,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或.故選:C.8.設(shè)函數(shù)且關(guān)于方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),為方程,即的兩個(gè)根,則,又當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),作出函數(shù)的圖象,觀察圖象知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),方程恰有3個(gè)不同的實(shí)根,由,得,,而當(dāng)或時(shí),,因此,所以的取值范圍是.故選:D.二?多項(xiàng)選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是()A.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù),則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7B.某人打靶時(shí)連續(xù)射擊三次,則事件“至少兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對(duì)立事件C.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2,則數(shù)據(jù)的方差為18D.若事件相互獨(dú)立,,則【答案】BC【解析】對(duì)于A,數(shù)據(jù)由小到大排列:,眾數(shù)為9,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,連續(xù)射擊三次,事件“至少兩次中靶”包括兩次中靶和三次中靶;事件“至多有一次中靶”包括沒(méi)有中靶和中靶一次,它們不可能同時(shí)發(fā)生,但必有一個(gè)發(fā)生,因此事件“至少兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對(duì)立事件,B正確;對(duì)于C,數(shù)據(jù)的方差為2,數(shù)據(jù)的方差為,C正確;對(duì)于D,事件相互獨(dú)立,,D錯(cuò)誤.故選:BC.10.已知函數(shù),則()A.B.的值域?yàn)镃.是上的增函數(shù)D.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】ACD【解析】對(duì)于A,,A正確;對(duì)于B,,,則,函數(shù)的值域?yàn)?,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,函數(shù)在上遞增,在上遞減,因此是上的增函數(shù),C正確;對(duì)于D,,函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,D正確.故選:ACD.11.已知正實(shí)數(shù)滿足,則()A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A,因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足,所以,所以,解得,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取到最小值4,故A正確;對(duì)于B,由得,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取到最小值,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,因?yàn)?,所以,所以,所以,?dāng)且僅當(dāng)即時(shí),取到最小值,故C正確;對(duì)于D,,由A選項(xiàng)可知,由函數(shù)在上單調(diào)遞減可知,,所以,故D正確.故選:ACD.三?填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.不等式的解集為_(kāi)_________.【答案】【解析】不等式化為:,即,則,解得,所以原不等式的解集為.13.如圖,在中,已知是線段與的交點(diǎn),若,則的值為_(kāi)_________.【答案】【解析】設(shè),由得,故,由得,故,由于三點(diǎn)共線,故,則,又,故,所以.14.若定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足:①為奇函數(shù);②;③對(duì)任意的,且,都有,則不等式的解集為_(kāi)_________.【答案】【解析】因?qū)θ我獾?,且,都有,則在上單調(diào)遞減,又為奇函數(shù)及,所以,則為偶函數(shù),且,故在上單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.又,則,當(dāng)時(shí),,得,解得或,故;當(dāng)時(shí),,即,得或,解得或,綜上,不等式的解集為.四?解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.15.已知冪函數(shù)為偶函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值,并寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間(不必證明);(2)若,求的取值范圍.解:(1)因?yàn)槭莾绾瘮?shù),故,解得或;當(dāng)時(shí),,定義域?yàn)?,滿足,函數(shù)為偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,定義域?yàn)?,函?shù)非奇非偶函數(shù),不符題意;故,,其單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.(2)由(1)知為偶函數(shù),單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.由于,故,即且,解得或,即的取值范圍為.16.我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家,某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案,擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)(噸),一位居民的月用水量不超過(guò)的部分按平價(jià)收費(fèi),超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況,通過(guò)抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求直方圖中的值(保留兩位小數(shù))以及估計(jì)該地區(qū)月均用水量的分位數(shù);(2)現(xiàn)在該地區(qū)居民中任選2位居民,將月均用水量落入各組的頻率視為概率,不同居民的月均用水量相互獨(dú)立,求恰有1位居民月均用水量大于分位數(shù)的概率;(3)現(xiàn)有4位居民甲、乙、丙、丁,經(jīng)調(diào)查,甲和乙月均用水量大于分位數(shù),丙和丁月均用水量不大于分位數(shù),現(xiàn)從該4人中隨機(jī)選2人,求所選2人中恰有1人月均用水量大于分位數(shù)的概率.解:(1)由頻率分布直方圖,得,解得;數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率為,數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率和為,則用水量的分位數(shù),由,解得,所以,估計(jì)該地區(qū)月均用水量的分位數(shù)為.(2)設(shè)事件表示第位居民月均用水量大于分位數(shù),,事件表示恰有1位居民月均用水量大于分位數(shù),,因此,所以所求概率為.(3)試驗(yàn)的樣本空間(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙)
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