吉林省吉林市松花江中學(xué)2023-2024學(xué)年下學(xué)期5月月考高一數(shù)學(xué)試題（答案解析）

第頁，共頁吉林松花江中學(xué)2023-2024學(xué)年度下學(xué)期高一月考數(shù)學(xué)試卷選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限，故選：A.2.下列說法正確的是（）A．互相垂直的兩條直線的直觀圖仍然是互相垂直的兩條直線B．梯形的直觀圖可能是平行四邊形C．矩形的直觀圖可能是梯形D．正方形的直觀圖可能是平行四邊形【答案】D【解析】A項(xiàng)，原圖形相互垂直的兩條直線在直觀圖中不一定相互垂直,故A項(xiàng)錯(cuò)誤。B項(xiàng)，原圖形中平行的兩條線段仍然平行，不平行的兩條線段也不會(huì)平行，所以梯形的直觀圖不可能為平行四邊形，故B項(xiàng)錯(cuò)誤。C項(xiàng)，原圖形相互垂直的兩條直線在直觀圖中不一定仍然相互垂直，但是原圖形相互平行的兩條線段在直觀圖中仍然互相平行，所以矩形的直觀圖中對(duì)邊仍然平行，所以矩形的直觀圖可能為平行四邊形而不能為梯形。故C項(xiàng)錯(cuò)誤。D項(xiàng)，原圖形相互垂直的兩條直線在直觀圖中不一定仍然相互垂直，但是原圖形相互平行的兩條線段在直觀圖中仍然互相平行，所以正方形中垂直的兩邊不一定仍然垂直，但是對(duì)邊仍然平行，所以正方形的直觀圖可能是平行四邊形。故D項(xiàng)正確。選D3.某地舉辦“喜迎二十大，奮進(jìn)新時(shí)代”主題攝影比賽，9名評(píng)委對(duì)某攝影作品的評(píng)分如下：,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，該攝影作品的平均分為91分，后來有1個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法辨認(rèn)，以表示，則（

）A．84 B．86 C．89 D．98【答案】C【分析】分別考慮，，時(shí)，計(jì)算平均數(shù)，排除不合題意情況，即可求得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則不符合題意；當(dāng)時(shí)，，則不符合題意；當(dāng)時(shí)，，解得,故選：C.故選：D4.已知矩形中，，，，，則（

）A．6 B．10 C．14 D．38【答案】C【分析】以為原點(diǎn)，分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，由條件得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出向量的坐標(biāo)，從而得出向量的數(shù)量積.【詳解】以為原點(diǎn)，分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系.則,由，則,由，則所以,所以故選：C5.要考察某種品牌的850顆種子的發(fā)芽率，從中抽取50顆種子進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取種子，先將850顆種子按001，002，…，850進(jìn)行編號(hào)，如果從隨機(jī)數(shù)表第3行第6列的數(shù)開始向右讀，請(qǐng)依次寫出最先檢驗(yàn)的4顆種子的編號(hào)：________.注：下面抽取了隨機(jī)數(shù)表第1行至第5行.0347437386369647366146986371623326168045601114109597742467624281145720425332373227073607512451798973167662276656502671073290797853135538585988975414101256859926969668273105037293155712101421882649817655595635643854824622316243099006184432532383013030【答案】227，665，650，267.【分析】找到第3行第6列的數(shù)2，每3個(gè)數(shù)組成一個(gè)數(shù)字，如果數(shù)字在001至850之間（包含001和850），即符合要求，從而找到前4個(gè)符合要求的數(shù)字即可.【詳解】從隨機(jī)數(shù)表第3行第6列的數(shù)2開始向右讀第一個(gè)小于850的數(shù)字是227，第二個(gè)數(shù)字是665，第三個(gè)數(shù)字是650，第四個(gè)數(shù)字是267，均符合題意.故答案為：227，665，650，267.6.某商場推出抽獎(jiǎng)活動(dòng)，在甲抽獎(jiǎng)箱中有四張有獎(jiǎng)獎(jiǎng)票.六張無獎(jiǎng)獎(jiǎng)票；乙抽獎(jiǎng)箱中有三張有獎(jiǎng)獎(jiǎng)票，七張無獎(jiǎng)獎(jiǎng)票.每人能在甲乙兩箱中各抽一次，以A表示在甲抽獎(jiǎng)箱中中獎(jiǎng)的事件，B表示在乙抽獎(jiǎng)箱中中獎(jiǎng)的事件，C表示兩次抽獎(jiǎng)均末中獎(jiǎng)的事件.下列結(jié)論中不正確的是（

）A． B．事件A與事件相互獨(dú)立C．與和為 D．事件A與事件B互斥【答案】D【分析】分別求出，，進(jìn)一步求出與，從而判斷AC選項(xiàng)，在甲抽獎(jiǎng)箱抽獎(jiǎng)和在乙抽獎(jiǎng)箱抽獎(jiǎng)互不影響，故事件A和事件B相互獨(dú)立，判斷BD選項(xiàng).【詳解】，在甲抽獎(jiǎng)箱抽獎(jiǎng)和在乙抽獎(jiǎng)箱抽獎(jiǎng)互不影響，故事件A和事件B相互獨(dú)立，B項(xiàng)正確，故A正確，故C正確事件A與事件B相互獨(dú)立而非互斥，故D錯(cuò)誤.7.如圖,正三棱柱的所有棱長都為2,則平面ABC與平面夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)面面垂直轉(zhuǎn)化面面夾角為另一個(gè)方便解答的面面夾角,分別向交線作垂線,即可得到面面夾角或其補(bǔ)角,構(gòu)造三角形,求出各邊,用余弦定理求出夾角余弦值.【詳解】解:由題知,平面ABC與平面的夾角即為平面與平面的夾角,取的中點(diǎn)O,連接,如圖所示:因?yàn)檎庵乃欣忾L都為2,所以所以,同理可得:,所以,又,所以,所以（或其補(bǔ)角）為平面ABC與平面的夾角,又,所以,因?yàn)?所以,故選:C．8.材料一：已知三角形三邊長分別為，則三角形的面積為，其中.這個(gè)公式被稱為海倫一秦九韶公式.材料二：阿波羅尼奧斯（Apollonius）在《圓錐曲線論》中提出橢圓定義：我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)(大于的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.根據(jù)材料一或材料二解答：已知中，，則面積的最大值為（

）A．6 B．10 C．12 D．20【答案】C【分析】令，根據(jù)材料一海倫公式寫出面積，由二次函數(shù)性質(zhì)求面積最大值即可.【詳解】令，則且，故，而，所以面積，當(dāng)時(shí)，.故選：C選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.設(shè)是非零復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)逐一檢驗(yàn)即可.【詳解】A選項(xiàng)，，故，正確；B選項(xiàng)，即.故，正確；C選項(xiàng)，即z為純虛數(shù)，故，不正確；D選項(xiàng)，∵，故，正確.故選：ABD.10.某公司生產(chǎn)三種型號(hào)的轎車，年產(chǎn)量分別為1500輛、6000輛和2000輛．為檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，公司質(zhì)檢部門要抽取57輛進(jìn)行檢驗(yàn)，則下列說法正確的是（

）A．應(yīng)采用分層隨機(jī)抽樣抽取 B．應(yīng)采用抽簽法抽取C．三種型號(hào)的轎車依次應(yīng)抽取9輛、36輛、12輛 D．這三種型號(hào)的轎車，每一輛被抽到的可能性相同【答案】ACD【分析】根據(jù)分層抽樣的概念及計(jì)算方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】因?yàn)槭侨N型號(hào)的轎車，個(gè)體差異明顯，所以選擇分層隨機(jī)抽樣，所以A正確；個(gè)體數(shù)目多，用抽簽法制簽難，攪拌不均勻，抽出的樣本不具有代表性，所以B錯(cuò)誤;因?yàn)?，所以（輛），（輛），（輛），所以三種型號(hào)的轎車依次應(yīng)抽取9輛、36輛、12輛，所以C正確；分層隨機(jī)抽樣中，每一個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同，故選項(xiàng)D正確．故選：ACD．11.北京時(shí)間2022年9月30日，女籃世界杯半決賽，中國隊(duì)61：59澳大利亞隊(duì)，時(shí)隔28年再次在半決賽中戰(zhàn)勝澳大利亞隊(duì)挺進(jìn)決賽．中國隊(duì)在10名上場球員中，3人得分上雙．韓旭拿下全場最高的19分，10投8中，得到11個(gè)籃板和5次蓋帽；隊(duì)長楊力維得到18分，送出4次助攻；王思雨得到14分．根據(jù)以上信息判斷，下列說法中正確的是（

）A．中國隊(duì)上場的10名球員存在都有得分的可能B．中國隊(duì)上場的10名球員得分的極差不可能為17分C．中國隊(duì)上場的10名球員得分的中位數(shù)一定小于其平均數(shù)D．3不可能是中國隊(duì)上場的10名球員得分的眾數(shù)【答案】ABC【分析】根據(jù)已知條件，逐項(xiàng)推理，即可得到選項(xiàng).【詳解】61-（19+18+14）=10，中國隊(duì)除3人外，剩余7人得到10分，存在10名球員存在都有得分的可能，A項(xiàng)正確；中國隊(duì)除3人外，剩余7人得到10分，若極差為17，則剩余7人最低得分為2分或最高得分為31分，這兩種情況都不存在，即上場的10名球員得分的極差不可能為17分，B項(xiàng)正確；中國隊(duì)上場的10名球員得分的平均數(shù)為，按照分?jǐn)?shù)從小到大排序，則8到10位分?jǐn)?shù)一定是14、18、19，要使中位數(shù)大于或等于平均數(shù)，則5、6位兩隊(duì)員得分之和應(yīng)不小于13分，這與7人得到10分不符，顯然不可能，故C項(xiàng)正確；根據(jù)已知條件，上場的10名球員得分情況可能為：0，0，1，1，2，3，3，14，18，19.即3可能是中國隊(duì)上場的10名球員得分的眾數(shù).D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.將一枚質(zhì)地均勻且四個(gè)面上分別標(biāo)有1、2、3、4的正四面體先后拋擲兩次，其底面落于桌面上，記第一次朝下面的數(shù)字為x，第二次朝下面的數(shù)字為y．用表示一個(gè)樣本點(diǎn)，則滿足條件“為整數(shù)”這一事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)為______．【答案】8【分析】根據(jù)題意，利用列舉法求得試驗(yàn)的樣本空間，結(jié)合““為整數(shù)”，即可求得所求事件中所包含的基本事件的個(gè)數(shù)，得到答案.【詳解】由題意，先后地?cái)S兩次正四面體，該試驗(yàn)的樣本空間，，，，，，，，，，，，，，，，共16個(gè)基本事件，用事件A表示滿足條件“為整數(shù)”的事件，則，，，，，，共8個(gè)基本事件．故答案為：.13.已知一組數(shù)據(jù)，的平均數(shù)和方差均為4，則的方差為______________．【答案】1【分析】根據(jù)，的平均數(shù)和方差均為4，得到，，從而求出的平均數(shù)和方差.【詳解】由題意得：，解得：，，且，解得：，故的平均數(shù)為，故方差為.故答案為：114.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，滿足，則的最大值為______，此時(shí)內(nèi)角A的值為______【答案】

【分析】由正弦定理可得，結(jié)合余弦定理和輔助角公式、正弦函數(shù)的最值，可得所求角．【詳解】解：由，根據(jù)正弦定理，可得，再由余弦定理得，則，所以，又，當(dāng)時(shí)，取得最大值1，則取得最大值．故答案為：；四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.設(shè)向量，，．（1）若與垂直，求的值；（2）求的最大值；（3）若，求證：∥．【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析．【解析】（1）由與垂直，則，即，則．（2），，最大值為32，所以的最大值為．（3）由得，即，所以．16.某“雙一流A類”大學(xué)就業(yè)部從該校2020年已就業(yè)的大學(xué)本科畢業(yè)生中隨機(jī)抽取了100人進(jìn)行問卷調(diào)查，其中一項(xiàng)是他們的月薪收入情況，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，他們的月薪收入在1.65萬元到2.35萬元之間，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分組，得到如下的頻率直方圖，同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表.(1)求這100人月薪收入的樣本平均數(shù)和樣本方差；(2)該校在某地區(qū)就業(yè)的2018屆本科畢業(yè)生共50人，決定于2019年國慶長假期間舉辦一次同學(xué)聯(lián)誼會(huì)，并收取一定的活動(dòng)費(fèi)用，有兩種收費(fèi)方案：方案一：設(shè)，月薪落在區(qū)間Ω左側(cè)的每人收取400元，月薪落在區(qū)間Ω內(nèi)的每人收取600元，月薪落在區(qū)間Ω右側(cè)的每人收取800元；方案二：按每人個(gè)月薪水的3%收取.用該校就業(yè)部統(tǒng)計(jì)的這100人月薪收入的樣本頻率進(jìn)行估算，哪一種收費(fèi)方案能收到更多的費(fèi)用.參考數(shù)據(jù)：.【答案】(1)平均數(shù)2；方差(2)方案一【分析】（1）以每組的中點(diǎn)值代表該組的數(shù)據(jù)求解平均數(shù)，再根據(jù)公式計(jì)算方差即可；（2）根據(jù)題意分別計(jì)算兩種方案的費(fèi)用，再判斷即可.（1）樣本平均數(shù)（萬元），樣本方差（萬元2）.（2）方案一：（萬元），.月薪落在區(qū)間Ω左側(cè)收取費(fèi)用約為（萬元）；月薪落在區(qū)間Ω內(nèi)收取費(fèi)用約為（萬元）；月薪落在區(qū)間Ω右側(cè)收取費(fèi)用約為（萬元）.因此這50人共收取費(fèi)用約為（萬元）.方案二：這50人共收取費(fèi)用約為（萬元）.故方案一能收到更多的費(fèi)用.17.在中，角的對(duì)邊分別為.(1)求角；(2)若的外接圓半徑為2，求面積的最大值.【答案】(1)(2)最大值為【分析】（1）由正弦定理化簡求解，（2）由正余弦定理，面積公式與基本不等式求解（1）由正弦定理得，因?yàn)?，所以，?.因?yàn)?所以，（2）根據(jù)正弦定理得，解得根據(jù)余弦定理得.由基本不等式得，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，所以面積的最大值為.18.某服務(wù)電話，打進(jìn)的電話響第1聲時(shí)被接的概率是0.1；響第2聲時(shí)被接的概率是0.2；響第3聲時(shí)被接的概率是0.3；響第4聲時(shí)被接的概率是0.35.（1）打進(jìn)的電話在響5聲之前被接的概率是多少？（2）打進(jìn)的電話響4聲而不被接的概率是多少？【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率加法公式求得結(jié)果；（2）利用對(duì)立事件的概率公式進(jìn)行求解即可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)事件“電話響第聲時(shí)被接”為，那么事件彼此互斥，設(shè)“打進(jìn)的電話在響5聲之前被接”為事件，根據(jù)互斥事件概率加法公式，得.（2）事件“打進(jìn)的電話響4聲而不被接”是事件“打進(jìn)的電話在響5聲之前被接”的對(duì)立事件，記為.根據(jù)對(duì)立事件的概率公式，得.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率以及對(duì)立事件發(fā)生的概率