模擬測(cè)試卷02（新高考全國(guó)Ⅰ卷）

2023年新高考全國(guó)Ⅰ卷模擬測(cè)試卷02一、單選題1．若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接解出集合，再求交集即可.【解析】，，則.故選：D.2．在等差數(shù)列中，若，，則（

）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到關(guān)于的方程組，解之即可得解.【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，設(shè)其公差為，所以，解得，所以.故選：B．3．在三棱錐中，平面BCD，，則三棱錐的外接球的表面積與三棱錐的體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】證明,為直角三角形后可得的中點(diǎn)為外接球的球心，為半徑,分別計(jì)算外接球的表面積與三棱錐的體積即可.【解析】取的中點(diǎn),連接，因?yàn)槊婷婷嫠裕?，所以，，因?yàn)槊婷嫠悦妫忠驗(yàn)槊?，所以，所以，所以，所以為三棱錐的外接球的圓心,半徑，所以球的表面積為，三棱錐的體積為，故.故選：D4．已知函數(shù)，則的大致圖象為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性即可得出選項(xiàng).【解析】，令，所以在和上單調(diào)遞增，故選：C5．現(xiàn)將除顏色外其他完全相同的6個(gè)紅球和6個(gè)白球平均放入A、B兩個(gè)封閉的盒子中，甲從盒子A中，乙從盒子B中各隨機(jī)取出一個(gè)球，若2個(gè)球同色，則甲勝，且將取出的2個(gè)球全部放入盒子A中；若2個(gè)球異色，則乙勝，且將取出的2個(gè)球全部放入盒子B中．按上述規(guī)則重復(fù)兩次后，盒子A中恰有8個(gè)球的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】若兩次取球后，盒子A中恰有8個(gè)球，則兩次取球均為甲勝，即兩次取球均為同色．考慮第一次取球甲、乙都取到紅球，第二次取同色球分為取到紅球或取到白球或第一次取球甲、乙都取到白球，第二次取同色球分為取到紅球或取到白球，分別求出其概率，即可求出答案.【解析】若兩次取球后，盒子A中恰有8個(gè)球，則兩次取球均為甲勝，即兩次取球均為同色．若第一次取球甲、乙都取到紅球，概率為，則第一次取球后盒子A中有4個(gè)紅球和3個(gè)白球，盒子B中有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，第二次取同色球分為取到紅球或取到白球，概率為，故第一次取球甲、乙都取到紅球且兩次取球后，盒子A有8個(gè)球的概率為，同理，第一次取球甲、乙都取到白球且兩次取球后，盒子A中有8個(gè)球的概率為，所以兩次取球后，盒子A中恰有8個(gè)球的概率是．故選:A．6．已知p：，q：，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】令,結(jié)合該函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性判斷不等式是否成立.【解析】令，，且，故為奇函數(shù)，時(shí)，遞增，則也遞增，又為奇函數(shù)，則在上遞增，，若，則，則，即即；，若，則等價(jià)于，即，由在上遞增，則，即，故p是q的充要條件，故選：C.7．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契于1202年寫(xiě)成《計(jì)算之書(shū)》，其中第12章提出兔子問(wèn)題，衍生出數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，….記該數(shù)列為，則，，.如圖，由三個(gè)圖（1）中底角為60°等腰梯形可組成一個(gè)輪廓為正三角形（圖（2））的圖形，根據(jù)改圖所揭示的幾何性質(zhì)，計(jì)算（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【分析】根據(jù)圖示規(guī)律和數(shù)列遞推關(guān)系即可求解.【解析】從圖（2）可得到正三角形的面積等于三個(gè)等腰梯形的面積加上小正三角形的面積，所以，整理可得，由此可推斷出也可構(gòu)成以下正三角形，所以，整理可得，所以故選：B8．雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作垂直于軸的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，的內(nèi)切圓圓心分別為，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意畫(huà)出圖，由已知求出的值，找出的坐標(biāo)，由的內(nèi)切圓圓心分別為，進(jìn)行分析，由等面積法求出內(nèi)切圓的半徑，從而求出的底和高，利用三角形的面積公式計(jì)算即可.【解析】由題意如圖所示：由雙曲線，知，所以，所以，所以過(guò)作垂直于軸的直線為，代入中，解出，由題知的內(nèi)切圓的半徑相等，且，的內(nèi)切圓圓心的連線垂直于軸于點(diǎn)，設(shè)為，在中，由等面積法得：由雙曲線的定義可知：由，所以，所以，解得：，因?yàn)闉榈牡慕瞧椒志€，所以一定在上，即軸上，令圓半徑為，在中，由等面積法得：，又所以，所以，所以，，所以，故選：A.二、多選題9．有兩組樣本數(shù)據(jù)1，3，5，7，9和1，2，5，8，9，則這兩組樣本數(shù)據(jù)的（

）A．樣本平均數(shù)相同 B．樣本中位數(shù)相同 C．樣本方差相同 D．樣本極差相同【答案】ABD【分析】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，方差和極差的定義依次計(jì)算得到答案.【解析】對(duì)選項(xiàng)A：平均數(shù)分別為，，正確；對(duì)選項(xiàng)B：中位數(shù)分別為，，正確；對(duì)選項(xiàng)C：方差分別為，，不正確；對(duì)選項(xiàng)D：極差分別為，，正確.故選：ABD.10．已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】點(diǎn)代入單位圓的方程求出點(diǎn)可得，再由弦化切可得答案.【解析】角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故選：AC.11．如圖，透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器以BC為軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則（

）A．有水的部分始終是棱柱B．水面所在四邊形EFGH為矩形且面積不變C．棱始終與水面平行D．當(dāng)點(diǎn)H在棱CD上且點(diǎn)G在棱上（均不含端點(diǎn)）時(shí)，不是定值【答案】AC【分析】利用棱柱的幾何特征判斷A；根據(jù)水面矩形變化情況判斷B；利用線面平行的判定判斷C；利用盛水的體積判斷D作答.【解析】對(duì)于A，有水部分的幾何體，有兩個(gè)面都垂直于BC，這兩個(gè)面始終平行，而，并且BC始終與水面平行，即有，若點(diǎn)H在棱上，由面面平行的性質(zhì)知，，若點(diǎn)H在棱CD上，，因此該幾何體有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行，即該幾何體是棱柱，A正確；對(duì)于B，因?yàn)樗鏋榫匦?，邊的長(zhǎng)不變，隨旋轉(zhuǎn)角的變化而變化，矩形的面積不是定值，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)槭冀K與平行，而始終與水面平行，并且不在水面所在平面內(nèi)，即棱始終與水面平行，C正確；對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)在棱上且點(diǎn)在棱上（均不含端點(diǎn)）時(shí)，有水部分的棱柱的底面為三角形，而水的體積不變，高不變，則底面面積不變，即為定值，D錯(cuò)誤.故選：AC12．十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過(guò)程如下：將閉區(qū)間[0，1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第1次操作：再將剩下的兩個(gè)區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第2次操作：；每次操作都在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段；操作過(guò)程不斷地進(jìn)行下去，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若第n次操作去掉的區(qū)間長(zhǎng)度記為，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】分析題意發(fā)現(xiàn)是一個(gè)等比數(shù)列，按照等比數(shù)列的性質(zhì)逐一驗(yàn)證即可，其中B選項(xiàng)是化簡(jiǎn)成一個(gè)等差數(shù)列進(jìn)行判斷，CD兩個(gè)選項(xiàng)需要利用數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)行判斷，尤其是D選項(xiàng)，需要構(gòu)造新數(shù)列，利用做差法驗(yàn)證單調(diào)性.【解析】由題可知，；，；，由此可知，即一個(gè)等比數(shù)列；A：，A錯(cuò)誤；B：，因?yàn)?，所以該?shù)列為遞減數(shù)列，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以恒成立，B正確；C：，即，兩邊約去得到，當(dāng)時(shí)，，原式成立；當(dāng)時(shí)，恒成立，所以成立，即成立，C正確；D：令，再令，令解得，因?yàn)?，所以取，由此可知時(shí)；時(shí)，故為最大值，，根據(jù)單調(diào)性，即不恒成立，D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題13．已知點(diǎn)D為△ABC的邊BC的中點(diǎn)，，，，，的夾角為，則______．【答案】【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可得，兩邊同時(shí)平方即可代入求模長(zhǎng).【解析】因?yàn)椋?，所以，所以．故答案為?14．某單位有10000名職工，想通過(guò)驗(yàn)血的方法篩查乙肝病毒攜帶者，假設(shè)攜帶病毒的人占，如果對(duì)每個(gè)人的血樣逐一化驗(yàn)，就需要化驗(yàn)10000次.統(tǒng)計(jì)專(zhuān)家提出了一種化驗(yàn)方法：隨機(jī)地按5人一組分組，然后將各組5個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn)，如果混合血樣呈陰性，說(shuō)明這5個(gè)人全部陰性；如果混合血樣呈陽(yáng)性，說(shuō)明其中至少有一人的血樣呈陽(yáng)性，就需要對(duì)每個(gè)人再分別化驗(yàn)一次.按照這種化驗(yàn)方法，平均每個(gè)人需要化驗(yàn)______次.（結(jié)果保留四位有效數(shù)字）（，，）.【答案】0.4262【分析】設(shè)每個(gè)人需要的化驗(yàn)次數(shù)為X，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率計(jì)算公式、對(duì)立事件概率計(jì)算公式求得，從而確定正確答案.【解析】設(shè)每個(gè)人需要的化驗(yàn)次數(shù)為X，若混合血樣呈陰性，則；若混合血樣呈陽(yáng)性，則；因此，X的分布列為，，，說(shuō)明每5個(gè)人一組，平均每個(gè)人需要化驗(yàn)0.4262次.故答案為：0.4262.15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，若對(duì)任意，等式恒成立，則_______.【答案】＃＃0.5【分析】根據(jù)的關(guān)系可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而由等差數(shù)列的求和公式即可化簡(jiǎn)求解.【解析】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有，兩式相減得，即有，整理得：，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，，則，所以，又因?yàn)閷?duì)任意，等式恒成立，所以，解得.故答案為：16．若等差數(shù)列滿足，則n的最大值為_(kāi)__．【答案】50【分析】設(shè)，等差數(shù)列的公差為，不妨設(shè)，則，且，即，根據(jù)，得到即有，再根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求得，從而得出，即可求解.【解析】由題意知：等差數(shù)列滿足，故等差數(shù)列不是常數(shù)列，且中的項(xiàng)一定滿足或，且項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)，等差數(shù)列的公差為，不妨設(shè)，此時(shí)，，則，且，即，故，.又，則，故，即有，則，可得，解得，又，即有的最大值為，的最大值為.故答案為：50四、解答題17．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若．(1)求的值；(2)若，求cosB的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用數(shù)量積定義式，整理等式，利用余弦定理以及正弦定理，可得答案；（2）根據(jù)余弦定理整理等式，求得，利用同角平方式，結(jié)合誘導(dǎo)公式以及余弦和角公式，可得答案.【解析】（1）由，則，設(shè)，則，根據(jù)余弦定理，可得，化簡(jiǎn)可得，根據(jù)正弦定理可得：，則.（2）由，根據(jù)余弦定理，可得，整理可得，則，，由，則，由，則，根據(jù)正弦定理，可得，即，故，.18．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，；，(2)．【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由求得公比，再由求解；進(jìn)而由求解.（2）由對(duì)于任意的恒成立，令，，求得其最小值即可.【解析】（1）解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，顯然，所以，解得，由于，所以的通項(xiàng)公式為，；所以，，所以的通項(xiàng)公式為，．（2）因?yàn)楹愠闪ⅲ磳?duì)于任意的恒成立．令，，則，當(dāng)時(shí)，所以，即的最小值為，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.19．如圖，，O分別是圓臺(tái)上、下底的圓心，AB為圓O的直徑，以O(shè)B為直徑在底面內(nèi)作圓E，C為圓O的直徑AB所對(duì)弧的中點(diǎn)，連接BC交圓E于點(diǎn)D，，，為圓臺(tái)的母線，．(1)證明；平面；(2)若二面角為，求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）連接，根據(jù)圓的性質(zhì)知△、△都為等腰直角三角形，進(jìn)而有為平行四邊形，則，根據(jù)線面平行的判定證明結(jié)論.（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知求得，再求出、面的法向量，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求線面角的正弦值.【解析】（1）連接，C為圓O的直徑AB所對(duì)弧的中點(diǎn)，所以△為等腰直角三角形，即，又在圓上，故△為等腰直角三角形，所以且，又是母線且，則，故且，則為平行四邊形，所以，而面，面，故平面.（2）由題設(shè)及（1）知：、、兩兩垂直，構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，過(guò)作，則為的中點(diǎn)，再過(guò)作，連接，由圓，即圓，圓，則，又，則，故二面角的平面角為，而，所以.則，，，，所以，，，若為面的一個(gè)法向量，則，令，則，，故與平面所成角的正弦值.20．某小區(qū)有居民2000人，想通過(guò)驗(yàn)血的方法篩查出乙肝病毒攜帶者，為此需對(duì)小區(qū)全體居民進(jìn)行血液化驗(yàn)，假設(shè)攜帶病毒的居民占a%，若逐個(gè)化驗(yàn)需化驗(yàn)2000次.為減輕化驗(yàn)工作量，隨機(jī)按n人一組進(jìn)行分組，將各組n個(gè)人的血液混合在一起化驗(yàn)，若混合血樣呈陰性，則這n個(gè)人的血樣全部陰性；若混合血樣呈陽(yáng)性，說(shuō)明其中至少有一人的血樣呈陽(yáng)性，就需對(duì)每個(gè)人再分別單獨(dú)化驗(yàn)一次.假設(shè)每位居民的化驗(yàn)結(jié)果呈陰性還是陽(yáng)性相互獨(dú)立.(1)若，，試估算該小區(qū)化驗(yàn)的總次數(shù)；(2)若，每人單獨(dú)化驗(yàn)一次花費(fèi)10元，n個(gè)人混合化驗(yàn)一次花費(fèi)元.求n為何值時(shí)，每位居民化驗(yàn)費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望最小.（注：當(dāng)時(shí)，）【答案】(1)180次；(2)10.【分析】（1）設(shè)每位居民需化驗(yàn)的次數(shù)為，則可取，，分別求概率，進(jìn)而可得期望，即得；（2）設(shè)每組n人總費(fèi)用為Y元，結(jié)合條件計(jì)算，然后表示出結(jié)合基本不等式即得.【解析】（1）設(shè)每位居民需化驗(yàn)的次數(shù)為X，若混合血樣為陰性，則，若混合血樣呈陽(yáng)性，則，所以，，，所以2000名居民總化驗(yàn)次數(shù)約為次；（2）設(shè)每組n人總費(fèi)用為Y元，若混合血樣呈陰性則，若混合血樣為陽(yáng)性，則，所以，，所以，每位居民的化驗(yàn)費(fèi)用為：元，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故時(shí)，每位居民化驗(yàn)費(fèi)用的期望最小.21．已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且橢圓E截拋物線的準(zhǔn)線得到的弦長(zhǎng)為3．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)兩條不同的直線m與直線l交于E的右焦點(diǎn)F，且互相垂直，直線l交橢圓E于點(diǎn)A，B，直線m交橢圓E于點(diǎn)C，D，探究：A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)是否可以在同一個(gè)圓上？若可以，請(qǐng)求出所有這樣的直線m與直線l；否則請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)可以在同一個(gè)圓上，和【分析】（1）由拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)得，拋物線準(zhǔn)線方程代入橢圓方程求得弦長(zhǎng)，從而可求得，得橢圓方程；（2）由題意可知當(dāng)斜率均存在且不為0時(shí)，可設(shè)直線l為，直線m為，其中，，，，，直線方程代入橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理得，若A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)可以在同一個(gè)圓上，則，用直線上的弦長(zhǎng)公式表示后，代入（同理得的相減表達(dá)式），從而求得值，得直線方程．（1）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，

設(shè)，由已知得，，，，所以，即，，解得，，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）因?yàn)閮蓷l不同的直線m與l直線均過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且互相垂直，由題意可知當(dāng)斜率均存在且不為0時(shí)，可設(shè)直線l為，直線m為，其中，

，，，，將直線