提優(yōu)點(diǎn)13　圓錐曲線的三大定義

板塊六平面解析幾何提優(yōu)點(diǎn)13圓錐曲線的三大定義高考定位2.橢圓與雙曲線的第三定義平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)A(－a，0)，B(a，0)的斜率乘積等于常數(shù)λ(λ≠0，λ≠－1)的點(diǎn)的軌跡是橢圓或雙曲線.當(dāng)常數(shù)λ<0且λ≠－1時(shí)，軌跡是除去兩個(gè)定點(diǎn)A，B的橢圓；當(dāng)常數(shù)λ>0時(shí)，軌跡是除去兩個(gè)定點(diǎn)A，B的雙曲線.其中兩個(gè)定點(diǎn)分別是橢圓或雙曲線的頂點(diǎn).精準(zhǔn)強(qiáng)化練類型一圓錐曲線第一定義的應(yīng)用類型二圓錐曲線第二定義的應(yīng)用類型三橢圓、雙曲線第三定義的應(yīng)用類型突破類型一圓錐曲線第一定義的應(yīng)用(1)(2024·鄭州質(zhì)檢)已知?jiǎng)訄AE與圓A：(x＋4)2＋y2＝2外切，與圓B：(x－4)2＋y2＝2內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心E的軌跡方程為_(kāi)___________________.例1則動(dòng)圓圓心E在以點(diǎn)A(－4，0)，B(4，0)為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上.如圖，設(shè)|F1N|＝k(k>0)，在△MNF2中，由余弦定理得|MF2|2＝|MN|2＋|NF2|2－2|MN||NF2|cos∠MNF2，|MF2|＝a，解決橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題注意應(yīng)用：(1)定義；(2)正弦、余弦定理；(3)三角形面積公式.規(guī)律方法訓(xùn)練1∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P||PF2|－2|F1P|·|PF2|cos60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，3因?yàn)辄c(diǎn)P是雙曲線左支上一點(diǎn)，所以|PF2|－|PF1|＝4，又|PF1|＋|PF2|＝8，所以|PF1|＝2，|PF2|＝6，類型二圓錐曲線第二定義的應(yīng)用例213所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2，在Rt△AOF2中，AF2＝a，|OF2|＝c，a＝2c，過(guò)F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，直線DE的方程與橢圓C的方程聯(lián)立得13x2＋8cx－32c2＝0，規(guī)律方法規(guī)律方法A.0 B.2 C.4

D.8訓(xùn)練2√由橢圓的第二定義可知|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0，類型三橢圓、雙曲線第三定義的應(yīng)用例3√規(guī)律方法訓(xùn)練3√設(shè)點(diǎn)P(x，y)，【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】√如圖，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P′，則kAP＝－kAP′，由題意得點(diǎn)P′，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，√√設(shè)P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，√∵∠F1AF2＝90°，∴△F1AF2為等腰直角三角形，∴b＝c，由題可知A(－2，0)，設(shè)B(x0，y0)，則C(－x0，－y0)，√得x0＝0，B，C為橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，6.(2024·石家莊調(diào)研)有這樣一句詩(shī)歌：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹(shù)枝無(wú)法相依，而是相互瞭望的星星，卻沒(méi)有交匯的軌跡；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉(zhuǎn)瞬間無(wú)處尋覓.已知點(diǎn)F(1，0)，直線l：x＝4，動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F之間的距離是點(diǎn)P到直線l的距離的一半.若某直線上存在這樣的點(diǎn)P，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，下列結(jié)論中正確的是√√√其與點(diǎn)F之間的距離是其到直線x－2y＋4＝0的距離的一半，則直線x－2y＋4＝0是“最遠(yuǎn)距離直線”，故B正確.由2|PF|＝d可知，|PA|＋2|PF|＝|PA|＋d，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A縱坐標(biāo)相等且點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，|PA|＋2|PF|取得最小值，為4－(－1)＝5，C正確.由B可知，直線x－2y＋4＝0與橢圓相切，直線x－2y＋6＝0與直線x－2y＋4＝0平行，由橢圓的對(duì)稱性易知與直線x－2y＋4＝0平行的另一條橢圓的切線方程為x－2y－4＝0，故直線x－2y＋6＝0與直線x－2y－4＝0之間的距離即所求距離的最大值，√√√∴F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0).由橢圓的定義得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∵PH是∠F1PF2的角平分線，∴點(diǎn)H到直線PF1的距離與點(diǎn)H到直線PF2的距離相等，限上的一點(diǎn)P滿足△PF1F2為等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)________________.則|PF1|＝|2x0＋1|＝2x0＋1，|PF2|＝|2x0－1|＝2x0－1，|F1F2|＝4，因?yàn)椤鱌F1F2為等腰三角形，且顯然|PF1|≠|(zhì)PF2|，所以|PF1|＝|F1F2|或|PF2|＝|F1F2|，∠AF1B＝∠ABF1，如圖所示，設(shè)|AF2|＝m，由雙曲線第一定義可得|AB|＝|AF1|＝2a＋m，即|BF2|＝2a，|BF1|＝4a