微專題35　最值、范圍問題

板塊六平面解析幾何微專題35最值、范圍問題高考定位解析幾何中的最值與范圍問題是解析幾何中的典型問題，是教學(xué)的重點(diǎn)也是歷年高考的熱點(diǎn).解決這類問題不僅要善于利用幾何手段對平面圖形進(jìn)行研究，而且要從代數(shù)角度進(jìn)行函數(shù)等相關(guān)運(yùn)算.【難點(diǎn)突破】拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0).由題意知直線MN的斜率不可能為0，∴設(shè)MN的方程為x＝my＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴Δ＝16m2＋16t>0，即m2＋t>0，由根與系數(shù)的關(guān)系得y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t，高考真題∴(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝0，即(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(my1＋t－1)(my2＋t－1)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋m(t－1)(y1＋y2)＋(t－1)2＝(m2＋1)(－4t)＋m(t－1)·4m＋(t－1)2＝0，即－4m2t－4t＋4m2t－4m2＋t2－2t＋1＝0，即4m2＝t2－6t＋1.∵4m2＝t2－6t＋1≥0，樣題1所以F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，|AB|＝2a＝4，當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，易得Δ＝(6m)2＋36(3m2＋4)>0，因?yàn)閙2≥0，所以3m2＋4≥4，綜上，3≤|AB|≤4，即|AB|的取值范圍是[3，4].(2024·溫州模擬)已知拋物線E：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，拋物線上的點(diǎn)A(x0，y0)處的切線為l.(1)求l的方程(用x0，y0表示)；樣題2(2)若直線l與y軸交于點(diǎn)B，直線AF與拋物線交于點(diǎn)C，若∠ACB為鈍角，求y0的取值范圍.易知F(0，1)，B(0，－y0).設(shè)直線AF：y＝kx＋1，C(x1，y1)，代入拋物線方程得x2－4kx－4＝0，樣題3由c2＝a2＋b2，解得b＝4，顯然直線l不垂直于y軸，設(shè)直線l的方程為x＝my＋3，消去x，得(4m2－1)y2＋24my＋20＝0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線AP，AQ的斜率分別為kAP，kAQ，(2)過點(diǎn)D分別作直線AP，AQ的垂線，垂足分別為M，N，記△ADM，△ADN的面積分別為S1，S2，求S1·S2的最大值.設(shè)直線AP的方程為y＝k(x＋2)，求解范圍、最值問題的常見方法(1)利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系.(2)利用已知參數(shù)的范圍，在兩個(gè)參數(shù)之間建立函數(shù)關(guān)系.(3)利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式.(4)利用基本不等式.規(guī)律方法(2024·南昌模擬)已知點(diǎn)F(1，0)，P為平面內(nèi)一動點(diǎn)，以PF為直徑的圓與y軸相切，點(diǎn)P的軌跡記為C.(1)求C的方程；訓(xùn)練化簡得y2＝4x，所以C的方程為y2＝4x.(2)過點(diǎn)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A且垂直于l的直線交x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B且垂直于l的直線交x軸于點(diǎn)N.當(dāng)四邊形MANB的面積最小時(shí)，求l的方程.由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l：y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，設(shè)直線l的傾斜角為θ，則|AM|＝|AF||tanθ|，|BN|＝|BF||tanθ|，所以|AM|＋|BN|＝|AF||tanθ|＋|BF||tanθ|＝|AB||tanθ|＝|AB||k|.四邊形MANB的面積S＝S△ABM＋S△ABN設(shè)t＝|k|>0，【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M(0，m)，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.∵Δ＝(8km)2－4×(4k2＋1)×(4m2－4)>0，即64k2－16m2＋16>0，∴4k2－m2＋1>0，即16k2m2－4k2＋m2－1＝0，設(shè)PD中點(diǎn)M(x0，y0)，則D(2x0＋1，2y0)，因?yàn)辄c(diǎn)Q在線段AB上，所以點(diǎn)D只能在右半橢圓上運(yùn)動，所以0<2x0＋1≤a，設(shè)直線CD的方程為y＝k(x＋1)，|k|<1，C(x1，y1)，D(x2，y2).(2)記直線AC，AD的斜率分別為k1，k2，求k1－k2的最小值.得(4k2＋1)x2＋8k2x＋4(k2－1)＝0，(1)求橢圓C的方程；設(shè)點(diǎn)A(x0，y0)，當(dāng)直線AB，AD的斜率都存在時(shí)，設(shè)直線AB，AD的斜率分別為k1，k2，(2)求橢圓C的外切矩形ABCD的面積S的最大值.設(shè)過點(diǎn)A且斜率存在的直線的方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx＋(y0－kx0)，可得(4k2＋1)x2＋8k(y0－kx0)x＋4(y0－kx0)2－4＝0，則Δ＝64k2(y0－kx0)2－16(4k2＋1)[(y0－kx0)2－1]＝0，整理可得(y0－kx0)2－4k2－1＝0，所以點(diǎn)A的軌跡方程為x2＋y2＝5，由對稱性可知，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在圓x2＋y2＝5上，由基本不等式可得20＝|AB|2＋|AD|2≥2|AB|·|AD|，即|AB|·|AD|≤10，故S＝|AB|·|AD|≤10，即矩形ABCD的面積的最大值為10.設(shè)橢圓C的焦距為2c，由題意得c＝1.如圖，因?yàn)镕(1，0)，(2)若線段AB的垂直平分線分別交x軸、y軸于點(diǎn)P，Q，M為線段AB的中