2024-2025學(xué)年廣東省江門市廣雅中學(xué)等校高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2024-2025學(xué)年廣東省江門市廣雅中學(xué)等校高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）某天小李要坐動(dòng)車或高鐵從廣州出發(fā)去北京，已知當(dāng)天動(dòng)車的車次有2個(gè)，高鐵的車次有10個(gè)，則小李當(dāng)天從廣州出發(fā)去北京的車次的選擇共有（）A．2種 B．10種 C．12種 D．20種2．（5分）設(shè)集合A＝{x|3x＜1}，B＝{x|y＝lg（x+3）}，則A∩B＝（）A．（﹣2，1） B．（﹣3，0） C．[﹣3，0） D．（﹣3，1）3．（5分）現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)1.3，1.2，1.2，1.4，1.6，1.3，1.1，則這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.64．（5分）若函數(shù)f(x)=38xA．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）5．（5分）某中學(xué)4位任課老師和班上10位學(xué)生站成一排，則4位任課老師站在一起的排法種數(shù)用排列數(shù)表示為（）A．A44A11C．A44A6．（5分）已知下列四個(gè)圖象之一是函數(shù)f（x）在某區(qū)間的圖象，且f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）在該區(qū)間的圖象如圖所示，則f（x）在該區(qū)間的圖象是（）A． B． C． D．7．（5分）若A，B，C是圓D：x2+2x+y2+4y﹣10＝0上不同的三點(diǎn)，且tan∠ABC=12，則A．5 B．25 C．23 8．（5分）已知定義在R上的函數(shù)f(x+π18)為奇函數(shù)，且f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(2π9，0)對(duì)稱，f′(x)=3f(x+π6)，且f(A．-13 B．13 二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）已知復(fù)數(shù)z＝（1﹣i）（6+i），則（）A．z=7+5iB．|z-2|=52C．z+7為純虛數(shù) D．z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限（多選）10．（6分）已知點(diǎn)E（﹣2，0），F(xiàn)（2，0），A（﹣3，0），B（3，0），M（4，0），N（﹣4，0），點(diǎn)P在曲線C：(xA．曲線C由虛軸長相等的兩條雙曲線組成 B．存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)P，使得|PA|﹣|PB|＝4 C．存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)P，使得|PM|﹣|PN|＝﹣4 D．存在8個(gè)點(diǎn)P，使得|PE|+|PF|=4（多選）11．（6分）下列判斷正確的是（）A．方程（x﹣lnx）（x﹣lnx﹣1）＝0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解 B．方程x1+x2+x3+x4+x5+x6＝10的正整數(shù)解共有126組 C．方程xex﹣lnx﹣x﹣1＝0有唯一實(shí)數(shù)解 D．方程x1+x2+x3+x4+x5+x6＝10的非負(fù)整數(shù)解共有3003組三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）若點(diǎn)A（0，2，0），B（1，3，﹣1），平面α的一個(gè)法向量為n→=（1，2，﹣2），則直線AB與平面α所成角的正弦值為13．（5分）將2個(gè)i、2個(gè)n、2個(gè)o與1個(gè)p隨機(jī)排成一排，得到一個(gè)字母串，則所得字母串恰為單詞opinion的概率為．14．（5分）《九章算術(shù)?商功》中，將底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵．在塹堵ABC﹣A1B1C1中，A1B＝32，AB＝AC，則塹堵ABC﹣A1B1C1體積的最大值為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知函數(shù)f（x）＝6x+2cosx﹣1．（1）求limΔx→0（2）若函數(shù)g（x）＝xf（x）+1，求曲線y＝g（x）在點(diǎn)（0，g（0））處的切線方程．16．（15分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝3n2+2n+1．（1）求a1；（2）求{an}的通項(xiàng)公式，并證明{an+1﹣2n+1}為等差數(shù)列；（3）若bn=1(2n+1)(an-2n)，求b17．（15分）已知12名運(yùn)動(dòng)員中有5人只擅長籃球，4人只擅長足球，另外3人籃球與足球都擅長．（1）若從這12名運(yùn)動(dòng)員中選派2人，求這2人都擅長足球的選派方法種數(shù)；（2）若讓這12名運(yùn)動(dòng)員中所有擅長籃球的運(yùn)動(dòng)員排成一排拍照，求其中還擅長足球的運(yùn)動(dòng)員互不相鄰的排法種數(shù)；（3）從這12名運(yùn)動(dòng)員中選派4人參加某項(xiàng)活動(dòng)，要求這4人有2人擅長籃球，有2人擅長足球，求滿足條件的選派方法種數(shù)．18．（17分）已知函數(shù)f（x）＝aln（x+1）+x﹣1．（1）若f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（2）討論f（x）的單調(diào)性；（3）若f（x）在(-12，7)19．（17分）已知曲線C1：y=ex，直線C2：y＝（1）若m＝1，判斷直線C2與曲線C1公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．（2）已知直線C2與曲線C1相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)．①求m的取值范圍；②證明：x1

2024-2025學(xué)年廣東省江門市廣雅中學(xué)等校高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案CBBDABCD二．多選題（共3小題）題號(hào)91011答案ABBCDBCD一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）某天小李要坐動(dòng)車或高鐵從廣州出發(fā)去北京，已知當(dāng)天動(dòng)車的車次有2個(gè)，高鐵的車次有10個(gè)，則小李當(dāng)天從廣州出發(fā)去北京的車次的選擇共有（）A．2種 B．10種 C．12種 D．20種【答案】C【解答】解：因?yàn)楫?dāng)天動(dòng)車的車次有2個(gè)，高鐵的車次有10個(gè)，所以小李當(dāng)天從廣州出發(fā)去北京的車次的選擇共有2+10＝12種．故選：C．2．（5分）設(shè)集合A＝{x|3x＜1}，B＝{x|y＝lg（x+3）}，則A∩B＝（）A．（﹣2，1） B．（﹣3，0） C．[﹣3，0） D．（﹣3，1）【答案】B【解答】解：由3x＜1，可得x＜0，所以集合A＝{x|x＜0}，由y＝lg（x+3），可得x+3＞0，解得x＞﹣3，所以集合B＝{x|x＞﹣3}，所以A∩B＝{x|﹣3＜x＜0}．故選：B．3．（5分）現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)1.3，1.2，1.2，1.4，1.6，1.3，1.1，則這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.6【答案】B【解答】解：將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為1.1，1.2，1.2，1.3，1.3，1.4，1.6，因?yàn)?×0.6＝4.2，所以這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為按順序排列的第5個(gè)數(shù)據(jù)，即1.3．故選：B．4．（5分）若函數(shù)f(x)=38xA．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【答案】D【解答】解：f′(x)=9因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=3所以f′(x)=9可得：Δ=36a2-4×98×8＞0，解得：故選：D．5．（5分）某中學(xué)4位任課老師和班上10位學(xué)生站成一排，則4位任課老師站在一起的排法種數(shù)用排列數(shù)表示為（）A．A44A11C．A44A【答案】A【解答】解：某中學(xué)4位任課老師和班上10位學(xué)生站成一排，則4位任課老師站在一起，而4位任課老師站在一起的排法種數(shù)為A4將排完的4位任課教師作為一個(gè)整體，與剩下的10名學(xué)生站成一排的排法種數(shù)有A11再根據(jù)分步乘法得排列種數(shù)為A4故選：A．6．（5分）已知下列四個(gè)圖象之一是函數(shù)f（x）在某區(qū)間的圖象，且f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）在該區(qū)間的圖象如圖所示，則f（x）在該區(qū)間的圖象是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：根據(jù)題意，由導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象，在區(qū)間（0，2）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，排除C、D，同時(shí)，在區(qū)間（0，2）上，|f′（x）|先變大再變小，則f（x）的圖象先變化快后變化慢，排除A．故選：B．7．（5分）若A，B，C是圓D：x2+2x+y2+4y﹣10＝0上不同的三點(diǎn)，且tan∠ABC=12，則A．5 B．25 C．23 【答案】C【解答】解：由圓D：x2+2x+y2+4y﹣10＝0，得（x+1）2+（y+2）2＝15，則圓的半徑為15，由tan∠ABC=12，得sin∠ABCcos∠ABC由正弦定理可得：ACsin∠ABC=2R，即AC55=2故選：C．8．（5分）已知定義在R上的函數(shù)f(x+π18)為奇函數(shù)，且f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(2π9，0)對(duì)稱，f′(x)=3f(x+π6)，且f(A．-13 B．13 【答案】D【解答】解：根據(jù)題意，定義在R上的函數(shù)f(x+π18)為奇函數(shù)，則有f（x）＝﹣f（若x＝0，則有f（0）＝﹣f（π9又由f（x）＝﹣f（π9-兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得：f′（x）＝f′（π9-又由函數(shù)f′（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(2π9，0)對(duì)稱，則有f′（x）＝﹣f′（則有f′（4π9-x）＝﹣f′（π變形可得f′（x+π3）＝﹣f（x），則有f′（x+2π3）＝﹣f′（x+π3）＝f′（x），即f′（x故f′（35π18）＝f′（-π18）＝f′（π9+π18）＝f又由f′(x)=3f(x+π6)，則f′（-故f′（35π18）＝﹣f′（-故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）已知復(fù)數(shù)z＝（1﹣i）（6+i），則（）A．z=7+5iB．|z-2|=52C．z+7為純虛數(shù) D．z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限【答案】AB【解答】解：∵z＝（1﹣i）（6+i）＝7﹣5i，∴z=7+5i，故A|z﹣2|＝|5﹣5i|=52+(-5z+7＝14﹣5i，不是純虛數(shù)，故C錯(cuò)誤；z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（7，﹣5），位于第四象限，故D錯(cuò)誤．故選：AB．（多選）10．（6分）已知點(diǎn)E（﹣2，0），F(xiàn)（2，0），A（﹣3，0），B（3，0），M（4，0），N（﹣4，0），點(diǎn)P在曲線C：(xA．曲線C由虛軸長相等的兩條雙曲線組成 B．存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)P，使得|PA|﹣|PB|＝4 C．存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)P，使得|PM|﹣|PN|＝﹣4 D．存在8個(gè)點(diǎn)P，使得|PE|+|PF|=4【答案】BCD【解答】解：由(x得x24-則曲線C由雙曲線x24-對(duì)于選項(xiàng)A，雙曲線x24-y2對(duì)于選項(xiàng)B，點(diǎn)A（﹣3，0），B（3，0）是雙曲線x24-y25=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，則存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)P對(duì)于選項(xiàng)C，點(diǎn)N（﹣4，0），M（4，0）是雙曲線x24-y212=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，則存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)P對(duì)于選項(xiàng)D，由|PE|+|PF|=42＞4=|EF|，得點(diǎn)P的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，由圖知，該橢圓與曲線C共有8個(gè)交點(diǎn)，因此存在8個(gè)點(diǎn)P，使得|PE|+|PF|=42，故選項(xiàng)D故選：BCD．（多選）11．（6分）下列判斷正確的是（）A．方程（x﹣lnx）（x﹣lnx﹣1）＝0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解 B．方程x1+x2+x3+x4+x5+x6＝10的正整數(shù)解共有126組 C．方程xex﹣lnx﹣x﹣1＝0有唯一實(shí)數(shù)解 D．方程x1+x2+x3+x4+x5+x6＝10的非負(fù)整數(shù)解共有3003組【答案】BCD【解答】解：對(duì)于A，令函數(shù)f（x）＝x﹣lnx（x＞0），求導(dǎo)得f′(x)=1-1當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）min＝f（1）＝1，因此x﹣lnx＞0，所以x﹣lnx﹣1＝0有唯一解，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將10個(gè)相同小球排成一列，用5塊隔板將10個(gè)小球分成5部分，每種分法的5個(gè)結(jié)果即為一組正整數(shù)解，共有C95=126對(duì)于C，函數(shù)g（x）＝xex﹣lnx﹣x﹣l定義域?yàn)椋?，+∞），求導(dǎo)得g′(x)=(x+1)e令函數(shù)h(x)=e函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，h(12)=e-2＜0則存在唯一實(shí)數(shù)x0∈(12，1)，使得即ex當(dāng)0＜x＜x時(shí)，h（x）＜0，即g'（x）＜0，當(dāng)x＞x0時(shí)，h（x）＞0，即g′（x）＞0，所以函數(shù)g（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，所以g(x)因此方程xex﹣lnx﹣x﹣1＝0有唯一實(shí)數(shù)解x0，故C正確；對(duì)于D，原方程化為（x1+1）+（x2+1）+（x3+1）+（x4+1）+（x5+1）+（x6+1）＝16，將16個(gè)相同小球排成一列，用5塊隔板將16個(gè)小球分成5部分，每種分法的5個(gè)結(jié)果即對(duì)應(yīng)一組非負(fù)整數(shù)解，共有c155=3003故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）若點(diǎn)A（0，2，0），B（1，3，﹣1），平面α的一個(gè)法向量為n→=（1，2，﹣2），則直線AB與平面α所成角的正弦值為5【答案】53【解答】解：由條件可得：AB→直線AB與平面α所成角的正弦值為：|AB故答案為：5313．（5分）將2個(gè)i、2個(gè)n、2個(gè)o與1個(gè)p隨機(jī)排成一排，得到一個(gè)字母串，則所得字母串恰為單詞opinion的概率為1630【答案】1630【解答】解：2個(gè)i、2個(gè)n、2個(gè)o與1個(gè)p隨機(jī)排成一排，則總排列數(shù)為A7而滿足題意的排列方式只有1種，則所得字母串恰為單詞opinion的概率為1630故答案為：163014．（5分）《九章算術(shù)?商功》中，將底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵．在塹堵ABC﹣A1B1C1中，A1B＝32，AB＝AC，則塹堵ABC﹣A1B1C1體積的最大值為66【答案】66【解答】解：設(shè)AB＝AC＝a，A1A＝b，則根據(jù)題意可得a2所以塹堵ABC﹣A1B1C1的體積為：12當(dāng)且僅當(dāng)a2＝2b2＝12時(shí)，等號(hào)成立，所以塹堵ABC﹣A1B1C1體積的最大值為66故答案為：66四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知函數(shù)f（x）＝6x+2cosx﹣1．（1）求limΔx→0（2）若函數(shù)g（x）＝xf（x）+1，求曲線y＝g（x）在點(diǎn)（0，g（0））處的切線方程．【答案】（1）6；（2）2x﹣y+1＝0．【解答】解：（1）因?yàn)閒（x）＝6x+2cosx﹣1，所以f′（x）＝6﹣2sinx，所以limΔx→0f(π+Δx)-f(π)Δx=（2）因?yàn)間（x）＝xf（x）+1＝6x2+2xcosx﹣x+1，所以g′（x）＝12x+2（cosx﹣xsinx）﹣1，所以g（0）＝1，g′（0）＝1，所以所求切線方程為y＝x+1，即為x﹣y+1＝0．16．（15分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝3n2+2n+1．（1）求a1；（2）求{an}的通項(xiàng)公式，并證明{an+1﹣2n+1}為等差數(shù)列；（3）若bn=1(2n+1)(an-2n)，求b【答案】（1）7；（2）an=7，n=1【解答】解：（1）因?yàn)閿?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝3n2+2n+1，所以a1＝S1＝3+4＝7；（2）因?yàn)镾n＝3n2+2n+1，所以當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1＝6n﹣3+2n，所以an證明：因?yàn)閍n+1﹣2n+1＝6（n+1）﹣3+2n+1﹣2n+1＝6n+3，所以an+1﹣2n+1﹣an+2n＝6，所以{an+1﹣2n+1}為等差數(shù)列；（3）由（2）可知bn=1所以b2+b3+…+b100==117．（15分）已知12名運(yùn)動(dòng)員中有5人只擅長籃球，4人只擅長足球，另外3人籃球與足球都擅長．（1）若從這12名運(yùn)動(dòng)員中選派2人，求這2人都擅長足球的選派方法種數(shù)；（2）若讓這12名運(yùn)動(dòng)員中所有擅長籃球的運(yùn)動(dòng)員排成一排拍照，求其中還擅長足球的運(yùn)動(dòng)員互不相鄰的排法種數(shù)；（3）從這12名運(yùn)動(dòng)員中選派4人參加某項(xiàng)活動(dòng)，要求這4人有2人擅長籃球，有2人擅長足球，求滿足條件的選派方法種數(shù)．【答案】（1）21；（2）14400；（3）465．【解答】解：（1）根據(jù)題意，從這12名運(yùn)動(dòng)員中選派2人，若這2人都擅長足球，在擅長足球的7人中選出2人即可，有C7（2）根據(jù)題意，共有8人擅長籃球，其中5人只擅長籃球，還擅長足球有3人，將8人排成一排，擅長足球的運(yùn)動(dòng)員互不相鄰的排法有A5（3）根據(jù)題意，分4種情況討論：①選出的4人中沒有兩項(xiàng)都擅長的運(yùn)動(dòng)員，有C5②從兩項(xiàng)都擅長的運(yùn)動(dòng)員中選出1人，有C31（C5③從兩項(xiàng)都擅長的運(yùn)動(dòng)員中選出2人，有C32（C4④從兩項(xiàng)都擅長的運(yùn)動(dòng)員中選出3人，有C3則有60+210+168+27＝465種選法．18．（17分）已知函數(shù)f（x）＝aln（x+1）+x﹣1．（1）若f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（2）討論f（x）的單調(diào)性；（3）若f（x）在(-12，7)【答案】（1）[﹣2，+∞）．（2）當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（﹣1，﹣a﹣1）上單調(diào)遞減，在（﹣a﹣1，+∞）上單調(diào)遞增．（3）(-2【解答】解：（1）因?yàn)閒（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以f′(x)=ax+1+1≥0對(duì)即a≥﹣x﹣1對(duì)x∈（1，+∞）恒成立，所以a≥﹣2，即a的取值范圍是[﹣2，+∞）．（2）由題知，f（x）的定義域?yàn)椋ī?，+∞），又f′(x)=x+a+1x+1，令f′（x）＝0，可得x＝﹣當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增．當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）＜0，得﹣1＜x＜﹣a﹣1，令f′（x）＞0，得x＞﹣a﹣1，則f（x）在（﹣1，﹣a﹣1）上單調(diào)遞減，在（﹣a﹣1，+∞）上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（﹣1，﹣a﹣1）上單調(diào)遞減，在（﹣a﹣1，+∞）上單調(diào)遞增．（3）由（2）知，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在(-1則f（x）在(-12，7)當(dāng)a＜0時(shí)，要使得f（x）在(-1則-12＜-a-1＜7且f(-1設(shè)函數(shù)g(a)=aln(-a)-a-2，-8＜a＜-1則g′（a）＝ln（﹣a），令g′（a）＝0，可得a＝﹣1，當(dāng)a∈（﹣8，﹣1）時(shí)，g′（a）＞0，g（a）單調(diào)遞增，當(dāng)a∈(-1，-12)時(shí)，g′（a）＜0，g所以g（a）的最大值為g（﹣1）＝﹣1＜0．