1.3 不等式的性質(zhì)與解法 課件-2025屆高三數(shù)學(xué)三輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)

1.3不等式的性質(zhì)與解法考點(diǎn)1不等式的性質(zhì)1.不等式的性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容注意對稱性a>b?b<a;a<b?b>a可逆?zhèn)鬟f性a>b,b>c?a>c;a<b,b<c?a<c同向可加性a>b?a+c>b+c可逆可乘性a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bcc的符號移項(xiàng)法則a+b>c?a>c-b可逆同向可加性a>b,c>d?a+c>b+d同向同向同正可乘性a>b>0,c>d>0?ac>bd同向同正可乘方性a>b>0,n∈N*?an>bn同正可開方性a>b>0?

>

(n∈N,n≥2)同正2.不等式的倒數(shù)和分?jǐn)?shù)性質(zhì)(1)倒數(shù)性質(zhì):a>b,ab>0?

<

;a<0<b?

<

.(2)分?jǐn)?shù)性質(zhì):若a>b>0,m>0,則

<

(糖水不等式);

>

(b-m>0);

>

;

<

(b-m>0).考點(diǎn)2不等式的解法1.一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0y=ax2+bx+c(a>0)的圖象

ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩個(gè)相異實(shí)根x1,x2(x1<

x2)有兩個(gè)相等實(shí)根x1=x2=-

沒有實(shí)根ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}

x

x≠-

Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??在不等式ax2+bx+c>0(a≠0)中,如果二次項(xiàng)系數(shù)a<0,則可先根據(jù)不等式的性質(zhì),將其轉(zhuǎn)化

為正數(shù),再對照上表求解.2.分式不等式的解法(1)

>0(<0)?f(x)·g(x)>0(<0);(2)

≥0(≤0)?

即練即清1.判斷正誤.(對的打“√”,錯(cuò)的打“?”)(1)若a>b,則ac2>bc2.

(

)(2)設(shè)a,b∈R,且a>b,則a3>b3.

(

)(3)設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1,x2,則不等式ax2+bx+c>0的解集不可能為{x|x1

<x<x2}.

(

)(4)不等式ax2+bx+c≤0(a≠0)的解集為空集,則函數(shù)y=ax2+bx+c無零點(diǎn).

(

)(5)若a<b<0,則

<1.

(

)×√×√×2.(人教A版必修第一冊P55·T1改編)不等式-x2+2x-4>0的解集為

(

)A.R

B.?C.{x|x>0,x∈R}

D.{x|x<0,x∈R}3.(易錯(cuò)題)已知a-b∈[0,1],a+b∈[2,4],則4a-2b的取值范圍是

(

)A.[1,5]

B.[2,7]

C.[1,6]

D.[0,9]4.(人教A版必修第一冊P43·T3改編)已知a,b∈(0,1),記M=ab,N=a+b-1,則M與N的大小關(guān)

系是

.BBM>N題型一一元二次不等式的解法1.解一元二次不等式的4個(gè)步驟

2.對含參的不等式,應(yīng)對參數(shù)進(jìn)行分類討論(1)根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類.(2)根據(jù)判別式Δ與0的關(guān)系判斷根的個(gè)數(shù).(3)有兩個(gè)根時(shí),有時(shí)還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論.典例1解關(guān)于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a∈R).解析

原不等式變形為(ax-1)(x-1)<0.當(dāng)a=0時(shí),原不等式等價(jià)于-x+1<0,即x>1.當(dāng)a>0時(shí),原不等式可化為

(x-1)<0,

注意根的大小,討論

與1的關(guān)系

當(dāng)a>1時(shí),解得

<x<1;當(dāng)a=1時(shí),解集為?;當(dāng)0<a<1時(shí),解得1<x<

.當(dāng)a<0時(shí),

<1,原不等式可化為

(x-1)>0,解得x>1或x<

.綜上,當(dāng)0<a<1時(shí),不等式的解集為

x

1<x<

,當(dāng)a=1時(shí),不等式的解集為?,當(dāng)a>1時(shí),不等式的解集為

x

<x<1

,當(dāng)a=0時(shí),不等式的解集為{x|x>1},當(dāng)a<0時(shí),不等式的解集為

x

x<

或x>1

.變式訓(xùn)練1-1

(情境模型變式)已知關(guān)于x的不等式組

的整數(shù)解的集合為{-2},則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

.

[-3,2)解析

第一步:解不含參數(shù)的一元二次不等式x2-x-2>0.由x2-x-2>0,解得x<-1或x>2.第二步:解含參數(shù)的一元二次不等式2x2+(2k+5)x+5k<0,根據(jù)根的大小對k進(jìn)行分類討論.2x2+(2k+5)x+5k<0,即(2x+5)(x+k)<0.(1)當(dāng)k=

時(shí),不等式2x2+(2k+5)x+5k<0為2x2+10x+

<0,即2

<0,所以不等式無解,不符合題意,故舍去;(2)當(dāng)k>

時(shí),由(2x+5)(x+k)<0得-k<x<-

,故不等式的解集為

,因?yàn)?

<-2,所以不符合不等式組的解集中的整數(shù)解的集合為{-2},故舍去;(3)當(dāng)k<

時(shí),由(2x+5)(x+k)<0得-

<x<-k,若需不等式組的整數(shù)解的集合為{-2},則由數(shù)軸可知-2<-k≤3,解得-3≤k<2.

綜上,實(shí)數(shù)k的取值范圍是[-3,2).題型二二次不等式恒成立問題典例2已知x∈(0,+∞),不等式9x-m·3x+m+1>0恒成立,則m的取值范圍是

(

)A.2-2

<m<2+2

B.m<2C.m<2+2

D.m>2+2

C解析

解法一:數(shù)形結(jié)合法第一步:換元后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)f(t)圖象與橫軸的位置關(guān)系.令t=3x(t>1),則由已知得,函數(shù)f(t)=t2-mt+m+1在t∈(1,+∞)上的圖象恒在橫軸的上方,第二步:根據(jù)f(t)圖象的位置列不等式(組)求解.則對于方程f(t)=0有Δ=(-m)2-4(m+1)<0或

解得m<2+2

.第一步:分離參數(shù)m.由9x-m·3x+m+1>0得m<

,第二步:用均值不等式求函數(shù)f(x)的最小值.令f(x)=

,因?yàn)閤∈(0,+∞),所以3x>1,即3x-1>0,所以f(x)=

=3x-1+

+2≥2

+2(當(dāng)且僅當(dāng)3x=1+

時(shí)取“=”),所以m<2+2

.解法二:分離參數(shù)法技巧

解二次不等式恒成立問題的3種方法:(1)分離參數(shù)法:將變量與參數(shù)分離后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題;(2)數(shù)形結(jié)合法:結(jié)合函數(shù)圖象將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的對稱軸、區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值或

函數(shù)圖象的位置(相對于x軸)關(guān)系求解.(3)主參變換法:將主元變量與參數(shù)的地位互換,將參數(shù)視為變量,將變量視為參數(shù),結(jié)合

已知條件,利用函數(shù)單調(diào)性求解.變式訓(xùn)練2-1

(關(guān)鍵元素變式)當(dāng)0≤p≤4時(shí),不等式x2+px>4x+p-3恒成立,則x的取值范

圍是(

)A.[-1,3]

B.(-∞,-1]C.[3,+∞)

D.(-∞,-1)∪(3,+∞)D解析

主參換位法不等式x2+px>4x+p-3可化為(x-1)p+x2-4x+3>0,令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3(0≤p≤4),則

∴x<-1或x>3.變式訓(xùn)練2-2

(情境模型變式)設(shè)函數(shù)f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若對任意的x∈[1,3],f(x)<-m

+5恒成立,則m的取值范圍是

.解析