專題01 不等式及不等式性質(zhì)【知識串講+8大考點】（北師大版）原卷版

專題01不等式與不等式性質(zhì)考點類型知識一遍過（一）不等式及其解集①不等式：用不等號(包括：>、、、<、≠)表示大小關(guān)系的式子。②不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫不等式的解。③不等式的解集：一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。一般來說，不等式的解集用數(shù)軸表示有以下四種情況：不等式表示數(shù)軸表示【注意】（1）不等式的解與不等式的解集的區(qū)別與聯(lián)系：①不等式的解是指滿足這個不等式的未知數(shù)的某個值。②不等式的解集是指滿足這個不等式的未知數(shù)的所有的值。③不等式的所有解組成了這個不等式的解集，不等式的解集中包括這個不等式的每一個解。（2）用數(shù)軸表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等號畫實心圓點，無等號畫空心圓點。（二）不等式的基本性質(zhì)基本性質(zhì)1：不等式兩邊同時加或減去同一個整式，不等號方向不變，即

若a>b，則a+c>b+c，a-c>b-c。

基本性質(zhì)2：不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個大于0的整式，不等號方向不變，即

若a>b,c>0，則ac>bc（或）

基本性質(zhì)3：不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個小于0的整式，不等號方向改變，即若a>b,c<0，則ac<bc（或）考點一遍過考點1：不等式的相關(guān)概念典例1：（2023上·浙江·八年級專題練習(xí)）在下列數(shù)學(xué)表達(dá)式中，不等式的個數(shù)是（）①?3<0；②a+b<0；③x=3；④x≠5；⑤x+2>y+3．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式1】（2023上·河北張家口·八年級統(tǒng)考期中）若x+y□5是不等式，則符號“□”不能是(

)A．? B．≠ C．> D．≤【變式2】（2023上·浙江·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）式子：①3<5；②4x+5>0；③x=3；④x2+x；⑤x≠4；⑥A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式3】（2023下·安徽宿州·八年級校考期中）下列式子：x?1≥1；2x+2；?2<0；x?12y=0A．2個 B．3個 C．4個 D．5個考點2：列不等式典例2：（2023上·浙江溫州·八年級校聯(lián)考期中）根據(jù)數(shù)量關(guān)系“x的2倍與y的差大于3”，列不等式：．【變式1】（2022下·福建廈門·七年級廈門市湖濱中學(xué)?？计谀┮咔槠陂g全國“停課不停學(xué)”初中生鄭興同學(xué)網(wǎng)上聽課每節(jié)課a分鐘，每天六節(jié)課，每天上網(wǎng)課總時長小于240分鐘，可列不等式．【變式2】（2022上·浙江嘉興·八年級統(tǒng)考期末）根據(jù)數(shù)量關(guān)系“x的3倍小于4”，列不等式為．【變式3】（2022下·河南平頂山·八年級?？茧A段練習(xí)）根據(jù)“a的3倍與2的差小于0”列出的不等式是：．考點3：實際問題中的不等關(guān)系典例3：（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）某高鈣牛奶的包裝盒上注明“每100g內(nèi)含鈣量≥130mg”，它的含義是指（A．每100g內(nèi)含鈣量為130mg B．每100C．每100g內(nèi)含鈣量高于130mg D．每100【變式1】（2022下·山西·八年級統(tǒng)考期中）李明乘車駛?cè)氲叵萝噹鞎r，發(fā)現(xiàn)車庫入口處有幾個標(biāo)志碼（如圖1），其中第一個標(biāo)志（如圖2）表示“限高2m”．若設(shè)車的高度為xm，則以下幾個不等式中對此標(biāo)志解釋準(zhǔn)確的是（

）A．x≥2 B．x>2 C．x≤2 D．x<2【變式2】（2022下·河南許昌·七年級統(tǒng)考期末）我市某一天的最高氣溫是9°C，最低氣溫是零下2°C，則當(dāng)天我市氣溫變化范圍t°C是（

A．2<t<9 B．2≤t≤9 C．?2<t<9 D．?2≤t≤9【變式3】（2022下·陜西商洛·七年級校考階段練習(xí)）目前新冠變異毒株“奧密克戎”肆虐全球，疫情防控形勢嚴(yán)峻．體溫T超過37.5℃的必須如實報告，并主動到發(fā)熱門診就診．體溫“超過37.5℃”用不等式表示為（

）A．T＞37.5℃ B．T＜37.5℃ C．T≤37.5℃ D．T≥37.5℃考點4：不等式的解與解集典例4：（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）下列x的值中，是不等式x>2的解的是（

）A．4 B．2 C．0 D．?3【變式1】（2022下·全國·八年級專題練習(xí)）下列說法中，正確的是（

）A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集【變式2】（2022下·江西吉安·八年級校聯(lián)考期末）不等式3（2x+5）>2（4x+3）的解集為（

）A．x>4.5 B．x<4.5 C．x=4.5 D．x>9【變式3】（2022下·安徽亳州·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）下列解集中，包括2的是（

）A．x<2 B．x≥3 C．x≤3 D．考點5：不等式解集的表示方法典例5：（2023上·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期中）不等式x<?1在數(shù)軸上表示正確的是（

）A． B．C． D．【變式1】（2023下·七年級課時練習(xí)）用不等式表示如圖所示的解集，其中正確的是（

）A．x>?3 B．x<?3 C．x>3 D．x<3【變式2】（2023下·廣東茂名·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）不等式x≥?1在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B．C． D．【變式3】（2023下·福建寧德·八年級統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的一元一次不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示，則這個不等式的解集是（

）

A．x≤1 B．x≥1 C．x<1 D．考點6：不等式性質(zhì)1的應(yīng)用典例6：（2023下·七年級課時練習(xí)）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)填空：（1）已知a>b，則a?1b?1；（2）若a?4<b?4，則ab．（填“>”“<”或“=”）【變式1】（2023下·貴州黔南·七年級統(tǒng)考期末）若x>y，則x+2y+2（填“＜”或“＞”）【變式2】（2023下·廣東河源·八年級統(tǒng)考期末）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)填空：已知a>b，則a?1b?1．【變式3】（2022上·八年級課時練習(xí)）選擇適當(dāng)?shù)牟坏忍柼羁眨海?）∵01，∴aa+1（不等式的基本性質(zhì)1）．（2）∵a?12∴a?12?2考點7：不等式性質(zhì)2、3的應(yīng)用典例7：（2022下·云南楚雄·八年級統(tǒng)考期末）如果a>b，那么?2a+13?2b+【變式1】（2022下·上海長寧·六年級上海市延安初級中學(xué)?？计谥校┤绻鹸>y，那么1?x3【變式2】（2022下·上?！ち昙壭？计谥校┤绻鸻<b<0，則3?25a3?25b（填“【變式3】（2023下·七年級課時練習(xí)）設(shè)a>b>0，c為常數(shù)，給出下列不等式：①a?b>0；②ac>bc；③1a<1b；④考點8：不等式的解與方程的解典例8：（2022下·廣東深圳·八年級深圳市福田區(qū)上步中學(xué)校考期中）不等式4(x+1)≤32的最大整數(shù)解是方程ax+7=0的解，則a=．【變式1】（2022下·安徽合肥·七年級合肥市第四十五中學(xué)?？计谥校┮阎獂=4是關(guān)于的方程kx+b=0(k≠0,b>0)的解，則關(guān)于x的不等式k(x?3)+b>0的解集是．【變式2】（2022下·江蘇泰州·七年級?？茧A段練習(xí)）已知x=3是關(guān)于x的方程mx+n=0（m≠0，n＞0）的解，則關(guān)于x的不等式m(x?3)+2n>0的解集是．【變式3】（2023下·湖北荊州·七年級統(tǒng)考期末）已知x=2是關(guān)于x的方程kx+b=0(k≠0,b>0)的解，則關(guān)于x的不等式k(x?3)+2b>0的解集是．同步一遍過一、單選題1．（2023下·福建泉州·七年級?？计谥校┤魓>y，則下列各式中，一定成立的是（

）A．x?3>y?3 B．x+3<y+3 C．?2x>?2y D．12．（2022下·四川雅安·八年級統(tǒng)考期末）a,b都是實數(shù)，且a<b．則下列不等式的變形正確的是（

）A．a(chǎn)+x>b+x B．?a+1>?b+1 C．3a>3b D．a(chǎn)3．（2023下·河北衡水·九年級?？计谥校┤绻鹠>n，那么一定有?mA．< B．> C．= D．≥4．（2023下·河北邯鄲·七年級統(tǒng)考期末）已知a>b，下列變形一定正確的是（）A．3a<3b B．4+a<4?b C．a(chǎn)c3>b5．（2022下·海南省直轄縣級單位·七年級統(tǒng)考期末）下列變形中不正確的是（

）A．由a>b，得a+c>b+c B．由a<b，得1?b>1?aC．由?x3>y，得x<?3y D．由6．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·七年級統(tǒng)考期末）已知a、b、c三點在數(shù)軸上的位置，如圖所示，則下列式子：①a+b＞c+b；②﹣ac＜﹣bc；③ab＜bc；④﹣b+a＜﹣b+c．其中正確的個數(shù)是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個7．（2022下·山東聊城·八年級統(tǒng)考期中）下列不等式的變形正確的是（

）A．若am>bm,則a>b B．若am2C．若a>b,則am2>bm2 D．若8．（2022下·山西太原·八年級統(tǒng)考期中）在不等式?6x>3的兩邊同時除以-6，得到的不等式為（

）A．x<?12 B．x>?12 C．9．（2022上·湖北咸寧·七年級統(tǒng)考期末）如圖，有理數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列各數(shù)中，大小一定在0至1之間的是（

）

A．a(chǎn) B．a(chǎn)+1 C．a(chǎn)?1 D．10．（2022下·福建泉州·七年級校聯(lián)考期中）定義：對于任意數(shù)a，符號a表示不大于a的最大整數(shù)，例如：5.8=5，10=10，?π=?4．若a=A．a(chǎn)≥?6 B．?6≤a＜?5 C．?6＜a＜?5 D．?7＜a≤?6二、填空題11．（2022上·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）用不等式表示：y的3倍與1的和大于8；．12．（2022上·四川綿陽·八年級開學(xué)考試）已知m>n,a為任意有理數(shù),則?(3a?5m)?(3a?5n)13．（2022下·甘肅武威·七年級階段練習(xí)）若a<0，則比較大?。?a7a．14．（2023下·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料：因為4<5<9，即2<5<3，所以5的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為5?2，若規(guī)定實數(shù)m的整數(shù)部分記為m，小數(shù)部分記為m，可得：515．（2022下·八年級課時練習(xí)）k的值大于﹣1且不大于3，則用不等式表示k的取值范圍是．（使用形如a≤x≤b的類似式子填空．）16．（2022下·七年級統(tǒng)考課時練習(xí)）用“>”或“<”填空：（1）如果ab>1，b>0，那么a（2）如果ab<1，b>0，那么a（3）如果ab<1，b<0，那么a（4）當(dāng)a>b，b0時，或者a<0，b0時，有ab>0．三、解答題17．（2022上·八年級課時練習(xí)）根據(jù)下列數(shù)量關(guān)系列不等式：(1)a是正數(shù)．(2)y的2倍與6的和比1?。?3)x2(4)設(shè)a，b，c為一個三角形的三條邊長，兩邊之和大于第三邊．18．（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）說出下列不等式的變形依據(jù)．(1)若x+2>3，則x>1；(2)若2x>?3，則x>?3(3)若?3x>4，則x<?419．（2023下·全國·八年級專題練習(xí)）已知x＜y，比較下列各對數(shù)的大?。?）8x-3和8y-3；

（2）?56x+1和（3）x-2和y-1．20．（2022下·八年級統(tǒng)考課時練習(xí)）（1）通過計算比較下列各組數(shù)中兩個數(shù)的大小．12________21；23________32；34________43；45由以上結(jié)果可以猜想nn+1與(n+1)（2）根據(jù)以上猜想，你能判斷20032004與200421．（2023下·全國·七年級專題練習(xí)）閱讀下列文字，并解決問題：不等式的性質(zhì)與等式的性質(zhì)有類似之處，也有不同之處：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個數(shù)時，要關(guān)注所乘（或除以）的數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)．若該數(shù)的符號不能確定，則需分類討論．如，將關(guān)于x的不等式mx>2化成“x>a”或“x<a”的形式(m≠0)．解：因為m≠0，所以有m>0和m<0兩種可能．當(dāng)m>0時，不等式的兩邊都除以正數(shù)m，不等號的方向不變，得mxm>2當(dāng)m<0時，不等式的兩邊都除以負(fù)數(shù)m，不等號的方向改變，得mxm<2請用類似的方法將關(guān)于x的不等式nx+5<1n≠0化成“x>a”或“x<a22．（2023下·福建福州·七年級統(tǒng)考期末）已知a,b,c都是實數(shù)，若a=c?3,b>c．求證：b>a+2b23．（2022下·河南濮陽·八年級校聯(lián)考期末）閱讀材料：小明對不等式的有關(guān)知識進(jìn)行了自主學(xué)習(xí)，他發(fā)現(xiàn)，對于任意兩個實數(shù)a和b比較大小，有如下規(guī)律：若a?b>0，則a>b；若a?b=0，則a=b；若a?b<0，則a<b.上面的規(guī)律反過來也成立．課上，通過與老師和其他同學(xué)的交流，驗證了上面的規(guī)律是正確的．參考小明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解決問題：(1)比較大小：3+5_______10+5；(填“<”，“=”或“(2)已知2y?2=x，且x≥0，若A=5xy+y+1，B