四川省成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

四川省成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式可以為（

）A． B．C． D．2．已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為2，則（

）A．0 B． C．1 D．23．在等比數(shù)列{an}中，an>0，且a1+a2=1，a3+a4=9，則a4+a5的值為（

）A．16 B．27C．36 D．814．對(duì)函數(shù)求導(dǎo)正確的是（

）A． B． C． D．5．已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．7．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．8．，則（

）A． B．C． D．二、多選題9．若公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A． B．C． D．10．已知數(shù)列滿足，則（

）A． B．的前n項(xiàng)和為C．的前100項(xiàng)和為100 D．的前30項(xiàng)和為35711．設(shè)，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則三、填空題12．已知函數(shù)，則.13．已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．14．已知數(shù)列滿足，若不等式對(duì)任意的都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題15．如圖，在幾何體中，四邊形為正方形，平面，，，，.(1)證明：.(2)求平面與平面夾角的余弦值.16．已知數(shù)列是等比數(shù)列，公比，前項(xiàng)和為，若，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，試求數(shù)列的前項(xiàng)和.17．已知函數(shù).（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性.18．已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上一點(diǎn)滿足，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作曲線的兩條切線，，其中為切點(diǎn)．(1)求拋物線的方程；(2)求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)；(3)求面積的最小值．19．若無(wú)窮數(shù)列滿足：對(duì)于，，其中A為常數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列為“A數(shù)列”．(1)若等比數(shù)列為“A數(shù)列”，求的公比q；(2)若數(shù)列為“A數(shù)列”，且，．①求證：；②若，且是正項(xiàng)數(shù)列，，求滿足不等式的的最小值．

參考答案1．【答案】B【分析】根據(jù)題意逐一檢驗(yàn)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：令，可得，不合題意；對(duì)于選項(xiàng)B：代入檢驗(yàn)均可，符合題意；對(duì)于選項(xiàng)C：令，可得，不合題意；對(duì)于選項(xiàng)D：令，可得，不合題意；故選B.2．【答案】C【詳解】.故選C.3．【答案】B【詳解】∵a1+a2=1，a3+a4=9，∴q2=9.∴q=3（q=-3舍去），∴a4+a5=（a3+a4）q=27.故選B4．【答案】D【詳解】依題意，.故選D5．【答案】D【詳解】因?yàn)椋?，上述各式相乘得，因?yàn)?，所以，?jīng)檢驗(yàn)，滿足，所以.故選D.6．【答案】B【分析】利用的圖象分析的正負(fù)情況，從而分類(lèi)討論即可得解.【詳解】由圖象可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；而等價(jià)于①，或②，由①得或，則，由②得，則，綜上，.故選B.7．【答案】A【詳解】由題意知，，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，則，整理，得，等式兩邊同時(shí)除以，得，又，所以數(shù)列是以6為首項(xiàng)，5為公差的等差數(shù)列，有，則，所以.故選A.8．【答案】D【詳解】令，，則，所以當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，所以，即，即，即，令，則，在時(shí)，，則為減函數(shù)，∴，即；令，，則，故在為減函數(shù)，∴，即；∴，令，則，即，∴，所以．故選D．9．【答案】AD【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，由題有，解得，所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B不正確，又，由，得到，所以是數(shù)列前項(xiàng)和的最小值，故選項(xiàng)C不正確，選項(xiàng)D正確，故選AD.10．【答案】AD【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得：，所以，顯然當(dāng)時(shí)，滿足，故，故A正確；由等差數(shù)列求和公式知的前項(xiàng)和為，故B錯(cuò)誤；令，的前100項(xiàng)和為：，故C錯(cuò)誤；令，所以的前30項(xiàng)和為：，故D正確.故選AD.11．【答案】ABD【詳解】令，，由，可得：，由，可得：，可得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，即；對(duì)于A，∵，∴，而函數(shù)是增函數(shù)，∴，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，令函數(shù)，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，可得，∴，故B正確；對(duì)于C，由，可得，即，可得：，∴，即，而函數(shù)，求得在有正有負(fù)，所以在上不是增函數(shù)，故C不正確；對(duì)于D，，即，易知函數(shù)在上是增函數(shù)，∴，故D正確，故選ABD.12．【答案】【詳解】，則，故，解得，，所以.13．【答案】【詳解】因?yàn)椋?，可得，所以要使函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則區(qū)間是區(qū)間的子區(qū)間，所以，求解不等式組可得：，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案是：.14．【答案】【詳解】由，，可得，整理得，，所以數(shù)列表示首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列.，則，又由恒成立，即，對(duì)恒成立，令，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，得，所以.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.15．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫矫?，所?因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以，因?yàn)槠矫妫云矫?，又因平面，所?（2）由題意以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則，，，，.設(shè)平面的法向量是，則，取，可得，易得是平面ABCD的一個(gè)法向量，則，故平面PBQ與平面ABCD夾角的余弦值為.【方法總結(jié)】向量法求兩個(gè)平面的夾角：首先求出兩個(gè)平面的法向量m，n，再代入公式cosα＝±(其中m，n分別是兩個(gè)平面的法向量，α是兩個(gè)平面的夾角)求解．16．【答案】（1）（2）【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題意得，解得或者（舍），所以，所以；（2），所以，，兩項(xiàng)作差可得，所以17．【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，則，又，所以在點(diǎn)處的切線方程為.（2）由，，則，當(dāng)時(shí)，，由，得；由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，得或，當(dāng)時(shí)，，由，得或；由，得，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，由，得或；由，得，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.18．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析；(3).【詳解】（1）由題意，得，所以拋物線方程為.（2）設(shè)，，，由，得，故切線：，即，同理可得切線：，在兩條切線上，則，所以直線，即，因?yàn)?，故，故直線恒過(guò)定點(diǎn).（方法二）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，聯(lián)立，得

，設(shè)，，，，，，由，得，故切線，即，同理切線，聯(lián)立得，故，代入直線，得，直線，所以恒過(guò)定點(diǎn)當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性可知，直線，也過(guò)定點(diǎn)，綜上，直線恒過(guò)定點(diǎn).（3）聯(lián)立，得，由韋達(dá)定理可得，，

到直線的距離，

，當(dāng)時(shí)，的最小值為.（方法二）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線，，到直線距離為8，，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，，所以到直線的距離，

，，當(dāng)時(shí)，的最小值為3，故，所以的面積的最小值為.19．【答案】(1)(2)①證明見(jiàn)詳解；②1【詳解】（1）因?yàn)榈缺葦?shù)列為“A數(shù)列”，則，即，可得，若上述方程對(duì)任意恒成立，則，且為定值，所以的公比.（2）由題意可知：，且，則數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，可得，即.①因?yàn)?，若，則；若，則；若，則，可得；綜上所述：；②因?yàn)椋沂钦?xiàng)數(shù)列，則，即，可得，若對(duì)任意恒成立，即，令，可得，可得，且，則，若，可得，又因?yàn)椋傻?，所以符合題意；若對(duì)任意恒成立，即，令，可得，可得，若，可得，又因?yàn)椋傻?，，可得，所以符合題意；綜上所述：的最小值1.【思路導(dǎo)引】