高考數(shù)學(xué) 重難點(diǎn)題型歸納-第30講 排列組合12種題型歸納（解析版）

Page第30講排列組合12類【題型一】人坐座位模型1：捆綁與插空【典例分析】1.有四男生，三女生站一排，其中只有倆個(gè)女生相鄰:2.有四男生，4女生站一排，女生若相鄰，則最多2個(gè)女生相鄰：解答（1）：先捆綁倆女生，再排列捆綁女生，然后排列四個(gè)男生，兩個(gè)“女生”插孔即可，（2）分類討論【方法技巧】人坐座位模型：特征：1.一人一位；2、有順序；3、座位可能空；4、人是否都來(lái)坐，來(lái)的是誰(shuí)；5、必要時(shí)，座位拆遷，剩余座位隨人排列。主要典型題：1.捆綁法;2.插空法；3.染色。出現(xiàn)兩個(gè)實(shí)踐重疊，必要時(shí)候，可以使用容斥原理來(lái)等價(jià)處理：容斥原理【變式演練】1.在某班進(jìn)行的歌唱比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能連著出場(chǎng)，且女生甲不能排在第一個(gè)，那么出場(chǎng)順序的排法種數(shù)為A．30 B．36 C．60 D．72【答案】C【分析】記事件位男生連著出場(chǎng)，事件女生甲排在第一個(gè)，利用容斥原理可知所求出場(chǎng)順序的排法種數(shù)為，再利用排列組合可求出答案．【詳解】記事件位男生連著出場(chǎng)，即將位男生捆綁，與其他位女生形成個(gè)元素，所以，事件的排法種數(shù)為，記事件女生甲排在第一個(gè)，即將甲排在第一個(gè)，其他四個(gè)任意排列，所以，事件的排法種數(shù)為，事件女生甲排在第一位，且位男生連著，那么只需考慮其他四個(gè)人，將位男生與其他個(gè)女生形成三個(gè)元素，所以，事件的排法種數(shù)為種，因此，出場(chǎng)順序的排法種數(shù)種，故選C．2.某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是（

）A．144 B．120 C．72 D．48【答案】B【分析】先求出只有3個(gè)歌舞類節(jié)目不相鄰的方法，然后求出3個(gè)歌舞類節(jié)目不相鄰且2個(gè)小品類節(jié)目相鄰的排法，相減可得．【詳解】先考慮只有3個(gè)歌舞類節(jié)目不相鄰，排法有種，再考慮3個(gè)歌舞類節(jié)目不相鄰，2個(gè)小品類節(jié)目相鄰的排法有：，因此同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是．故選：B．3.2021年4月15日，是第六個(gè)全民國(guó)家安全教育日，教育廳組織宣講團(tuán)到某市的六個(gè)不同高校進(jìn)行國(guó)家安全知識(shí)的宣講，時(shí)間順序要求是：高校甲必須排在第二或第三個(gè)，且高校甲宣講結(jié)束后需立即到高校丁宣講，高校乙?高校丙的宣講順序不能相鄰，則不同的宣講順序共有（

）A．28種 B．32種 C．36種 D．44種【答案】B【分析】由題意，對(duì)高校甲排在第二或第三個(gè)進(jìn)行分類討論，接著考慮乙和丙的排法，最后考慮其他兩所高校的排法，綜合利用分類和分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行分析即可.【詳解】根據(jù)題意：分成以下兩種情況進(jìn)行分類討論高校甲排在第二個(gè)時(shí)，高校丁必排在第三個(gè)，當(dāng)乙或丙排在第一個(gè)時(shí)共有種排法，當(dāng)乙或丙不排在第一個(gè)時(shí)，乙和丙只能排在第四個(gè)和第六個(gè)，此時(shí)共有種排法，所以高校甲排在第二個(gè)時(shí)共有16種排法；高校甲排在第三個(gè)時(shí)，高校丁必排在第四個(gè)，乙或丙只能一個(gè)排在第一二個(gè)，一個(gè)排在第五六個(gè)，則共有種排法；綜上：共有32種排法滿足題意.故選：B.【題型二】人坐座位模型2：染色（平面）【典例分析】如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只能涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則A、C區(qū)域顏色不相同的概率是A.1/7b.2/7c.3/7D.4/7答案：D【方法技巧】染色問(wèn)題：1.用了幾種顏色2.盡量先從公共相鄰區(qū)域開始?！咀兪窖菥殹?.正方體六個(gè)面上分別標(biāo)有A、B、C、D、E、F六個(gè)字母，現(xiàn)用5種不同的顏色給此正方體六個(gè)面染色，要求有公共棱的面不能染同一種顏色，則不同的染色方案有（

）種.A．420 B．600 C．720 D．780【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)面的顏色是否相同，分①三對(duì)面染相同的顏色、②兩對(duì)面染相同顏色，另一對(duì)面染不同顏色、③一對(duì)面染相同顏色，另兩對(duì)面染不同顏色，分別求出不同的染色方案，最后加總即可.【詳解】分三類：1、若三對(duì)面染相同的顏色，則有種；2、若兩對(duì)面染相同顏色，另一對(duì)面染不同顏色，則有種；3、若一對(duì)面染相同顏色，另兩對(duì)面染不同顏色，則有種；∴共有種.故選：D2.如圖，某傘廠生產(chǎn)的太陽(yáng)傘的傘篷是由太陽(yáng)光的七種顏色組成，七種顏色分別涂在傘篷的八個(gè)區(qū)域內(nèi)，且恰有一種顏色涂在相對(duì)區(qū)域內(nèi)，則不同顏色圖案的此類太陽(yáng)傘最多有（

）.A．40320種 B．5040種 C．20160種 D．2520種【答案】D【解析】【分析】先從7種顏色中任意選擇一種，涂在相對(duì)的區(qū)域內(nèi)，再將剩余的6種顏色全部涂在剩余的6個(gè)區(qū)域內(nèi)，結(jié)合圖形的對(duì)稱性，即可求解.【詳解】先從7種顏色中任意選擇一種，涂在相對(duì)的區(qū)域內(nèi)，有種方法，再將剩余的6種顏色全部涂在剩余的6個(gè)區(qū)域內(nèi)，共有種方法，由于圖形是軸對(duì)稱圖形，所以上述方法正好重復(fù)一次，所以不同的涂色方法，共有種不同的涂法.故選：D.3.如圖，用四種不同的顏色給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有（

）A．192 B．336 C．600 D．以上答案均不對(duì)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合計(jì)數(shù)原理，先排E，F(xiàn)，G，然后根據(jù)A，B，C，D的情況討論．【詳解】解：E，F(xiàn)，G分別有4，3，2種方法，當(dāng)A與F相同時(shí)，A有1種方法，此時(shí)B有2種，若與F相同有C有1種方法，同時(shí)D有3種方法，若C與F不同，則此時(shí)D有2種方法，故此時(shí)共有：種方法；當(dāng)A與G相同時(shí)，A有1種方法，此時(shí)B有3種方法，若C與F相同，C有1種方法，同時(shí)D有2種方法，

若C與F不同，則D有1種方法，

故此時(shí)共有：種方法；當(dāng)A既不同于F又不同于G時(shí)，A有1種方法，若B與F相同，則C必須與A相同，同時(shí)D有2種方法；若B不同于F，則B有1種方法，Ⅰ若C與F相同則C有1種方法同時(shí)D有2種方法；Ⅱ若C與F不同則必與A相同，C有1種方法，同時(shí)D有2種方法；故此時(shí)共有：種方法；綜上共有種方法．故選：C．【題型三】人坐座位模型3：染色（空間）:【典例分析】如圖所示的幾何體由三棱錐與三棱柱組合而成，現(xiàn)用種不同顏色對(duì)這個(gè)幾何體的表面涂色(底面不涂色)，要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有（

）A．種 B．種C．種 D．種【答案】C【解析】三棱錐三個(gè)側(cè)面的顏色各不相同，先進(jìn)行染色，然后再給三棱柱的側(cè)面染色，保證組合體中相鄰的側(cè)面顏色不同即可.【詳解】先涂三棱錐的三個(gè)側(cè)面，有種情況，然后涂三棱柱的三個(gè)側(cè)面，有種情況，共有種不同的涂法．故選：C．【方法技巧】空間幾何體，可以“拍扁”，轉(zhuǎn)化為平面圖形【變式演練】1.如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法種數(shù)是()A．420 B．210 C．70 D．35【答案】A【解析】【分析】將不同的染色方案分為：相同和不同兩種情況，相加得到答案.【詳解】按照的順序：當(dāng)相同時(shí)：染色方案為當(dāng)不同時(shí)：染色方案為不同的染色方案為：種故答案為A2.在如圖所示的十一面體中，用種不同顏色給這個(gè)幾何體各個(gè)頂點(diǎn)染色，每個(gè)頂點(diǎn)染一種顏色，要求每條棱的兩端點(diǎn)異色，則不同的染色方案種數(shù)為__________．【答案】6【解析】【詳解】分析：首先分析幾何體的空間結(jié)構(gòu)，然后結(jié)合排列組合計(jì)算公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：空間幾何體由11個(gè)頂點(diǎn)確定，首先考慮一種涂色方法：假設(shè)A點(diǎn)涂色為顏色CA，B點(diǎn)涂色為顏色CB，C點(diǎn)涂色為顏色CC，由AC的顏色可知D需要涂顏色CB，由AB的顏色可知E需要涂顏色CC，由BC的顏色可知F需要涂顏色CA，由DE的顏色可知G需要涂顏色CA，由DF的顏色可知I需要涂顏色CC，由GI的顏色可知H需要涂顏色CB，據(jù)此可知，當(dāng)△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的顏色確定之后，其余點(diǎn)的顏色均為確定的，用三種顏色給△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)涂色的方法有種，故給題中的幾何體染色的不同的染色方案種數(shù)為6.3.用五種不同顏色給三棱臺(tái)的六個(gè)頂點(diǎn)染色，要求每個(gè)點(diǎn)染一種顏色，且每條棱的兩個(gè)端點(diǎn)染不同顏色.則不同的染色方法有___________種.【答案】1920.【解析】【詳解】分析：分兩步來(lái)進(jìn)行，先涂，再涂，然后分若5種顏色都用上、若5種顏色只用4種、若5種顏色只用3種這三種情況，分別求得結(jié)果，再相加，即可得結(jié)果.詳解：分兩步來(lái)進(jìn)行，先涂，再涂.第一類：若5種顏色都用上，先涂，方法有種，再涂中的兩個(gè)點(diǎn)，方法有種，最后剩余的一個(gè)點(diǎn)只有2種涂法，故此時(shí)方法共有種；第二類：若5種顏色只用4種，首先選出4種顏色，方法有種；先涂，方法有種，再涂中的一個(gè)點(diǎn)，方法有3種，最后剩余的兩個(gè)點(diǎn)只有3種涂法，故此時(shí)方法共有種；第三類：若5種顏色只用3種，首先選出3種顏色，方法有種；先涂，方法有種，再涂，方法有2種，故此時(shí)方法共有種；綜上可得，不同涂色方案共有種，故答案是1920.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)排列組合的綜合題，在解題的過(guò)程中，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有分步計(jì)數(shù)乘法原理和分類計(jì)數(shù)加法原理，要認(rèn)真分析題的條件，列式求得結(jié)果.【題型四】書架插書模型【典例分析】有12名同學(xué)合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是（

）A．168 B．260 C．840 D．560【答案】C【分析】先從后排8人中抽2人，把抽出的2人插入前排保證前排人順序不變可用倍縮法，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】解：從后排8人中抽2人有種方法；將抽出的2人調(diào)整到前排，前排4人的相對(duì)順序不變有種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：共有種，故選：C.【方法技巧】（1）書架上原有書的順序不變；（2）新書要一本一本插；【變式演練】1.從A，B，C，D，a，b，c，d中任選5個(gè)字母排成一排，要求按字母先后順序排列（即按先后順序，但大小寫可以交換位置，如或都可以），這樣的情況有__________種．（用數(shù)字作答）【答案】160【分析】先根據(jù)A、B、C、D選取的個(gè)數(shù)分為四類：第一類:A、B、C、D中取四個(gè)，a、b、c、d中取一個(gè)；第二類:A、B、C、D中取三個(gè)，a、b、c、d中取二個(gè)；第三類:A、B、C、D中取二個(gè),a、b、c、d中取三個(gè)；第四類:A、B、C、D中取一個(gè),a、b、c、d中取四個(gè).【詳解】分為四類情況：第一類：在A、B、C、D中取四個(gè)，在a、b、c、d中取一個(gè)，共有；第二類：在A、B、C、D中取三個(gè)，在a、b、c、d中取兩個(gè)，分兩種情況：形如AaBbC(大小寫有兩個(gè)字母相同)共有，形如AaBCd（大小寫只有一個(gè)字母相同）共有；第三類：在A、B、C、D中取兩個(gè)，在a、b、c、d中取三個(gè)，取法同第二類情況；第四類：在A、B、C、D中取一個(gè)，在a、b、c、d中取四個(gè)，取法同第一類情況；所以共有：2(8++)=1602.．在一張節(jié)目表上原有6個(gè)節(jié)目，如果保持這些節(jié)目的相對(duì)順序不變，再添加進(jìn)去三個(gè)節(jié)目，求共有多少種安排方法【答案】504.【分析】由題意知添加的三個(gè)節(jié)目且保持這些節(jié)目的相對(duì)順序不變，有三類辦法排進(jìn)去，三個(gè)節(jié)目連排，三個(gè)節(jié)目互不相鄰，有且僅有兩個(gè)節(jié)目連排，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．【詳解】解：添加的三個(gè)節(jié)目有三類辦法排進(jìn)去①三個(gè)節(jié)目連排，有C71A33種方法；②三個(gè)節(jié)目互不相鄰，有A73種方法；③有且僅有兩個(gè)節(jié)目連排，有C31C71C61A22種方法．根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有C71A33+A73+C31C71C61A22＝504種，答：共有504種安排方法．3.書架上有排好順序的6本書，如果保持這6本書的相對(duì)順序不變，再放上3本書，則不同的放法共有（

）.A．210種 B．252種 C．504種 D．505種【答案】C【分析】可看成一共有9本書，9個(gè)位置，將3本書排列到這9個(gè)位置中的3個(gè)位置即可.【詳解】可轉(zhuǎn)換為將3本書排列到所有的9本書中的其中3個(gè)位置上.共種情況.故選：C【題型五】球放盒子模型1：球不同，盒子也不同【典例分析】已知有5個(gè)不同的小球，現(xiàn)將這5個(gè)球全部放入到標(biāo)有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)盒子中，若裝有小球的盒子的編號(hào)之和恰為11，則不同的放球方法種數(shù)為（

）A．150 B．240 C．390 D．1440【答案】C【分析】分析可得可以將5個(gè)球放到編號(hào)2、4、5的三個(gè)盒子中或者放到編號(hào)1、2、3、5的四個(gè)盒子中，分別計(jì)算每種放球方法種數(shù)，再利用分類相加計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榛蛩?個(gè)球放到編號(hào)2、4、5的三個(gè)盒子中或者放到編號(hào)1、2、3、5的四個(gè)盒子中（1）5個(gè)球放到編號(hào)2、4、5的三個(gè)盒子中，因?yàn)槊總€(gè)盒子中至少放一個(gè)小球，所以在三個(gè)盒子中有兩種方法：各放1個(gè)，2個(gè)，2個(gè)的方法有種.各放3個(gè)，1個(gè)，1個(gè)的方法有種.（2）5個(gè)球放到編號(hào)1、2、3、5的四個(gè)盒子中，則各放2個(gè)，1個(gè)，1個(gè)，1個(gè)的方法有種.綜上，總的放球方法數(shù)為種.故選：C【方法技巧】球不同，盒子不同（主要的）方法技巧：無(wú)限制，指數(shù)冪形式，，有限制“先分組再排列”分類討論【變式演練】1.將5個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少1個(gè)球，至多2個(gè)球，則不同的放法種數(shù)有（）A．30種 B．90種 C．180種 D．270種【答案】B【分析】對(duì)三個(gè)盒子進(jìn)行編號(hào)1，2，3，則每個(gè)盒子裝球的情況可分為三類：1，2，2；2，1，2；2，2，1；且每一類的放法種數(shù)相同.【詳解】先考慮第一類，即3個(gè)盒子放球的個(gè)數(shù)為：1，2，2，則第1個(gè)盒子有：，第2個(gè)盒子有：，第3個(gè)盒子有：，第一類放法種數(shù)為，不同的放法種數(shù)有.2.將編號(hào)分別為1，2，3，4，5的5個(gè)小球分別放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子都不空，則每個(gè)盒子中所放小球的編號(hào)奇偶性均不相同的概率為A． B． C． D．【答案】C【分析】先判斷奇偶性不同則只能是2,2,1，再計(jì)算概率【詳解】由題知，要求每個(gè)盒子都不空，則3個(gè)盒子中放入小球的個(gè)數(shù)可分別為3,1,1或2,2,1,若要求每個(gè)盒子中小球編號(hào)的奇偶性不同則只能是2,2,1，且放入同一盒子中的兩個(gè)小球必須是編號(hào)為一奇一偶，故所求概率為故答案選C3.將A，B，C，D四個(gè)小球放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，若每個(gè)盒子中至少放一個(gè)球且A，B不能放入同一個(gè)盒子中，則不同的放法種數(shù)為（

）A．15 B．30 C．20 D．42【答案】B【分析】按照放入同一盒子的球進(jìn)行分類，最后由分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【詳解】當(dāng)放入一個(gè)盒子的是時(shí)，有種不同的放法當(dāng)放入一個(gè)盒子的是時(shí)，有種不同的放法當(dāng)放入一個(gè)盒子的是時(shí)，有種不同的放法當(dāng)放入一個(gè)盒子的是時(shí)，有種不同的放法當(dāng)放入一個(gè)盒子的是時(shí)，有種不同的放法則共有種不同的放法故選：B【題型六】球放盒子模型2：球相同，盒子不同【典例分析】把1995個(gè)不加區(qū)別的小球分別放在10個(gè)不同的盒子里，使得第個(gè)盒子中至少有個(gè)球（），則不同放法的總數(shù)是A． B． C． D．【答案】D【詳解】先在第個(gè)盒里放入個(gè)球，，即第1個(gè)盒里放1個(gè)球，第2個(gè)盒里放2個(gè)球，…，這時(shí)共放了個(gè)球，還余下個(gè)球.故轉(zhuǎn)化為把1940個(gè)球任意放入10個(gè)盒子里（允許有的盒子里不放球）.把這1940個(gè)球用9塊隔板隔開，每一種隔法就是一種球的放法，1940個(gè)球連同9塊隔板共占有1949個(gè)位置，相當(dāng)于從1949個(gè)位置中選9個(gè)位置放隔板，有種放法.選D.【方法技巧】球相同，盒子不同方法技巧：擋板法【變式演練】1.將7個(gè)相同的球放入4個(gè)不同的盒子中，則每個(gè)盒子都有球的放法種數(shù)為（

）A．22 B．25 C．20 D．48【答案】C【分析】將7個(gè)相同的球放入4個(gè)不同的盒子中，即把7個(gè)相同的球分成4組，不妨將7個(gè)球擺成一排，中間形成6個(gè)空，只需在這6個(gè)空插入3個(gè)隔板將它們隔開，即分成4組，據(jù)此即可的解.【詳解】解：將7個(gè)相同的球放入4個(gè)不同的盒子中，即把7個(gè)相同的球分成4組，因?yàn)槊總€(gè)盒子都有球，所以每個(gè)盒子至少又一個(gè)球，不妨將7個(gè)球擺成一排，中間形成6個(gè)空，只需在這6個(gè)空插入3個(gè)隔板將它們隔開，即分成4組，不同插入方法共有種，所以每個(gè)盒子都有球的放法種數(shù)為20.故選：C.2.把20個(gè)相同的小球裝入編號(hào)分別為①②③④的4個(gè)盒子里，要求①②號(hào)盒每盒至少3個(gè)球，③④號(hào)盒每盒至少4個(gè)球，共有種方法.A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)四個(gè)盒子中裝的小球個(gè)數(shù)分別為，，，，則，要求①②號(hào)盒每盒至少3個(gè)球，③④號(hào)盒每盒至少4個(gè)球，令，，，，則，，，都大于或等于1，且，問(wèn)題相當(dāng)于將10個(gè)球分成四部分，使用“隔板法”即可【詳解】設(shè)四個(gè)盒子中裝的小球個(gè)數(shù)分別為，，，，則，要求①②號(hào)盒每盒至少3個(gè)球，③④號(hào)盒每盒至少4個(gè)球，令，，，，則，，，都大于或等于1，且，問(wèn)題相當(dāng)于將10個(gè)球分成四部分，在10個(gè)球的9個(gè)間隔里選三個(gè)隔開，有種方法，故選擇A【點(diǎn)睛】在排列組合中，對(duì)于將不可分辨的球裝入到可以分辨的盒子中，每盒至少一個(gè)，求方法數(shù)的問(wèn)題，常用隔板法．實(shí)際運(yùn)用隔板法解題時(shí)，在確定球數(shù)、如何插隔板等問(wèn)題上形成了一些技巧．3.將7個(gè)相同的小球放入，，三個(gè)盒子，每個(gè)盒子至少放一球，共有（

）種不同的放法．A．60種 B．36種 C．30種 D．15種【答案】D【分析】7個(gè)小球有6個(gè)空，采用插空法可求.【詳解】將7個(gè)小球分成三組即可，可采用插空法，7個(gè)小球有6個(gè)空，則有種不同的方法.故選：D.【題型七】相同元素排列模型1：數(shù)字化法【典例分析】如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓才加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為A.24B.18C.12D.9【答案】B解答：向右走，記為數(shù)字1，向上走，記為數(shù)字2.E到F:向右兩個(gè)，向上兩個(gè)，相當(dāng)于1，1，2，2四個(gè)數(shù)字排列：同理F到G，相當(dāng)于2，1，1排列故答案：B【方法技巧】數(shù)字化法：標(biāo)記元素為數(shù)字或字母，重新組合，特別適用于“相同元素”，可以和擋板法配合使用【變式演練】1.一只小蜜蜂位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個(gè)單位或者兩個(gè)單位距離的能力，且每次飛行至少一個(gè)單位.若小蜜蜂經(jīng)過(guò)5次飛行后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)3位于的點(diǎn)處，則小蜜蜂不同的飛行方式有多少種？A．5 B．25 C．55 D．75【答案】D【詳解】由題意知：小蜜蜂經(jīng)過(guò)5次飛行后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)3位于的點(diǎn)處，共有以下四種情形：一、小蜜蜂在5次飛行中，有4次向正方向飛行，1次向負(fù)方向飛行，且每次飛行一個(gè)單位，共有種情況；二、小蜜蜂在5次飛行中，有3次向正方向飛行每次飛行一個(gè)單位，1次向正方向飛行，且每次飛行兩個(gè)單位，1次向負(fù)方向飛行，且每次飛行兩個(gè)單位，共有種情況；三、小蜜蜂在5次飛行中，有1次向正方向飛行每次飛行一個(gè)單位，2次向正方向飛行，且每次飛行兩個(gè)單位，2次向負(fù)方向飛行，且每次飛行一個(gè)單位，共有種情況；四、小蜜蜂在5次飛行中，有3次向正方向飛行每次飛行兩個(gè)單位，有1次向負(fù)方向飛行且飛行兩個(gè)單位，有1次向負(fù)方向飛行且飛行一個(gè)單位，共有種情況；故而共有種情況，故選：D．2.跳格游戲：如圖，人從格子外只能進(jìn)入第1個(gè)格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人從格子外跳到第8個(gè)格子的方法種數(shù)為A．8種 B．13種 C．21種 D．34種【答案】C【詳解】解：設(shè)跳到第n格的方法有an，則達(dá)到第n格的方法有兩類，①是向上跳一格到達(dá)第n格，方法數(shù)為an-1，②向上跳2格到達(dá)第n格，方法數(shù)是an-2，則an=an-1+an-2，有數(shù)列的遞推關(guān)系得到數(shù)列的前8項(xiàng)分別是1，1，2，3，5，8，13，21∴跳到第8格的方法數(shù)是21，故選C．3.如圖所示，甲?乙兩人同時(shí)出發(fā)，甲從點(diǎn)到，乙從點(diǎn)到，且每人每次都只能向上或向右走一格.則甲?乙的行走路線沒(méi)有公共點(diǎn)的概率為（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出甲從點(diǎn)到，乙從點(diǎn)到總的路徑的對(duì)數(shù)，再計(jì)算甲從點(diǎn)到，乙從點(diǎn)到的相交路徑的對(duì)數(shù)，其等于甲從點(diǎn)到，乙從點(diǎn)到相交路徑的對(duì)數(shù)，進(jìn)而可得甲?乙的行走路線沒(méi)有公共點(diǎn)的路徑的對(duì)數(shù)，再由古典概率公式即可求解.【詳解】首先考慮甲從點(diǎn)到，乙從點(diǎn)到總的路徑的對(duì)數(shù)，甲從點(diǎn)到，需要向上走步，向右走步，共步，所以甲從點(diǎn)到有種方法；乙從點(diǎn)到，需要向上走步，向右走步，共步，所以乙從點(diǎn)到有種方法；由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知：甲從點(diǎn)到，乙從點(diǎn)到，有種方法；下面計(jì)算甲從點(diǎn)到，乙從點(diǎn)到的相交路徑的對(duì)數(shù)，證明：甲從點(diǎn)到，乙從點(diǎn)到相交路徑的對(duì)數(shù)等于甲從點(diǎn)到，乙從點(diǎn)到相交路徑的對(duì)數(shù)，事實(shí)上，對(duì)于甲從點(diǎn)到，乙從點(diǎn)到的每一組相交路徑，他們至少有一個(gè)交點(diǎn)，如圖，設(shè)從左到右，從下到上的第一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，如圖，實(shí)線路徑表示甲從到的路徑，虛線路徑表示乙從點(diǎn)到的路徑，將點(diǎn)以后的實(shí)線路徑改為虛線，虛線路徑改為實(shí)線，就得到一組甲從點(diǎn)到，乙從點(diǎn)到相關(guān)路徑，如圖，反之，對(duì)于甲從點(diǎn)到，乙從點(diǎn)到的任意一組相交路徑，也都可以用同樣的方法將之變換成甲從到，乙從點(diǎn)到的一組相交路徑，即這兩者之間的相交路徑是一一對(duì)應(yīng)的，又因?yàn)榧讖狞c(diǎn)到，乙從點(diǎn)到的任意一組路徑都是相交路徑，所以甲從點(diǎn)到，乙從點(diǎn)到共有種方法；所以甲?乙的行走路線沒(méi)有公共點(diǎn)的有種方法；甲?乙的行走路線沒(méi)有公共點(diǎn)的概率為，故選：C【題型八】相同元素排列模型2：空車位停車等【典例分析】1.某單位有8個(gè)連在一起的車位，現(xiàn)有4輛不同型號(hào)的車需要停放，如果要求剩余的4個(gè)車位中恰好有3個(gè)連在一起，則不同的停放方法的種數(shù)為（

）A．240 B．360 C．480 D．720【答案】C【分析】給8個(gè)車位編號(hào)：1，2，3，4，5，6，7，8，按照連在一起的3個(gè)車位分6類計(jì)數(shù)可得結(jié)果.【詳解】給8個(gè)車位編號(hào)：1，2，3，4，5，6，7，8，當(dāng)1，2，3號(hào)為空時(shí)，有種停放方法；當(dāng)2，3，4號(hào)為空時(shí)，有種停放方法；當(dāng)3，4，5號(hào)為空時(shí)，有種停放方法；當(dāng)4，5，6號(hào)為空時(shí)，有種停放方法；當(dāng)5，6，7號(hào)為空時(shí)，有種停放方法；當(dāng)6，7，8號(hào)為空時(shí)，有種停放方法；所以不同的停放方法的種數(shù)為種.故選：C.極簡(jiǎn)潔解法：四輛車標(biāo)記為ABCD,四個(gè)空車位，三個(gè)組合一起，標(biāo)記為3，剩余一個(gè)標(biāo)記為1，則變成數(shù)字1，3與四個(gè)字母排列，且數(shù)字不相鄰，插空法即可2.馬路上有編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盞路燈，為節(jié)約用電，可以把其中的三盞路燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，滿足條件的關(guān)燈辦法有種答案：直接數(shù)字化法，標(biāo)記為123456與AAA排列，只選不排。為【方法技巧】這類題，就是簡(jiǎn)單的數(shù)字化法，大多可以及簡(jiǎn)潔的解決問(wèn)題，參考本專題【典例分析】解法二思維【變式演練】1.某公共汽車站有6個(gè)候車位排成一排，甲、乙、丙三個(gè)乘客在該汽車站等候228路公交車的到來(lái)，由于市內(nèi)堵車，228路公交車一直沒(méi)到站，三人決定在座位上候車，且每人只能坐一個(gè)位置，則恰好有2個(gè)連續(xù)空座位的候車方式的種數(shù)是A．48 B．54 C．72 D．84【答案】C根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①先將3名乘客全排列，②3名乘客排好后，有4個(gè)空位，在4個(gè)空位中任選1個(gè)，安排2個(gè)連續(xù)空座位，再在剩下的3個(gè)空位中任選1個(gè)，安排1個(gè)空座位，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①先將3名乘客全排列，有種情況，②3名乘客排好后，有4個(gè)空位，在4個(gè)空位中任選1個(gè)，安排2個(gè)連續(xù)空座位，有4種情況，在剩下的3個(gè)空位中任選1個(gè)，安排1個(gè)空座位，有3種情況，則恰好有2個(gè)連續(xù)空座位的候車方式有種；故選：．2.現(xiàn)有一排10個(gè)位置的空停車場(chǎng)，甲、乙、丙三輛不同的車去停放，要求每輛車左右兩邊都有空車位且甲車在乙、丙兩車之間的停放方式共有_________種.【答案】40【分析】根據(jù)題意，先將甲、乙、丙三輛不同的車排列，使得甲車在乙、丙兩車之間，有2種排法，再將剩余的7個(gè)空車位分為4組，分別排在甲、乙、丙三輛車形成的四個(gè)空上，然后，求出不同的分組方法，最后利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解【詳解】先將甲、乙、丙三輛不同的車排列，使得甲車在乙、丙兩車之間，有2種排法，再將剩余的7個(gè)空車位分為4組，分別排在甲、乙、丙三輛車形成的四個(gè)空上，有1，1，1，4；1，1，2，3；1，2，2，2三種分組方法，則不同的分組方法共有種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的停放方式共有種.3.地面上有并排的七個(gè)汽車位，現(xiàn)有紅、白、黃、黑四輛不同的汽車同時(shí)倒車入庫(kù).當(dāng)停車完畢后，恰有兩個(gè)連續(xù)的空車位，且紅、白兩車互不相鄰的情況有________種.【答案】336根據(jù)題意從反面考慮，恰有兩個(gè)連續(xù)空車位的排法，再算出恰有兩個(gè)連續(xù)空車位，且紅、白兩車相鄰時(shí)的排法，兩數(shù)作差即可求解.【詳解】從反面考慮，恰有兩個(gè)連續(xù)空車位時(shí)有（種）情況；恰有兩個(gè)連續(xù)空車位，且紅、白兩車相鄰時(shí)有（種）情況，故所求情況有（種）故答案為：336【題型九】相同元素排列模型3：上樓梯等【典例分析】欲登上第10級(jí)樓梯，如果規(guī)定每步只能跨上一級(jí)或兩級(jí)，則不同的走法共有A．34種 B．55種C．89種 D．144種【答案】C【詳解】解法1：分類法：第一類：沒(méi)有一步兩級(jí)，則只有一種走法；第二類：恰有一步是一步兩級(jí)，則走完10級(jí)要走9步，9步中選一步是一步兩級(jí)的，有種可能走法；第三類：恰有兩步是一步兩級(jí)，則走完10級(jí)要走8步，8步中選兩步是一步兩級(jí)的，有種可能走法；依此類推，共有=89，故選(C)．解法2：遞推法：設(shè)走級(jí)有種走法，這些走法可按第一步來(lái)分類，第一類：第一步是一步一級(jí)，則余下的級(jí)有種走法；第二類：第一步是一步兩級(jí)，則余下的級(jí)有種走法，于是可得遞推關(guān)系式，又易得，由遞推可得，故選(C)．【方法技巧】依舊可以歸結(jié)為數(shù)字化法也可以歸結(jié)為“斐波那契數(shù)列”【變式演練】1.斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列.因數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…..，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下被遞推的方法定義：，，.這種遞推方法適合研究生活中很多問(wèn)題.比如：一六八中學(xué)食堂一樓到二樓有15個(gè)臺(tái)階，某同學(xué)一步可以跨一個(gè)或者兩個(gè)臺(tái)階，則他到二樓就餐有（

）種上樓方法.A．377 B．610 C．987 D．1597【答案】C【分析】分析出，，，，進(jìn)而得到遞推關(guān)系，滿足斐波那契數(shù)列，列舉即可得到結(jié)果.【詳解】由題意若只有一個(gè)臺(tái)階，則有種上樓方法；若有兩個(gè)臺(tái)階，則有種上樓方法；若有三個(gè)臺(tái)階，則有種上樓方法；若有四個(gè)臺(tái)階，則有種上樓方法；以此類推：若要到達(dá)第n個(gè)臺(tái)階，前一步可能在第n-1個(gè)臺(tái)階上再跨一臺(tái)階上去，也可能是在第n-2個(gè)臺(tái)階上跨兩個(gè)臺(tái)階上去，∴滿足，符合斐波那契數(shù)列的規(guī)律，由此規(guī)律列舉出前15項(xiàng)：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987∴有15個(gè)臺(tái)階，則他到二樓就餐有987種上樓方法.故選：C.2.從一樓到二樓共有12級(jí)臺(tái)階，可以一步邁一級(jí)也可以一步邁兩級(jí)，要求8步走完，則從一樓到二樓共有走法．A．12 B．8 C．70 D．66【答案】C【分析】一步上一級(jí)或者一步上兩級(jí)，8步走完樓梯，可以從一級(jí)和兩級(jí)各幾步來(lái)考慮．【詳解】解：設(shè)一步一級(jí)x步，一步兩級(jí)y步，則故走完樓梯的方法有種．故答案為C.3.某人從上一層到二層需跨10級(jí)臺(tái)階.他一步可能跨1級(jí)臺(tái)階，稱為一階步，也可能跨2級(jí)臺(tái)階，稱為二階步，最多能跨3級(jí)臺(tái)階，稱為三階步.從一層上到二層他總共跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階.則他從一層到二層可能的不同過(guò)程共有（

）種.A．6 B．8 C．10 D．122010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東賽區(qū)預(yù)賽試題【答案】C【詳解】按題意要求，不難驗(yàn)證這6步中不可能沒(méi)有三階步，也不可能有多于1個(gè)的三階步.因此，只能是1個(gè)三階步，2個(gè)二階步，3個(gè)一階步.為形象起見，以白、黑、紅三種顏色的球來(lái)記錄從一層到二層跨越10級(jí)臺(tái)階的過(guò)程：白球表示一階步，黑球表示二階步，紅球表示三階步.每一過(guò)程可表為3個(gè)白球、2個(gè)黑球、1個(gè)紅球的一種同色球不相鄰的排列.下面分三種情形討論.（1）第1、第6球均為白球，則兩黑球必分別位于中間白球的兩側(cè).此時(shí)，共有4個(gè)黑白球之間的空位放置紅球.所以，此種情況共有4種可能的不同排列.（2）第1球不是白球.（i）第1球?yàn)榧t球，則余下5球只有一種可能的排列；（ii）若第1球?yàn)楹谇颍瑒t余下5球因紅、黑球的位置不同有兩種不同的排列，此種情形共有3種不同排列.（3）第6球不是白球，同（2），共有3種不同排列.總之，按題意要求從一層到二層共有種可能的不同過(guò)程.【題型十】多事件限制重疊型【典例分析】班班會(huì)準(zhǔn)備從含甲、乙、丙的7名學(xué)生中選取4人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一個(gè)發(fā)言，且甲、乙都發(fā)言時(shí)丙不能發(fā)言，則甲、乙兩人都發(fā)言且發(fā)言順序不相鄰的概率為A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意，分種情況討論，若甲乙其中一人參加，有種情況，若甲乙兩人都參加，則丙不能參加，有種情況，其中甲乙相鄰的有種情況，則甲、乙兩人都發(fā)言順序不相鄰的概率為，故選C.【方法技巧】可以直接法，可以間接法【變式演練】1.某同學(xué)計(jì)劃用他姓名的首字母，身份證的后4位數(shù)字（4位數(shù)字都不同）以及3個(gè)符號(hào)設(shè)置一個(gè)六位的密碼．若必選，且符號(hào)不能超過(guò)兩個(gè)，數(shù)字不能放在首位和末位，字母和數(shù)字的相對(duì)順序不變，則他可設(shè)置的密碼的種數(shù)為（

）A．864 B．1009 C．1225 D．1441【答案】D【分析】先按照符號(hào)的個(gè)數(shù)分類，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理分別計(jì)算每類的情況種數(shù)，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】①當(dāng)符號(hào)的個(gè)數(shù)為0時(shí)，六位密碼由字母及身份證的后4位數(shù)字組成，此時(shí)只有1種情況；②當(dāng)符號(hào)的個(gè)數(shù)為1時(shí)，六位密碼由母，3個(gè)數(shù)字及1個(gè)符號(hào)組成.若末位是符號(hào)，則首位是字母，可能的種數(shù)為；若末位是字母，則可能的種數(shù)為；③當(dāng)符號(hào)的個(gè)數(shù)為2時(shí)，六位密碼由字母，2個(gè)數(shù)字及2個(gè)符號(hào)組成.若首位和末位均為符號(hào)，則可能的種數(shù)為；若首位和末位均為字母，則可能的種數(shù)為；若首位和末位一個(gè)是字母、一個(gè)是符號(hào)，則可能的種數(shù)為.故他可設(shè)置的密碼的種數(shù)為.故選：D.2.年月日至日，北京師范大學(xué)出版集團(tuán)攜手北師大版數(shù)學(xué)教材編寫組在廣東省珠海市聯(lián)合舉辦了以“新課程，我們都是追夢(mèng)人”為主題的北師大版中小學(xué)數(shù)學(xué)教材交流研討會(huì)，會(huì)議期間舉辦了一場(chǎng)“互動(dòng)沙龍”，要求從位男嘉賓，位女嘉賓中隨機(jī)選出位嘉賓進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)演講，且女嘉賓至少要選中位，如果位女嘉賓同時(shí)被選中，她們的演講順序不能相鄰，那么不同演講順序的種數(shù)是（

）A．B．C．D．【答案】C根據(jù)女嘉賓被選中等人數(shù)進(jìn)行分類，選中兩位女嘉賓時(shí)用插空法進(jìn)行排列.【詳解】由題可知可分為兩類：第一類，位女嘉賓只有位被選中，則還需從位男嘉賓里選出位，然后全排列，∴不同的演講順序有種；第二類，位女嘉賓同時(shí)被選中，則還需從位男嘉賓里選出位，∴位女嘉賓的演講順序不相鄰的不同演講順序有種；綜上，不同演講順序的種數(shù)是，故選：C.3.有2輛不同的紅色車和2輛不同的黑色車要停放在如圖所示的六個(gè)車位中的四個(gè)內(nèi)，要求相同顏色的車不在同一行也不在同一列，則共有______種不同的停放方法．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】首先在第一行停放一輛紅色車與一輛黑色車，再在第二行分類討論停放剩下車，最后利用分步計(jì)數(shù)原理即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橐笙嗤伾能嚥辉谕恍幸膊辉谕涣?，所以第一行只能停放一輛紅色車與一輛黑色車，共有種停法,再在第二行分類討論停放剩下車,第二輛紅車如果停在第一輛黑車下方，則第二輛黑車有2種方法，如果第二輛紅車不停在第一輛黑車下方，則第二輛黑車有1種方法，共有3種情況，因此共有種情況；故答案為：.【題型十一】多重限制分類討論【典例分析】高一新生小崔第一次進(jìn)入圖書館時(shí)看到了館內(nèi)樓梯（圖1），她準(zhǔn)備每次走1級(jí)或2級(jí)樓梯去二樓，并在心中默默計(jì)算這樣走完25級(jí)樓梯大概有多少種不同的走法，可是當(dāng)她走上去后發(fā)現(xiàn)（圖2）原來(lái)在13級(jí)處有一寬度達(dá)1.5米的平臺(tái)，這樣原來(lái)的走樓梯方案需要調(diào)整，請(qǐng)問(wèn)，對(duì)于剩下的15級(jí)樓梯按分2段的走法與原來(lái)一次性走15級(jí)的走法相比較少了______種．【答案】288【分析】由題知，登上樓梯的走法符合斐波那契數(shù)列的規(guī)律，分別列出走到15級(jí)臺(tái)階的走法，然后分兩段計(jì)算走法，作差即可.【詳解】由題知，登上樓梯的走法符合斐波那契數(shù)列的規(guī)律：登上第一級(jí)臺(tái)階：有1種走法；登上第二級(jí)臺(tái)階：有2種走法；登上第三級(jí)臺(tái)階：有3種走法；登上第四級(jí)臺(tái)階：有5種走法；登上第五級(jí)臺(tái)階：有8種走法；登上第六級(jí)臺(tái)階：有13種走法；登上第七級(jí)臺(tái)階：有21種走法；登上第八級(jí)臺(tái)階：有34種走法；登上第九級(jí)臺(tái)階：有55種走法；登上第十級(jí)臺(tái)階：有89種走法；登上第十一級(jí)臺(tái)階：有144種走法；登上第十二級(jí)臺(tái)階：有233種走法；登上第十三級(jí)臺(tái)階：有377種走法；登上第十四級(jí)臺(tái)階：有610種走法；登上第十五級(jí)臺(tái)階：有987種走法；所以分兩段走，先走十二級(jí)臺(tái)階有233種走法，再走3級(jí)臺(tái)階有3兩種，這樣走完15級(jí)臺(tái)階共有種，比直接走完15級(jí)臺(tái)階987中走法少了種走法.故答案為：288【方法技巧】有更多的限制條件，可以采取分類討論的方法?！咀兪窖菥殹?.市內(nèi)某公共汽車站有7個(gè)候車位(成一排),現(xiàn)有甲，乙，丙，丁，戊5名同學(xué)隨機(jī)坐在某個(gè)座位上候車,則甲，乙相鄰且丙，丁不相鄰的不同的坐法種數(shù)為______；（用數(shù)字作答）3位同學(xué)相鄰，另2位同學(xué)也相鄰，但5位同學(xué)不能坐在一起的不同的坐法種數(shù)為______.（用數(shù)字作答）【答案】

480

720【詳解】甲，乙相鄰用捆梆法有種，然后從4個(gè)位置中選兩個(gè)安排甲，乙，戊有種排法，最后用插空法安排丙，丁2人，即從5個(gè)空檔中插入2人，有種.故甲，乙相鄰且丙，丁不相鄰的不同的坐法種數(shù)為.3人相鄰另2人也相鄰，但5位同學(xué)不能坐在一起，即要把5人分成3，2兩組，每組的人要相鄰，兩組的人要互不相鄰，先捆梆有種，把兩組排列有種，再把兩個(gè)空位插入有3種，共有.2.2021年某地電視臺(tái)春晚的戲曲節(jié)目，準(zhǔn)備了經(jīng)典京劇、豫劇、越劇、粵劇、黃梅戲、評(píng)劇6個(gè)劇種的各一個(gè)片段．對(duì)這6個(gè)劇種的演出順序有如下要求：京劇必須排在前三，且越劇、粵劇必須排在一起，則該戲曲節(jié)目演出順序共有(

)種．A．120 B．156 C．188 D．240【答案】A【分析】解決問(wèn)題有類辦法：京劇排第一，排在一起的兩個(gè)算一個(gè)與余下三個(gè)元素作全排列，京劇排二三之一，排在一起的兩個(gè)只有三個(gè)位置可選，再排余下三個(gè)得解.【詳解】完成排戲曲節(jié)目演出順序這件事，可以有兩類辦法：京劇排第一，越劇、粵劇排在一起作一個(gè)元素與余下三個(gè)作全排列有，越劇、粵劇有前后，共有：種；京劇排二三之一有，越劇、粵劇排在一起只有三個(gè)位置并且它們有先后，有，余下三個(gè)有，共有：種；由分類計(jì)數(shù)原理知，所有演出順序有：(種)故選：A3.甲、乙、丙、丁等六名退休老黨員相約去觀看黨史舞臺(tái)劇《星火》．《星火》的票價(jià)為50元/人，每人限購(gòu)一張票．甲、乙、丙三人各帶了一張50元鈔，其余三人各帶了一張100元鈔．他們六人排成一列到售票處買票，而售票處一開始沒(méi)有準(zhǔn)備50元零錢，那么他們六人共有多少種不同排隊(duì)順序能使購(gòu)票時(shí)售票處不出現(xiàn)找不出錢的狀態(tài)．（

）A．720 B．360 C．180 D．90【答案】C【分析】先分類列出攜帶50元鈔人員和攜帶100元鈔人員的位置，再乘以每一類情況總數(shù).【詳解】記攜帶50元鈔人員為A，攜帶100元鈔人員為B，要使不出現(xiàn)找不出錢的狀態(tài)，可能的情況為五類情況，每類情況有種排列方式，所以一共有種情況.故選：C【題型十二】綜合應(yīng)用【典例分析】設(shè)十人各拿一只水桶，同到水龍頭前打水，設(shè)水龍頭注滿第i(i＝1，2，…，10)個(gè)人的水桶需Ti分鐘，假設(shè)Ti各不相同，當(dāng)水龍頭只有一個(gè)可用時(shí)，應(yīng)如何安排他(她)們的接水次序，使他(她)們的總的花費(fèi)時(shí)間(包括等待時(shí)間和自己接水所花費(fèi)的時(shí)間)最少()A．從Ti中最大的開始，按由大到小的順序排隊(duì)B．從Ti中最小的開始，按由小到大的順序排隊(duì)C．從靠近Ti平均數(shù)的一個(gè)開始，依次按取一個(gè)小的取一個(gè)大的的擺動(dòng)順序排隊(duì)D．任意順序排隊(duì)接水的總時(shí)間都不變【答案】B【分析】表示出拎小桶者先接水時(shí)等候的時(shí)間，然后加上拎大桶者一共等候者用的時(shí)間，用（2m+2T+t）減去二者的和就是節(jié)省的時(shí)間；由此可推廣到一般結(jié)論【詳解】事實(shí)上，只要不按從小到大的順序排隊(duì)，就至少有緊挨著的兩個(gè)人拎著大桶者排在拎小桶者之前，仍設(shè)大桶接滿水需要T分鐘，小桶接滿水需要t分鐘，并設(shè)拎大桶者開始接水時(shí)已等候了m分鐘，這樣拎大桶者接滿水一共等候了（m+T）分鐘，拎小桶者一共等候了（m+T+t）分鐘，兩人一共等候了（2m+2T+t）分鐘，在其他人位置不變的前提下，讓這兩個(gè)人交還位置，即局部調(diào)整這兩個(gè)人的位置，同樣介意計(jì)算兩個(gè)人接滿水共等候了2m+2t+T分鐘，共節(jié)省了T-t分鐘，而其他人等候的時(shí)間未變，這說(shuō)明只要存在有緊挨著的兩個(gè)人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以這樣調(diào)整，從而使得總等候時(shí)間減少．這樣經(jīng)過(guò)一系列調(diào)整后，整個(gè)隊(duì)伍都是從小打到排列，就打到最優(yōu)狀態(tài)，總的排隊(duì)時(shí)間就最短．故選B.【變式演練】1.由1，2，3，4，5組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，從中任意抽取一個(gè)，則其恰好為“前3個(gè)數(shù)字保持遞減，后3個(gè)數(shù)字保持遞增”（如五位數(shù)“43125”，前3個(gè)數(shù)字“431”保持遞減，后3個(gè)數(shù)字“125”保持遞增）的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)已知條件“定位”中間數(shù)字，其次在剩余的四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字，放置在首或末位，則其余數(shù)字排列方式唯一確定.最后由古典概型計(jì)算公式即可得解【詳解】由1，2，3，4，5組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)共個(gè)，前3個(gè)數(shù)字保持遞減，后3個(gè)數(shù)字保持遞增，說(shuō)明中間數(shù)字為1；在剩余的四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字，按照遞減順序,僅有一種排列方式放置在首兩位（或末兩位），則剩余兩位數(shù)字排列方式唯一確定，放置在最后兩位（或首兩位）.因此“前3個(gè)數(shù)字保持遞減，后3個(gè)數(shù)字保持遞增”的五位數(shù)有個(gè)，所以所求的概率．故選：A．2.設(shè)A是集合的子集，只含有3個(gè)元素，且不含相鄰的整數(shù)，則這種子集A的個(gè)數(shù)為（

）A．32 B．56 C．72 D．84【答案】B【分析】分類列舉出每一種可能性即可得到答案.【詳解】若1,3在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為5,6,7,8,9,10中的一個(gè)；若1,4在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為6,7,8,9,10中的一個(gè)；若1,8在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為10；共有6+5+4+3+2+1=21個(gè).若2,4在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為6,7,8,9,10中的一個(gè)；若2,5在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為7,8,9,10中的一個(gè)；若2,8在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為10；共有5+4+3+2+1=15個(gè).若3,5在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為7,8,9,10中的一個(gè)；若3,6在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為8,9,10中的一個(gè)；若3,8在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為10；共有4+3+2+1=10個(gè).若4,6在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為8,9,10中的一個(gè)；若4,7在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為9,10中的一個(gè)；若4,8在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為10；共有3+2+1=6個(gè).若5,7在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為9,10中的一個(gè)；若5,8在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為10；共有2+1=3個(gè).若6,8,10在在集合A內(nèi)，只有1個(gè).總共有21+15+10+6+3+1=56個(gè)故選：B.3.為迎接第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，某校安排甲?乙?丙?丁?戊共五名學(xué)生擔(dān)任冰球?冰壺和短道速滑三個(gè)項(xiàng)目的志愿者，每個(gè)比賽項(xiàng)目至少安排1人.則學(xué)生甲不會(huì)被安排到冰球比賽項(xiàng)目做志愿者的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)古典概型計(jì)算公式，結(jié)合排列和組合的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】所有的安排方法，若只有1人去冰球項(xiàng)目做志愿者，有；若恰有2人去冰球項(xiàng)目做志愿者，有；若有3人去冰球項(xiàng)目做志愿者，有，所以共有種安排法，所以學(xué)生甲不會(huì)被安排到冰球比賽項(xiàng)目做志愿者的概率為.故選：B【經(jīng)典題專練】1.如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽約3世紀(jì)初在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則區(qū)域涂色不相同的概率為A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用分步計(jì)數(shù)原理求出不同的涂色方案有420種，其中，區(qū)域涂色不相同的情況有120種，由此根據(jù)古典概型概率公式能求出區(qū)域涂色不相同的概率．【詳解】提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，根據(jù)題意，如圖，設(shè)5個(gè)區(qū)域依次為,分4步進(jìn)行分析：，對(duì)于區(qū)域，有5種顏色可選；，對(duì)于區(qū)域與區(qū)域相鄰，有4種顏色可選；，對(duì)于區(qū)域，與區(qū)域相鄰，有3種顏色可選；，對(duì)于區(qū)域，若與顏色相同，區(qū)域有3種顏色可選，若與顏色不相同，區(qū)域有2種顏色可選，區(qū)域有2種顏色可選，則區(qū)域有種選擇，則不同的涂色方案有種，其中，區(qū)域涂色不相同的情況有：，對(duì)于區(qū)域，有5種顏色可選；，區(qū)域，有4種顏色可選；對(duì)于區(qū)域，有3種顏色可選；，若與顏色相同，區(qū)域有2種顏色可選；若與顏色不相同，區(qū)域有2種顏色可選，區(qū)域有1種顏色可選；所以區(qū)域有種選擇；不同的涂色方案有種，區(qū)域涂色不相同的概率為,故選D．2.將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法的總數(shù)是A．540 B．480 C．420 D．360【答案】C【解析】【詳解】分兩步，由題設(shè)四棱錐的頂點(diǎn)所染顏色互不相同，則共有，當(dāng)染好時(shí)，不妨設(shè)所染顏色依次為，若染，則可染或或，共三種，若染，則可染或，共種，若染，則可染或，共種，即當(dāng)染好時(shí)，還有種染法，所以共有，故選C.3.清明節(jié)前夕，某校團(tuán)委決定舉辦“緬懷革命先烈，致敬時(shí)代英雄”主題演講比賽，經(jīng)過(guò)初賽，共有10人進(jìn)入決賽，其中高一年級(jí)3人，高二年級(jí)3人，高三年級(jí)4人，現(xiàn)采用抽簽方式?jīng)Q定演講順序，則在高二年級(jí)3人相鄰的前提下，高一年級(jí)3人不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】基本事件總數(shù)，其中高一3人不相鄰包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出高一年級(jí)3人不相鄰的概率．【詳解】解：共有10人進(jìn)入決賽，其中高一年級(jí)3人，高二年級(jí)3人，高三年級(jí)4人，采用抽簽方式?jīng)Q定演講順序，高二年級(jí)3人相鄰，基本事件總數(shù)，其中高一3人不相鄰包含的基本事件個(gè)數(shù)，高一年級(jí)3人不相鄰的概率．故選：D．4.10名同學(xué)合影，站成前排4人后排6人，現(xiàn)攝影師要從后排6人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分兩步：1.首先先從后排6人中選2人出來(lái)；2.將這2人與前排4人排列，且前排4人的相對(duì)順序不變，可以看成有6個(gè)位置，先選2個(gè)位置排這2人，其他4人按原順序排列，再由乘法原理計(jì)算即可.【詳解】首先先從后排6人中選2人出來(lái)，共種不同選法，將這2人與前排4人排列，且前排4人的相對(duì)順序不變，可以看成有6個(gè)位置，先選2個(gè)位置排這2人有種不同排法，其余位置按4人原順序排好只有1種排法，由乘法原理，得不同調(diào)整方法的總數(shù)是.故選：C5.將編號(hào)為、、、、、的小球放入編號(hào)為、、、、、的六個(gè)盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球的編號(hào)相同，則不同的放法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，分兩步進(jìn)行：（1）在個(gè)小球中任選個(gè)放入相同編號(hào)的盒子里；（2）將剩下的個(gè)小球放入與其編號(hào)不同的盒子里.利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，分以下兩步進(jìn)行：（1）在個(gè)小球中任選個(gè)放入相同編號(hào)的盒子里，有種選法，假設(shè)選出的個(gè)小球的編號(hào)為、；（2）剩下的個(gè)小球要放入與其編號(hào)不一致的盒子里，對(duì)于編號(hào)為的小球，有個(gè)盒子可以放入，假設(shè)放入的是號(hào)盒子.則對(duì)于編號(hào)為的小球，有個(gè)盒子可以放入，對(duì)于編號(hào)為、的小球，只有種放法.綜上所述，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的放法種數(shù)為種.故選：B.6.現(xiàn)有9個(gè)相同的球要放到3個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子至少一個(gè)球，各盒子中球的個(gè)數(shù)互不相同，則不同放法的種數(shù)是（

）A．28 B．24 C．18 D．16【答案】C【分析】把9個(gè)球分成3組，每組個(gè)數(shù)不相同，然后每組球放到盒子中，即可得．【詳解】把9個(gè)球分成3組，每組個(gè)數(shù)不相同，分法（按球的個(gè)數(shù)）為：126，135，234共三種，然后每組球放到3個(gè)盒子中有種方法，方法數(shù)為．故選：C．7.某單位有7個(gè)連在一起的車位，現(xiàn)有3輛不同型號(hào)的車需停放，如果要求剩余的4個(gè)車位中恰好有3個(gè)連在一起，則不同的停放方法的種數(shù)為A．16 B．18 C．32 D．72【答案】D【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①分析3輛不同型號(hào)的車的停放方法，②利用插空法分析剩余的4個(gè)車位中恰有3個(gè)連在一起的排法，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可得．【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，3輛不同型號(hào)的車需停放，共有種方法，②，要求剩余的4個(gè)車位中恰有3個(gè)連在一起，利用插空法，有種方法，所以不同的停放方法有種．故選．8.校園某處并排連續(xù)有6個(gè)停車位，現(xiàn)有3輛汽車需要停放，為了方便司機(jī)上下車，規(guī)定：當(dāng)有汽車相鄰?fù)７艜r(shí)，車頭必須同向；當(dāng)車沒(méi)有相鄰時(shí)，車頭朝向不限，則不同的停車方法共有__________種．（用數(shù)學(xué)作答）【答案】528【詳解】(1)當(dāng)三輛車都不相鄰時(shí)有(種)(2)當(dāng)兩輛車相鄰時(shí)有(種)(3)當(dāng)三輛車相鄰時(shí)有(種)則共有(種)9.如圖，在某城市中，?兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中???是道路網(wǎng)中位于一條對(duì)角線上的個(gè)交匯處.今在道路網(wǎng)?處的甲?乙兩人分別要到?處，他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時(shí)出發(fā)，直到到達(dá)?處為止.則下列說(shuō)法正確的是（

）A．甲從到達(dá)處的方法有種B．甲從必須經(jīng)過(guò)到達(dá)處的方法有種C．甲?乙兩人在處相遇的概率為D．甲?乙兩人相遇的概率為【答案】C【分析】A．考慮從到向上走的步數(shù)和向下走的步數(shù)，利用組合數(shù)求解出結(jié)果；B．先利用組合數(shù)分析從到的方法數(shù)，然后再利用組合數(shù)分析從到的方法數(shù)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可求解出結(jié)果；C．先確定出甲經(jīng)過(guò)的方法數(shù)，再確定出乙經(jīng)過(guò)的方法數(shù)，由此確定出甲、乙兩人在處相遇的方法數(shù)，結(jié)合A選項(xiàng)的結(jié)果求解出對(duì)應(yīng)概率；D．先確定出甲、乙只能在、、、處相遇，然后根據(jù)C選項(xiàng)的計(jì)算方法分別計(jì)算出對(duì)應(yīng)方法數(shù)，結(jié)合A選項(xiàng)的結(jié)果求解出對(duì)應(yīng)概率【詳解】A選項(xiàng)，甲從M到達(dá)N處，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，則甲從M到達(dá)N處的方法有種，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，甲經(jīng)過(guò)到達(dá)N處，可分為兩步：第一步，甲從M經(jīng)過(guò)需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，方法數(shù)為種；第二步，甲從到N需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，方法數(shù)為種.∴甲經(jīng)過(guò)到達(dá)N的方法數(shù)為種，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，甲經(jīng)過(guò)的方法數(shù)為種，乙經(jīng)過(guò)的方法數(shù)也為種，∴甲?乙兩人在處相遇的方法數(shù)為種，甲?乙兩人在處相遇的概率為，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，甲?乙兩人沿最短路徑行走，只可能在、、、處相遇，若甲?乙兩人在處相遇，甲經(jīng)過(guò)處，則甲的前三步必須向上走，乙經(jīng)過(guò)處，則乙的前三步必須向左走，兩人在處相遇的走法種數(shù)為1種；若甲?乙兩人在處相遇，由C選項(xiàng)可知，走法種數(shù)為81種；若甲?乙兩人在處相遇，甲到處，前三步有2步向右走，后三步只有1步向右走，乙到處，前三步有2步向下走，后三步只有1步向下走，所以，兩人在處相遇的走法種數(shù)為種；若甲?乙兩人在處相遇，甲經(jīng)過(guò)處，則甲的前三步必須向右走，乙經(jīng)過(guò)處，則乙的前三步必須向下走，兩人在處相遇的走法種數(shù)為1種；故甲?乙兩人相遇的概率，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.10.有一道樓梯共10階，小王同學(xué)要登上這道樓梯，登樓梯時(shí)每步隨機(jī)選擇一步一階或一步兩階，小王同學(xué)7步登完樓梯的概率為___________.【答案】【分析】由題意可分為步、步、步、步、步、步共6種情況，分別求出每種的基本事件數(shù)，再利用古典概型的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：由題意可分為步、步、步、步、步、步共6種情況，①步：即步兩階，有種；②步：即步兩階與步一階，有種；③步：即步兩階與步一階，有種；④步：即步兩階與步一階，有種；⑤步：即步兩階與步一階，有種；⑥步：即步一階，有種；綜上可得一共有種情況，滿足7步登完樓梯的有種；故7步登完樓梯的概率為故答案為：11.2020年疫情期間，某縣中心醫(yī)院分三批共派出6位年齡互不相同的醫(yī)務(wù)人員支援武漢六個(gè)不同的方艙醫(yī)院，每個(gè)方艙醫(yī)院分配一人.第一批派出一名醫(yī)務(wù)人員的年齡為，第二批派出兩名醫(yī)務(wù)人員的年齡最大者為，第三批派出三名醫(yī)務(wù)人員的年齡最大者為，則滿足的分配方案的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】假設(shè)6位醫(yī)務(wù)人員年齡排序?yàn)?，由必在第三批，將派遣方式按第一批所派遣的人員不同分成四類，求出滿足的派遣方法數(shù)，再計(jì)算總派遣方法數(shù)，即可求概率.【詳解】假設(shè)6位醫(yī)務(wù)人員年齡排序?yàn)?，由題意知，年齡最大的醫(yī)務(wù)人員必在第三批，派遣方式如下：1、第一批派，第二批年齡最大者為，第三批年齡最大者為：剩下的醫(yī)務(wù)人員一個(gè)在第二批，兩個(gè)在第三批有種方法，2、第一批派，第二批年齡最大者為或，第三批年齡最大者為：當(dāng)?shù)诙畲笳邽?，則有種方法，當(dāng)?shù)诙?/p>