小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何教學(xué)研究

小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何教學(xué)研究針對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際，將數(shù)學(xué)的幾何知識(shí)、心理學(xué)知識(shí)、教育學(xué)方面的課程論、教學(xué)論加以整合，圍繞、貫穿這三個(gè)基本問(wèn)題，如何學(xué)——心理學(xué)視角的研究；教什么、為什么教——課程論視角的研究；怎樣教——教學(xué)論視角的研究。這三個(gè)問(wèn)題不是一一闡述，而是融合成一個(gè)整體，也就是力求使我們的探討能夠進(jìn)入數(shù)學(xué)心理學(xué)、教育學(xué)的結(jié)合部，成為一個(gè)有機(jī)的整體。先簡(jiǎn)要地說(shuō)一說(shuō)小學(xué)圖形與幾何的教學(xué)意義。一、小學(xué)圖形與幾何的教學(xué)意義（1）認(rèn)識(shí)周圍世界從智育的角度來(lái)看，首先它能使學(xué)生更好地用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識(shí)周圍的世界，我們?nèi)祟惢顒?dòng)的現(xiàn)實(shí)空間，其實(shí)都是由三維構(gòu)成的一個(gè)幾何空間。（2）奠定學(xué)習(xí)基礎(chǔ)為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以及其他學(xué)科，做好鋪墊和準(zhǔn)備。（3）培養(yǎng)空間觀念空間觀念是每個(gè)人都必須具備的基本素養(yǎng)。研究表明，小學(xué)階段是空間觀念發(fā)展的關(guān)鍵期，錯(cuò)過(guò)了這個(gè)發(fā)展的關(guān)鍵期，有些損失甚至是不可逆的。其實(shí)，空間觀念不僅在今后起作用，就是在小學(xué)數(shù)學(xué)當(dāng)前的學(xué)習(xí)中，除了幾何，其他地方也需要發(fā)展學(xué)生的空間觀念。比如，從學(xué)校出發(fā)，小紅向西每分鐘走40米，16分鐘到家；小明向東每分鐘走50米，13分鐘到家。他們兩家相距多少米？有空間觀念的學(xué)生，他就可以在頭腦中展開想象，向西、向東同地背向而行，于是就很容易列出綜合算式，也就是小紅16分鐘的路程加小明13分鐘的路程，路程和就是兩家的距離。那么，有一些學(xué)生頭腦里無(wú)法構(gòu)建這樣的一個(gè)表象，就需要借助圖示來(lái)理解數(shù)量關(guān)系。（4）發(fā)展數(shù)學(xué)思維這部分內(nèi)容也有對(duì)于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，特別是基于直觀的抽象與推理。（5）提升應(yīng)用能力我們很多實(shí)際問(wèn)題涉及幾何概念與計(jì)算。以幾何概念為例，兩點(diǎn)確定一條直線，我們小學(xué)數(shù)學(xué)原來(lái)有一個(gè)測(cè)量的內(nèi)容，讓學(xué)生在地面上量?jī)牲c(diǎn)之間的距離。那就先要根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，然后再來(lái)一段一段地量。這個(gè)內(nèi)容現(xiàn)在精簡(jiǎn)了，其他生活應(yīng)用有沒(méi)有用到這個(gè)知識(shí)的呢？曬衣服，無(wú)論是固定這條鐵絲，還是固定衣服褲子，其實(shí)都是依據(jù)了兩點(diǎn)確定一條直線的原理，或者說(shuō)這些原國(guó)家隊(duì)在現(xiàn)實(shí)世界中的運(yùn)用。2.德育價(jià)值（1）有利于培養(yǎng)愛(ài)國(guó)主義的思想情感講到愛(ài)國(guó)主義，數(shù)學(xué)老師就會(huì)聯(lián)想到認(rèn)識(shí)圓的時(shí)，我們可以給學(xué)生介紹墨子的論斷“一中同長(zhǎng)”，可以說(shuō)是圓本質(zhì)特征的一個(gè)最為精煉的概括。教學(xué)圓的周長(zhǎng)，學(xué)習(xí)“圓周率”一定會(huì)介紹“祖率”曾經(jīng)領(lǐng)先世界千余年。（2）有利于滲透辯證唯物主義世界觀形源于客觀的事物，圓與方對(duì)立的統(tǒng)一，圖形的運(yùn)動(dòng)變化，這些都是滲透辯證唯物主義世界觀感覺(jué)鮮活的素材。（3）有利于培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力（4）有利于感受數(shù)學(xué)的美，滲透美育數(shù)學(xué)有很多美的表現(xiàn)，但是數(shù)學(xué)的抽象美、簡(jiǎn)潔美，不是每個(gè)孩子都能體會(huì)的。圖形的美，不同程度水平的孩子都能感受。比如，蘋果手機(jī)的Logo，它是怎么畫出來(lái)的？原來(lái)是大大小小、不同的圓構(gòu)成的。由此，可以啟發(fā)學(xué)生自己去創(chuàng)作一些美妙的圖案。（5）有利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和信心正因?yàn)閹缀稳菀字庇^、容易動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，所以一些對(duì)數(shù)學(xué)有畏難情緒的孩子也會(huì)覺(jué)得幾何很好玩、很有趣。在提高興趣的同時(shí)，由于操作探究有收獲，自然就會(huì)提高學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。（6）有利于養(yǎng)成良好學(xué)習(xí)、思維習(xí)慣目前的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)都不太注意良好的“畫圖”習(xí)慣的培養(yǎng)。何以見(jiàn)得，多次聽到初中數(shù)學(xué)老師抱怨，小學(xué)那么重視學(xué)習(xí)習(xí)慣的培養(yǎng)，為什么就忽略了畫圖習(xí)慣的培養(yǎng)。原來(lái)初中數(shù)學(xué)老師最不滿意的是每當(dāng)布置學(xué)生畫圖時(shí)，手中拿著什么筆就用什么筆畫，水筆、圓珠筆都可以畫，要他們換成鉛筆畫不知道要強(qiáng)調(diào)多少回才扭轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)。二、圖形認(rèn)識(shí)的教學(xué)重點(diǎn)介紹兩種概念認(rèn)知方式：1.概念形成人教版四年級(jí)上冊(cè)教學(xué)平行四邊形的認(rèn)識(shí)。例1，我們認(rèn)識(shí)過(guò)平四邊形，你能說(shuō)出哪些地方見(jiàn)過(guò)平行四邊形嗎？在學(xué)生表達(dá)的基礎(chǔ)上，教材給出了三種實(shí)物，然后從實(shí)物抽象出幾何圖形。進(jìn)一步建議用兩把三角尺研究一下，平行四邊形的邊有什么特點(diǎn)？那么學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)對(duì)邊互相平行，對(duì)邊也相等。當(dāng)然，那么也有同學(xué)，你強(qiáng)調(diào)研究邊，他們也會(huì)發(fā)現(xiàn)對(duì)角也相等。這本來(lái)是一件好事。但是老師糾結(jié)了，我上面給出的定義，只說(shuō)對(duì)邊互相平行，如果學(xué)生說(shuō)對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形，對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形，可不可以呢？都可以。對(duì)邊相等、對(duì)角相等、對(duì)于平行四邊形來(lái)講都是充分必要的。但是怎么結(jié)合教材給出的描述呼應(yīng)起來(lái)？好像很麻煩，其實(shí)很簡(jiǎn)單。你只要問(wèn)，這個(gè)圖形叫什么？平行四邊形。那你們說(shuō)，發(fā)現(xiàn)的哪一個(gè)結(jié)論大家都能接受呢？很自然地就得到了兩組對(duì)邊分別互相平行的四邊形叫做平行四邊形。其實(shí)在這里教材把定義權(quán)還給了學(xué)生。像這種概念的認(rèn)知方式，叫做概念形成。它是以直接經(jīng)驗(yàn)為主，認(rèn)知起點(diǎn)是實(shí)物現(xiàn)實(shí)的原型，思維方式以歸納為主，當(dāng)然也有抽象。這樣的一種認(rèn)知活動(dòng)，心理學(xué)中叫做順應(yīng)。2.概念同化其實(shí)還有一種建立概念的方式叫做概念同化，它是以間接經(jīng)驗(yàn)為主，由概念已學(xué)的知識(shí)出發(fā)，通過(guò)演繹或者抽象獲得新的概念，那么這樣的一種認(rèn)識(shí)活動(dòng)，心理學(xué)叫做同化。舉一個(gè)例子，學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形后怎么給出正方形的概念？那么常用的方式就是長(zhǎng)、寬相等的長(zhǎng)方形叫做正方形。這個(gè)新概念的產(chǎn)生就是由長(zhǎng)方形這個(gè)已有的知識(shí)推出新的概念。那么，這樣一種概念引出的方式，就叫做同化，納入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。那么這兩種方法能不能結(jié)合應(yīng)用呢？能！請(qǐng)看一個(gè)實(shí)例，這是兩條色帶，它給出了一個(gè)什么樣的數(shù)學(xué)條件呢？對(duì)，兩組對(duì)邊分別是互相平行的。利用這個(gè)已知條件，請(qǐng)將它們交疊在一起，要求重疊部分是一個(gè)四邊形。那么我們看這樣交疊得到的四邊形一定具有對(duì)邊平行的特征。顯然，這種認(rèn)知方式既有概念形成，又有概念同化，兩者得到了綜合運(yùn)用。三、圖形測(cè)量的教學(xué)從滲透試題思想起步：1.周長(zhǎng)目前，周長(zhǎng)概念至少用1課時(shí)新授，這節(jié)課只講周長(zhǎng)的概念。那么，周長(zhǎng)的概念難建立嗎？有經(jīng)驗(yàn)的老師告訴我們：不難。為什么不難？其實(shí)，早在上世紀(jì)50年代，瑞士心理學(xué)家皮亞杰的相關(guān)研究結(jié)論：兒童自發(fā)的幾何發(fā)展順序和科學(xué)的幾何恰恰相反，孩子們首先感知的是拓?fù)鋷缀?，投影幾何是什么意思呢？日常生活中，我們遠(yuǎn)處觀察物體，其實(shí)看到的是它的一個(gè)投影面，然后進(jìn)入到三維空間。皮亞杰的研究告訴我們，3-4歲的兒童已能夠領(lǐng)會(huì)分離、封閉等。小學(xué)三年級(jí)學(xué)習(xí)周長(zhǎng)，學(xué)生完全有了心理基礎(chǔ)。那么，可以直截了當(dāng)引出概念嗎？教師進(jìn)行了嘗試教學(xué)實(shí)踐。師：今天我們學(xué)習(xí)周長(zhǎng)，誰(shuí)知道“周長(zhǎng)”什么意思？生：一周的長(zhǎng)度。請(qǐng)學(xué)生指出周長(zhǎng)。多數(shù)學(xué)生從頂點(diǎn)出發(fā)，描出一圈的長(zhǎng)度，就是它的周長(zhǎng)。是不是一定要從出發(fā)呢？學(xué)生討論發(fā)現(xiàn)，從任意一點(diǎn)始，沿著邊，回到起點(diǎn)。第1課時(shí)可以通過(guò)測(cè)量計(jì)算鞏固周長(zhǎng)的概念。我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)，數(shù)是數(shù)出來(lái)，其實(shí)后面還有一句：量是量出來(lái)的。教學(xué)時(shí)，教師可以提供操作材料，出示6個(gè)平面圖形，請(qǐng)選擇一個(gè)喜歡的圖形，算出它的周長(zhǎng)。學(xué)生自己動(dòng)手量一量，算一算。再組織學(xué)生交流探究結(jié)果。學(xué)生最喜歡的是五角星、正六邊形，先量出一條邊的長(zhǎng)度，再乘邊數(shù)就求出了周長(zhǎng)。如果各條邊都不相等，可以把每條邊的長(zhǎng)度加起來(lái)。曹老師提出建議，以后的教材對(duì)于長(zhǎng)方形、正方形能不能不給出計(jì)算公式，圓的周長(zhǎng)才給出公式。為什么？請(qǐng)看下面的對(duì)比測(cè)試題：對(duì)照班學(xué)生面對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，常見(jiàn)的思維定勢(shì)是“套公式”；實(shí)驗(yàn)班超過(guò)70%的學(xué)生選擇了最合理的算法，即一條長(zhǎng)加兩條寬。教學(xué)周長(zhǎng)時(shí)，下面的問(wèn)題可以引起我們的思考：（1）是長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式重要，還是直線形周長(zhǎng)計(jì)算的思路、方法重要？（2）怎樣增強(qiáng)周長(zhǎng)計(jì)算的探究?jī)?nèi)涵？怎樣設(shè)計(jì)相應(yīng)的鞏固練習(xí)？2.面積以教學(xué)求長(zhǎng)方形的面積為例。人教版教材先是探究長(zhǎng)5厘米，寬3厘米的長(zhǎng)方形面積。讓學(xué)生用面積單位去擺。然后列表，讓學(xué)生自己操作。學(xué)生自己確定長(zhǎng)、寬。第三個(gè)小題讓學(xué)生動(dòng)手量所需要的長(zhǎng)度，再計(jì)算面積。那么，教材編排確實(shí)不錯(cuò)，進(jìn)一步改進(jìn)的方向是什么？我們反思，這個(gè)設(shè)計(jì)學(xué)生的探究應(yīng)該說(shuō)完全是按照教材的指令操作填表。能不能讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)探究的方向呢？我們的改進(jìn)是先出現(xiàn)3個(gè)長(zhǎng)方形，說(shuō)說(shuō)哪個(gè)面積大？那么長(zhǎng)方形3比長(zhǎng)方形1的面積小。為什么？因?yàn)殚L(zhǎng)相等，長(zhǎng)方形1更寬。長(zhǎng)方形2比長(zhǎng)方形1還更大，因?yàn)閷捪嗟龋L(zhǎng)更長(zhǎng)。于是得到什么結(jié)論呢？長(zhǎng)方形越長(zhǎng)越寬，面積越大。換句話說(shuō)，長(zhǎng)方形的面積是由什么決定的？你們覺(jué)得我們今天要研究長(zhǎng)方形的面積，應(yīng)該探究什么？同樣一個(gè)表格，到底要關(guān)注什么？讓學(xué)生自己思考。學(xué)生通過(guò)以上的鋪墊明確了探究的方向，要研究長(zhǎng)、寬和面積之間的規(guī)律。老師提供的學(xué)具有方格紙、10個(gè)1平方厘米的小正方形，可以數(shù)一數(shù)，也可以擺一擺。學(xué)生自由選擇方式進(jìn)行探究。通過(guò)實(shí)踐，老師用不透明的方格子觀察，發(fā)現(xiàn)只能把長(zhǎng)方形擺在方格紙上面，利用四周外圍這一圈正方形來(lái)感知長(zhǎng)、寬，感知內(nèi)部所含面積單位的個(gè)數(shù)。四、小學(xué)生的空間觀念1.什么是空間觀念原來(lái)的描述（側(cè)重“界定”，“是什么”）：物體的形狀、大小、位置關(guān)系留在腦中的表象?，F(xiàn)在的描述（側(cè)重“表現(xiàn)”，“怎么樣”）：指根據(jù)物體特征抽象幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象所描述的實(shí)際物體；想象物體方位和相互間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語(yǔ)言描述畫出圖形等。如：出示長(zhǎng)方體的長(zhǎng)10厘米，寬3厘米，高0.1厘米。學(xué)生想象可能是什么物體？出示：香港特別行政區(qū)區(qū)旗，想到什么圖形？出示：永平門街與匯川門路地圖，又能想到什么？2.空間觀念發(fā)展的基本規(guī)律通常：空間知覺(jué)（表象的基礎(chǔ)）→空間觀念（表象的形成）→空間想象（表象的改造）三種水平既遞進(jìn)發(fā)展，又交錯(cuò)共存。3.小學(xué)生空間觀念發(fā)展的若干特點(diǎn)（1）從感知強(qiáng)成份到感知弱成份強(qiáng)弱具有相對(duì)性，特殊性如：形狀：邊的長(zhǎng)短是強(qiáng)成份；關(guān)系：角的大小是弱成份五、空間觀念的培育策略（1）觀察：有序觀察，選擇對(duì)象，變換角度（2）操作：學(xué)會(huì)畫圖，實(shí)驗(yàn)探究，自我釋