2024年高考數(shù)學一輪復習考點題型課下層級訓練14函數(shù)模型及其應用含解析

PAGEPAGE1課下層級訓練(十四)函數(shù)模型及其應用[A級基礎(chǔ)強化訓練]1．用長度為24米的材料圍成一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為()A．3米 B．4米C．6米 D．12米【答案】A[設(shè)隔墻的長為x(0＜x＜6)米，矩形的面積為y平方米，則y＝x×eq\f(24－4x,2)＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，所以當x＝3時，y取得最大值．]2．下表是函數(shù)值y隨自變量x改變的一組數(shù)據(jù)，它最可能的函數(shù)模型是()x45678910y15171921232527A．一次函數(shù)模型 B．冪函數(shù)模型C．指數(shù)函數(shù)模型 D．對數(shù)函數(shù)模型【答案】A[依據(jù)已知數(shù)據(jù)可知，自變量每增加1函數(shù)值增加2，因此函數(shù)值的增量是勻稱的，故為一次函數(shù)模型．]3．(2024·寧夏銀川月考)國家規(guī)定個人稿費納稅方法為：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4000元的按超過部分的14%納稅；超過4000元的按全稿酬的11%納稅．若某人共納稅420元，則這個人的稿費為()A．3000元 B．3800元C．3818元 D．5600元【答案】B[由題意可建立納稅額y關(guān)于稿費x的函數(shù)解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x≤800,0.14x－800，800<x≤4000，,0.11x，x>4000))明顯由0.14(x－800)＝420，可得x＝3800.]4．(2024·福建三明聯(lián)考)用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq\f(3,4)，要使存留的污垢不超過1%，則至少要洗的次數(shù)是(參考數(shù)據(jù)lg2≈0.3010)()A．3 B．4C．5 D．6【答案】B[設(shè)至少要洗x次，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))x≤eq\f(1,100)，∴x≥eq\f(1,lg2)≈3.322，因此需4次．]5．(2024·廣西柳州聯(lián)考)設(shè)甲、乙兩地的距離為a(a>0)，小王騎自行車以勻速從甲地到乙地用了20分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又以勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘，則小王從動身到返回原地所經(jīng)過的路程y和其所用的時間x的函數(shù)圖象為()【答案】D[y為“小王從動身到返回原地所經(jīng)過的路程”而不是位移，故解除A，C．又因為小王在乙地休息10分鐘，故解除B．]6．(2024·河北唐山聯(lián)考)“好酒也怕巷子深”，很多聞名品牌是通過廣告宣揚進入消費者視線的．已知某品牌商品靠廣告銷售的收入R與廣告費A之間滿意關(guān)系R＝aeq\r(A)(a為常數(shù))，廣告效應為D＝aeq\r(A)－A．那么精明的商人為了取得最大廣告效應，投入的廣告費應為________.(用常數(shù)a表示)【答案】eq\f(1,4)a2[令t＝eq\r(A)(t≥0)，則A＝t2，∴D＝at－t2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)a))2＋eq\f(1,4)a2，∴當t＝eq\f(1,2)a，即A＝eq\f(1,4)a2時，D取得最大值．]7．(2024·湖北八校聯(lián)考)某人依據(jù)閱歷繪制了2024年春節(jié)前后，從12月21日至1月8日自己種植的西紅柿的銷售量y(千克)隨時間x(天)改變的函數(shù)圖象，如圖所示，則此人在12月26日大約賣出了西紅柿________千克．【答案】eq\f(190,9)[前10天滿意一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)為y＝kx＋b，將點(1，10)和點(10，30)代入函數(shù)解析式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10＝k＋b，,30＝10k＋b，))解得k＝eq\f(20,9)，b＝eq\f(70,9)，所以y＝eq\f(20,9)x＋eq\f(70,9)，則當x＝6時，y＝eq\f(190,9).]8．(2024·云南昆明月考)A，B兩城相距100km，在兩城之間距A城x(km)處建一核電站給A，B兩城供電，為保證城市平安，核電站距城市距離不得小于10km.已知供電費用等于供電距離(km)的平方與供電量(億度)之積的0.25倍，若A城供電量為每月20億度，B城供電量為每月10億度．(1)求x的取值范圍；(2)把月供電總費用y表示成x的函數(shù)；(3)核電站建在距A城多遠，才能使供電總費用y最少？【答案】解(1)由題意知x的取值范圍為[10，90]．(2)y＝5x2＋eq\f(5,2)(100－x)2(10≤x≤90)．(3)因為y＝5x2＋eq\f(5,2)(100－x)2＝eq\f(15,2)x2－500x＋25000＝eq\f(15,2)(x－eq\f(100,3))2＋eq\f(50000,3)，所以當x＝eq\f(100,3)時，ymin＝eq\f(50000,3).故核電站建在距A城eq\f(100,3)km處，能使供電總費用y最少．9．已知某物體的溫度θ(單位：攝氏度)隨時間t(單位：分鐘)的改變規(guī)律：θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m>0)．(1)假如m＝2，求經(jīng)過多長時間，物體的溫度為5攝氏度；(2)若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍．【答案】解(1)若m＝2，則θ＝2·2t＋21－t＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(1,2t)))，當θ＝5時，2t＋eq\f(1,2t)＝eq\f(5,2)，令2t＝x≥1，則x＋eq\f(1,x)＝eq\f(5,2)，即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝eq\f(1,2)(舍去)，此時t＝1.所以經(jīng)過1分鐘，物體的溫度為5攝氏度．(2)物體的溫度總不低于2攝氏度，即θ≥2恒成立．亦m·2t＋eq\f(2,2t)≥2恒成立，亦即m≥2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2t)－\f(1,22t)))恒成立．令eq\f(1,2t)＝x，則0<x≤1，所以m≥2(x－x2)，由于x－x2≤eq\f(1,4)，所以m≥eq\f(1,2).因此，當物體的溫度總不低于2攝氏度時，m的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).[B級實力提升訓練]10．某家庭進行理財投資，依據(jù)長期收益率市場預料，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比．已知投資1萬元時兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元．(1)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系；(2)若該家庭有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎樣安排資金能使投資獲得最大收益？其最大收益是多少萬元？【答案】解(1)設(shè)兩類產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)分別為f(x)＝k1x，g(x)＝k2eq\r(x).由已知得f(1)＝eq\f(1,8)＝k1，g(1)＝eq\f(1,2)＝k2，所以f(x)＝eq\f(1,8)x(x≥0)，g(x)＝eq\f(1,2)eq\r(x)(x≥0)．(2)設(shè)投資債券產(chǎn)品為x萬元，則投資股票類產(chǎn)品為(20－x)萬元．依題意得y＝f(x)＋g(20－x)＝eq\f(x,8)＋eq\f(1,2)eq\r(20－x)(0≤x≤20)．令t＝eq\r(20－x)(0≤t≤2eq\r(5))，則y＝eq\f(20－t2,8)＋eq\f(1,2)t＝－eq\f(1,8)(t－2)2＋3，所以當t＝2，即x＝16時，收益最大，ymax＝3萬元．11．某店銷售進價為2元/件的產(chǎn)品A，該店產(chǎn)品A每日的銷售量y(單位：千件)與銷售價格x(單位：元/件)滿意關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(10,x－2)＋4(x－6)2，其中2<x<6.(1)若產(chǎn)品A銷售價格為4元/件，求該店每日銷售產(chǎn)品A所獲得的利潤；(2)試確定產(chǎn)品A的銷售價格，使該店每日銷售產(chǎn)品A所獲得的利潤最大．(保留1位小數(shù))【答案】解(1)當x＝4時，y＝eq\f(10,2)＋4×(4－6)2＝21，此時該店每日銷售產(chǎn)品A所獲得的利潤為(4－2)×21＝42千元．(2)該店每日銷售產(chǎn)品A所獲得的利潤f(x)＝(x－2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(10,x－2)＋4x－62))＝10＋4(x－6)2(x－2)＝4x3－56x2＋240x－278(2<x<6)，從而f′(x)＝12x2－112x＋240＝4(3x－10)(x－6)(2<x<6)．令f′(x)＝0，得x＝eq\f(10,3)，易知在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))上，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，6))上，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．所以x＝eq\f(10,3)是函數(shù)f(x)在(2，6)內(nèi)的極大值點，也是最大值點，所以當x＝eq\f(10,3)≈3.3時，函數(shù)f(x)取得最大值．故當銷售價格為3.3元/件時，利潤最大．12．(2024·上海普陀區(qū)一模)某快遞公司在某市的貨物轉(zhuǎn)運中心，擬引進智能機器人分揀系統(tǒng)，以提高分揀效率和降低物流成本，已知購買x臺機器人的總成本p(x)＝eq\f(1,600)x2＋x＋150萬元．(1)若使每臺機器人的平均成本最低，問應買多少臺？(2)現(xiàn)按(1)中的數(shù)量購買機器人，須要支配m人將郵件放在機器人上，機器人將郵件送達指定落袋格口完成分揀(如圖)，經(jīng)試驗知，每臺機器人的日平均分揀量q(m)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(8,15)m60－m1≤m≤30,480m＞30))(單位：件)，已知傳統(tǒng)人工分揀每人每日的平均分揀量為1200件，問引進機器人后，日平均分揀量達最大值時，用人數(shù)量比引進機器人前的用人數(shù)量最多可削減百分之幾？【答案】解(1)由總成本p(x)＝eq\f(1,600)x2＋x＋150萬元，可得每臺機器人的平均成本y＝eq\f(px,x)＝eq\f(\f(1,600)x2＋x＋150,x)＝eq\f(1,600)x＋eq\f(150,x)＋1≥2eq\r(\f(1,600)x·\f(150,x))＋1＝2.當且僅當eq\f(1,600)x＝eq\f(150,x)，即x＝300時，上式等號成立．∴若使每臺機器人的平均成本最低，應買300臺．(2)引進機器人后，每臺機器人的日平均分揀量q(m)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(8,15)m60－m1≤m≤30，,480m＞30))當1