崇川區(qū)2024-2025學(xué)年高二年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題解析（導(dǎo)數(shù)技巧點(diǎn)撥）

崇川區(qū)2024-2025學(xué)年高二年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題解析（導(dǎo)數(shù)技巧點(diǎn)撥）一、選擇題要求：從下列各題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出正確的一項(xiàng)。1.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x+1，則f(x)的極值點(diǎn)為（）A.x=-1B.x=0C.x=1D.x=22.若函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的導(dǎo)數(shù)f'(x)=2ax+b，則a、b、c之間的關(guān)系為（）A.a=0，b≠0，c≠0B.a≠0，b=0，c≠0C.a≠0，b≠0，c=0D.a=0，b=0，c=03.設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)^2(x+2)，則f(x)的零點(diǎn)為（）A.x=-1，x=0，x=1B.x=-1，x=0，x=2C.x=-1，x=1，x=2D.x=0，x=1，x=24.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x+2，則f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最大值為（）A.2B.3C.4D.55.設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)^2(x+2)，則f(x)的對(duì)稱軸為（）A.x=-1B.x=0C.x=1D.x=2二、填空題要求：將正確答案填入空格中。6.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x+1，則f(x)的導(dǎo)數(shù)為_(kāi)_________。7.若函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的導(dǎo)數(shù)f'(x)=2ax+b，則a、b、c之間的關(guān)系為_(kāi)_________。8.設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)^2(x+2)，則f(x)的零點(diǎn)為_(kāi)_________。9.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x+2，則f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最大值為_(kāi)_________。10.設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)^2(x+2)，則f(x)的對(duì)稱軸為_(kāi)_________。三、解答題要求：解答下列各題。11.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x+1，求f(x)的極值點(diǎn)及極值。12.已知函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的導(dǎo)數(shù)f'(x)=2ax+b，求a、b、c之間的關(guān)系。13.已知函數(shù)f(x)=(x-1)^2(x+2)，求f(x)的零點(diǎn)及對(duì)稱軸。14.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x+2，求f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最大值。四、證明題要求：證明下列各題。15.證明：若函數(shù)f(x)=ax^3+bx^2+cx+d的導(dǎo)數(shù)f'(x)=3ax^2+2bx+c，則a≠0。五、應(yīng)用題要求：解答下列各題，并給出解題步驟。16.已知函數(shù)f(x)=x^3-9x+6，求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)。17.已知函數(shù)f(x)=(x-1)^2(x+2)，求f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)，并分析f(x)的增減性及凹凸性。六、綜合題要求：解答下列各題，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。18.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x+1，求f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)，并分析f(x)的增減性、凹凸性及極值點(diǎn)。19.設(shè)函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c，其中a≠0，已知f'(x)=2ax+b，求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A.x=-1解析：對(duì)函數(shù)f(x)=x^3-3x+1求導(dǎo)得f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=-1或x=1。當(dāng)x<-1時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)-1<x<1時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。因此，x=-1是極大值點(diǎn)。2.B.a≠0，b=0，c≠0解析：由導(dǎo)數(shù)f'(x)=2ax+b，得f'(0)=b=0。又因?yàn)閒'(x)是二次函數(shù)，故a≠0。由于a≠0，函數(shù)f(x)為二次函數(shù)，因此c≠0。3.C.x=-1，x=1，x=2解析：令f(x)=0，即(x-1)^2(x+2)=0，解得x=-2或x=1。因?yàn)?x-1)^2=0時(shí)，x=1，所以f(x)的零點(diǎn)為x=-1，x=1，x=2。4.D.5解析：對(duì)函數(shù)f(x)=x^3-3x+2求導(dǎo)得f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=-1或x=1。當(dāng)x<-1時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)-1<x<1時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。因此，x=-1是極大值點(diǎn)，x=1是極小值點(diǎn)。計(jì)算f(-1)=-2，f(1)=0，f(2)=5，所以最大值為5。5.C.x=1解析：函數(shù)f(x)=(x-1)^2(x+2)的對(duì)稱軸為頂點(diǎn)的x坐標(biāo)，即x=1。二、填空題6.f'(x)=3x^2-3解析：對(duì)函數(shù)f(x)=x^3-3x+1求導(dǎo)得f'(x)=3x^2-3。7.a≠0，b=0，c≠0解析：同選擇題第2題解析。8.x=-1，x=1，x=2解析：同選擇題第3題解析。9.5解析：同選擇題第4題解析。10.x=1解析：同選擇題第5題解析。三、解答題11.極值點(diǎn)：x=-1，極值：f(-1)=-2解析：同選擇題第1題解析。12.a≠0，b=0，c≠0解析：同選擇題第2題解析。13.零點(diǎn)：x=-1，x=1，對(duì)稱軸：x=1解析：同選擇題第3題解析。14.最大值：5解析：同選擇題第4題解析。四、證明題15.證明：若函數(shù)f(x)=ax^3+bx^2+cx+d的導(dǎo)數(shù)f'(x)=3ax^2+2bx+c，則a≠0。解析：由f'(x)=3ax^2+2bx+c，得f'(0)=c=0。又因?yàn)閒'(x)是二次函數(shù)，故a≠0。五、應(yīng)用題16.單調(diào)遞增區(qū)間：(-∞,-3)和(1,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間：(-3,1)，極值點(diǎn)：x=-3和x=1解析：對(duì)函數(shù)f(x)=x^3-9x+6求導(dǎo)得f'(x)=3x^2-9，令f'(x)=0，解得x=-3或x=3。當(dāng)x<-3時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)-3<x<3時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x>3時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。17.導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2+4x-2，增減性：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間：(-∞,-2)和(2/3,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間：(-2,2/3)，凹凸性：凹區(qū)間：(-∞,-2)和(2/3,+∞)，凸區(qū)間：(-2,2/3)解析：對(duì)函數(shù)f(x)=(x-1)^2(x+2)求導(dǎo)得f'(x)=3x^2+4x-2。令f'(x)=0，解得x=-2或x=2/3。當(dāng)x<-2時(shí)，f''(x)>0，函數(shù)凹；當(dāng)-2<x<2/3時(shí)，f''(x)<0，函數(shù)凸；當(dāng)x>2/3時(shí)，f''(x)>0，函數(shù)凹。六、綜合題18.導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-3，增減性：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間：(-∞,-1)和(1,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間：(-1,1)，凹凸性：凹區(qū)間：(-∞,-1)和(1,+∞)，凸區(qū)間：(-1,1)，極值點(diǎn)：x=-1和x=1解析：同選擇題第1題解析。19.單