第一章 微積分的基礎(chǔ)問題課件

教學(xué)目標(biāo)：本章的目標(biāo)是介紹集合、實(shí)數(shù)和極限。要求了解集合、實(shí)數(shù)與極限在微積分中的作用。了解我國數(shù)學(xué)家祖沖之在我國古代數(shù)學(xué)中所作出的杰出貢獻(xiàn)。教學(xué)重點(diǎn)：集合、實(shí)數(shù)與極限在微積分中的作用、鄰域的概念。教學(xué)難點(diǎn)：極限概念及其在微積分中的作用、鄰域的概念。教學(xué)時(shí)數(shù)：6學(xué)時(shí)。第一章微積分的基礎(chǔ)問題

——集合、實(shí)數(shù)、極限第一章微積分的基礎(chǔ)問題教學(xué)內(nèi)容：

§1極限、實(shí)數(shù)與集合在微積分中的作用

§2實(shí)數(shù)系的建立及鄰域的概念

§3變量無限變化的數(shù)學(xué)模型——極限

數(shù)學(xué)家啟示錄

（一）數(shù)學(xué)之神——阿基米德（二）我國古代偉大數(shù)學(xué)家——祖沖之第一章微積分的基礎(chǔ)問題§1極限、實(shí)數(shù)與集合在微積分中的作用

微積分

極限理論

實(shí)數(shù)理論

自然數(shù)

集合論

從左到右，左邊的理論為右邊理論的基礎(chǔ)。第一章微積分的基礎(chǔ)問題§2實(shí)數(shù)系的建立及鄰域的概念

§2.1實(shí)數(shù)系的演變及性質(zhì)

自然數(shù)集

實(shí)數(shù)集

有理數(shù)集

整數(shù)集（1）（2）（3）（1）是為了使在自然數(shù)范圍內(nèi)減法運(yùn)算也封閉。（2）是為了使在整數(shù)范圍內(nèi)除法運(yùn)算也封閉。（3）數(shù)軸上除了有理點(diǎn)之外的成為無理數(shù)，合稱為實(shí)數(shù)。

有理數(shù)集稠密，但不連續(xù)；實(shí)數(shù)集則連續(xù)。第一章微積分的基礎(chǔ)問題

§2.2刻畫極限的鄰域概念與點(diǎn)的距離小于的全體實(shí)數(shù)的集合稱為點(diǎn)的鄰域。記作：，稱為鄰域的中心，稱為鄰域的半徑。這一鄰域可用集合符號(hào)表示為。

如果點(diǎn)的鄰域不包括點(diǎn)，則稱為點(diǎn)的去心鄰域。第一章微積分的基礎(chǔ)問題

例題：用鄰域符號(hào)和區(qū)間符號(hào)分別表示不等式所確定的的范圍。解：第一章微積分的基礎(chǔ)問題§3變量無限變化的數(shù)學(xué)模型——極限

3.1數(shù)列極限（概念）以正整數(shù)為自變量的函數(shù)，當(dāng)n依次取，稱為無窮數(shù)列，簡稱數(shù)列。數(shù)列中的各個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，稱為數(shù)列的通項(xiàng)。數(shù)列常簡記為。

第一章微積分的基礎(chǔ)問題1.數(shù)列極限的定性描述

定義1：如果n無限增大時(shí)，數(shù)列的同項(xiàng)無限趨近于常數(shù)a，則稱該數(shù)列以a為極限，記作其中表示n無限增大，此時(shí)也稱為該數(shù)列收斂；如果時(shí)，不以任何常數(shù)為極限，則稱數(shù)列發(fā)散。第一章微積分的基礎(chǔ)問題

無窮小量：以零為極限的變量稱為無窮小量。

絕對(duì)值無限變大的變量稱為無窮大量。

常數(shù)列的極限仍是該常數(shù)。第一章微積分的基礎(chǔ)問題2.數(shù)列極限的定量描述

定義2：如果對(duì)于任意正數(shù)（無論它有多?。偞嬖谙鄳?yīng)的正整數(shù)N，使得滿足n>N的一切n，能使不等式恒成立，則稱數(shù)列以a為極限，記作：

第一章微積分的基礎(chǔ)問題例證明：證明：設(shè)為任意小的正數(shù)，由（不妨設(shè)）求N：取由前面的推導(dǎo)過程可知，則當(dāng)n>N時(shí)，就有第一章微積分的基礎(chǔ)問題3.數(shù)列極限中蘊(yùn)含的辨證思想

極限的取得是變化過程與變化結(jié)果的對(duì)立統(tǒng)一。

極限是有限與無限的對(duì)立統(tǒng)一。

極限的取得體現(xiàn)了近似與精確的對(duì)立統(tǒng)一。

第一章微積分的基礎(chǔ)問題3.2函數(shù)極限1.自變量無限趨進(jìn)于有限數(shù)的情形定義1：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的近旁有定義（在點(diǎn)處可以無定義）。如果對(duì)于任意正數(shù)（不管它有多小），總存在相應(yīng)的正數(shù)，使得滿足的一切能使恒成立，則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)以A極限，記作：，該定義又稱為“

”定義。

第一章微積分的基礎(chǔ)問題例：證明：

。

證明：對(duì)任意給定的

，要使

成立，只需取

，顯然當(dāng)

時(shí)，

恒成立，所以原式成立。2.左極限和右極限（不作為講解內(nèi)容）第一章微積分的基礎(chǔ)問題3.自變量的絕對(duì)值無限增大時(shí)的情形第一章微積分的基礎(chǔ)問題4.函數(shù)極限的性質(zhì)第一章微積分的基礎(chǔ)問題第一章微積分的基礎(chǔ)問題第一章微積分的基礎(chǔ)問題3.3無窮小量1.無窮小量的概念（前面已介紹過）定理：函數(shù)f（x）在某個(gè)極限過程中以常數(shù)A為極限的充分必要條件是，函數(shù)f（x）能表示為常量A與無窮小量之和的形式，f（x）=A+。第一章微積分的基礎(chǔ)問題2.無窮小量的性質(zhì)有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量。有界變量與無窮小量的乘積是無窮小量。無窮小量與無窮小量的乘積仍是無窮小量。常量與無窮小量的乘積是無窮小量。無窮小量（0除外）的倒數(shù)是無窮大量。無窮大量的倒數(shù)是無窮小量。第一章微積分的基礎(chǔ)問題3.無窮小量階的比較如果在某個(gè)極限過程中兩個(gè)無窮小量α與β之比的極限是非零常數(shù)，表明這兩個(gè)無窮小量趨近于0的速度處于同一個(gè)級(jí)別，則稱α與β是同階無窮小；特別地，當(dāng)這個(gè)常數(shù)等于1時(shí)，則稱α與β是等價(jià)無窮?。蝗绻@個(gè)常數(shù)是0，則α是較β高階的無窮小；如果比值趨于無窮，則α是較β低階的無窮小。

第一章微積分的基礎(chǔ)問題3.4極限的四則運(yùn)算定理：有限個(gè)變量代數(shù)和的極限等于極限的代數(shù)和；定理：有限個(gè)變量之積的極限等于極限之積。推論：常數(shù)可以提到極限符號(hào)外。推論：正整指數(shù)冪的極限等于極限的冪。定理：當(dāng)分母的極限不等于0時(shí)，兩個(gè)變量之商的極限定語極限之商。第一章微積分的基礎(chǔ)問題第一章微積分的基礎(chǔ)問題第一章微積分的基礎(chǔ)問題數(shù)學(xué)家啟示錄

數(shù)學(xué)之神——阿基米德阿基米德是古希臘大數(shù)學(xué)家、大物理學(xué)家，公元前287年生于西西里島的敘拉古，公元前212年被羅馬入侵者殺害。（1）阿基米德的主要成就是在純幾何方面；（2）阿基米德是一位運(yùn)用科學(xué)知識(shí)抗擊敵人入侵的愛國主義者。第一章微積分的基礎(chǔ)問題

我國古代偉大數(shù)學(xué)家——祖沖之祖沖之（429—500），我國南北朝時(shí)期的偉大科學(xué)家、數(shù)學(xué)家，生于劉宋文帝元嘉六年，卒于南齊東昏侯永元二年，他天資聰明，勤奮好學(xué)。（1）在天文、歷法方面，祖沖之制定了“大明歷”；（2）在數(shù)學(xué)方面，祖沖之求出圓周率在3.1415926與3.1415927之間。（3）在生產(chǎn)應(yīng)用方面，祖沖之改造了指南車，制作了水推磨等。（4）祖沖之興趣廣泛，在哲學(xué)、音樂等方面均有很深的造詣。

第一章微積分的基礎(chǔ)問題

我國古代偉大數(shù)學(xué)家——祖沖之祖沖之（429—500），我國南北朝時(shí)期的偉大科學(xué)家、數(shù)學(xué)家，生于劉宋文帝元嘉六年，卒于南齊東昏侯永元二年，他天資聰明，勤奮好學(xué)。（